Skkn phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

  PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong mơn hình học nói chung và mơn hình học cấp trung học cơ sở nói riêng,  mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng ln là đề tài xun suốt q trình  học của các em học sinh,  nó  là nền tảng  của các hình,  các  góc, các cạnh, …  Trong đó,  việc chứng minh ba điểm  thẳng hàng đóng một vai trị khơng nhỏ  trong việc tìm ra lời giải của các bài tốn liên quan đến điểm và đường thẳng.  Bộ mơn tốn hình học địi hỏi tư duy và trừu tượng, chính vì thế người thầy  giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của  mình với khả năng  sáng tạo, ham thích học và giải được các dạng bài tập mà cần phải thơng qua  chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt  trong  các  kỳ  thi.  Từ  đó  tơi    mạnh  dạn  chọn  đề  tài  sáng  kiến  kinh  nghiệm  "Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh  của mình nắm vững các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp  học sinh tư duy logic với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.  MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI: Giúp  HS  hiểu  và  nắm  chắc  cách  giải,  dạng  toán  về  “Chứng  minh  ba  điểm  thẳng hàng”.  Đồng thời rèn cho HS khả năng phân tích, khái  qt hóa, tổng  hợp phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo sự say mê,  hứng thú khơng cịn lúng túng, ngần ngại khi gặp bài tốn này. Giúp HS thấy  được ý nghĩa của việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải quyết những bài toán  khác.  NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: - Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học.  - Tổ chức  cho học sinh ơn luyện theo chun đề,  trao đổi trực tiếp.  Sau  mỗi  chun đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh (đề ra dạng như đề thi để  học sinh làm quen dần).  - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tịi nhiều dạng bài tập  phong phú cho học sinh luyện tập khơng chỉ trên lớp mà cả ở nhà.  - Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết  tâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu. Động viên, khích lệ  học  sinh  thường  xuyên  và  liên  tục.  Đồng  thời  kết  hợp  tốt  với  việc  uốn  nắn  hướng dẫn cụ thể học sinh trong từng buổi học.     skkn   - Mỗi dạng tốn cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai  thác triệt  để phương pháp  giải  và  cho  các  em  luyện tập  ít  nhất là 2  lần bằng  những bài tốn tương tự trên lớp. Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về  nhà cho  các em  luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng tốn đã  được ơn tâp.  - Trong việc giảng dạy bộ mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh  tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tịi ra kiến thức  mới,  ra  phương  pháp  làm  toán  ở  dạng  cơ  bản  như  các  phương  pháp  thơng  thường mà cịn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật  riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học tốn và  phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng tốn khó.  PHẠM VI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Đề tài được áp dụng cho HS lớp 7, 8,   Đề tài thực hiện trong những giờ luyện tập, ôn tập, phụ đạo, ôn thi.  PHẦN NỘI DUNG  A CƠ SỞ KHOA HỌC: Chương  trình  Giáo  dục  của  nước  ta  trong  giai  đoạn  hiện  nay  với  mục  tiêu  nhằm tạo ra con người phát triển một cách tồn diện. Muốn vậy, ta phải đổi  mới phương pháp dạy học, khắc phục cách truyền thụ kiến thức một chiều, thụ  động mà cần phải hình thành và rèn luyện cho HS tư duy độc lập sáng tạo, áp  dụng  được phương pháp  tiên tiến,  phương  tiện  hiện đại,  sử dụng  cơng  nghệ  thơng tin vào giảng dạy và học tập.Tích cực tự học, tự nghiên cứu để tìm hiểu  vấn  đề  một  cách  sâu  sắc.  Vận  dụng  kiến  thức  vào  thực  tiễn  một  cách  linh  động, từ đó tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh.  