Phòng Giáo Dục & Đào Tạo

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2013 2014 MÔN THI TOÁN Ngày thi 24/04/2014 Thời gian 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề th[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 24/04/2014 Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức sau: a) b) 2) Tìm x, biết: Câu 2: (4,5 điểm) 1) Tìm , biết: 2) Tìm chữ số x, y cho 3) Tìm số nguyên a, b biết rằng: Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) số nguyên tố 2) Cho Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b 3) Tìm phân số tối giản cho lớn cho chia phân số ta kết số tự nhiên Câu 4: (5,0 điểm) 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M N, cho OM = 3cm ON = 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox, cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh 2014 đỉnh Câu 5: (2,0 điểm) 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: Chứng minh rằng: 2) Tìm tất số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, S(n) tổng chữ số n Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Câu Giám thị 2: Nội dung cần đạt 1) a) (1,5đ) b) (1,5đ) (4,5đ) 2) (1,5đ) 1) (1,5đ) 2) (1,5đ) (4,5 đ) Do 3) (1,5đ) nên Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4) Do nên 2a – Ư(14) = Vì 2a – lẻ nên 2a – Từ tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1) 1) (1,0đ) (4,0 đ) Để (n +3)(n + 1) số nguyên tố hai thừa số n + n + phải Mà n + > n + Suy n + = Khi n + = số nguyên tố Vậy n = (n + 3)(n + 1) số nguyên tố 2) (1,5đ) Ta có: n = (vì a + b < 19) Mà a – b = nên a + b > Do a + b = 12 Kết hợp với a – b = 6, suy a = 9, b = 3) (1,5đ) Ta có: Tương tự: Để số lớn a = ƯCLN(14; 16) = Và b = BCNN(75; 165) = 825 Vậy (5,0 đ) P O M N P x 1) (1,5đ) a) Do M, N thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm hai điểm O N Vậy MN = 4(cm) b) (1,5đ) TH1: Nếu P nằm M N M nằm O P OP = OM + MP OP = + = 5(cm) TH2: Nếu Nếu P nằm O M OM = OP + PM = OP + OP = 1(cm) c) (1,0 đ) M nằm O P OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm O N suy OP + PN = ON + PN = PN = 2(cm) Do đó: MP = PN, mà P nằm M N nên P trung điểm MN 2) (1,0 đ) Cách 1: Với n điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Nối điểm với cho ta đoạn thẳng Chọn đoạn thẳng ta n – tam giác Có đoạn thẳng n – điểm lại, đoạn thẳng nên có tam giác Tuy nhiên tam giác tính ba lần( Chẳng hạn: ) Do số tam giác tạo thành là: Áp dụng với n = 2014 số tam giác tạo thành là: Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có (n -1) cách chọn, đỉnh C có (n -2) cách chọn Như có: n(n – 1)(n – 2) tam giác Nhưng tam giác tính lần ( ) Do số tam giác có là: 1) (1,5đ) Ta có Suy ra: Đặt M = Ta có: Do đó: 2) (1,5 đ) Nếu n số có chữ số S(n) (2,0 đ) Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( không thỏa mãn ) Mặt khác n nên n số có chữ số Vậy n số có chữ số, suy S(n) 9.4 = 36 Do n 2014 – 36 = 1978 Vì 1978 n 2014 nên n = n = * Nếu n = Ta có: + (1 + + a + b) = 2014 11a = 104 – 2b * Nếu n = 104 – 2.9 = 86 , mà (thỏa mãn) Ta có: + (2 + + c + d) = 2014 Và 11c 12, nên c = c = + Với c = d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn) + Với c = 2d =1 ( khơng thỏa mãn) Vậy n nên a = ... có tam giác Tuy nhiên tam giác tính ba lần( Chẳng hạn: ) Do số tam giác tạo thành là: Áp dụng với n = 2014 số tam giác tạo thành là: Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách