Luận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

Luận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hường i Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 17 2.1 Hàm đa điều hoà với độ đo Monge-Ampere bị chặn địa phương 17 2.2 Dung lượng tập mức hàm đa điều hòa lớp e(W) 22 2.3 Dưới thác triển hàm đa điều hòa với độ đo MongeAmpere bị chặn 27 2.4 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 30 2.5 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với độ đo Monge - Ampere bị chặn 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 ii Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho WÐ £ n miền siêu lồi Ký hiệu e0 (W) lớp hàm đa điều hoà âm j W với giá trị biên độ đo Monge-Ampere hữu hạn W Ký hiệu F (W) lớp hàm đa điều hoà âm j W cho tồn dãy giảm (j ) j hàm đa điều hoà e0 (W) hội tụ đến j thỏa mãn sup ò (dd cj j )n < + ¥ Ta biết toán tử Monge-Ampere xác định tốt j W lớp F (W) với hàm j Ỵ F (W) kết hợp với độ đo Borel dương độ % miền siêu lồi với đo Monge-Ampere bị chặn W Nếu W W % £ n j Ỵ F (W) tồn hàm đa điều hòa WÐ WÐ %) cho j%£ j W j%Ỵ F (W ị (dd j%) £ ị (dd j ) c % W n c n Hàm W % gọi thác triển j tới W E.Bedford D.Burns sau U.Cegrell, năm 1978, chứng minh vài miền trơn bị chặn thỏa mãn điều kiện biên biết miền tồn hàm đa điều hịa El Mir, năm 1980, cho ví dụ hàm đa điều hòa song đĩa đơn vị £ mà hạn chế lên song đĩa bé khơng có thác triển lên tồn khơng gian Tác giả chứng minh rằng, sau làm yếu tính kỳ dị hàm đa điều hòa cho hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, đạt thác triển tồn cục Sau Alexander Taylor vào năm 1984 tổng quát hóa kết với chứng minh đơn giản hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ E.Bedford B.A.Taylor, năm 1988, chứng minh miền bị chặn trơn tuỳ ý C n miền tồn hàm đa điều hòa trơn Gần đây, tác giả Cegrell Zeriahi chứng minh hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere bị chặn miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hòa đến miền siêu lồi lớn Ở muốn chứng minh vài kết hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hịa tồn cục với cấp tăng lơga vơ Vì chọn đề tài “Dưới thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu” Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère + Trình bày số kết thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức - Trình bày lại kết U.cegrell, S.kolodziej A.zeriahi Bố cục luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nội dung luận văn gồm 44 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu Trong mục 2.1, nhắc lại định nghĩa liên quan đến lớp Cegrell e(W) hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere bị chặn địa phương miền siêu lồi WÐ C n Từ cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung lượng hàm lớp e(W) Trong mục 2.2, trình bày ước lượng cỡ tập mức hàm đa điều hòa lớp khác lớp e(W) Trong mục 2.3 trình bày kết thác triển hàm đa điều hoà với độ đo bị chặn Trong mục 2.4, sử dụng kết phần 2.2 để tổng quát hóa định lý thác triển Alexander - Taylor, từ suy hàm đa điều hịa có lượng hữu hạn theo nghĩa Cegrell có thác triển tồn cục với cấp tăng lôgarit kiểu logarit bé tùy ý Phần cuối chương này, mục 2.5, sử dụng kết gần từ lý thuyết phương trình Monge - Ampere đa tạp Kahler compact nhờ tác giả Kolodziej, chứng minh hai kết thác triển tồn cục hàm đa điều hịa có độ đo bị chặn miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hòa với cấp tăng logarit C n với độ đo Monge - Ampere toàn cục xác định tốt vài trường hợp Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở £ n u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) ( kí hiệu P SH (W) lớp hàm đa điều hoà W) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2 Mệnh đề Nếu u, v Ỵ P SH (W) u = v hầu khắp nơi W, u º v 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Ỵ P SH (W) {u } (ii ) Nếu W l liờn thụng v j jẻ Ơ é P SH (W) dãy giảm, u = lim u j Î P SH (W) u º - ¥ jđ Ơ (iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j } jẻ Ơ é P SH (W) hội tụ tới u tập compact W, u Ỵ P SH (W) (iv ) Giả sử {u a } A Ð P SH (W) cho bao u = sup u a A bị chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hồ W 1.1.4 Hệ Cho W tập mở £ n w tập mở thực khác rỗng W Nếu u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (w) , lim v(x ) £ u (y ) với x® y y ẻ ả w ầ W, thỡ cụng thc ớù max {u, v } w w = ïì ïï u W\ w ïỵ xác định hàm đa điều hoà W 1.1.5 Định lý Cho W tập mở £ n (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W (ii ) Cho u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần, vf (u / v ) đa điều hồ W (iii ) Cho u, - v Ỵ P SH (W) , u ³ W, v > W Nếu f : [0, ¥ ) đ [0, Ơ ) l li v f (0) = , vf (u / v ) Ỵ P SH (W) 1.1.6 Định lý Cho W tập mở £ n F = {z ẻ W: v(z ) = - Ơ } l tập đóng W v Ỵ P SH (W) Nếu u Ỵ P SH (W\ F ) bị chặn trên, hàm u xác định íï u (z ) (z Ỵ W\ F ) ïï u (z ) = ì lim sup u (y ) (z ẻ F ) ùù y đ z ïỵ y Ï F Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... kết hàm đa điều hòa với độ đo Monge - Ampere miền siêu lồi bị chặn ln có thác triển đa điều hịa tồn cục với cấp tăng lơga vơ Vì chúng tơi chọn đề tài ? ?Dưới thác triển hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu? ??... 27 2.4 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với kỳ dị yếu 30 2.5 Dưới thác triển toàn cục hàm đa điều hoà với độ đo Monge - Ampere bị chặn 34 KẾT LUẬN ... KỲ DỊ YẾU 17 2.1 Hàm đa điều hoà với độ đo Monge-Ampere bị chặn địa phương 17 2.2 Dung lượng tập mức hàm đa điều hòa lớp e(W) 22 2.3 Dưới thác triển hàm đa điều hòa với