Bộ đề tuyển sinh môn Toán

Trang Lời nói đầu Làm để cảm thấy tự tin, vững vàng bước vào kỳ thi? bạn học sinh băn khoăn trăn trở với câu hỏi kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng tới gần Các bạn học sinh cần tài liệu tin cậy, phong phú để ôn luyện kiểm tra kiến thức để tham gia kỳ thi cách tốt Nhằm đáp ứng nhu cầu đó, sách Cấu trúc đề thi Đại Học & Bộ đề tuyển sinh xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc, nhằm góp phần nhỏ chuẩn bị kiến thức để bạn tự tin bước vào kỳ thi Với cấu trúc sách sau: Phần I: Lý thuyết ôn tập nhanh, tác giả biên soạn theo cấu trúc đề thi Bộ Giáo Dục & Đào tạo Nhằm giúp bạn đọc hệ thống lại kiến thức kỹ giải toán cách đơn giản hiệu Phần II: Giới thiệu 15 đề thi đại học, cao đẳng mơn tốn khối A, B, D từ năm 2008 tới 2011 giáo dục đào tạo Phần III: Để tăng thêm đa dạng phong phú đề thi theo phương pháp đề Bộ Giáo Dục & Đào tạo, tác giả giới thiệu tới bạn đọc 15 đề thi mà tác giả biên soạn chắt lọc kỹ nhiều dạng toán giới thiệu tới bạn đọc Phần IV: Đáp án thang điểm chi tiết Trong phần giải tác giả chọn nhiều cách giải khác với mong muốn có phong phú đa dạng cách giải cho bạn, bạn có thêm tham khảo thêm rút kinh nghiệm cho Để sử dụng sách tốt hiệu nhất, đề nghị bạn đọc tự làm hết khả sau tham khảo cách giải tự chấm điểm cho cách tham khảo thang điểm mà tác giả đưa Nếu có chuẩn bị tốt kiến thức nhìn lại đề thi đại học năm khơng có q khó khăn Mặc dù dành nhiều thời gian tâm huyết cho sách, xong khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý bạn đọc để lần tái sau hoàn thiện đầy đủ Trân trọng ! Tác Giả Trang PHẦN I CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I ( 2,0 điểm ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Dạng đồ thị hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d  a   Tính chất a0 f(x)=x^3+3x^2-4 a0 f(x)=-x^3+3x^2-4 Phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt f(x)=x^3+3x^2+4x+2 f(x)=-x^3+3x^2-4x+2 Phương trình y '  vơ nghiệm f(x)=x^3-3x^2+3x+1 f(x)=-x^3-3x^2-3x+1 Phương trình y '  có nghiệm kép Trang  Dạng đồ thị hàm trùng phương: y  ax  bx  c  a   a0 Tính chất a0 f(x)=-x^4+2x^2+2 f(x)=x^4-2x^2+2 Phương trình y '  có ba nghiệm phân biệt f(x)=-x^4-2x^2+2 f(x)=x^4+2x^2+2 Phương trình y '  có nghiệm  ax  b  d TXD : D  R \   cx  d  c ad  bc  Dạng đồ thị hàm biến: y  Tính chất ad  bc  f(x)=(x-1)/(2x-1) f(x)=(x+1)/(2x-1) f(x)=1/2 f(x)=1/2 x=0.5 x=0.5 Phương trình đạo hàm ad  bc y'   cx  d  Những toán liên quan Trang Dạng Sự tương giao hai đồ thị Cho hàm số : y  f x C1 y = g x      C  a Phương trình hồnh độ giao điểm C  C  là: f  x   g  x  * -  * có nghiệm x  C  C  cắt điểm M  x ;f  x   ( tiếp xúc điểm M  x ;f  x   ) -  * vô nghiệm  C  C  khơng có điểm chung -  * có k nghiệm x  C  C  cắt k điểm b.Sự tiếp xúc C  C  f x  g x C  C  tiếp xúc với  f  x  g  x  có nghiệm x ( x hồnh độ tiếp xúc )  0 1 2 0 1 2 ' ' 0 Dạng Phương trình tiếp tuyến C Cho hàm số : y  f x    a Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C M x ; y có dạng : y  f ' x0         x  x   y 0 f x hệ số góc tiếp tuyến ' b Phương trình tiếp tuyến qua Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C qua N x1; y1 có dạng : y  k x  x1  y1     f  x   k  x  x   y k hệ số góc tiếp tuyến Để    tiếp tuyến C   1 có nghiệm f x k      Giải hệ 1 tìm k thay k vào    tiếp tuyến cần tìm     1 ' c Phương trình tiếp tuyến