Dạng 2. Nâng Cao Tiep Tuyen.docx

DẠNG 1 SỐ TIẾP TUYẾN Câu 1 Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 22 2y x x m    có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox Tìm tổng các phần tử của S A 2 B 5 C 5 D 3 Hướng[.]

DẠNG 1: SỐ TIẾP TUYẾN Câu 1: Gọi S tập giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x  x  m  có tiếp tuyến song song với trục Ox Tìm tổng phần tử S A  B C  D Hướng dẫn giải Chọn B M x0 ; x04  x02  m  Gọi tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có dạng: k 4 x0  x0    x0 0 k 0   x0 1  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với trục Ox A 0; m   d Tại  phương trình tiếp tuyến   : y m  B 1; m  3 d Tại  phương trình tiếp tuyến   : y m  Tại Câu 2: C  1; m   phương trình tiếp tuyến d3  : y m   m  0  m 2  m  0   m 3  Theo đề, có tiếp tuyến song song với trục Ox nên:  S  2;3 Vậy ta chọn phương án x2 y x  có đồ thị C  điểm A 0; a  Hỏi có tất giá trị nguyên Cho hàm số a đoạn   2018; 2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến C  cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh? A 2017 B 2020 C 2018 D 2019 Hướng dẫn giải Chọn C A 0; a Đường thẳng d qua điểm   , hệ số góc k có phương trình: y kx  a x2 kx  a   x  3 k  C x       Để d tiếp tuyến hệ phương trình  có nghiệm x   3x   a  a  1 x  a   x  a  0 x  x  Suy phương trình: với x 1   C Do từ A kẻ hai tiếp tuyến đến   nên phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác a 1    3 a     a2 a 1 a   a    a  0     x 2  x 2 M  x1 ; N  x2 ;   x1   x2   x x  Khi toạ độ hai tiếp điểm  với , nghiệm   a   a2 x1 x2  x1  x2  a , a Hai tiếp điểm nằm hai phía trục hoành x1 x2   x1  x2   x1  x2    9a    a   0  x x  x  x   2 x1  x2  1 3  a  2  2018; 2018 a 1  Kết hợp điều kiện suy nên đoạn  số giá trị nguyên a thỏa Câu 3: C  đồ thị hàm số Gọi y x 2 x  M 0; m  điểm thuộc trục Oy Tìm tất giá C  M trị m để ln tồn tiếp tuyến qua tiếp điểm tiếp tuyến C với   có hồnh độ dương A m 0 B m  C m 0 D m  Hướng dẫn giải Chọn C d Phương trình đường thẳng   qua M có hệ số góc k : y kx  m  x0   x  kx0  m (1)    k (2) x d  tiếp xúc C  điểm có hồnh độ x0 hệ sau  (2 x0  1) có nghiệm x0  3x0  m 2   x0  2 x0  1 3x  m 2 x0  1 3 Thay   vào   ta được: x0  (2 x0  1) x0  nghiệm 3 nên 1  (4m  2) x0  4( m  2) x0  m  0 4  Do Yêu cầu toán  Phương trình   có nghiệm dương với m 0 Vì m 0 nên 4m   suy   có nghiệm   4(m  2)  (4m  2)(m  2) 0  m  0 Bất đẳng thức với m 0 x ,x Khi gọi hai nghiệm phương trình   4(m  2)  x  x  0  4m  m 0,  x x  m    x1  0, x2   4m  Ta có Câu 4: C Vậy, với m 0 tồn tiếp tuyến   qua M hoành độ tiếp điểm C tiếp tuyến với   số dương C A m;  Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị   điểm  Tìm tập hợp S tập tất giá C trị thực m để có ba tiếp tuyến   qua A 5  S  ;  1   ;3   3;   3  A   S  ;     ;   2;   3  C Chọn D 4  S  ;  1   ;   2;   3  B   S  ;  1   ;   2;   3  D Hướng dẫn giải M  x0 ; y0  * Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là: y   3x0  x0  x  x0   x0  3x0   * Để tiếp tuyến qua A m;    x  x0 m  x0   x03  x02  2 điều kiện là:  x0 2    x02  x0 m 2 x03  x02  1  x0  1  3m  x0  0 2  C Để có ba tiếp tuyến   qua A điều kiện phương trình   có ba nghiệm phân biệt   9m2  6m  15   m 2 phương trình   có