Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ÐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS S K C 0 9 MÃ SỐ: T2014-89 S KC 0 5 Tp Hồ Chí Minh, 2014 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS Mã số: T2014-89 Chủ nhiệm đề tài: Thạc sĩ ĐỖ VĂN HIẾN TP HCM, 11/ 2014 Luan van MỤC LỤC Trang Chƣơng 01: TỔNG QUAN 01 1.1 Lý chọn đề tài 01 1.2 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 02 1.3 Nhiệm vụ giới hạn đề tài 03 1.4 Phương pháp nghiên cứu 03 1.5 Ý nghĩa thực tiễn đề tài 03 Chƣơng 02: PHƢƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC 05 2.1 Giới thiệu 05 2.2 B-Spline 06 2.2.1 Véctơ nút (Knot vectơ) 06 2.2.2 Hàm sở 07 2.2.3 Điểm điều khiển 08 2.2.4 Xây dựng đường cong B-Spline 08 2.3 NURBS 10 2.3.1 Điểm điều khiển 11 2.3.2 Hàm sở 13 2.3.3 Xây dựng đường cong Nurbs 15 2.3.4 Xây dựng mặt cong Nurbs 16 2.4 Patch Elements 16 2.5 Các phương pháp làm mịn 2.5.1 Làm mịn cách tăng điểm nút 17 2.5.2 Làm mịn cách tăng bậc 18 Chƣơng 03: VÍ DỤ SỐ 19 3.1 Giới thiệu 19 3.2 Các toán hai chiều 19 3.2.1 Bài toán Cook 19 3.2.2 Bài toán ống dày chịu áp suất 25 3.3 Kết luận 28 Chƣơng 04: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luan van 29 4.1 Kết luận 29 4.2 Kiến nghị 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 Luan van Abtract: Isogeometric analysis (IA) represents a recently developed technology in computational mechanics that offers the possibility of integrating methods for analysis and Computer Aided Design (CAD) into a single, unied process We present an introduction to IA applied to the Finite Element method (FEM) and related computer implementation aspects Isogeometric analysis was introduced by Hughes et al (2005) as a generalization of standard finite element analysis In isogeometric analysis the solution space for dependent variables is represented in terms of the same functions which represent the geometry The geometric representation is typically smooth, whereas the solution space for standard finite element analysis is continuous but not smooth Adopting the isogeometric concept has shown computational advantages over standard finite element analysis in terms of accuracy in many application areas, including solid and structural mechanics The purpose of this research is to study and demonstrate how isogeometric finite element analysis based on NURBS can be implemented into a standard finite element code for 2D elasticity problems: Cook’s problem and Circular beam The study should emphasize theory and computational formulation of isogeometric analysis as well as demonstrate how isogeometric analysis compares to standard finite element analysis when solving problems in solid and structural mechanics Luan van Chương 01: MỞ ĐẦU 1.1 - Tổng quan tình hình nghiên cứu Tình hình nghiên cứu giới CAE (Computer Aided Engineering) CAD (Computer Aided Design) xây dựng phát triển độc lập nhau, chúng khơng thật tương thích việc mơ tả hình học Điều dẫn đến số lượng lớn cơng việc trùng lắp, mơ hình CAD, sau lại mơ hình lại FEM (Finite Element Method) Phương pháp đẳng hình học (IA – IsoGeomettric Analysis) đời việc kết nối CAD FEM, cho phép mơ hình CAD sử dụng mơ hình FEM IA giới thiệu lần Giáo sư Hughes [7] Mơ hình IA xây dựng cho phép phân tích dùng chung sở với mơ hình hóa hình học Điều trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống NURBS sử dụng phần mềm CAD cho phép mơ hình hóa hình học cách xác hàm sử dụng hàm sở phân tích tính tốn IA nghiên cứu rộng rãi ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn – lỏng[7], Gần phương pháp T – Splines phát triển làm mịn phạm vi địa phương điểm điều khiển IA phát triển mở rộng để kết nối với FEM Bezier Etraction đề xuất [14], - Tình hình nghiên cứu nƣớc Trong nước nhóm nghiên cứu PGS TS Nguyễn Xuân Hùng Đại học Việt Đứcđã nghiên cứu