song song Tiếp tuyến hàm số C song song với đường thẳng  y  k x  b nên có f ' x0  k  Giải tìm x0   thay vào hàm số C tìm y      phương trình tiếp tuyến cần tìm d Phương trình tiếp tuyến vng góc Tiếp tuyến cuả hàm số C vng góc với đường thẳng d y  kdx  b nên có f ' x0 kd  1 Giải         tìm x thay vào hàm số C tìm y  phương trình tiếp tuyến cần tìm Dạng Tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến  Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d TXĐ: D  R y'  Ax  Bx  C  A  - Hàm số đồng biến D ( hàm tăng tập )  y'  x  D   '       0 y'  số hữu hạn x i  A  - Hàm số nghịch biến D ( hàm nghịch tập )  y'  x  D   ' 0         Trang  y'  số hữu hạn x i Hàm biến: y  ax  b ad  bc  d TXD : D  R \    , y'  cx  d  c  cx  d  - Hàm số đồng biến D ( hàm tăng tập )  y'  x  D  ad  bc  - Hàm số nghịch biến D ( hàm nghịch tập )  y'  x  D  ad  bc   ax  bx  c  e Hàm hữu tỷ: y  TXD : D  R \   dx  e  d Ax  Bx  C y'   dx  e   A  - Hàm số đồng biến D ( hàm tăng tập )  y'  x  D   '       0 A   - Hàm số nghịch biến D ( hàm nghịch tập )  y'  x  D   '     0     Dạng Cực trị điểm Cho hàm số y  f  x   Dấu hiệu Để hàm có cực trị x  f '  x   có nghiệm đổi dấu qua f '  x   Dấu hiệu '  f  x   Để hàm có cực đại x   ''  f  x   '  f  x   Để hàm có cực tiểu x   ''  f  x   Dạng Tìm m để hàm số có điểm uốn  Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d TXĐ: D  R Hàm số có điểm uốn phương trình y''  có nghiệm f ''  x   Điểm U  x ; y0  điểm uốn hàm số    y0  f  x   Hàm trùng phương: y  ax  bx  c TXĐ: D  R Hàm số có điểm uốn phương trình y''  có nghiệm phân biệt Hàm số khơng có điểm uốn phương trình y''  vơ nghiệm hay có nghiệm kép x  Dạng Tọa độ điểm nguyên ax  b C Cho hàm số : y  cx  d     Bước 1: Thực phép chia đa thức C ta y  A  B cx  d   B phải nguyên  B chia hết cho cx  d cx  d ( cx  d ước B ) từ tìm x1, x2 thay vào C tìm y1, y2 Bước 2: Để C có tọa độ điểm nguyên   Bước 3: Kết luận tọa độ điểm nguyên M1 x1; y1 , M2 Dạng Biện luận số nghiệm phương trình    x ; y  2 Trang   C  Cho hàm số : y  f x      Dựa vào C để biện luận số nghiệm phương trình F x;m  *  thẳng  d  : y  g  x;m    Bước 1: Biến đổi * cho vế trái giống đồ thị C ,vế phải đặt đường      Bước 2: Số nghiệm * số nghiệm hồnh độ giao điểm d C   Bước 3: Lập bảng giá trị dựa vào đồ thị C  kết luận (có thể khơng cần kẻ bảng) Dạng Tìm điểm cố định hàm số y  f  x   Cm  Dự vào phương trình dạng: mA  B ;  Cm  qua điểm cố định  x; y   mA  B thỏa mãn A  Giải hệ phương trình ta tìm điểm cố định m   B  Dạng Bài toán khoảng cách     Cho điểm A xA ; y A ) B xB; yB  Khoảng cách AB : AB  x B  xA   y B  yA  Khoảng cách từ mội điểm M  x ; y0  đến đường thẳng    : Ax  By  C  tính theo cơng thức : d  M,      Ax  Bx  c A2  B2 Trường hợp đặc biệt:    : x  a  d  M,      x  a    : y  b  d  M,      y0  b Tổng khoảng cách d  M,  1    d  M,  2   ,tích khoảng cách d  M,  1   d  M,  2   Bài toán tổng khoảng cách tích khoảng cách thường áp dụng cho khoảng cáh tới tiệm cận,chứng minh số,ngắn nhất,… Dạng 10 Bài toán điểm thuộc đồ thị hàm số  C  cách hai trục tọa độ Điểm M   C cách hai trục tọa độ y M  x M  y M   x M ta giải phương trình : f  x   x f  x   x tìm x M thay vào tìm y M Dạng 11 Tìm tập hợp điểm M  x  k  m  khử tham số m x y ta phương trình y  g  x   C Xác định tọa độ M   y  h  m  Tìm giới hạn quĩ tích điểm ( có).Rồi kết luận quĩ tích điểm M hàm số y  g  x   C