Bài 12 Ước chung và ước chung lớn nhất Bài 109 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1) a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau 1; 5; 13; 15; 35; 53? b) Tìm ƯCLN(27, 156) c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó[.]
Bài 12 Ước chung ước chung lớn Bài 109 (Trang 33 SBT Toán tập 1): a) Số ước chung 15 105 số sau: 1; 5; 13; 15; 35; 53? b) Tìm ƯCLN(27, 156) c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ tìm ước chung 424, 636 Lời giải a) Ta có 15 = 3.5, 105 = 3.5.7 Khi Ư CLN(15, 105) = 3.5 = 15 Suy ƯC(15, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15} Vậy số cho số ước chung 15 105 là: 1; 5; 15 b) Ta có: 27 = 33, 156 = 22.3.13 Khi ƯCLN(27, 156) = Vậy ƯCLN(27, 156) = c) Ta có: 106 = 2.53, 318 = 2.3.53 Khi ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106 Ta có: 424 = 106.4, 636 =2.318 Mà ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106 nên ƯCLN(424, 636) = 2.106 = 212 Suy ƯC(424, 636) = Ư(212) = {1; 2; 4; 53; 106; 212} Vậy ƯC(424, 636) = {1; 2; 4; 53; 106; 212} Bài 110 (Trang 33 SBT Tốn tập 1): a) Tìm tất ước chung 18, 27, 30, từ tìm ước chung lớn chúng b) Tìm ước chung lớn 51, 102, 144, từ tìm ước chung chúng Lời giải a) Ta có: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}; Ư(27) = {1; 3; 9; 27}; Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} ƯC(18, 27, 30) = {1; 3} Vậy ƯCLN(18, 27, 30) = b) Ta có: 51 = 3.17, 102 = 2.3.17, 144 = 24.34 ƯCLN(51, 102, 144) = Suy ƯC(51, 102, 144) = Ư(3) = {1; 3} Vậy ƯC(51, 102, 144) = {1; 3} Bài 111 (Trang 33 SBT Tốn tập 1): Một lớp học có 27 học sinh nam 18 học sinh nữ Có cách chia lớp thành tổ cho số học sinh nam số học sinh nữ tổ nhau? Cách chia để tổ có số học sinh nhất? Lời giải Vì số học sinh nam số học sinh nữ tổ nên số tổ ước chung 27 18 Ta có: 27 = 33, 18 = 2.32 Suy ƯCLN(27, 18) = 32 = ƯC(27, 18) = {1; 3; 9} Do ta có ba cách chia lớp thành tổ, tổ tổ, ta có bảng sau: Số tổ Số học sinh nam Số học sinh nữ tổ tổ 27 18 9 Để số học sinh tổ ta chia lớp thành tổ Bài 112 (Trang 34 SBT Toán tập 1): Ba khối 6, có 300 học sinh, 276 học sinh 252 học sinh xếp thành hàng dọc để diễu hành cho số hàng dọc khối Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng? Khi hàng dọc khối có học sinh? Lời giải Do số hàng dọc khối nên số hàng dọc ước chung 300, 276, 252 Hơn cần xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng nên số hàng ƯCLN(300, 276, 252) Ta có 300 = 22.3.52, 276 = 22.3.23, 252 = 22.32.7 ƯCLN(300, 276, 252) = 22.3 = 12 Vậy xếp nhiều học sinh ba khối 6, thành 12 hàng Khi hàng: +) Khối có 300:12 = 25 học sinh +) Khối có 276:12 = 23 học sinh +) Khối có 252:12 = 21 học sinh Bài 113 (Trang 34 SBT Tốn tập 1): Tìm số tự nhiên a, biết: a) 388 chia cho a dư 38, cịn 508 chia cho a dư 18; b) 012 178 chia cho a có số dư 16 Lời giải a) Ta có 388 chia cho a nên dư 38 nên 388 – 38 = 350 chia hết cho a (a > 38); 508 chia cho a dư 18 nên 508 – 18 = 490 chia hết cho a (a > 18) Suy a ước chung 350 490 Ta có 350 = 2.52.7, 490 = 2.5.72 ƯCLN(350; 490) = 2.5.7 = 70 ƯC(350, 490) = Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70} Mà a > 38 nên a = 70 Vậy a = 70 b) Ta có 012 178 chia cho a có số dư 16 nên 012 – 16 = 996, 178 – 16 = 162 chia hết cho a (a > 16) Suy a ước chung 996 162 Ta có: 996 = 22.3.83, 162 = 2.7.83 ƯCLN(996, 162) = 2.83 = 166 ƯC(996, 162) = Ư(166) = {1; 2; 83; 166} Vì a > 16 nên a ∈ {83; 166} Vậy a ∈ {83; 166} Bài 114 (Trang 34 SBT Tốn tập 1): Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố nhau: a) n + n + 3; b) 2n + 9n + Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(n + 2, n + 3) Suy n + chia hết cho d, n + chia hết cho d Ta có n + = n + + Mà n + chia hết cho d nên chia hết cho d Do d = Vậy n + n + hai số nguyên tố với số tự nhiên n b) Đặt d = ƯCLN(2n + 1, 9n + 4) Suy 2n + 1, 9n + chia hết cho d Do 9(2n + 1) chia hết cho d Ta có 9(2n + 1) = 18n + = 2(9n + 4) + Mà 9n + chia hết cho d nên chia hết cho d Do d = Vậy 2n + 1, 9n + hai số nguyên tố với số tự nhiên n Bài 115 (Trang 34 SBT Toán tập 1): Tìm số tự nhiên a, b, biết: a) a + b = 192 ƯCLN(a, b) = 24; b) ab = 216 ƯCLN(a, b) = Lời giải a) Vì ƯCLN(a, b) = 24 nên a = 24p, b = 24q với p, q số tự nhiên nguyên tố Thay a = 24p b = 24q vào biểu thức a + b = 192 ta được: 24p + 24q = 192 24(p + q) = 192 P + q = Do p, q số tự nhiên nguyên tố nên ta có cặp (p; q) tương ứng là: (1; 7), (7; 1), (3; 5), (5; 3) +) Với p = 1, q = a = 24, b = 168; +) Với p = 7, q = a = 168, b = 24; +) Với p = 3, q = a = 72, b =120; +) Với p = 5, q = a = 120, b = 72 Vậy ta có cặp (a, b) là: (168; 24), (24; 168), (72; 120), (120; 72) b) Vì ƯCLN(a, b) = nên a = 6p, b = 6q với p, q số tự nhiên nguyên tố Thay a = 6p b = 6q vào biểu thức ab = 216 ta được: 6p.6q = 216 36pq = 216 pq = Do p, q số tự nhiên nguyên tố nên ta có cặp (p; q) tương ứng là: (1; 6), (6; 1), (3; 2), (2; 3) +) Với p = 1, q = a = 6.1 = 6, b = 6.6 = 36; +) Với p = 6, q = a = 6.6 = 36, b = 6.1 = 6; +) Với p = 3, q = a = 6.3 = 18, b = 6.2 = 12; +) Với p = 2, q = a = 6.2 = 12, b = 6.3 = 18 Vậy ta có cặp (a, b) là: (6; 36), (36; 6), (18; 12), (18; 12) Bài 116 (Trang 33 SBT Toán tập 1): Cho a, b hai số nguyên tố Chứng tỏ 5a + 2b 7a + 3b hai số nguyên tố Lời giải Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b) Suy 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d Do 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) chia hết cho d Khi đó, ta có: 5(7a + 3b) - 7(5a + 2b) = 35a + 15b – (35a + 14b) = b chia hết cho d Ta lại có 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) chia hết cho d Khi đó, ta có: 3(5a + 2b) - 2(7a + 3b) = 15a + 6b – (14a + 6b) = a chia hết cho d Mà a b nguyên tố nên d = Vậy 5a + 2b 7a + 3b hai số nguyên tố Bài 117 (Trang 33 SBT Toán tập 1): Rút gọn phân số sau phân số tối giản: a) 12 13 35 ; ; ; 24 39 105 b) 120 134 213 ; ; ; 245 402 852 c) 234 221 133 ; ; 170 663 31 995 Lời giải a) Vì 24 chia hết cho 12 nên ƯCLN(12, 24) = 12 Khi 12 24 12 :12 24 :12 ; Vì 39 chia hết cho 13 nên ƯCLN(13, 39) = 13 Khi 13 39 13:13 39 :13 ; Vì 105 chia hết cho 35 nên ƯCLN(35, 105) = 35 Khi 35 105 35 : 35 105 : 35 b) Ta có 120 = 23.3.5, 245 = 5.72 nên ƯCLN(120, 245) = Khi 120 245 120 : 245: 24 ; 49 Ta có: 134 = 2.67, 402 = 2.3.67 nên ƯCLN(134, 402) = 2.67 = 134 Khi 134 402 134 :134 402 :134 ; Ta có 852 chia hết cho 213 nên ƯCLN(213, 852) = 213 Khi 213 852 213: 213 852 : 213 c) Vì 170 = 234.5 nên chia hết cho 234 Do ƯCLN(234, 170) = 234 Khi 234 170 234 : 234 170 : 234 ; Vì 663 = 221.3 nên chia hết cho 221 Do ƯCLN(1 221, 663) = 221 Khi 221 663 221:1 221 663:1 221 ; Vì 31 995 = 133.15 nên chia hết cho 133 Do ƯCLN(31 995, 133) = 133 133 31 995 133: 133 31 995 : 133 15 Bài 118 (Trang 34 SBT Toán tập 1): Một số học sinh nắm tay xếp thành vòng tròn lớn tham gia hoạt động tập thể Thầy An quanh vòng tròn gắn cho học sinh số thứ tự 1; 2; 3; 4; 5; … (Hình 4) nhận thấy học sinh gắn số 12 đối diện với học sinh gắn số 30 Thầy tách học sinh gắn số từ đến 12 vào nhóm từ 30 đến số cuối vào nhóm Thầy muốn chia học sinh nhóm vào câu lạc (số câu lạc nhiều 1) cho số học sinh nhóm câu lạc a) Thầy An có cách để chia học sinh vào câu lạc b) Số câu lạc nhiều mà thầy An chia Lời giải a) Ta có học sinh gắn số 12 đứng đối diện với học sinh gắn số 30 nên đường thẳng nối hai số chia số bạn vòng tròn thành hai phần Do số học sinh tham gia hoạt động tập thể là: (30 – 12).2 = 36 (học sinh) Vì thầy An tách học sinh gắn số từ đến 12 vào nhóm từ 30 đến số cuối vào nhóm nên nhóm có 12 học sinh, nhóm có 24 học sinh Để chia 12 học sinh nhóm 24 học sinh nhóm vào câu lạc ( số câu lạc nhiều 1) Số học sinh nhóm câu lạc nên số câu lạc ước chung 12 24 Ta có: 12 = 22.3, 24 = 23.3 ƯCLN(12, 24) = 22.3 = 12 ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 12} Vì số câu lạc phải lớn nên chia học sinh vào câu lạc bộ, câu lạc bộ, câu lạc 12 câu lạc Vậy có cách chia học sinh vào câu lạc b) Để số câu lạc nhiều số câu lạc phải ước chung lớn 12 24 Khi chia thành nhiều 12 câu lạc ... dư 16 nên 012 – 16 = 9 96, 178 – 16 = 162 chia hết cho a (a > 16) Suy a ước chung 9 96 162 Ta có: 9 96 = 22.3.83, 162 = 2.7.83 ƯCLN(9 96, 162 ) = 2.83 = 166 ƯC(9 96, 162 ) = Ư( 166 ) = {1; 2; 83; 166 }... 6) , (6; 1), (3; 2), (2; 3) +) Với p = 1, q = a = 6. 1 = 6, b = 6. 6 = 36; +) Với p = 6, q = a = 6. 6 = 36, b = 6. 1 = 6; +) Với p = 3, q = a = 6. 3 = 18, b = 6. 2 = 12; +) Với p = 2, q = a = 6. 2 =... 6p, b = 6q với p, q số tự nhiên nguyên tố Thay a = 6p b = 6q vào biểu thức ab = 2 16 ta được: 6p.6q = 2 16 36pq = 2 16 pq = Do p, q số tự nhiên nguyên tố nên ta có cặp (p; q) tương ứng là: (1; 6) ,