B THỰC TRẠNG: - Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài tốn về chứng minh ba điểm thẳng hàng  đặc biệt là các bài tốn khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham  khảo và cũng chưa thấu hiểu các định lý cũng như các tiên đề của hình học.  - Khi gặp một bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hang học sinh  khơng biết  làm  gì? Khơng  biết  đi  theo  hướng nào?  Khơng  biết liên  hệ  những  gì  đã cho  trong đề bài với các kiến thức đã học.  -  Suy luận  kém,  chưa  biết vận dụng  các phương  pháp  đã học  vào  từng dạng  tốn khác nhau.  - Trình bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, lơgic.    skkn   - Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu  nhẫn nại khi gặp bài tốn khó.  - Khảo sát thực tiễn: Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời  gian làm mất nhiều, thậm chí khơng tìm ra cách giải. Để thực hiện đề tài này  tơi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thơng qua một số bài kiểm tra  kết quả như sau: XÕp loại Tổng số HS 84 Giỏi Khá SL % SL % 6% 21 25% Trung b×nh SL % SL % 39 19 23% 46% Ỹu Thơng qua kết quả khảo sát tơi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để  giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những u cầu trong q trình  giải những bài tốn về chứng minhba điểm thẳng hàng. Tơi mạnh dạn nêu ra  một số biện pháp dưới đây: C NỘI DUNG: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI: - Dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng tốn thường có trong  các đề thi học kỳ cũng như tuyển sinh, khơng lạ mấy nhưng khó chứng minh  đối  với  học  sinh,  học  sinh  thường  lúng  túng  khi  giải  vì  chưa  nắm  cơ  sở  để  chứng minh, khơng thấy mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết hình học liên quan  đến dạng tốn  này.  -  Ta  có  thể  hiểu  ba  điểm  thẳng  hàng  là  ba  điểm  cùng  nằm  trên  một  đường  thẳng, và việc chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải xây dựng trên các cơ  sở hình học, ví dụ như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường trong tam giác,    - Các bài tập chứng minh ba điểm thảng hàng có rất nhiều trong các loại sách  tham khảo, sách nâng cao,  hay các thơng  tin khác nhưng chỉ ở tính chất cịn  chung chung, chưa phân loại, chưa phân thành những dạng cụ thể vì vậy các  em học sinh khó nắm vững phương pháp giải cho nhiều loại bài tốn, các em  cịn mơ hồ khơng biết sử dụng như thế nào? Ở đây, đề tài tơi đưa ra khơng xa  lạ mấy về mặt kiến thức so với các loại sách tham khảo chỉ khác hơn là tơi đã  phân  loại  các  phương  pháp  cụ  thể  hơn,  rõ  ràng  hơn,  từ  dễ  đến  khó. Vì điều    skkn   kiện cho phép nhất định tơi chỉ đưa ra một số phương pháp và một số dạng bài  tập cơ bản nhất.  PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Thực hiện việc cải tiến, đổi mới phương pháp dạy và học  gây sự say mê hứng  thú cho HS, GV phối hợp nhiều phương pháp trong cùng một bài giảng nhằm  giúp HS nắm  được  các  bước phân  tích  đa  thức  thành  nhân  tử,  vận dung  tốt  kiến thức đã học vào bài tập. Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình  các đơn vị kiến thức cơ bản như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức  với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép  chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa  thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.   SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC: Ứng dụng cơng nghệ thơng tin trong giảng dạy là nhu cầu rất cần thiết đối với  tất cả các mơn học, trong  đó có mơn tốn và đặc biệt là tốn hình học. Việc  dạy bài này cần có những hình ảnh và hiệu ứng minh họa , tạo ra những hình  ảnh trực quan sinh động , một số trị chơi giúp các em khắc sâu kiến thức hơn.  Giáo viên cho học sinh nắm vững các định nghĩa, định lý và tiên đề của việc  chứng minh ba điểm thẳng hàng.  