nghiệm phân biệt khác   5   m  S  ;  1   ;   2;   3   Câu 5:  x3 x  , có đồ thị C  Tìm đường thẳng d : y 2 x  điểm từ kẻ Cho hàm số C  tiếp tuyến tới  M(4; 9)  M(0;1)  M(0;1)  M(5;11)      M (  1;  1)  M(  1;  1)  M (  1;  1)  M (  1;  1)  M (2; 5)  M(3; 7)  M (2; 5)  M (7;15)     M(1; 3) M(  2;  3) M(1; 3) M(1; 3)       A B C D  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M( m; m  1)  d y Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y k( x  m)  2m  k( x  m )  m   Phương trình hồnh độ giao điểm  (C):  kx   ( m  1)k  2m x   mk  (2m  4) 0 (*)  tiếp xúc với (C)  (*) có nghiệm kép  k 0    ( m  1)k  m  k  mk  (2 m  4) 0     k 0  g( k ) ( m  1)2 k  4( m  m  4) k  m 0   Qua M( m; 2m  1)  d kẻ tiếp tuyến đến (C) x3 x Câu 6:    32( m2  m  2)  0; g(0) 4 m2 0  2    32( m  m  2)  0; g(0) 4 m 0  m  0  16 k  0  k   g( k ) 0 có nghiệm k 0     m 0  M (0;1)   m   M (  1;  1)  m 2  M (2; 5)  m 1  M (1; 3)   y  f  x   x  x  C M m;  Cho hàm số có đồ thị   điểm Gọi S tập giá trị C thực m để qua M kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị   Tổng phần tử S 12 20 19 23 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B f  x  3x  12 x Ta có:   M  x o ; yo   : y  f  xo  x  xo   f  xo  Phương trình tiếp tuyến có dạng:   M m;  Do tiếp tuyến qua nên ta có: 2   3xo  12 xo m  xo    xo3  xo2   xo3  3m   xo2  12mxo 0 1      xo 0   xo  3m   xo  12m 0 2  Để kẻ hai tiếp tuyến từ M phương trình   có nghiệm Trường hợp 1: Phương trình   có nghiệm kép khác  m 6 3m  2  4.2.12m 0 9m  60m  36 0      m 2 2.0  m   12 m     m 0 Ta có:  Câu 7: Trường hợp 2: Phương trình   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 3m  2  4.2.12m  9m  60m  36    m 0   m 0  m 0 Ta có:   0; ;6  Vậy giá trị thỏa yêu cầu toán   20 0 6  3 Do đó, tổng giá trị C : y x  3x b   10;10  Cho đồ thị   Có số nguyên để có tiếp tuyến C  qua điểm B 0; b  ? A 16 B C D 17 Hướng dẫn giải Chọn D C x Gọi hồnh độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số   có dạng: y  3x02  x0  x  x0   x03  3x02 B 0; b Tiếp tuyến qua điểm   khi: b  x02  x0 0  x0   x03  3x02   x03  3x02 b *     Xét hàm số f  x0   x03  3x02  x0 0 f  x0  0   f  x  x  x0  x0 1 Ta có   ; Ta có bảng biến thiên: Câu 8: C  qua điểm B 0; b  điều kiện phương trình * có Để có tiếp tuyến b   ;0   1;   x nghiệm Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện b b   10;10  C  qua điểm B 0; b  Do đó, số nguyên để có tiếp tuyến   9;  8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Hay có 17 giá trị nguyên b   10;10  x2 y x  có đồ thị C  Cho điểm A(0; a ) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến Cho hàm số C  cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh tới đồ thị 2   a 1   a 2   a 1 A B C   a 1 D Hướng dẫn giải Chọn D d  qua A(0; a) có hệ số góc k : y kx  a Phương trình đường thẳng x2  x  kx  a  k   ( x  1)  d  tiếp xúc C  điểm có hồnh độ x hệ:  (1  a) x  2( a  2) x  ( a  2) 0 1 có nghiệm x 1 1 phải có nghiệm phân biệt Để qua A có tiếp tuyến a 1    3a   a 1   a   2  có nghiệm x x1 , x2 3 2(a  2) a 2 y1 1  , y2 1  , x1 x2  x1  x2  a a  Khi ta có: y y  Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh     x x  2( x1  x2 )   1 1  0  0 a   x  x  x x  ( x  x )      2  3a      a 1 2  