Dạng 12 Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối  Đồ thị hàm y  f  x  Ta vẽ đồ thị y  f  x   C Gọi đồ thị: - Vẽ y  f  x  - Phía Ox là:  C1  Phía Ox là:  C2  C  sau: ' Giữ nguyên  C1  bỏ phần  C2  Trang  Vẻ đối xứng  C2  qua trục ox Đồ thị hàm y  f  x  Ta vẽ đồ thị y  f  x   C Gọi đồ thị: - Phía phải Oy là:  C1  Phía trái Oy là:  C2  Vẽ y  f  x   C'  sau: -  Giữ nguyên  C1  bỏ phần  C2  Vẻ đối xứng  C1  qua trục oy g x x  x0 Đồ thị hàm y  Ta vẽ đồ thị y  f  x  = Gọi đồ thị: - Vẽ y  g x x  x0 - g x x  x0  C Phía phải TCĐ là:  C1  Phía trái TCĐ là:  C2   C  sau: ' Giữ nguyên  C1  bỏ phần  C2  Vẻ đối xứng  C2  qua trục Ox Dạng 13 Điểm đối xứng Điểm M  x ; y0  tâm đối xứng đồ thị  C : y  f  x   Tồn hai điểm M1  x1; y1  , M2  x ; y2   x1  x  2x x  2x  x1 thuộc  C  thỏa mãn  ( công thức gọi công  f  x1   f  x   2y0 f  x1   f  2x  x1   2y thức đổi trục phép tịnh tiến véctơ ) Vậy điểm M  x ; y0  tâm đối xứng đồ thị  C : y  f  x   2y0  f  2x  x  ax  bx  c thõa điều kiện: dx  e Hàm số  Cm  có cực đại, cực tiểu nằm phía trục ox Dạng 14 Tìm m để  Cm  : y   Bước 1: Tìm m để hàm có cực đại cực tiểu 1 Bước 2:  Cm  không cắt Ox  y  vô nghiệm  ax  bx  c  vô nghiệm      Bước 3: Giao 1   ta tìm m  Hàm số  Cm  có cực đại,cực tiểu nằm phía trục Ox Bước 1:Tìm m để hàm có cực đại cực tiểu 1 Bước 2:  Cm  cắt Ox hai điểm phân biệt  y  có nghiệm phân biệt  ax  bx  c  có nghiệm phân biệt      Bước 3: Giao 1   ta tìm m Câu II ( 2,0 điểm ) Phương trình lượng giác Trang  Hệ thức sin2 x  cos2x  sin x cos x cosx cot x  sin x tan x  t anx.cot x      x   k     x  k  Cung liên kết a Hai cung đối nhau: cos x  cos x   sin  x    sin x cos2x 1  cot2 x  sin x  tan2 x    cot  x    cot x tan x   tan x b Hai cung bù nhau: cos   x   cos x   sin    x   sin x c Hai cung phụ nhau:   cos   x   sin x 2    sin   x   cosx 2    cot    x    cot x tan   x   tan x   tan   x   cot x 2    cot   x   tan x 2  d Hai cung  : cos   x   cos x   sin    x    sin x   cot    x   cot x tan   x  tan x  e Hai cung :     cos   x    sin x tan   x    cot x 2  2      sin   x   cosx cot   x    tan x 2  2   Hệ quả:     sin  k  x    1 sin x tan  k  x   tan x k cos k  x  1 cos x  k Công thức biến đổi: a Công thức cộng: sin x  y  s inx.cos y  sin y.cos x   sin  x  y   s inx.cos y  sin y.cos x t anx  tan y tan  x  y   tan x.tan y cot x.cot y  cot x  cot y b Công thức nhân đôi:    sin  k2  x   sin x cot  k  x   cot x cos k2  x  cos x   cos  x  y   cos x.cos y  sin x.sin y cot x.cot y  cot  x  y   cot x  cot y cos x  y  cos x.cos y  sin x.sin y  cot x  y  Trang sin 2x  sin x.cos x tan x  tan2 x cot2 x  cot 2x  cot x tan 2x  cos2x  cos2x  sin2 x  2cos2x    sin2 x c Công thức nhân 3: tan x  tan x  tan2 x cot3 x  cot x cot 3x  cot2 x  tan 3x  sin 3x  sin x  sin x cos3x  cos3 x  cos x d Công thức hạ bậc:  cos2x sin2 x   cos2x cos2x   x cosx sin2  2 e Công thức biến đổi tổng thành tích: x  cosx  2 cos2x  tan2 x   cos2x  cos2x cot2x   cos2x cos2 xy xy cos 2 xy xy cos x  cos y  2 sin sin 2 xy xy sin x  sin y  sin cos 2  xy xy sin 2 sin x  y sin x  sin y  cos cos x  cos y  cos tan x  tan y  cot x  cot y    cos x.cos y sin x  y   s inx.sin y Hệ quả:   s inx  cos x  sin  x   4    s inx  cos x  sin  x   4  f Công thức biến đổi tích thành tổng: cos x.cos y  cos x  y  cos x  y   2 sin x.sin y   cos x  y  cos x  y   2 sin x.cos y  sin x  y  sin x  y   2           