SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUAN HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI ‘‘ MỘT SÔ KĨ THUẬT CƠ BẢN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY GIÚP HỌC SINH LÀM CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN H[.]
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUAN HÓA TRƯỜNG THPT QUAN HÓA - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI TÊN ĐỀ TÀI “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINHBẤT GIẢIĐẲNG QUYẾT MỘT ‘‘ MỘT SÔ KĨ THUẬT CƠ BẢN TRONG THỨC GIÚP LÀMHÌNH CÁC BÀI LIÊN QUAN TẠI SỐCAUCHY BÀI TỐN CƠHỌC BẢNSINH TRONG HỌCTỐN KHƠNG GIAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN HÓA’’ TRƯỜNG THPT QUAN HÓA’’ Người thực Người thực hiện: :Lê LêVăn VănNgọ Ngọ Chức vụ :vụ Giáo viênviên Chức : Giáo SKKN mơn : Tốn SKKNthuộc thuộc mơn : Tốn THANH HĨA ,NĂM 2021 MỤC THANH HÓALỤC ,NĂM 2022 skkn DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: LÊ VĂN NGỌ Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Quan Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Sở GDĐT Thanh Hóa C 2021 MỘT SƠ KĨ THUẬT CƠ BẢN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY GIÚP HỌC SINH LÀM CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN HÓA Một số kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh làm tốn liên quan trường THPT Quan Hóa skkn PHỤ LỤC A.PHẦN MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài……………………………………….……………………02 II Mục đích nghiên cứu………………………………………………………… 02 III Đối tượng nghiên cứu……… ……………………………………………….02 IV.Phương pháp nghiên cứu…… ………………………….……………………02 B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận 04 II Cơ sở thực tiễn 04 III Biện pháp giải vấn đề 04 Bắt đầu việc tập nhìn hình…………………………………………04 Biết cách vẽ hình tưởng tượng………………………………… ….05 3.Kinh nghiệm vẽ hình xác……………………………………………… 05 4.Cách đọc đề hình khơng gian…………………………………………… 06 5.Cách ghi nhớ kiến thức hình không gian 06 Cách làm hình khơng gian……………………………………………… 07 Các dạng tốn ……………………………………………………… 07 7.1.Dạng tốn : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β)…………….…08 7.1.1.Các ví dụ minh họa…………………………………………………………09 7.2.Dạng tốn 2 : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α)…………….….10 7.3.Dạng toán : Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) .14 7.4.Dạng toán 4 : Chứng minh hai mp(α) mp(b) song song nhau………….16 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 20 II Kết luận……………………………………………………………………… 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… ……………………… 22 skkn A PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí chọn đề tài: Trường THPT Quan Hóa đóng TT Hồi Xuân, Huyện Quan Hóa , tỉnh Thanh Hóa huyện nghèo nước Phần lớn học sinh dân tộc Thái, Mường , H Mơng… điều kiện kinh tế khó khăn ảnh hưởng lớn tới chất lượng học tập học sinh Đối với em học sinh Khối 10 đa phần có điểm trúng tuyển đầu vào thấp, Em học gần hết kiến thức tảng dẫn đến việc dạy cho Em khó khăn vất vả mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng mảng kiến thức mà phần lớn học sinh ln đau đầu chán nản bỏ em nghĩ trừu tượng thiếu tính thực tế Về phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Nhằm nâng cao chất lượng học tập, tạo hứng thú, say mê cho em môn học nhà trường nói chung mơn Tốn nói riêng để phát triển phẩm chất, trí tuệ, tăng cường ý thức lực vận dụng điều học vào sống giai đoạn Từ lý chọn đề tài : ‘‘ Một số phương pháp giúp học sinh giải số tốn hình học khơng gian trường THPT Quan Hóa’’ II Mục đích nghiên cứu: Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm kĩ phương pháp chứng minh số dạng tốn quen thuộc khơng gian Học sinh hiểu đúng, suy luận logic gắn liền với thực tiễn để trình bày tốn xác hợp logic III Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp 11 ban trường THPT Quan Hóa Phạm vi nghiên cứu : “Chương : Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” IV.Phương pháp nghiên cứu skkn Phương pháp nghiên cứu lý thuyết : Gồm sách giáo khoa hình học 11 , sách tập , tài liệu tham khảo Phương pháp quan sát: Người thực đề tài tự tìm tịi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy Phương pháp trao đổi, thảo luận: Từ kết nghiên cứu, người thực đề tài tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài Phương pháp thực tập sư phạm: Giáo viên tiến hành dạy thực nghiệm theo phương pháp nghiên cứu đề tài trường THPT Quan Hóa Phương pháp điều tra: Giáo viên tập áp dụng để kiểm tra đánh giá kết sử dụng phương pháp Cho học sinh viết ý kiến cách làm mà em hay sử dụng cho toán tổng hợp dao động