Định nghĩa: Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.    CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: 4.1.Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc: A Kiến thức bản:         C A O A B   z O L C D skkn x B D K y   LA,KB  Ox; OA    OB  LC, KD  Oy   CA    CB   C, O và D thẳng hàng;    O,  L, K  thẳng hàng  LA = LC  DA    DB               KB = KD B Bài tập Bài 1:  Cho  hình  thoi  ABCD,  O  là  giao  điểm  của  hai  đường  chéo  AC  và  BD.  Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm K và H sao cho AK =AH. Gọi I là  giao điểm của BH và DK.   Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng.   Chứng minh:             Xét  ADK và  ABH, ta có:                    AK = AH  (gt )  B K I A   là góc chung;                     KAD                  AD = AB (gt )                  ADK  =  ABH (c.g.c)      ABH                   ADK  O C H D    IDB     A     DB;  A BH    I BD    ABD              Mà  ADK     ABD   (vì tứ giác ABCD là hình thoi)                         ADB     IBD         Tam giác IBD cân, do đó IB = ID                    IDB               Vậy: AB = AD; IB =  ID; OB = OD    Do đó ba điểm A, I, O cùng nằm trên đường trung trực của BD  Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng.  Bài 2: Cho    ABC  cân  tại  A,  AH  là  phân  giác  của  góc  BAC  (H    BC).  Qua  điểm B  vẽ đường  vng  góc  với  AB  và  qua  điểm  C  vẽ đường  vng  góc  với  AC, chúng cắt nhau tại O. Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng.  A Giải : (Nhiều cách )  Chứng minh:  Cách 1:  ABO  =   ACO      ACO   900 )   (AB =AC, AO cạnh chung,  ABO   B skkn H C     CAO                     BAO                    AO là phân giác của  BAC                    Mà AH cũng là phân giác của  BAC               Do đó ba điểm A, H, O thẳng hàng    Cách 2:  ABO =   ACO ( tương tự cách 1)   OB = OC  điểm O nằm trên đường trung trực của BC.                     Mà AH là đường phân giác của  ABC cân tại A                     Do đó AH cũng là đường trung  trực của BC.            Ba điểm A, H, O thẳng hàng.    Bài 3:  Tam giác ABC vng ở A có AB = 15cm, BC = 25cm. Đường trịn (O)  đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC ở D. Gọi M là điểm chính  giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường trịn (O) ở N.  a) Chứng minh: Ba điểm B, C, D thằng hàng.  b) Chứng minh: Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.   Chứng minh: a) Ta có D là giao điểm của hai đường trịn đường kính AB và AC     = 90 o  (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))     ADB   = 90o  (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’))     ADC   ADC  =180o   B   Do đó  ADB     Ba điểm B, D, C  thẳng hàng.  O       A ’ b) Ta có OO  là đường nối tâm của hai đường trịn       AD là dây chung  OO’ là đường trung trực của AD  D M N O'  M  C  (gt)  Ta có:   DM =    MAC   (cùng chắn hai cung bằng nhau).   Do đó  DAM  Mà góc MAC hay góc NAC  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung  chắn cung AN.    là  góc nội tiếp chắn cung AN              ADN   ADN    mà   NAC = DAM      NAC    skkn C      AND cân tại N    NA = ND     DAM =ADN   N nằm trên đường trung trực của AD           Ba điểm  O, N, O’  thẳng hàng.  4.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit hệ quả: A Kiến thức - Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng song song với a - Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường A thẳng vng góc với a   A   B C B a  a   C           BA// a,  BC// a                             AC  a ,  BC  a   A, B, C  thẳng hàng            A, B, C thẳng hàng            (hay AB  a, BC  a   A, B, C  thẳng  hàng)  B Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ các trung tuyến BD và CE, trên các tia đối của các  tia EC và DB lấy thứ tự các điểm M và N sao cho EM = EC, DN = DB. Chứng  minh ba điểm M, A và N thẳng hàng.  