x g Công thức chia đôi: Đặt  t  tan  2  2t sin x   t2  t2 cosx   t2  Hệ quả: Nếu ta đặt t  tan x  2t  t2  t2 cos2x   t2  Phương trình sin 2x        cosx+ sin x  cos  x   4    cosx  sin x  cos  x   4      1 sin x  y  sin x  y   2 t anx  tan y tan x tan y  cot x  cot y cot x  cot y co t x.cot y  t anx  tan y cos x.sin y  2t  t2  t2 cotx   t2 tan x  2t  t2  t2 cot2x   t2 tan 2x  Trang 10 IV Gọi I trung điểm cạnh BC, O trọng tâm ABC Vì ABC tam giác cạnh a nên a a AI   AO  AI  , 3 a OI  AI  A ' A ABC hình chóp tam giác nên A' C' B' 0.25 C O A'O   ABC  I B a2 3b2  a ' , A I  BC  A O  A A  AO  b   3  A' BC   ABC   BC     Ta có  A'I  BC, A'I  A' BC   A' BC ,  ABC    A'I, AI   A'IO          AI BC, AI ABC     ' '   tan   A 'O  IO     3b2  a 2 3b2  a  a a 1 a a2 AI.BC  a  2 VA '.BCC' B'  VABC.A ' B'C'  VA '.ABC  A 'O.SABC  A 'O.SABC  A'O.SABC 3 0.25 3b2  a a a 3b2  a   0.25 Diện tích ABC:SABC  V 0.25  đvtt  2 91 1 x   m   31 1 x  2m   * Điều kiện x  -1;1 đặt t  31 1 x2 ; 0.25   x    x2     x2      x    31 1 x2   t  3;9 Phương trình * cho trở thành t   m   t  2m   *   t   m  t  2t   m  t  2t  t2 0.25 t  2t  với t  3;9 Ta có: t2 t  t  4t  ' , f t    f' t   t  2 t  Xét hàm số f  t   Lập bảng biến thiên t f ' t 0.25  Trang 201 64 gm f t Dựa vào bảng biến thiên  * có nghiệm x  1;1  ** có nghiệm t  3;9 VIa   m  64 Gọi M  x ;y0   d  3x  y0   1 0.25 0.25 AB  5,CD  17 AB  3;4   n AB  4;3  PT AB : 4x  3y   0.25 CD  4;1  n CD 1; 4   PT CD : x  4y  17  SMAB  SMCD  AB.d  M;AB  CD.d  M;CD   5 4x  3y  x  4y  17  17   4x  3y   x  4y  17 17 0.25 3x  7y  21     4x  3y   x  4y  17    4x  3y    x  4y  17 0 5x  y  13   3  3x  y0   7   M1  ;2  3  3x  7y0  21  Từ 1   ta có  0.25 3x  y0   Từ 1  3 ta có   M  9; 32  5x  y0  13  Các véc tơ phương  d1   d  u1  1; 1;2  u   2; 0;1 Có M  2;1;   d1  ; N  2;3;    d   MN   0; 2;  Xét  u1;u    1; 5; 2    u1;u  MN  10   d1  chéo  d  Gọi A   t;1 – t;2t     d1  và B  – 2t ' ;3; t '   d   AB   –2t '  t;  t; t '  2t  0.25   AB.u1  AB đọan vng góc chung  d1   d      AB.u    –2t '  t;  t; t '  t  1; 1;2    t     ' '      –2t t; t; t t 2; ;1        t '  5 2 Vậy tìm điểm A  ; ;   B  2; 3;  ; 3 3 Đường thẳng  qua hai điểm A, B đường vng góc chung x   t  d1   d   u   AB  1; 5;    :  y   5t z  t   11 13  Phương trình mặt cầu nhận đoạn AB đường kính tâm I  ; ;   trung  6 3 điểm AB Vậy bán kính R  AB  2 0.25 0.25 0.25 11   13   1  Phương trình mặt cầu có dạng: S  :  x     y     z    6  6  3  Trang 202 VIIa Giả sử z1  a  bi  z1  a  bi; z  c  di  z  c  di 0.25 Mà z1  z  a  bi  c  di   a  c    b  d  i   0.25 Từ 1   ta có z1  z  z1  z   a  c    b  d  i 0.25 Mà z1.z   a  bi   c  di    ac  bd    ad  bc  i  2'  0.25 Ta có z1  z  a  bi  c  di   a  c    b  d  i   a  c    b  d  i 1 Tương tự z1.z   a  bi   c  di    ac  bd    ad  bc  i   ac  bd    ad  bc  i 1'  VIb Từ 1'   2'  ta có z1.z  z1.z   ac  bd    ad  bc  i  3a   Gọi A    A  a;     x B  2.2  a 16  3a    Vì B đối xứng với A qua I nên   3a   B   a;   y B      Vậy diện tích tam giác ABC là: 1 3.2   5  SABC  d  C;AB AB  d  C;   AB  AB  3AB 2 2   4  Theo đề ta có SABC  15  3AB  15  AB  2   3a    3a  Mặt khác AB    2a      AB    2a         a    3a     2a      25     a  Vậy hai điểm cần tìm A  0;1 B  4;4  0.25 0.25 2 0.25 0.25 Đường thẳng  d  có VTCP u   1;2;1 2x  y   Từ phương trình tham số ta chuyển d PTTQ:  x  z   0.25 Mặt phẳng  P  có VTPT n   2; 1; 