Đối chiếu với điều kiện ta được: y  mx  (m  1) x  (4  3m) x  C Cho hàm số có đồ thị  m  Tìm giá trị m cho C đồ thị  m  tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường d : x  y  0 thẳng   m A m  12 B m  m  m m 3 C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn D  d  có hệ số góc  tiếp tuyến có hệ số góc k 2 Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: x1  x2  Câu 9: y ' 2  mx  2(m  1) x  (4  3m) 2  mx  2( m  1) x   3m 0   Theo tốn, phương trình   có nghiệm âm  Nếu m 0     x   x 1 (không thỏa)  3m x    m Nếu m 0 dễ thấy phương trình có nghiệm x 1 hay  3m   m  m   Do để   có nghiệm âm m x2 y x  có đồ thị C  điểm A 0; m  Xác định m để từ A kẻ tiếp Câu 10: Cho hàm số C tuyến đến   cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox  m 1 m 1 m 1    m 1    m m m     3 A m   B  C  D  Hướng dẫn giải Chọn B M ( x0 ; y0 )  (C ) Tiếp tuyến  M C  có phương trình: Cách 1: Gọi điểm y x 2 3 ( x  x0 )  ( x0  1) x0  A   m  3x0 x 2  ( x0  1) x0   m( x0  1) 3 x0  ( x0  2)( x0  1) 0 (với x0 1 )  (m  1) x02  2( m  2) x0  m  0 (*) Yêu cầu tốn  (*) có hai nghiệm a, b khác cho   ' 3( m  2)     m  0 (a  2)(b  2) ab  2(a  b)   0   3m   (a  1)(b  1) ab  ( a  b) 1 hay là:   m 1    m   Vậy giá trị cần tìm Cách 2: Đường thẳng d qua A , hệ số góc k có phương trình: m 1   m   y kx  m  x0   x  kx0  m     k x d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh độ x0 hệ  ( x0  1) có nghiệm Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được: x0   x0   m  (m  1) x02  2( m  2) x0  m  0 x0  ( x0  1) (*) Để từ A kẻ hai tiếp tuyến (*) có hai nghiệm phân biệt khác  ' 3(m  2)  m     m 1  (i )  m 1 m   2(m  2)  m  0  Khi tọa độ hai tiếp điểm là: x 2 x 2 y1  ; y2  x1  x2  M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 nghiệm (*) y1 y2   x1 x2  2( x1  x2 )   (1) x1 x2  ( x1  x2 )  M , M nằm hai phía Ox 2(m  2) m2 9m  x1  x2  ; x1 x2   (1)  0 m m m 3 Áp dụng định lí Viet:  m     i m 1 Kết hợp với   ta có  giá trị cần tìm y  mx  (m  1) x  (4  3m) x  C Câu 11: Cho hàm số có đồ thị  m  Tìm giá trị m cho C đồ thị  m  tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường d : x  y  0 thẳng    1 1 2  1  5 m   0;    ;  m   0;    ;   2  3  2  3 A B  1  8  1  2 m   0;    ;  m   0;    ;   2  3  3  3 C D Để Hướng dẫn giải Chọn A d : y  x   2 Ta có: y mx  2(m  1) x   3m ; Theo yêu cầu tốn  phương trình y 2 có nghiệm dương phân biệt  mx  2( m  1) x   3m 0 có nghiệm dương phân biệt m 0      S    P    0  m   1 m   1 1 2 m   0;    ;      thỏa mãn toán Vậy, với  x 1 y x  có đồ thị C  , đường thẳng d : y  x  m Với m ta ln có d cắt Câu 12: Cho hàm số C  điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với C  A, B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn A m  B m  C m  D m 3 Hướng dẫn giải Chọn B C  Phương trình hồnh độ giao điểm d  x    x 1  x  m  g  x  2 x  2mx  m  0 (*) 2x    m x1  x2  m; x1 x2  Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Theo định lí Viet ta có 1 y  2 x  1 C  A B có hệ số góc  Ta có , nên tiếp tuyến 1 k1  k2  2 2 x1  1 2 x2  1 Vậy 1 4( x12  x22 )  4( x1  x2 )  k1  k    (2 x1  1) (2 x2  1)  x1 x2  2( x1  x2 ) 1  4m  8m    m  1   2 Dấu "=" xảy  m  Vậy k1  k2 đạt giá trị lớn  m  C : y x  x  m  1 x  2m Câu 