IA có nhiều báo xuất bản[15,16,17] 1.2 Nhiệm vụ giới hạn đề tài Nhiệm vụ - Nghiên cứu phương pháp đẳng hình học dựa trích bezier - Xây dựng thuật toán - Viết code Giới hạn - Áp dụng cho số toán đàn hồi chiều tuyến tính: + Bài tốn Cook Luan van + Ống trụ tròn chịu áp suất bên Phƣơng pháp nghiên cứu: 1.3 1.4 - Phương pháp nghiên cứu ứng dụng - Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu Ý nghĩa thực tiễn đề tài - Nghiên cứu IA tính tốn thiết kế kết cấu Luan van Chương 02: PHƢƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC 2.1 Giới thiệu Thiết kế kỹ thuật ngày phức tạp(Hình 2.1) Nhà thiết kế có nhiệm vụ tạo tập tin CAD (Computer Aid Design) có định dạng thích hợp Tất tập tin tham số đầu vào cho chương trình phân tích FEA Nhiệm vụ tốn nhiều chi phí khoản 80% thời gian q trình phân tích theo nghiên cứu Michael Hardwick Robert Clay phịng SandiaNational Laboratories [7](Hình 2.2) Chúng ta cần ý phân tích phần tử hữu hạn phân tích hình học xấp xĩ, kết tạo sai số số lượng phần tử chưa đủ xấp xĩ hình học xác (Hình 2.3) Hình 2.1: Thiết kế kỹ thuật ngày phức tạp Đó lý cho đến lúc thay đổi kỹ thuật thiết kế phân tích Các nghiên cứu ban đầu chứng minh thành cơng phương pháp đẳng hình học – Hình học xác Phương pháp giới thiệu Giáo sư Thomas Hughes năm 2005 Phân tích kỹ thuật địn bẩy phân tích đẳng hình học Luan van Hình 2.2 Ước lượng thời gian phân tích tạo mơ hình FEM (a) (b) Hình 2.3 Mơ hình biên phân tích FEM (a) IA (b) 2.2 B-Splines[7,8] 2.1.1 Vectơ Knot Vectơ nút (Knot) viết dạng: Luan van 1 , , , i , , n p 1 (01) Độ dài véctơ nút: n p Với m=n+p+1: số nút véctơ (Chiều dài véctơ nút) n=(m-p-1): số điểm điều khiển p: bậc đường cong Vectơ nút tuần hồn (uniform), khơng tuần hồn (non-uniform) Ví dụ: [0 0,25 0,4 0,75 1]véctơ nút khơng tuần hồn [0 0 1 1] véctơ nút khơng tuần hồn, mở [0 0,5 1,5 2] véctơ nút tuần hoàn [-2 -1 2] véctơ nút tuần hoàn Vectơ nút gọi “mở” (open) giá trị đầu giá trị cuối lặp (p+1) lần Vectơ nút“mở” làm dạng hàm sở việc phát triển phương pháp đẳng hình học Véctơ nút có ràng buộc sau: - Có thứ tự khơng giảm i i 1 - Có giá trị giống không xuất nhiều k (=p+1) lần, nút gọi nút bội - Hàm sở Nurbs, B-Spline phụ thuộc vào véctơ nút 2.1.2 Hàm sở[7,8] Khi véctơ nút chọn, hàm sở định nghĩa dựa giải thuật Cox-de Boor - Với p=0 1 N i ,0 ( ) 0 i i 1 Luan van (02) Bảng 2.1: So sánh IA FEM[7] Phƣơng pháp đẳng hình học Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Điểm điều khiển Điểm nút Biến điểm điều khiển Biến nút phần tử (giá trị chuyển vị điểm điều khiển) (giá trị chuyển vị nút) Knots Lưới Hình học xác Hình học xấp xỉ Hàm sở NURBS Hàm sở Lagarange Hàm sở không nội suy điểm điều Hàm sở nội suy nút khiển Patch (miền) Subdomain (Miền con) Compact support Partition of Unity 2.4.5 Phƣơng pháp đẳng hình học Phần tử phân tích phần tử hữu hạn đại diện cách dùng miền chủ miền vật lý Miền hình học bậc tự xác định thông qua giá trị nút Đồng thời, hàm sở hàm nội suy có giá trị âm dương Trái lại phương pháp đẳng hình học dùng hàm NURBS làm hàm sở nội suy hai khái niệm lưới số điểm điều khiển lưới vật lý Điểm điều khiển dùng để điều khiển hình học khơng tn theo hình học thực Miền hình học bậc tự xác định thông qua điểm điều khiển Khái niệm đẳng tham số quan trọng phương pháp đẳng hình học hàm sở đặc trưng cho hình học xác Lưu đồ giải thuật cho toán số khái niệm minh họa hình 2.18 18 Luan van Hình 2.18: Lưu đồ giải thuật toán [7] cho trường hợp nhiều patch 2.4.6 Trích Bezier NURBS Để tính tốn phần tử Bezier Nurbs, sử dụng kỹ thuật phân tích Bezier Về lặp véctơ nút bên bậc đường cong 19 Luan van Nurbs Giả sử có đường cong Nurbs bậc hình 2.19 có knot véctơ 0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4 Phân tích đường cong thành phần tử Bezier ta thực sau: lặp nút phía bên knot vec tơ số bậc đường cong cách chèn nút 