Vi»n To¡n ùng döng v Tin håc Tr÷íng �¤i håc B¡ch Khoa H Nëi 2018 B�I T�P GI�I T�CH 2 (Nhâm 2 ¡p döng tø 06 2018) CH×ÌNG 1 H m sè nhi u bi¸n sè 1 T¼m mi n x¡c �ành cõa c¡c h m sè sau a) z = 1√ x2 + y2[.]
Viằn ToĂn ựng dửng v Tin hồc Trữớng Ôi hồc B¡ch Khoa H Nëi - 2018 BI TP GII TCH (Nhâm ¡p dưng tø 06-2018) CH×ÌNG H m số nhiÃu bián số Tẳm miÃn xĂc nh cừa c¡c h m sè sau: a) z=p x2 + y − c) z = arcsin b) z = p (x2 + y − 1)(4 − x2 − y ) d) z = √x sin y y1 x Tẳm giợi hÔn (náu cõ) cừa c¡c h m sè sau: y2 (x → 0, y → 0) x2 + 3xy a) f (x, y) = c) y4 f (x, y) = (x → 0, y → 0) x + y2 b) f (x, y) = sin 2xπx+ y d) (x → ∞, y → ∞) p − cos x2 + y f (x, y) = (x → 0, y → 0) x2 + y Tẵnh cĂc Ôo hm riảng cừa cĂc h m sè sau: a) p z = ln(x + x2 + y ) b) c) z = arctan x z = y sin y s x2 − y x2 + y d) z = xy (x > 0) e) u = e f) z = x3 + 2y3 Kh£o s¡t sü li¶n tửc v sỹ tỗn tÔi cừa cĂc Ôo hm riảng cõa c¡c h m sè sau: x2 +y +z p x sin y − y sin x x2 + y z= n¸u (x, y) 6= (0; 0), n¸u (x, y) = (0; 0) Gi£ sû z = yf (x2 − y2), â f l h m sè kh£ vi Chùng minh rơng ối vợi hm số z hằ thực sau ln thäa m¢n a) x arctan y z= x 0 n¸u x 6= 0, n¸u x = b) 1 z zx + zy0 = x y y Tẳm Ôo hm riảng cừa cĂc hm số hủp sau Ơy p a) z = eu −2v , u = cos x, v = x2 + y2 b) z = ln(u2 + v2), u = xy, v = xy 2 c) z = arcsin(x − y), x = 3t, y = 4t3 Cho f l h m sè kh£ vi ¸n cĐp hai trản R Chựng minh rơng hm số w(x, t) = f (x − 3t) 2 thäa m¢n phữỡng trẳnh truyÃn sõng tw2 = xw2 Tẳm vi phƠn ton phƯn cừa cĂc hm số sau a) z = sin(x2 + y ) b) z = ln tan xy +y c) z = arctan xx − y d) u = xy z Vi»n To¡n ùng dưng v Tin håc Tr÷íng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 Tẵnh g¦n óng p b) B = (1.02)1.01 a) A = (2.02)3 + e0.03 10 Tẳm Ôo hm, Ôo hm riảng cừa cĂc hm số ân xĂc nh bi cĂc phữỡng trẳnh sau a) x3y xy3 = a4, tẵnh y0 b) x2 + y + z3 + ez = 0, t½nh zx0 , zy0 c) arctan x+y y = , a a t½nh y0 d) x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, t½nh zx0 , zy0 11 Cho h m sè ©n z = z(x, y) x¡c nh bi phữỡng trẳnh 2x2y + 4y2 + x2z + z3 = T½nh ∂z ∂z (0; 1), (0; 1) ∂x ∂y 12 Cho u = xy ++ zz , tẵnh u0x, u0y biát rơng z l hm số ân cừa x, y xĂc nh bi phữỡng trẳnh zez = xex + yey 13 Phữỡng trẳnh z2 + x2 = p y2 − z2, x¡c ành h m sè ©n z = z(x, y) Chùng minh r¬ng 1 x2 zx0 + zy0 = y z 14 T½nh c¡c Ôo hm riảng cĐp hai cừa cĂc hm số sau a) z= 1p (x + y )3 b) z = x2 ln(x + y) c) z = arctan xy 15 Tẵnh vi phƠn cĐp hai cõa c¡c h m sè sau a) z = xy3 − x2y b) z = e2x(x + y2) 16 T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau a) z = 4x3 + 6x2 − 4xy − y2 − 8x + c) z = 4xy − x4 − 2y d) z = x4 + y3 − xy 12 d) z = sin(x3 + y2) c) z = ln(x3 + y2) b) z = 2x2 + 3y2 − e−(x +y ) 2 e) z = e2x(4x2 − 2xy + y2) 17 T¼m cüc trà câ i·u ki»n z = x2 + y2 vỵi i·u ki»n 3x − 4y = 18 T¼m mët iºm thuëc elip 4x2 + y2 = cho nâ xa iºm A(1; 0) nhĐt 19 Tẳm giĂ tr lợn nhĐt v b nhĐt cõa c¡c h m sè a) z = x2 + y2 + xy − 7x − 8y h¼nh tam gi¡c giợi hÔn bi cĂc ữớng thng x = 0, y = v x + y = b) z = sin x + sin y + sin(x + y) hẳnh chỳ nhêt giợi hÔn bi cĂc ữớng thng x = 0, x = π/2, y = v y = π/2 Vi»n To¡n ùng döng v Tin hồc Trữớng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 CHìèNG ng dửng cừa php tẵnh vi phƠn hẳnh hồc ng dửng hẳnh hồc phng Viát phữỡng trẳnh tiáp tuyán v phĂp tuyán vợi ữớng cong: a) y = x3 + 2x2 − 4x − tÔi im (2; 5) b) y = e1x tÔi giao im cừa ữớng cong vợi ữớng thng y = c) x = cos t + t sin t, y = sin t t cos t tÔi im ựng vợi t = /2 Tẵnh ở cong cừa: a) y = ln(cos x) tÔi im ựng vợi x = π/4 b) ( x = t3 + y = ln(2t 1) tÔi im M (3; 0) Tẳm im M trản parabol P : y = x2 − 4x + cho ë cong cõa P tÔi M Ôt lợn nhĐt ng dửng hẳnh hồc khæng gian Gi£ sû p~(t), ~q(t), α(t) l c¡c h m kh£ vi Chùng minh r¬ng: a) d~p(t) d~q(t) d (~p(t) + ~q(t)) = + dt dt dt b) dtd (α(t)~p(t)) = α(t) d~pdt(t) + α0(t)~p(t) ÷íng cong C ữủc biu diạn bi hm vectỡ ~r(t) GiÊ sỷ ~r(t) l h m kh£ vi v ~r 0(t) luæn vuæng gõc vợi ~r(t) Chựng minh rơng C nơm trản mởt mt cƯu tƠm tÔi gốc tồa ở Viát phữỡng trẳnh tiáp tuyán v phĂp diằn cừa ữớng: a) x = a sin2 t, y = b sin t cos t, z = c cos2 t tÔi im ựng vợi t = π/4, (a, b, c > 0) √ b) x = cos t, y = sin t, z = cos2 t + tÔi im M ( 2; 2; 4) Viát phữỡng trẳnh phĂp tuyán v ti¸p di»n cõa m°t cong: a) x2 + 3y + 2z3 = tÔi im (2; 1; 1) b) z = ln(2 + 3x2 4y2) tÔi im (1; 1; 0) c) 2x2 − y2 + 2z2 = tÔi im (1; 1; 1) d) x2 + 2y3 yz = tÔi im (1; 1; 3) e) (x − 1)2 + (y − 1)2 + z2 = 25 tÔi im (4; 1; 4) Viát phữỡng trẳnh tiáp tuyán v phĂp diằn cừa ữớng: a) ( x2 + y + z = 25 3x + 4y + 5z = tÔi im (4; 3; 0) ( 2 b) 2x2 + 3y2 + z = 47 x + 2y = z tÔi im (2; 1; 6) Vi»n To¡n ùng dưng v Tin håc Tr÷íng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 CHìèNG Tẵch phƠn kp Tẵch phƠn kp Thay ời thự tỹ lĐy tẵch phƠn cừa cĂc tẵch phƠn sau a) Z c) Z √ Z √ x dx x3 π/2 Z f (x, y)dy 1+y dy sin y b) f (x, y)dx Z d) 1−y 1+ Z dy R √2 2−y dy Ry f (x, y)dx f (x, y)dx + R2 √ dy R √4−y2 f (x, y)dx Tẵnh cĂc tẵch phƠn sau RR a) x2 +x y2 dxdy, â D = {(x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 1} D b) RR c) RR d) RR p x y − x2 dxdy , e) RR f) D D (2y − x)dxdy , |x − y|dxdy , â D = {(x, y) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1} D 2xydxdy, D RR |x|+|y|1 õ D l miÃn giợi hÔn bði c¡c ÷íng cong y = x2 v y = õ D l miÃn giợi hÔn bi cĂc ÷íng y = x, x = v y = õ D giợi hÔn bi cĂc ữớng x = y2, x = −1, y = v y = (|x| + |y|)dxdy g) R1 dx R1 √ x dy +1 y5 T¼m cên lĐy tẵch phƠn toÔ ở cỹc cừa f (x, y)dxdy, â D l mi·n x¡c ành D nh÷ sau √ a) a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2 