13: Cho hàm số  m  , với m tham số thực Tìm tất giá trị m để từ điểm M 1;  vẽ đến Cm  hai tiếp tuyến 109 109 m m 81 81 A B C m 109 m 81 m D Hướng dẫn giải Chọn C    A a ; a  2a  m  1 a  2m Ta có: y 3 x  x  m  Giả sử tiếp điểm tiếp tuyến y  3a  4a  m   x  a   a  2a  m  1 a  2m Phương trình tiếp tuyến A là: 2  3a  4a  m  1  a   a  2a  m  1 a  2m M 1;  Do tiếp tuyến qua nên:   2a  5a  4a  3m  0 (*)    C Để từ M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị  m  (*) có hai nghiệm  a 1 g a  0    a 2 2 g a  2a  5a  4a  3m  g a   6a  10a   Xét hàm số   , , 109 yCT 3m  27 , yCĐ 3m  Do   m 3  yCT 0    m 109  y 0  81 Để (*) có hai nghiệm  CĐ y  x  x  m  1 x  2m Cm  Câu 15: Cho hàm số Gọi S tập tất giá trị m để từ điểm M 1;  C kẻ tiếp tuyến với  m  Tổng tất phần tử tập S là? : 81 217 A B 109 C D 81 Hướng dẫn giải Chọn D y  3x  x  m  1 Ta có: M 1;  Phương trình tiếp tuyến qua điểm là: y kx  k  C Điều kiện tiếp xúc  m  tiếp tuyến là:  x  x  m  1 x  2m kx  k  1  2  3 x  x  m  1 k Thay   vào   ta có: x  x  m  1 x  2m 3x  x  m  1 x  3x  x  m  1   x  x  x  m  1 0 * M 1;  C * Để qua kẻ tiếp tuyến với  m  phương trình   có nghiệm phân biệt  y 2 x  x  x  * phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  y 3 m  1 Xét y 2 x  x  x : y  6 x  10 x   x 1 y  0    x 2  Bảng biến thiên:   m  1 1  m 3     m  1  28  m 109  27 *   81 Dựa vào bảng biến thiên: để có nghiệm phân biệt thì:  109  S  ;   81  Do đó: 217 Vậy tổng phần tử S là: 81 C M m;0 Câu 74: Cho hàm số y x  x có đồ thị   điểm   cho từ M vẽ ba tiếp tuyến đến C đồ thị   , có hai tiếp tuyến vng góc với Khi khẳng định sau 1    1  1  m    ;0  m   ;1 m   0;  m    1;   2    2  2  A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y 3x  x Gọi  A a; a  3a  thuộc đồ thị hàm số   y  3a  6a  x  a   a  3a d A Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là: 3 M m;0  d  3a  6a m  a   a  3a 0  2a  m  1 a  6ma 0    a 0   2a  m  1 a  6m 0 1 Khi a 0 ta có phương trình tiếp tuyến y 0 Đối với đồ thị hàm số khơng có tiếp tuyến vng góc với y 0 nên u cầu tốn tương 1 có hai nghiệm a1 a2 khác thỏa ya1  ya2   đương phương trình  3a12  6a1 3a22  6a2   9a1.a2  a1.a2  a1  a2     0      3m    3m  m  1    0   27 m  0  m  27 (Vì ) Ta có Suy hệ số góc tiếp tuyến Với Câu 3: Gọi biệt với tiếp tuyến đồ thị cắt đường tiệm cận hai điểm phân Tìm tọa độ điểm cho đường trịn ngoại tiếp tam giác có diện tích nhỏ nhất, giao điểm hai tiệm cận A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi Phương trình tiếp tuyến : cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt Dễ thấy Tam giác trung điểm giao điểm hai đường tiệm cận vng nên đường trịn ngoại tiếp tam giác có diện tích ...  2  4 .2.1 2m 0 9m  60m  36 0      m 2 2.0  m   12 m     m 0 Ta có:  Câu 7: Trường hợp 2: Phương trình   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 3m  2  4 .2.1 2m  9m... x Ta có:   M  x o ; yo   : y  f  xo  x  xo   f  xo  Phương trình tiếp tuyến có dạng:   M m;  Do tiếp tuyến qua nên ta có: 2   3xo  12 xo m  xo    xo3  xo2   xo3... Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M( m; m  1)  d y Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y k( x  m)  2m  k( x  m )  m   Phương trình hồnh độ giao điểm  (C):  kx   ( m