1, 1,2, 2, 3, 3, 4, vào knot véc tơ Hình 2.19 trình bày kết hàm sở điểm điều khiển ta chèn nút vào theo trình tự Hình 2.19 : Đường cong Nurbs bậc (a) Đường cong điểm điều khiển (b) Hàm sở đường cong 20 Luan van Hình 2.20: Trình tự thay đổi hàm sở điểm điều khiển chèn 1, 1,2, 2, 3, 3, 4, vào Hình (f) kết cuối sau chèn đánh số hàm sở Bezier - Tính tốn tốn tử trích Bezier Nurbs (Bezier extraction operator) Giả sử có đường cong B-Splines có tập hợp điểm điều khiển P Pi i 1 knot vec tơ 1 , 2 , , k , , k 1 , , n p 1 Các nút , , , m chèn n 21 Luan van vào knot vector để phân tích thành Bezier Ứng với giá trị nút j với j=1, 2, , m Chúng ta định nghĩa i j , i 1,2, , n j 1 0 2 3 3 4 Cj 0 (n j1) (n j) (12) Chúng ta viết (8) dạng ma trận đại diện cho tập hợp biến điểm điều khiển tạo thành trình chèn điểm nút P j 1 j (C j )T P với P P Tập hợp điểm điều khiển cuối P m 1 (13) P b Định nghĩa C T (Cm )T (Cm1 )T (C1 )T (14) Mối quan hệ điểm điều khiển Bezier điểm điều khiển đường cong BSplines ban đầu sau: Pb CT P (15) Chú ý: Trong trường hợp không gian chiều ma trận P có kích thước n x 2, cỡ P b (n+m) x Với n số hàm sở điểm điều khiển trước phân tích Bezier, m số điểm nút chèn Phương trình đường cong B-Spline trước phân tích Bezier dạng ma trận n C ( ) N i , p ( ) Pi PT N ( ) i 1 (16) Phương trình đường cong Bezier sau phân tích Bezier p 1 C ( ) Bi , p ( ) Pi b (Pb )T B( ) i 1 (17) Đường cong khơng thay đổi hình dáng tính chất, vế phải (16) (17) Thay (15) vào (17) (Pb )T B( ) (CT P)T B( ) PT CB( ) PT N ( ) (18) C gọi toán tử Bezier trích từ Nurbs Để tạo tốn tử này, thông số đầu vào véc tơ nút Xây dựng hàm dạng sở Nurbs 22 Luan van Hàm trọng số viết lại sau: n W ( ) N i , p ( )wi wT N ( ) wT CB( ) (C T w)T B( ) (w b )T B( ) Wb ( ) (19) i 1 Hàm sở Nurbs trở thành: R( ) WCB( ) W ( ) b (20) Trong W trọng số Nurbs Thay hàm sở (20) vào (10), ta PT R( ) 1 PTWCB( ) b (C TWP) B( ) b (W b Pb ) B( ) W ( ) W ( ) W ( ) b 23 Luan van (21) Chương 03: VÍ DỤ SỐ 3.1 Giới thiệu Trong chương tác giả trình bày sở lý thuyết phương pháp đẳng hình học khác giữ phương pháp đẳng hình học phương pháp phần tử hữu hạn Trong chương tác giả ứng dụng phương pháp đẳng hình học giải số toán đàn hồi chiều Các toán bao gồm: - Bài toán Cook – Cook’s Problem [9] - Bài tốn ống trịn chịu áp suất [9,10] Các tốn khảo sát miền đàn hồi chịu biến dạng phẳng Ngơn ngữ lập trình MATLAB[5] sử dụng để viết chương trình khảo sát tốn So sánh đánh giá kết với với lời giải giải tích 3.2 Các tốn chiều 3.2.1 Bài tốn Cook Mơ hình tốn[14] có thơng số sau: - Mô đun đàn hồi vật liệu E MPa - Tải phân bố q / 16 - Hệ số Poison / 24 Luan van Hình 3.1 : Mơ hình tốn Mơ hình lưới điểm điều khiển lưới phần tử Hình 3.2 : Mơ hình lưới toán Kết biến dạng lưới điều khiển 25 Luan van Hình 3.2 : Mơ hình lưới tốn So sánh chuyển vị FEM IA điểm C Bảng 3.1: Chuyển vị theo phương đứng điểm C tốn Cook – Lời giải giải tích =23,966 FEM – Q4 [14] IGA p=1 IGA p=2 IGA p=3 DOF Mesh Mesh Mesh vC Mesh vC vC vC 50 4x4 18,299 4x4 18.2885 2x2 23.2861 2x2 23.8547 162 8x8 22,079 8x8 22.0779 4x4 23.8397 4x4 23.9249 578 16x16 23,430 16x16 23.4303 8x8 23.9254 8x8 23.9482 2178 32x32 23,818 32x32 23.8176 16x16 23.9494 16x16 8450 64x64 23,925 64x64 32x32 3.2.2 Bài tốn ống trịn chịu áp suất bên Mơ hình tốn[14] có thơng số sau: - Mô đun đàn hồi vật liệu Plain Cacbon SteelE=21e4 MPa - Áp suất tác dụngphía thành ống p=1 MPa - Hệ số Poison =0,28 26 Luan van Hình 4.1 : Mơ hình tốn Mơ hình lưới Nurbs lưới phần tử Hình 4.1 : Mơ hình tốn Bảng 3.2 So sánh kết FEM IA ống dày chịu áp suất bên (Chuyển vị thành ống theo lời giải xác 0.926984) FEM – Q4 IA p=2 IA p=3 DOF Mesh DOF Mesh r r DOF Mesh r 162 8x8 0.9285e-5 72 50 4x4 0.9271e-5 2x2 0.9380e-5 27 Luan van 578 2178 3.3 16x16 0.9273e-5 32x32 0.9271e-5 Kết luận - 200 288 8x8 10x10 0.9270e-5 0.9269e-5 98 