2  Góc đường thẳng  d  mặt phẳng  P  là: sin   u d n  P  ud n P  | 2   |  3 0.25  Góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  cần tìm cos    sin x     Giả sử  Q  qua d có dạng: m  2x  y  1  n  x  z    m2  n    2m  n  x  my  nz  m  2n  Vậy góc  P   Q  là: cos   | 3m | 5m2  2n  4mn   0.25 3 Trang 203 | 3m | 5m2  2n2  4mn  m2  2mn  n    m  n    m  n 0.25 Chọn m  1, n  1, ta có: mặt phẳng  Q  : x  y  z   3x 1 y 2 y 3x  1 2   3.2    3x   xy  x     x    x  1 Phương trình      3x   xy  x    x  3x  y  1   x  1 x     x     x  1    3x  y     y   3x VIIb Với x  thay vào 1   2y2  3.2y   2y  12.2y  2y  0.25 8  y  log2 11 11  x  1 Với  thay y  – 3x vào 1 ta được: 23x1  23x1  3.2 *  y   3x  t    loai  1 Đặt t  23x1 x  1  t  *  t    t  6t     t  t   Với t    y   log2   x  log2   1  3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   1  S   0;log  ,  log   1 ;  log     11            0.25   ĐỀ SỐ 29 Câu I 0.25 Ý Lời giải HS tự làm y'  3x  2mx  2m2  7m  hàm số đồng biến khoảng 2;  y'  với x  2;   0.25 Điểm 0.25  f  x   3x  2mx  2m  7m   0, x  2;   2 Vì tam thức bậc hai f  x  có '  7m2  21m  21  0, m  nên f  x  có nghiệm m  ' m  ' , x2  3  x  x1 Vì x1  x nên f  x     x  x2 phân biệt x1  m  '   '   m Do f  x   x  2;    x     m  m   '   2     m  7m  21m  21    m    m    1  m  6m  9m  15   5 m   1;  thõa mãn đề  2 0.25 0.25 0.25 Trang 204 II sin x  sin 2x   Điều kiện: cosx     tan x  1  tan x  1  cos x  sin x cos 2x.cos x   sin x  sin x cos x sin x cos x  sin x 2 cos x  sin x  cos x  sin x  cos x    sin x  sin x cos x sin x cos x  sin x cos x  sin x   cos2 x  sin x cos x  sin x  sin x cos x sin x  cos x  sin x  sin x  cos2 x  2sin x cos x  sin x  Phương trình   sin x  cos x  sin x    cos x  sin x   0.25   cos x  sin x  sin x  cos x  sin x   1  0.25   cos x  sin x  sin x cos x  sin x  1  sin 2x  cos2x    1    c os x  sin x sin 2x  cos2x  3     c os x  sin x   cos x  sinx         cos x  sinx   sin  2x    3     sin  2x      loai  4    4     k  k     x   0;      k    k   x  4  Vậy tìm nghiệm S    thõa mãn đề 4  2xy  x  y  x  y  1  đk :x  y  0   x  y  x2  y 2  2xy     x  y   2xy  x  y   2xy   x  y   1   x  y   2xy  xy 0.25  cos x  sin x   tanx   x  0.25 0.25   x  y    x  y   2xy  x  y   2xy    x  y   x  y   1  2xy  x  y  1      x  y  x  y  1 x  y  1  2xy  x  y  1   x  y   3  2  x  y  x  y    Dễ thấy   vơ nghiệm x  y  Thế  3 vào   ta x  y   x   x  y  y    Giải hệ   x  y    x  2    y  0.25 0.25 0.25 Trang 205 III Vậy hệ có nghiệm S  1;0  ,  2;3  I 3sin x  cos x  sin x  cos x  dx   t  dx  dt   Đổi cận: x   t  , x   t  2 0.25 Đặt x      3sin   t   cos   t  3sin x  cos x 2    dt  Suy ra: I   dx    3         sin x  cos x  sin t cos t            2     0 3cos t  2sin t  cos t  sin t   dt   3cos x  2sin x  cos x  sin x  dx ( Do tích phân khơng phụ thuộc vào kí hiệu cuả biến số )  Suy ra: 2I  I  I    sin x  cos x   dx   3cos x  2sin x  cos x  sin x   dx   sin x  cos x  0.25 dx   1      dx   d  x    tan  x      20 4 4    cos x  cos2  x      4 4   Vậy I  a S ABD tam giác cạnh a  AO  Từ O hạ hình chiếu vng góc lên BC H SO  BC Ta có   BC  SOH   BC  SH OH  BC = IV 3sin x  2cos x 0.25 0.25 I 0.25 A B H O D C SBC    ABCD   BC   SBC  ,  ABCD   SH,OH  SHO nên SH  SBC  ,SH  BC    OH ABCD ,OH BC      1 1 a      OH  2 2 OH OC OB a 3 a       SO   SHO  450 tanSHO  OH Vì OI  SBC   OI   IBC  OI đường cao chóp I.OBC   