b) x2 + y2 ≥ x, x2 + y2 ≤ 2x, x ≤ y, y ≤ 3x RR c) x2 y + ≤ 1, y ≥ 0, (a, b > 0) a2 b Dòng ph²p êi bián hằ toÔ ở cỹc, hÂy tẵnh cĂc tẵch ph¥n sau √ a) RR c) RR d) RR dx D D Rx−x R √ − Rx−x2 p Rx − x2 − y dy, (R > 0) (x2 + y )dxdy , xydxdy , 1) b) RR p x x2 + y dxdy , vỵi D : x2 +y ≤ x D vỵi D := {(x, y) ∈ R2 : ≤ x2 + y2 ≤ 4, ≤ y ≤ x} vỵi D l m°t trán: (x−2)2 +y ≤ 2) D l nûa m°t trán: (x−2)2 +y2 ≤ 1, y ≥ Vi»n To¡n ùng dưng v Tin håc Tr÷íng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 e) RR |x − y|dxdy D vỵi D : x2 + y2 Chuyn tẵch phƠn sau theo hai bián u v v: a) Z ( u = x + y, dx f (x, y)dy , n¸u °t v = x − y −x Z x b) p dửng tẵnh vợi f (x, y) = (2xy)2 Tẵnh cĂc tẵch phƠn sau a) ZZ b) ZZ dxdy , (x + y )2 â ( y ≤ x2 + y ≤ 2y, √ D: x ≤ y ≤ 3x D D c) dxdy p , + x2 + y ZZ x2 xy dxdy , + y2 â D : x2 + y2 ≤ â D d) ZZ e) ZZ 2 2x ≤ x + y√≤ 12, D : x2 + y ≥ 3y, x ≥ 0, y ≥ y2 ≤ |9x2 − 4y |dxdy , â D : x4 (4xy + 3y)dxdy , â D : ≤ xy ≤ 4, x ≤ y ≤ 9x + D D ng dửng cừa tẵch phƠn kp Tẵnh diằn tẵch cừa miÃn D giợi hÔn bi cĂc ữớng Tẵnh diằn tẵch cừa miÃn Tẵnh diằn t½ch cõa mi·n T½nh di»n t½ch cõa mi·n ( y = x, y = 2x, x2 = y, x2 = 2y ( y = 0, y = 4ax, D giợi hÔn bi x + y = 3a, y ≤ 0, (a > 0) ( 2x ≤ x2 + y ≤ 4x, D x¡c ành bði ≤ y ≤ x D x¡c ành bði r ≥ 1, r ≤ √ cos ϕ Tẵnh diằn tẵch cừa miÃn D giợi hÔn bi ữớng r = a(1 + cos ϕ), (a > 0) Chựng minh rơng diằn tẵch miÃn D xĂc nh bi x2 + (αx − y)2 ≤ khæng êi ∀α ∈ R T½nh thº t½ch cõa mi·n x¡c ành bði x + y ≥ 1, x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, ≤ z ≤ − x y Tẵnh th tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi cĂc mt z = x2 y2, 2z = + x2 + y2 Vi»n ToĂn ựng dửng v Tin hồc Trữớng Ôi hồc BĂch Khoa H Nëi - 2018 T½nh thº t½ch cõa mi·n x¡c ành bði ≤ z ≤ − x2 − y2, x ≤ y ≤ √ 10 T½nh th tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi cĂc mt z v m°t ph¯ng Oxy m°t trö 4x2 + y2 = + x2 + y , 11 T½nh thº tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi mt cƯu x2 + y2 + z2 trö x2 + y2 − 2ay = 0, (a > 0) 3x = 4a2 2 v nơm mt 12 Tẵnh th tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi cĂc mt z = 0, z = xa2 + yb2 , xa2 + yb2 13 T½nh th tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi cĂc mt az = x2 + y2, z = = = 2x , (a, b > 0) a p x2 + y , (a > 0) CHìèNG Tẵch phƠn ữớng Tẵch phƠn ữớng loÔi Tẵnh Z cĂc tẵch phƠn sau: (xy + x + 2y)ds, â C l ÷íng cong x = cos t, y = sin t vỵi ≤ t ≤ π/2 C Z C Z xyds, â C l nûa ÷íng elip x4 (x − y)ds, + y = 1, y ≥ â C l ÷íng trán x2 + y2 = 2x C Z y ds, õ C l ữớng cõ phữỡng trẳnh ( x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0) C Tẵch phƠn ữớng loÔi Tẵnh Z cĂc tẵch ph¥n sau: (x2 + y2)dx + (3xy + 1)dy, â L l cung parabol y = x2 i tø O(0; 0) ¸n M (1; 1) L Z (2x − y)dx + xdy, â