Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Trần Thị Loan Hà Nội – 2020 luan an LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan kết luận án “Đa tạp quán tính số lớp phương trình tiến hóa” cơng trình nghiên cứu riêng tác giả, hoàn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Trần Thị Loan Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác mà tác giả biết Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Bùi Xuân Quang luan an LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) TS Trần Thị Loan (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn mình, người tận tình chu đáo cơng tác hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận án Tác giả vơ biết ơn TS Trần Thị Loan nhiều giúp đỡ để tác giả trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, tác giả vô biết ơn người hướng dẫn thứ – Thầy Thiệu Huy – người mang lại cho tác giả đời sống tinh thần đời sống toán học đầy tuệ giác Cảm ơn Thầy tiếp nhận từ tác giả vừa tốt nghiệp đại học, hướng dẫn luận văn cao học, đặt toán cho luận án tiến sĩ, đồng thời truyền cảm hứng dẫn dắt tác giả vượt qua nhiều khó khăn nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications” điều hành PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy tạo cho tác giả môi trường học thuật nghiêm túc sôi động Tác giả cảm ơn thành viên seminar, đặc biệt TS Trịnh Viết Dược ThS Lê Anh Minh, nhiều thảo luận hữu ích để tác giả hồn thiện luận án Tác giả đặc biệt cảm ơn TS Vũ Thị Ngọc Hà động viên PGS.TS Đỗ Đức Thuận bước đầu hợp tác nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập Tác giả biết ơn GS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Trần Đình Kế, PGS.TS Lê Văn Hiện giảng viên anh chị em nghiên cứu sinh Bộ mơn Giải tích, luan an Khoa Tốn – Tin có nhiều động viên góp ý quan trọng cho luận án Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến nhà khoa học hội đồng đánh giá luận án cấp, đặc biệt phản biện phản biện độc lập, đọc thảo có ý kiến vơ q báu để tác giả hoàn thiện luận án Cảm ơn nhà khoa học, đồng nghiệp quan viết nhận xét tóm tắt luận án cho tác giả Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu – Trường Đại học Hải Phòng, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Khoa học tự nhiên, Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng, nơi tác giả luận án cơng tác, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ biết ơn ThS Đỗ Thị Hoài, người giới thiệu tác giả đến làm việc với nhóm nghiên cứu PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Trong trình làm nghiên cứu sinh, tác giả có nhiều trao đổi hữu ích với GS.TS Nguyễn Văn Minh GS.TS Ricardo Rosa (tác giả báo Rosa R & Temam R [61]) Tác giả xin bày tỏ cảm ơn họ Cảm ơn GS.TS Bùi Xuân Hải, TS Bùi Anh Tuấn thảo luận động viên trình làm nghiên cứu sinh tác giả Tác giả biết ơn hỗ trợ giúp đỡ người bạn Nguyễn Dương Toàn, Nguyễn Trung Thành, Nguyễn Văn Đoài, Nhung Hoàng Tác giả xin dành phần luận án để tưởng nhớ đến ông Phạm Minh Đức, người thân đặc biệt, đồng thời người bạn lớn, người đồng hành đầy cảm thông với tác giả thời gian đầu làm nghiên cứu sinh Tác giả dành tặng luận án cho mẹ, người thầy mơn tốn tác giả Đồng thời, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn vơ hạn đến bố mẹ gia đình, người ln bên cạnh chia sẻ khó khăn sống luan an MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh sách kí hiệu Mở đầu Lý chọn đề tài Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích – Đối tượng Phạm vi Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tốn tử 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.2.1 Tốn tử xác định dương có phổ rời rạc 1.2.2 Tốn tử quạt Nửa nhóm giải tích 1.2.3 Kết bổ trợ 1.3 Không gian hàm chấp nhận 9 11 19 21 21 22 24 24 28 28 29 35 36 Đa tạp qn tính lớp phương trình parabolic ứng dụng 2.1 Mơ hình cạnh tranh với khuếch tán chéo: Toán tử quạt đặt toán 2.2 Đa tạp quán tính lớp phương trình parabolic với tốn tử quạt 2.2.1 Phương trình Lyapunov-Perron 2.2.2 Sự tồn tính nghiệm luan an 42 43 49 49 50 2.2.3 Sự tồn đa tạp quán tính Ứng dụng vào mơ hình cạnh tranh với khuếch tán chéo Tính quy đa tạp quán tính Điều khiển phản hồi hữu hạn chiều lớp phương trình phản ứng-khuếch tán thơng qua lý thuyết đa tạp qn tính 2.5.1 Hệ vịng hở 2.5.2 Động lực mong muốn 2.5.3 Các toán tử điều khiển đầu vào đầu 2.5.4 Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều 2.5.5 Đa tạp quán tính hệ vịng kín 75 76 78 79 79 80 Đa tạp quán tính lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn 3.1 Đặt toán 3.2 Phương trình Lyapunov-Perron 3.3 Sự tồn tính nghiệm 3.4 Sự tồn đa tạp quán tính 3.5 Ứng dụng vào phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán 86 86 90 95 97 107 Đa tạp qn tính lớp phương trình trung tính 4.1 Đặt tốn 4.2 Phương trình Lyapunov-Perron 4.3 Sự tồn tính nghiệm 4.4 Sự tồn đa tạp quán tính 4.5 Một ví dụ minh họa 110 110 114 118 122 133 Kết luận Kiến nghị Các kết đạt Đề xuất số hướng nghiên cứu 136 136 137 Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 138 Tài liệu tham khảo 139 Chỉ mục 147 2.3 2.4 2.5 luan an 53 60 67 đạo hàm riêng hàm DANH SÁCH KÍ HIỆU X, (X, k · k) E không gian hàm chấp nhận không gian hàm số liên tục Ω C(Ω) k C (Ω) Cβ |u| Cβ A D(A) Aβ Xβ := D(Aβ ) P , Pn Q, Qn λk , e k e−tA t>0 ω0 s(A) không gian hàm số khả vi liên tục cấp k Ω C [−h, 0], D(Aβ ) chuẩn Cβ , xác định supθ∈[−h,0] ku(t + θ)kXβ tốn tử tuyến tính miền xác định tốn tử A lũy thừa phân thứ (với β ∈ [0, 1)) miền xác định lũy thừa phân thứ Aβ phép chiếu Q := I − P , Qn := I − Pn , giá trị riêng, vector riêng thứ k nửa nhóm sinh tốn tử tuyến tính −A cận tăng trưởng nửa nhóm e−tA t>0 cận phổ toán tử A phổ toán tử A σ(A) Tℓ−1 , không gian Banach/Hilbert với chuẩn k · k Tr−1 G(t, τ ) distXβ kΛ1 ϕk∞ L1,loc (R) Df (t, u) Lip(f ) SMea(J, X) nghịch đảo trái, phải toán tử T hàm Green nửa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn Xβ Rt supt∈R t−1 ϕ(τ )dτ khơng gian hàm số khả tích địa phương R đạo hàm theo u f : R × Xβ → X, (t, u) 7→ f (t, u) hệ số Lipschitz ánh xạ f : R × Xβ → X tập hợp hàm h : J → X đo mạnh luan an MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, q trình phản ứng-khuếch tán, mơ hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, mơ tả phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu điều kiện biên phù hợp Bằng cách chọn không gian hàm tốn tử tuyến tính thích hợp, phương trình đạo hàm riêng viết lại dạng phương trình tiến hóa khơng gian Banach (xem, chẳng hạn, [27, 70, 76, 78]) Việc xem xét phương trình tiến hóa khơng gian trừu tượng cho phép sử dụng công cụ tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm Một vấn đề trung tâm lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô lớn Đây việc làm quan trọng cho phép người ta hiểu sâu sắc trình biến đổi vật chất theo thời gian Từ đó, đưa ước lượng đánh giá quy mô hệ thống tương lai Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có bước đột phá lớn Foias C., Sell G.R & Temam R [28, 29] giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính năm 1985 nghiên cứu phương trình Navier-Stokes Về khía cạnh tốn học, đa tạp qn tính đa tạp trơn (tối thiểu đa tạp Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, hút cấp mũ tất nghiệm phương trình tiến hóa điều kiện xét Tính chất cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian vô hạn chiều cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh khơng gian hữu hạn chiều Do đó, đối tượng hữu ích Tiếng Anh: inertial manifolds luan an 10 việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vơ hạn chiều Về khía cạnh vật lý, Temam R [71] viết: “From the physical point of view an inertial manifold is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow In this sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling of turbulence.” Kể từ đó, đa tạp qn tính phương trình tiến hóa dạng du + Au = F, t > 0, dt (1) u(0) = u0 ∈ X, A tốn tử tuyến tính khơng gian Banach vô hạn chiều, số hạng phi tuyến F (có thể phụ thuộc vào trạng thái/lịch sử/thời gian) liên tục Lipschitz có hệ số Lipschitz số nghiên cứu cách hệ thống (xin xem chi tiết Tổng quan vấn đề nghiên cứu) Năm 2012, Nguyen T.H [49] xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính du + Au = f (t, u), t > s, dt (2) u(s) = us , s ∈ R, tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp không gian Hilbert tách vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A tốn tử sinh nửa nhóm, số hạng phi tuyến f (t, u) có hệ số Lipschitz ϕ(t) (Nguyen T.H [49] gọi ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, mà khơng gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q nhiều không gian hàm khác thường gặp lý thuyết nội suy Điều kiện ϕ-Lipschitz số hạng phi tuyến tổng quát so với cơng trình trước đây, mà người ta thường giả thiết phần phi tuyến liên tục Lipschitz Để lí giải tính tự nhiên việc xét số hạng phi tuyến hàm số ϕ-Lipschitz, ta xét mơ hình Fisher-Kolmogorov mơ tả lan truyền Tạm dịch: “Từ quan điểm vật lý, đa tạp quán tính luật tương tác liên quan đến dịng xốy nhỏ lớn dịng chảy cuộn xoáy Theo nghĩa này, đặc điểm kỹ thuật đa tạp qn tính tương đương với mơ hình cuộn xốy.” luan an ... cứu đa tạp quán tính phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần Khái niệm đa tạp quán tính mở rộng chứng minh tồn cho nhiều lớp phương trình tiến hóa ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính. .. BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA... xấp xỉ thơng qua đa tạp quán tính luan an 17 2.2 Các lớp phương trình tiến hóa luận án Trong luận án này, nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa dạng nửa tuyến tính, phần tuyến tính tốn tử sinh