0.25 0.25 Trang 206 1 a OI  IH  SH  SO2  IH  2 Vậy thể tích chóp I.OBC là: a3 1 1 a 61 a VI.OBC  OI.SIBC  OI IH.BC  a   đvtt  3 8 64 V P 0.25 x  y3  16z x  y  z Biến đổi tương đương ta có: x  y Khi P  x  y3  16z x  y  z  x  y   x  y  0.25  16z x  y  z Đặt x  y  z  a  x  y  a  z x  y   64z x  y   64z     4P  3 x  y  z x  y  z  3  z 3 64z  a      3 a  x  y   64z  a  z   64z   a   4P     1  t   64t 3 3 a a a z ( với t  ,0  t  ) a 0.25 Xét hàm số f  t   1 – t   64t với t  0;1 Có f '  t   64t  1  t   , f '  t    t   0;1   0.25   64 f    1,f 1  64,f      81  Min f  t   t0;1 VIa 64 16  GTNN P đạt x  y  4z  81 81 Đường thẳng AC vng góc với HK nên nhận HK   1;  làm vtpt AC qua K nên  AC : x  2y   Phương trình đường thẳng BK có vtcp HK   1;  0.25 A K H M 0.25  n BK   2;1   BK  : 2x  y   B C Do A  AC, B  BK nên giả sử A  2a  4; a  , B  b;  2b  Mặt khác M  3; 1 trung điểm AB nên ta có hệ: 2a   b  2a  b  10 a    Tìm A  4;  , B  2;    a   2b   a  2b  b  AB   2;  6  n AB   3; 1   AB : 3x  y   Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nên nhận HA   3;  làm vtpt Vậy phương trình cạnh  BC : 3x  4y   Tìm phương trình cạnh:  AC : x  2y   0,  AB : 3x  y   0.25 0.25 0.25  BC : 3x  4y   Trang 207 Thay A vào hai phương trình thấy A không thuộc hai đường trung tuyến x  y  z 1 x4 y2 z2 nên giả sử  BN  :      CP  : 2 4 1 Chuyển phương trình tham số  x   2t  BN  :  y   2t  t  z   t  x   t '   ,  CP  :  y   4t '  t '  z   t '  0.25  G trọng tâm ABC  G  BN  CP  G  3;6;1 B  BN    2t;6  2t;1  t  , C  CP     t ' ;2  4t ' ;2  t '  0.25  GA   2; 4;4  ,GB   2t;2t; t  ,GC   t  1; 4t  4; t  1 ' ' '  2  2t  t '    t  2  Ta có : GA  GB  GC    4  2t  4t '     '  t  3 4  t  t '    0.25  B  7;2; 1 , C 1;14; 1 Vậy AB   6;0; 6  , AC   0;2; 1 , BC   1;2;0   x   6t  Phương trình cạnh tam giác ABC AB :  y  z   6t  x  x   t   AC :  y   2t , BC :  y   2t  t  z   t z  1   VIIa 0.25  Điều kiện n  Ta giải phương trình: A3n  8C2n  C1n  49  n! n! n!    49  n  3!  n  !.2!  n  1!   n –  n – 1 n –  n – 1 n  n  49 0.25  n3 – 7n  7n – 49    n –   n     n  Vậy đẳng thức cho trở thành  x   Khai triển đẳng thức  x     C7k  x  27k   C7k 27k.x 2k 7 k k 0 VIb k 0 Thứ hạng x khai triển nhị thức: x  x  k  8 2k Nên hệ số x8 C74 23  280  x   3t A 1;1  có phương trình tham số  t   y  2  2t Gọi A thuộc B    B 1  3t; 2  2t   có vtcp u   3;2  Vậy AB   3t; 3  2t   AB  9t   2t  3  13t  12t     AB.u AB u 0.25 0.25 0.25 0.25  Theo đề ta có AB;   450 nên cos AB;u  0.25   3t; 3  2t   3;2  13t  12t  9   cos450 0.25 Trang 208  15  t  13 13t    169t  156t  45    13t  12t  13 t    13  32   22 32  Các điểm cần tìm B1   ;  , B2  ;    13 13   13 13  0.25 Giả sử n  a;b;c  vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P  Phương trình mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2b  0.25 Đường thẳng  qua điểm A 1;3;0  có vectơ phương u  1;1;4   n.u  a  b  4c  1    //  P   Từ giả thiết ta có    | a  5b |   2 d  ;  P    d  A;  P      2  a b c 0.25 Thế b  a  4c vào   ta có  a  5c    2a  17c2  8ac   a - 2ac  8c2  a  c    a  2  c a Với  chọn a  4,c   b  8 c Phương trình mặt phẳng  P1  : 4x  8y  z  16  0.25 0.25 a Với  2 chọn a  2,c  1  b  c Phương trình mặt phẳng  P2  : 2x  2y  z   Theo đề ta có: z 02  z12  z 0z1  z 0z1  z 02  z12  z  z1  z   z12 VIIb  z z1  z  z1 z  z1  z  z0 0.25 1 z 02  z12  z 0z1  z 0z1  z12  z 02  z1  z  z1   z 02  z1 z1  z  z