C l ÷íng cong ( x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), theo chi·u t«ng C cõa t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0) Z 2(x2 + y )dx + x(4y + 3)dy, õ ABCA l ữớng gĐp khúc i qua A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2) ABCA Vi»n To¡n ùng döng v Tin hồc Trữớng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 Z dx + dy , |x| + |y| õ ABCDA l ữớng gĐp khúc i qua A(1; 0), B(0; 1), C(−1; 0), D(0; −1) ABCDA Tẵnh tẵch phƠn sau Z (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy C b¬ng hai c¡ch: tẵnh trỹc tiáp, tẵnh nhớ cổng thực Green rỗi so sĂnh cĂc kát quÊ, vợi C l ữớng: a) b) x2 + y2 = 2x x2 + y = R c) xa2 + yb2 = 1, (a, b > 0) y x x2 (y + )dy − y (x + )dx 4 I x2 +y =2x I ex [(1 − cos y)dx − (y − sin y)dy], â OABO l ữớng gĐp khúc qua O(0; 0), A(1; 1), B(0; 2) I (xy + ex sin x + x + y)dx − (xy − e−y + x − sin y)dy OABO x2 +y =2x I (xy + x + y cos(xy))dx − x3 + xy − x + x cos(xy) dy, â C l ÷íng cong x = a cos t, y = a sin t, (a > 0) C 10 Dũng tẵch phƠn ữớng loÔi hai tẵnh diằn tẵch cừa miÃn giợi hÔn bi mởt nhp xycloit : x = a(t − sin t); y = a(1 − cos t) v tröc Ox, (a > 0) 11 (3;0) Z (x +4xy )dx+(6x y −5y )dy 2 (−2;−1) 12 (2;2π) Z y2 y − cos x x y y y dx+ sin + cos dy x x x (1;) 13 Tẵnh tẵch phƠn ữớng (y2 ey sin x)dx + (x2 + 2xy + ey cos x)dy, vỵi C l nûa ÷íng C p trán x = 2y − y2, i tø O(0; 0) ¸n P (0; 2) Z 14 Tẳm hơng số a, b biu thực (y2 + axy + y sin(xy))dx + (x2 + bxy + x sin(xy))dy l vi phƠn ton phƯn cừa mởt hm số u(x, y) no õ HÂy tẳm hm số u(x, y) õ 15 Tẳm hm số h(y) tẵch ph¥n Z h(y)[y(2x + y )dx − x(2x − y )dy] AB khỉng phư thc v o ÷íng i miÃn xĂc nh Vợi h(y) vứa tẳm ữủc, hÂy tẵnh tẵch phƠn trản tứ A(0; 1) án B(3; 2) Viằn ToĂn ựng dửng v Tin hồc Trữớng Ôi hồc BĂch Khoa H Nởi - 2018 CHìèNG Lỵ thuyát trữớng Tẵnh Ôo hm theo hữợng ~` cừa h m u = 3x3 + y2 + 2z3 − 2xyz tÔi im A(1; 2; 1) vợi ~` = AB, B(2; 4; 2) u tÔi im A(1; 1; 1), Cho h m sè u(x, y, z) = x3 + 3x2y + 2yz3 Tẵnh Ôo hm ~ n õ ~n l vectỡ phĂp tuyán hữợng ngoi cừa mt cƯu x2 + y2 + z2 = tÔi im A Tẵnh mổ un cừa gradu, vợi u = x3 + y + z − 3xyz, −→ tÔi A(2; 1; 1) Khi no thẳ gradu vuổng gõc vợi Oz , no thẳ gradu = 0? Tẵnh gradu, vợi vợi r = x2 + y2 + z2 Theo hữợng no thẳ sỹ bián thiản cừa hm số u = x sin z − y cos z tø gèc O(0; 0; 0) l lợn nhĐt? u = r2 + Tẵnh gõc giỳa hai vectỡ tÔi (3; 4) + ln r, r −−→ gradz p cõa c¡c h m sè z = p √ x2 + y , z = x − 3y + 3xy Trong c¡c tr÷íng vectì sau Ơy, trữớng no l trữớng thá? Tẳm hm thá v (n¸u câ) a) F~ = (x2 − 4xy)~i + (2x3 − 2z)~j + ez~k b) F~ = (yz + 1)~i + (xz + 2y)~j + (xy − 3)~k c) F~ = (x + y)~i + (x + z)~j + (z + y)~k e) F~ = (3x2 + 2yz)~i + (y + 2xz + ey )~j + (9z + 2xy)~k ~ ~ ~ d) F~ = C pxi2+ yj2+ zk2 , C 6= h¬ng sè (x + y + z )