Skkn ứng dụng tích phân để giải bài toán diện tích và thể tích

Bả o Mở đầu m ật 1.1 Lý chọn đề tài Vấn đề tính diện tích hình quen thuộc tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung đa giác học sinh biết cơng thức tính diện tích từ lớp Cũng tương tự vấn đề thể tích khối (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung khối đa diện) học sinh học cơng thức tính thể tích Đây vấn đề thực tế để học tốt vốn khơng đơn giản học sinh có tư hình học yếu, đặc biệt tư cụ thể hoá, trừu tượng hoá.Việc dạy học vấn đề chương trình tốn lớp vốn gặp nhều khó khăn nhiều nguyên nhân, yếu tố “trực quan thực tế” sách giáo khoa thiếu Do học vấn đề mới: vấn đề diện tích hình phẳng, vấn đề thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” tốn tính diện tích hình phẳng tốn tính thể tích vật thể trịn xoay Khi học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích, thiếu tư thực tế trực quan nên em hay bị nhầm lẫn, không giải được, đặc biệt toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích tính Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh họa cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục “những sai lầm đó” Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tích phân cịn yếu kỹ “đọc đồ thị” cịn hạn chế Đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TỐN DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ tính tích phân, rèn kỹ đọc đồ thị hàm số, từ khắc phục khó khăn, sai lầm gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức diện tích thể tích mà học sinh học lớp dưới, thấy tính thực tế liên hệ nội vấn đề chương lớp học, học sinh cảm thấy hứng thú, thiết thực học tốt vấn đề ứng dụng tích phân 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh học tốt tốn ứng dụng tích phân - Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trường THPT Thọ Xuân - Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn học sinh học tốn ứng dụng tích phân - Trao đổi với đồng nghiệp - Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan Bả o m - Áp dụng giảng dạy lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Dùng hình ảnh trực quan vẽ từ phần mềm [10] - Áp dụng toán thực tế đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2016-2017 [10] Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng khơng phải thay đổi phương pháp hồn tồn lạ mà phải q trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân Ứng dụng tích phân tốn thực tế diện tích thể tích trịn xoay Để học sinh hiểu tốn ứng dụng tích phân Tơi phân dạng tập minh họa, sau tốn thực tế đề thi thử trường năm học 2016-2017 ật 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân, đặc biệt tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số, tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hồnh trục tung Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II, đề thi THPT QG Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể học sinh giỏi)thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Nếu khơng có hình vẽ học sinh thường khơng hình dung hình phẳng(hay vật thể trịn xoay) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước (diện tích đa giác, thể tích khối đa diện) Học sinh khơng vận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề - Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng, vật thể trịn xoay học - Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu - Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật trịn Bả o m xoay) cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề ật Dạng 1: Giả sử hàm số liên tục đoạn Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng có diện tích tính theo cơng thức: [1] Bài 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số , trục hoành Ox đường thẳng y f x  =  x 3-x 2 +2 -2 A -1 B O x Hình Giải: Từ hình vẽ ta suy Diện tích S hình phẳng (đvdt) Bài 1.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành đường thẳng y f x  = -x-2 x-1 x B -2 -1 A O -4 Hình Bả o Diện tích S hình phẳng m Giải: Từ hình vẽ suy ật (đvdt) Chú ý: Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu b khơng đổi Khi để tính tích phân S   f ( x) dx ta tính sau: a b x1 x2 b a a x1 xk S   f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx    f ( x)dx [1] Bài 1.3 Cho hàm số có đồ thị (C ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành , trục tung đường thẳng y f x =  x 3-3 x2 +2 -2 -1 A O1 B x (C) Hình Giải: Dựa vào đồ thị ta có: Do (đvdt) Dạng 2: Cho hai đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a , x =b (a 0) ; trục hoành đường thẳng x = 0; x = h (h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hồnh ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay ( khối trụ )này : h h V    r dx  ( r x)   r h   r   r h (đvtt) [1] 0 12 r Bả o Bài 5.3 Thể tích khối nón trịn xoay Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) m r x (r  , h  0) trục hoành hai đường thẳng h giới hạn đồ thị hàm số y  ật x = 0; x = h (hình 13) Quay hình phẳng (H ) quanh trục hồnh ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón : h r r2 r x h  r h  r h V    ( x) dx    x  (  )   (đvtt) [1] h 3 h h h 0 h y (d) r x O h Hình 13 Bài 5.4 Thể tích khối nón cụt y (d) R r O x a b Hình 14 r x , trục hoành hai a đường thẳng x = a; x = b (b > a > 0; R > r > ) Hình 14 Quay hình thang vng quanh trục hồnh ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R , bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành : Cho hình thang vng giới hạn đồ thị hàm số y  r  r V    ( x) dx  a a a b  r x3 b  r 3  r 2  x dx  ( a ) a  3a (b  a )  3a (b  a).(b  ab  a ) 13 Bả m  r  r h b b  r h R R 2 h ( b  ab  a )  (   )  (   1) 3 r 3a a2 a r ật Do V  b R b R  a r a o Vì x = a ta có y = r x = b ta có y  r  h ( R  R.r  r ) (đvtt)  R b  r a  Chú ý : V    ( R b  r a )  3 Bài 5.5 Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vuông góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng dm để làm lu đựng nước Thể tích lu A B C [6] D Giải: Chọn D Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích Vậy thể tích lu : Hình 15 Bài 5.6 Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo A đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V  cm  vật thể cho A V  12 B V  12 C V  72  D V  72 [7] cm O B cm I Giải: Chọn A Hình 16 Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P  Vì parabol  P  qua điểm A  2;6  , B  2;6  I  0;0  nên parabol  P  có phương trình y  x Ta có y 2 x  x  y Khi thể tích vật thể cho 14 Bả o  y  dy  12  cm3   m 2 V   0 ật Bài 5.7 Một vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy 10  cm  Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 45o Thể tích khối gỗ bé A 2000 cm3   B 1000 cm3   C 2000 cm3   D 2000 cm3  [8]  Giải: Chọn A Hình 17 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi khúc gỗ bé có đáy nửa hình trịn có phương trình: y  100  x , x   10,10 Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , x   10,10 , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích S  x  (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP tan 45o  y  100  x Suy S  x   MN PN  100  x   10 10 2000  cm3  Khi thể tích khúc gỗ bé : V   S  x  dx    100  x  dx  10 10 Bài 5.8 Người ta dựng lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy hình lục giác cạnh Chiều cao ( vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên sợi dây , , , , , nằm đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) với mặt phẳng vng góc với lục giác qua trung điểm lục giác 15 Bả S o c6 1m c1 A C ( ) ( ) B ( D ) c2 ( c3 c5 ật m có cạnh Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều c4 O ) [9] Giải: Chọn D Hình 18 Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ , , 3m A  0;  nên có phương trình Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” Nếu ta đặt (chú ý ta B  1;3 phải lấy giá trị có dấu “ ” trước dấu cho chạy từ đến ) Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” với C  3;  Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua nhận thấy , tài liệu “ Ứng dụng tích phân để giải tốn diện tích thể tích ” giúp tơi thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học Từ em học sinh rât thích thú học tốt vấn đề Trong q trình giảng dạy, tơi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 sử dụng dạng tập để hướng dẫn lớp 12A1 Kết kiểm tra thử sau: Lớp Tổng số Điểm trở lên Điểm trở lên < Điểm SL TL SL TL SL TL 12A1 42 15 35,7% 27 64,3% 0% 12A4 42 7,1% 34 81% 11,9% 16 Bả o m Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy tơi thấy số lượng giỏi, khá, trung bình có tăng lên chưa nhiều, số lượng yếu, cịn Nhưng tơi, điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn tốn, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết học Kết luận, kiến nghị Sử dụng phần mềm dạy học mơn tốn tạo hứng thú cho học sinh q trình tìm tịi, phát kiến thức, kiểm chứng lại chứng minh lý thuyết Trong tiết dạy, người dạy người học bị hút vào việc khám phá kiến thức mới, nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Các kiến thức trình bày sinh động phấn trắng bảng đen, hình vẽ mang tính “động”, rõ ràng, đẹp, xác Việc hồn thành hình vẽ GeoGebra [10] tốn thời gian so với vẽ hình bảng đen giúp khắc phục hạn chế thời gian, khơng gian, chi phí q trình dạy học Hiện trường THPT có phịng trình chiếu, việc ứng dụng phần mềm GeoGebra [10] kết hợp với máy vi tính thuận lợi cho dạy học mơn tốn, đặc biệt phần hình học khơng gian phần vật thể trịn xoay cách trực quan học sinh nhìn trình tạo thành vật thể, tạo điều kiện tốt cho giáo viên tổ chức hoạt động học tập gợi động cơ, hướng đích, làm việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra, đánh giá theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh Ứng dụng tích phân đển tính diện tích, thể tích phần kiến thức trọng tâm chương trình lớp 12 Bởi kết hợp hình ảnh kiến thức sách giáo khoa làm học sinh hiểu tốt Từ áp dụng tốn ứng dụng thực tế đề thi thử THPT Quốc Gia XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN Tôi không chép người khác, năm trước Người viết ật Lê Ngọc Hùng 17 ... động Ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân Ứng dụng tích phân tốn thực tế diện tích thể tích. .. tài liệu “ Ứng dụng tích phân để giải tốn diện tích thể tích ” giúp tơi thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn... ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức: [1] Bài 3.1 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn quanh trục hồnh Giải: (đvtt) Bài 3.2 Tính thể tích vật thể trịn