z  z1  z  z1 2 0.25 2 z z 3 Từ 1    z1  z    z  z1  z  z1 z0 z1 0.25 Do z1  z  z  z1 OA  OB  AB ( khác ) nên OAB tam giác ĐỀ SỐ 30 Câu I Ý Lời giải HS tự làm Ta có điểm cực đại cực tiểu hàm số  C  A  0;2  B  2; 2  Đường trịn  Cm  có tâm I  m;2m  bán kính R  m2  4m2  5m2   Ta có IB   m  2   2m   0.25 Điểm 0.25 2  36   5m  4m    m     1 R 5 5  0.25 Trang 209 Vậy điểm B nằm ngồi đường trịn  Cm  Để hai điểm cực trị A, B nằm phía khác đường tròn  Cm  điểm A nằm đường tròn  Cm   IA   m2    2m    5m2  8m    II  m  0.25   k  k   Phương trình cho  1  sin 2x   1  t anx   Điều kiện cos x   x  0.25 sinx     sin x  cos2 x  2sin x.cos x   1  0  cos x   cos x  s inx    cos x  s inx   0 cos x     cosx  s inx   cos x  s inx  0 cos x   cos x  sin x  1  cos x  sin x      cos x   Giải 1 ta có: cos x  sin x   cos  x    4        cos  x     x    k  x   k  k   4 4  Giải   ta có: cos x  sin x    sin x.cos x  cos2x  cos x sin 2x sin 2x   cos2 x  * Vì 1  sin 2x    cos2x  2 Nên phương trình * vơ nghiệm 0.25 0.25 0.25 0.25   Vậy phương trình cho có học nghiệm S    k k   4  3x  5x   x    x  x  1  x  3x   3x  5x    x  x  1  x   x  3x  Dạng toán ta dễ dàng nhận thấy nhân lượng liên hợp hai vế ta có: 3x  5x    x  x  1 x    x  3x     x   x  3x  3x  5x    x  x  1   2x  3x  5x    x  x  1 3 x  2 x   x  3x    0.25 3x  x   x  3x  x  2 3x  5x    x  x  1 0.25 0    0   x  2  2  x   x  3x  3x  5x    x  x  1    0.25 Trang 210  x    *     ** 2  x   x  3x  3x  5x    x  x  1  Giải * ta x  Từ ** ta thấy III x   x  3x  2  3x  5x    x  x  1 Vậy phương trình có nghiệm s  2    0, x  0.25   2cos x  1 sinx dx sin 2x  sinx 2sin x cos x  sinx dx   dx    3cos x  3cos x  3cos x 0 I 0.25  t2   cos x  Đặt t   3cos x   3sin x dt   dx   3cos x x  t   Đổi cận:   t   x  2  t2      1    dt    2t  1 dt I  2 91   2 IV 0.25 0.25  2  16  2t     34    t          1   9     27   Gọi H hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng  ABCD  A' H   ABCD  Từ H hạ hình chiếu vng góc xuống AB, AD I, J 0.25 D' C' A' B'  A H  AB  AB  A 'J   HJ  AB ' 0.25 D  A ' H  AD  AD  A ' I ,  HI  AD J A C H I B  A' B' BA    ABCD   AB   Vậy  A'J   A ' B' BA  , A 'J  AB   A ' B' BA  ,  ABCD   A 'J, HJ  A 'JH  450    HJ   ABCD  , HJ  AB    A' B' BA    ABCD   AB   ' ' ' ' ' '  ' '   A I   A D DA  , A I  AB   A D DA  ,  ABCD   A I, HI  A IH  60    HI   ABCD  , HI  AB   Đặt A' H  x  x       A' H A' H A' H A' H x '  HJ   x tan A IH   HI   0 HJ tan 45 HI tan 60 HIAJ hình chữ nhật Ta có: tan A'JH  0.25 0.25 Trang 211 x 3 3x  AH  AJ  HJ  HI  HJ    x    2 2  3x  21 Mà A A  A H  HA     x x    ' V ' 2 ' ' ' Vậy thể tích hình hộp ABCDA' BC D là: VABCDA' B'C' D'  A' H.SABCD T 0.25 21   x y  1 x 1 y   Đặt x  cos2 a; y  sin a  a   0;   2 2 cos2 a sin a cos3 a  sin a  sin a  cos a   sin a  sin a.cos a  cos a  T     sin a cos a s ina.cos a s ina.cos a  sin a  cos a 1  sin a.cos a   sin a.cos a t2  Đặt t  sin a  cosa  sin a.cosa    Ta có: t  sin  a   4   Vì  a    t  2  t  3t Khi T   f t ; t 1 t   t  1;   f  t   f  f 't  2  t  1  VIa Vậy f  t   f t1;   2  0.25 0.25 0.25   x  y  1 Hay T  x  y  2 0.25 Gọi A   d1   A  t; t  ABCD hình vng nên C đối xứng với A qua BD mà B, D  Ox nên C  t;  t  0.25 Vì C   d   2t  t    t  Vậy A 1;1 , C 1; 1 0.25 Gọi I trung điểm AC  I 1;0  B, D  ox  B  b;0  , D  d;0  0.25 I tâm hình vng ABCD nên ta có: b    b    b0  IB  IA      ID  IA   d    d   d   B  2;0  D  0;0  B  0;0  D  2;0  0.25 Vậy đỉnh hình vng là: A 1;1 , B  2;0  ,C 1; 1 , D  0;0  A 1;1 , B  0;0  ,C 1; 1 , D  2;0  Tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng  P  nghiệm hệ sau: 0.25 Trang 212 x   t x   x 1 y  z       y  3  2t    y  1  A  0; 1;4    1 z t    z  2x  y  2z   2x  y  2z    Mặt phẳng  P  có véctơ pháp tuyến n P   2;1; 2  0.25 Đường thẳng d có véctơ phương u d  1;2;1 Vì    P    d  véctơ phương đường thẳng  : 0.25 u    ud , n P    5;0;5  1;0;1 VIIa x  t  Vậy phương trình tham số đường thẳng  :  y  1  t  z   t  Gọi số phức z  a  bi a, b   0.25  0.25 Khi z  a   bi   2abi  z  a  b2  2abi  z  a  b2  2abi Phương trình trở thành a  b2  2abi  2012   a  b2  2abi  2012  a  b2  2012   2ab  a  b2  2012 1 2  a  b  2012   a   2ab   b  0.25 0.25 * Với a  thay vào 1 ta b2  2012  b   2012 VIb * Với b  thay vào 1 ta a  2012 ( vơ nghiệm ) Vậy tìm nghiệm số phức là: z  2012i z   2012i Đường trịn  C  có tâm I 1;3 bán kính R  Vì MI   R nên điểm M nằm ngồi đường trịn  C  Gọi T  x ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ 0.25 T2 M M với đường tròn  C  nên:   T   C  T   C     IT  MT   IT.MT   I 0.25 T1 MT   x  3; y0  1 IT   x  1; y0  3 2   x  y0  2x  6y0   Nên  x 3; y x 1; y           0  2 2    x  y0  2x  6y0    x  y0  2x  6y0      x  y0  2x  4y0   x  3  x  1   y0  1  y0  3    0.25 0.25  2x  y0   * T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến qua M tới đường tròn  C  nên T1 T2 thuộc * Vậy phương trình đường thẳng T1T2 : 2x  y   Véctơ pháp tuyến mặt phẳng  P  n P  1; 1;1 Véctơ phương đường thẳng  d  ud  1;2;2  0.25 0.25 Trang 213 Gọi đường thẳng  có véctơ phương u    a;b;c  Vì    P   u  n P   a  b  c  1 Theo đề có góc:  d,    450    cos d,   cos450  Từ 1   ta có: a  2b  2c a  b2  c  a  2b  2c a  b2  c  2 0.25 2 a  b  c   a   a  c   c2  a  2b  2c   a   a  c   2c   2 2 3 a  b  c 0.25   2 2a  2ac  2c2   3a  4c   a  ac  c2  7c2  15ac  3a  4c  c   15 c   a  VIIb x   t  * với c   a  b  phương trình đường thẳng  :  y  1  t z   15 * với c   a  a  7,c  15, b  8  x   7t  phương trình đường thẳng  :  y  1  8t z   15t   y 1   x  x  2x     x     x 1      y y 2y  y     u  x  Đặt  v  y   x  1  y  1   3y1   3x 1 0.25 0.25  u  u   3v 1  Hệ trở thành   v  v   3u   Dễ dàng nhận thấy u  u   3u  v  v   3v dạng f  u   f  v  * Xét hàm số f  t   t  t   3t , t  t f t  1 '  ln  t t 1 nên hàm đồng biến t2   t t 1 0.25  3t ln  0, t  ( t   t   t  t   t  ) Khi phương trình *  u  v thay vào phương trình 1 ta được:     u  u   3u  3  ln u  u   ln 3u  u ln  ln u  u   u ln    Xét hàm số: g  u   ln u  u   u ln 3, u  g'  u   u2   ln   ln  0, u  Nên hàm số nghịch biến 0.25 Trang 214 Ta nhận thấy g    nên phương trình  3 có nghiệm u  x   x  Hay u  v    Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1  y   y  0.25 Trang 215 ... lập  P  A.B  P  A  P  B PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG CÁC NĂM ĐỀ SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) x  Câu I ( 2,0 điểm )... tăng thêm đa dạng phong phú đề thi theo phương pháp đề Bộ Giáo Dục & Đào tạo, tác giả giới thiệu tới bạn đọc 15 đề thi mà tác giả biên soạn chắt lọc kỹ nhiều dạng toán giới thiệu tới bạn đọc... tra kiến thức để tham gia kỳ thi cách tốt Nhằm đáp ứng nhu cầu đó, sách Cấu trúc đề thi Đại Học & Bộ đề tuyển sinh xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc, nhằm góp phần nhỏ chuẩn bị kiến thức