B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Khi giải toán chứng minh quan hệ song song toán liên quan cần ý : đọc kĩ đề , phân tích giả thiết , kết luận, vẽ hình Ngồi ta cần nắm vững kiến thức hình học phẳng, cách tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, giao tuyến hai mặt phẳng, cách hứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng II CƠ SỞ THỰC TIỄN Trong trình giảng dạy tơi thấy đa số học sinh gặp khó khăn việc vẽ hình , việc gắn giả thiết vào hình để chứng minh, học sinh cịn lúng túng phân dạng toán chứng minh quan hệ song song toán liên quan Qua kiểm tra đánh giá , đa phần học sinh không làm , em chưa vận dụng tính chất hình học phẳng vào hình học khơng gian Bên cạnh em chưa xác định động học tập III BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hình khơng gian chương học địi hỏi trí tưởng tượng tư cao chướng ngại vật nhiều học sinh Bài số phương pháp giúp học học chương trở nên dễ dàng Bắt đầu việc tập nhìn hình skkn Từ tập hình học phẳng, bạn lại làm quen với hình học khơng gian Sự biến chuyển làm bạn cảm thấy xa lạ khó tiếp thu Đối với bạn khơng liên tưởng tốt họ chẳng nhìn khối hình góc cạnh Đừng sợ "thua sút" khơng có khiếu tưởng tượng Hãy nhìn thật lâu, thật nhiều khối hình vẽ sách, bạn tự nhìn vào đề vẽ Đó bước khởi đầu quan trọng Khi học học hình khơng gian liên tưởng đến ví dụ thực tế xung quanh bạn.Ví dụ học bài số hình khơng gian, nói đến hình hộp chữ nhật bạn liên tưởng đến hộp diêm, hình lập phương liên tưởng đến rubic ; học quan hệ vng góc, nhìn vào phịng học để đưa ví dụ: chân bàn vng góc với mặt bàn, mặt bảng vng góc với trần nhà Biết cách vẽ hình tưởng tượng Trước hết cần biết cách vẽ hình, hình sai khơng thể làm Nhìn vào hình cần phải biết tưởng tượng Điều tưởng khó, thực chất lại dễ thường xuyên rèn luyện: vẽ đường nét đứt bị khuất, vẽ nét liền nhìn thấy Một ý nhỏ vẽ hình bút chì, sau tơ lại bút mực; để tránh trường hợp vẽ bút mực từ đầu, sai xóa 3.Kinh nghiệm vẽ hình xác Khi vẽ hình chóp, nên để mặt đáy mỏng dẹt Mặt đáy q lớn khiến hình khơng "thật", bạn khó nhìn. Khi đáy hình vng, hình chữ nhật, hình thoi vẽ đáy hình bình hành. Đừng thể chi tiết lên hình, dễ rối. Vẽ hình khơng gian cần lưu ý vẽ xác đường cắt nhau, đường song song ý cho nét đứt tốt Với bài, bạn nên vẽ nhiều hình Đừng chăm chăm vào hình "bó tay" việc tìm phương án giải Vẽ cho chi tiết thể rõ skkn đáy mặt bên Đừng vẽ vào mặt khuất Đừng nên chăm chăm vào góc nhìn, thử góc nhìn khác để có phương án giải dễ với phức tạp 4.Cách đọc đề hình khơng gian Đề bài hình khơng gian thường ngắn gọn Nhưng nội dung đáng giá Chẳng hạn như, "cho hình chóp cạnh a" bạn có kiến thức liên quan như: cạnh nhau, chân đường cao trùng với tâm đáy, mặt bên nhau, góc hợp cạnh bên với đáy Liệt kê thông tin đề cho Đề yêu cầu chứng minh gì, suy ngược lại từ kiến thức có Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vng góc với dựa vào lý thuyết, từ tìm kiện một, chắp nối lại 5.Cách ghi nhớ kiến thức hình khơng gian Các kiến thức hình khơng gian liên hệ chặt chẽ với Ví dụ để chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ta thường đưa chứng minh đường thẳng với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta cần chứng minh đường thẳng vng góc với hai đường thuộc mặt phẳng Vì vậy, học lý thuyết sau ta cần phải ghi nhớ kiến thức trước Để ghi nhớ khối kiến thức này, bạn nên tự vẽ sơ đồ tư cho mình: phương pháp hình vẽ Việc tự vẽ sơ đồ tư kích thích trí tưởng tượng khả ghi nhớ cho bạn Cách làm hình khơng gian Vẽ hình thật xác ( đơi cần vẽ hình xác bạn tìm câu trả lời cho mình) Đề yêu cầu nhớ lại phương pháp học từ vận dụng để làm Khi cần thiết, vẽ lơi mặt ngồi mặt phẳng vẽ xác tỉ lệ kiện đề để dễ dàng chứng minh tính tốn Các dạng tốn 7.1.Dạng tốn : Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) skkn Phương pháp : Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) ta thực bước sau : Cách : Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng + Bước : Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng ( Chú ý : Để tìm điểm chung hai mặt phảng ta tìm hai đường thẳng đồng phẳng nằm hai mặt phảng Giao điểm có hai đường thẳng điểm chung cần tìm hai mặt phẳng) + Bước : Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng : Dựa vào định lý sau: * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu * Hệ quả: Nếu thì thì Định lí : (SGK trang 61) Nếu * Hệ : Nếu thì a // b thì a // d skkn * Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu thì Nhận xét : Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điển chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm ngồi mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) mp(SAC) mp(SBD) b) mp(SAB) mp(SCD) c) mp(SEF) mp(SAD) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Với câu c GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ hai mp(SAC) mp(SBD) Mặt khác : mp(SAC) mp(SBD) ; (1) suy F điêm chung thứ hai hai (2) Vậy giao tuyến cần tìm đường thẳng qua hai điểm SF b) mp(SAB) mp(SCD) Ta có S điểm chung thứ hai mp(SAB) mp(SCD) skkn Xét hai đường thẳng AB CD thuộc mặt phẳng (ABCD) Gọi E = AB∩ CD đó : chung thứ hai cần tìm ; suy E điểm Vậy giao tuyến cần tìm đường SE c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD N Xét hai mp(SAD) (SEF) có: Ta có S điểm chung thứ , mặt khác ; suy N điểm chung thứ hai cần tìm Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAB) (SDC) Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ Suy ra b) Ta có S điểm chung thứ Lại có thì Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (JAD) b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến mp(IBC) (DMN) Lời giải: a) Ta có: ; skkn suy I điểm chung thứ hai mặt phẳng tương tự ta có : ; suy J điểm chung thứ hai Vậy giao tuyến hai mặt phẳng cần tìm đường thẳng IJ b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN E Vậy E điểm chung hai mp(IBC) (DMN). (1) Trong mp(ABD) có : BI cắt DM F Vậy F điểm chung hai mp(IBC) (DMN). (2) Từ (1) (2) ta có : EF = (IBC) ∩ (DMN) 7.2.Dạng tốn 2 : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) Hình 8 Hình Phương pháp : Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp(α). (hình 8) Tóm tắt : Nếu thì A = d ∩ (α) * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp(b) chứa d cho mp(b) cắt mp(α) - Tìm giao tuyến a hai mp(α) mp(b). (hình 9) * Nhận xét : Vấn đề tốn xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp(b) cho phù hợp với yêu cầu tốn trường hợp đường thẳng a chưa có hình vẽ Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB AD cho .Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) 10 skkn Nhận xét : - HS dễ dàng phát đường thẳng a đường thẳng BD - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song Lời giải : Trong DABD có : và Gọi , suy IJ khơng song song BD .Vậy K = IJ Ç (BCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Không nhìn đường thẳng nằm mp(SAC) để cắt BM. - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM mp(SBD) xác định giao tuyến mp (SBD) (SAC). Câu b) 11 skkn - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp(SBC) để cắt IM. - GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp(IJM) Có mp chứa SC? - GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi Lời giải: a) Ta có BM ⸦ (SBD) Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ nhất (1) Gọi O = AC ∩ BD suy ra O điểm chung thứ hai (2) Từ (1) (2) ta có : SO = (SAC) ∩ (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM ∩ (SAC) b) Ta có IM⸦ (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD ∩ BC nên E điểm chung thứ hai SE = (SAD) ∩ (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM ∩ (SBC) c) Ta có SC ∈ (SBC) . Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM) ∩ (SBC) Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC ∩ (IJM) Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền của DSCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) 12 skkn c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P đường thẳng SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) Lời giải : a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD N b) Trong mp(ABCD), ta có: AC ∩ BD = O c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO I Mà SO ⸦ (SAC) và I = BM ∩ (SAC) d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI P Mà AI ⸦ (ABM) và P = SC∩ (ABM) Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD K e) Ta có : (ABM) ∩ (ABCD) = AB, (ABM) ∩ (SBC) = BP (ABM) ∩ (SCD) = PK , (ABM) ∩ (SAD) = KA Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài tập rèn luyện : Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) 13 skkn Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong DSBC lấy điểm M, trong DSCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN). Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) Bài 4: Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD) Trên đoạn AB lấy điểm M ,Trên đoạn SC lấy điểm N (M, N khơng trùng với đầu mút). a) Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) 7.3.Dạng toán : Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61) Tóm tắt: Nếu thì d // (α) Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) Lời giải: a) Ta có : 14 skkn suy ra A điểm chung (AB’C’) (ABC) Mà nên (AB’C’) ∩ (ABC) = Ax và Ax // BC // B’C’ b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình của DCB’A’) Mặt khác IH (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trọng tâm của DABD và DACD Chứng minh rằng : a) MN // (BCD) b) MN // (ABC) Lời giải : a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong DABD ta có: (M trọng tâm DABD) Trong DACD ta có: (N trọng tâm DACD) Vậy Mà EF ⸦ (BCD) suy ra MN // (BCD) b) Trong DBCD có : EF đường trung bình suy ra EF // BC => MN // EF // BC => MN // (ABC) Ví dụ 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm của DABD và DABE 15 skkn Chứng minh : MM // (CEF) Lời giải: a) Ta có : OO’ // DF (OO’ đường trung bình DBDF ) Mà DF ⸦ (ADF) => OO’ // (ADF) Ta có : OO’ // CE (OO’ đường trung bình DACE ) Mà CE ⸦ (BCE) => OO’ // (BCE) b) Gọi H trung điểm AB Ta có : => MN // DE mà DE = (CEFD) ∩ (CEF) Vậy MN // (CEF) 7.4.Dạng toán 4 : Chứng minh hai mp(α) mp(b) song song * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt : Nếu thì (P) // (Q). * Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng a, b nào ? Nằm mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề tốn Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) Lời giải : Trong DSCD có MN đường trung bình => MN // SD mà SD ⸦ (SAD) MN // (SAD). (1) Trong DSAC có MO đường trung bình => MO // SA mà SA ⸦ (SAD) 16 skkn => MO // (SAD). (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Ví dụ 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh rằng: a) mp(ADF) // mp(BCE) b) mp(DEF) // mp(MM’N’N) Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo. Lời giải: a) Ta có: AF // BE ⸦ (BCE) AD // BC ⸦ (BCE) => AF AD song song với mp(BCE) mà AF, AD ⸦ (ADF) Vậy : (ADF) // (BCE) b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF => MM’ // EF ⸦ (DEF). (*) Mặt khác : MM’ // CD NN’ // AB Mà AM = BN, AC = BF (**) Từ (1), (2) (3) Mà MM’, M’N’⸦ (MM’N’N) (***) Từ (*), (**), (***) => (DEF) // (MM’N’N) 17 skkn Ví dụ 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mp(BDA’) (B’D’C) song song b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ B’D’C Lời giải: a) Ta có: Ta có : b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành AA’C’C Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’ ∩ A’O ; G2 = AC’ ∩ CO’ => G1 , G2 lần lượt trọng tâm DAA’C CC’A’ => A’G = 2G1O và CG2 = 2G2O’ (*) Xét hai DBDA’ B’D’C có A’O CO’ hai trung tuyến nên từ (*) suy G1 , G2 lần lượt trọng tâm DBDA’ và DB’D’C Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA a) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (MBC) Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBE) Tìm giao điểm BE với (SAC) b) Xác định thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC 18 skkn a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng (SBD) b) Gọi I giao điểm AM DN Chứng minh SI // (ABCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC a) Tìm giao tuyến mp(ABM) mp(SBD) b) Gọi N giao điểm SD với mp(ABM).Chứng minh MN // mp(SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O a) Xác định giao tuyến mp ( SAB ) (SCD) Gọi I trung điểm SA , tìm giao điểm IC mp(SBD) b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N hai điểm hai cạnh SA , SB cho AM = 2SM 3SN = SB a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) b) Chứng minh MN song song với mp(SCD) Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD cạnh đáy không song song Gọi M điểm nằm mặt phẳng (SCD) a) Tìm giao tuyến hai mặt (SAB) (SCD) b) Tìm thiết diện mặt phẳng (P) qua M song song với CD SA Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Trên hai cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N cho: a)Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : (SAC) (SBD) ; (ADN) (SBC) b) Chứng minh MN // (SCD) Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ 19 skkn ... ĐẲNG THỨC CAUCHY GIÚP HỌC SINH LÀM CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TẠI TRƯỜNG THPT QUAN HÓA Một số kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh làm toán liên quan trường THPT Quan Hóa skkn PHỤ LỤC A.PHẦN... cường ý thức lực vận dụng điều học vào sống giai đoạn Từ lý chọn đề tài : ‘‘ Một số phương pháp giúp học sinh giải số tốn hình học khơng gian trường THPT Quan Hóa? ??’ II Mục đích nghiên cứu: Qua... GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hình khơng gian chương học địi hỏi trí tưởng tượng tư cao chướng ngại vật nhiều học sinh Bài số phương pháp giúp học học chương trở nên dễ dàng Bắt đầu việc tập nhìn hình skkn