M A Chứng minh: Tứ giác MACB có EA = EB, EM = EC (gt)  N D E  Tứ giác MACB là hình bình hành   AM//BC                                            (1)  C B Chứng minh tương tự, ta có AN//BC    (2)  Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơclit suy ra  AM  AN   Hay ba điểm M, A và N thẳng hàng.  Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, I, K, N lần lượt là trung điểm  của AD, BD, AC, BC. Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng.  B A   skkn N M I K   Chứng minh:  * Xét hình thang ABCD có:  M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC   MN là đường trung bình của hình thang ABCD.   MN //AB, MN // CD                     (1)  * Xét   ADC, ta có:            M là trung điểm của AD, K là trung điểm của AC   MK là đường trung bình của   ADC   MK // DC.                             (2)  Từ (1) và (2)  M, K, N thẳng hàng.        (*)  * Xét   BDC, ta có I là trung điểm của BD, N là trung điểm của BC   IN là đường trung bình của   BDC.   IN // DC                                      (3)  Từ (1) và (3)  M, I, N thẳng hàng.           (**)            Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng.  4.3 Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng: A Kiến thức * Tính chất: A Nếu AM + MB = AB M nằm A B B M B Bài tập: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N thứ tự là trung điểm của AD, BD  và BC.  Chứng minh rằng  MN  AB  CD  thì M,  I và N thẳng hàng  và tứ  giác  ABCD trở thành hình thang.  B Chứng minh:   A     A I D Giả sử  MN    N MN= M   B AB+CD C AB  CD  (1)  skkn M D I N C   Vì MA = MD, IB = ID nên MI là đường trung bình của tam giác ADB  Suy ra MI // AB và  MI  AB             Chứng minh tương tự, ta cũng có NI //DC và  NI  CD             Mà  MN  AB  CD 1  = AB  CD  hay MN = MI + NI.  2           Từ đó suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I và N thẳng hàng.            Lúc đó ta có AB//CD (vì cùng song song với MN)            Do đó tứ giác ABCD là hình thang.    Vậy nếu  MN  AB  CD thì M, I, N thẳng hàng và tứ giác ABCD là hình thang.   4.4 Sử dụng tính chất góc bẹt: A Kiến thức bản: C   BOC   AOB   1800 * Tính chất: Nếu AOC ba điểm A, O B thẳng hàng A B O B Bài tập: Bài 1:  Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính  AC và AD của hai đường trịn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.    A Chứng minh:   Ta có: Góc ABC là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn   O            ABC = 90o      Góc ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn              ABD = 90 o  C O' D B    A                ABC  BD    C BD   180o   Ba điểm C, B, D thẳng hàng.    Bài 2: Cho   ABC nội tiếp trong đường trịn (O), M là một điểm trên cung BC  khơng chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC, AB.  Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.    A Chứng minh:  O   skkn B D E C     Xét tứ giác MDBF, ta có:     90o  (vì MD   BC)                    MDB     90o  (vì MF   AB)                     MFB     MFB    180o                  MDB                        Tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn.     BMF                   BDF                  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)     90 o (vì MD   BC)            Xét tứ giác MDEC, ta có:  MDC     90o (vì ME   AC)               MEC            Hai đỉnh D và E cùng nhìn xuống cạnh MC dưới một góc bằng 90o  Nên tứ giác MDEC nội tiếp được trong đường trịn.     EMC   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)  EDC  Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường trịn vì bốn đỉnh cùng nằm trên đường trịn     ACM    180o   ABM  o    MBF =180  Mà  ABM  (hai góc kề bù)     MBF    ACB     EMC     90o   Xét   vng BMF và   vng CME có  ECM     BMF      BMF     90o , mà  ECM     MBF     EMC      MBF     EDC    , mà   BDF     FDC    180o     BDF     FDC     180o                EDC   Ba điểm D, E, F thẳng hàng.    Bài 3:  Cho  đường  trịn  (O;R)  đường  kính  AB,  dây  CD  vng  góc  với  AB  (CA