242 4x4 8x8 0.9285e-5 0.9269e-5 Ứng dụng lý thuyết chương 2, xây dựng chương trình phương pháp đẳng hình học để giải hai tốn ví dụ - Kết hai tốn so với kết tham khảo có sai số tương đối tốt - Trong toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết tốt FEM với số bậc tự nhỏ 28 Luan van Chương 04: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận - Đề tài hoàn thành mục tiêu đề ra: + Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier + Xây dựng thuật tốn + Viết chương trình giải số toán so sánh kết - Phương pháp đẳng hình học phương pháp xác hình học Do vậy, cho kết tốt với biên cong - Chi phí tính tốn thấp nhiều so với FEM (Bậc tự nhỏ cho kết xác hơn) 4.2 Kiến nghị - Nghiên cứu IA áp dụng cho tốn khác: phân tích giới hạn (limits load analysis), toán Composite, - Nghiên cứu T-Spline cho toán IA Kết nối CAD IA Kết nối FEM IGA 29 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, Đàn hồi Ứng dụng, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2004 [2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính tốn độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2004 [3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Phương pháp Phần tử Hữu hạn Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008 [4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dụngPhương pháp Phần tử Hữu hạn Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007 [5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2001 [6] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Nguyễn Văn Khiêm, Phương pháp phần tử hữu hạn thực hành học ,NXB Giáo dục, 2000 TIẾNG NƢỚC NGOÀI [7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward integration of CAD and FEA Wiley, 2009 [8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book(2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [9] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity(3 ed.) McGraw-Hill,New York [10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford [11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford [12] Per Ståle Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2010 30 Luan van [13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural Vibrations Master Thesis, Universit`a degli Studidi Pavia, 2005 [14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier Extraction of NURBS and T-Splines Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, 2012 [15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, Isogeometric finite element analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013 [16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi.org/10.1016/j.finel.2013.05.003, 2013 [17] Loc V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, Isogeometric approach for analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory, Composite Part B, Vol 51, p 368-383,doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.02.045, 2013 [18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, S Bordas, T Rabczuk, Isogeometric analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892–1908, 2011, Doi:10.1016/j.cma.2011.01.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011) [19] Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects Elsevier September 30, 2013 31 Luan van S K L 0 Luan van ... ra: + Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học dựa trích Bezier + Xây dựng thuật tốn + Viết chương trình giải số tốn so sánh kết - Phương pháp đẳng hình học phương pháp xác hình học Do... giả trình bày sở lý thuyết phương pháp đẳng hình học khác giữ phương pháp đẳng hình học phương pháp phần tử hữu hạn Trong chương tác giả ứng dụng phương pháp đẳng hình học giải số toán đàn hồi... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC DỰA TRÊN TRÍCH BEZIER CỦA NURBS Mã số: T2014-89
Ngày đăng: 02/02/2023, 10:12
Xem thêm:
