Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi HSG Toán 8 THCS Nguyễn Trường Tộ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học 2022 – 2023 Ngày thi: 28/12/2022 Mơn: Tốn - Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài (5,0 điểm) x2 y2 − x y2 x +y − + − với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ −y x x + xy xy xy + y x + xy + y a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P = b) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức 2x + y + 2xy = 2(8x + 5y − 17) c) Với x, y thỏa mãn thêm điều kiện x + y ≤ 2x y Tìm giá trị lớn P Bài (3,0 điểm) 3 a) Chứng minh x + y + z = x + y + z = 3xyz b) Cho số nguyên a,b, c thoả mãn (a − b )3 + (b − c )3 + (c − a )3 = 360 Tính giá trị biểu thức A = a − b + b − c + c − a Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n + 14 n − 113 số phương 2) Cho đa thức P (x ) = x + ax + b , a, b số nguyên Biết đa thức A(x ) = x +2x + B(x ) = 2x −x + 4x + x + 12 chia hết cho P (x ) Tính P (2) Bài (7,0 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh AE ⊥ BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng 1 + = MC ME MP d) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Bài (1,0 điểm) Trên bàn có 29 viên bi Hai bạn A B chơi trò chơi nhặt bi luân phiên Lần lượt người nhặt lần, lần phải nhặt không viên viên Ai người nhặt phải viên bi cuối người thua cuộc, người lại người thắng Cho A người nhặt bi trước Hãy chiến thuật để bạn A người thắng c) Gọi P giao điểm DF MC Chứng minh -Hết Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng máy tính tài liệu - Cán coi thi không giải thích thêm./ ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác mà trình lời giải đúng, cho điểm tối đa Trường hợp học sinh làm cách khác mà không kết cuối cùng, giáo viên lời giải học sinh điểm theo bước lời giải học sinh./ Bài Ý Nội dung – Đáp án Rút gọn biểu thức P P = a xy(x − y ) − (x − y )(x + y )2 x +y − x xy(x + y ) x + xy + y Điểm 2,00 0,50 = (x − y )(x + xy + y ) x +y + x xy(x + y ) x + xy + y 0,50 = x −y + x xy 0,50 = x +y xy 0,50 Tính giá trị biểu thức P 1,50 2x + y + 2xy = 2(8x + 5y − 17) 0,50 (x + y − 5) + (x − 3) = Bài (5,0đ) b x = (tmđk) y = x +y 3+2 = = xy 0,50 Tìm giá trị lớn P 1,50 P = Từ x + y ≤ 2x y c a 1 + ≤ 2 x y 1 1 Ta có: ≤ + ; ≤ + x 2x y y Suy ra: P = Bài (4,0đ) 0,50 1 1 1 + ≤ + + + P ≤ x y 2x y 0,50 0,50 Khi x = y = (tmđk), P = Vậy GTLN P 0,50 3 Chứng minh x + y + z = x + y + z = 3xyz 1,00 Từ x + y + z = z = −(x + y) 0,50 3 3 3 x + y + z = x + y − (x + y) = −3xy(x + y) 3 Suy x + y + z = 3xyz 0,50 Tính giá trị biểu thức A = a − b + b − c + c − a 2,00 Đặt a − b = x ; b − c = y; c − a = z x + y + z = 0,50 3 Theo câu a), ta có: x + y + z = 3xyz b Ta có: x + y + z = 360 ⇔ xyz = 120 0,50 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz = 120 = (−3).(−5).8 { } nên x , y, z ∈ −3; −5; 0,50 Từ A = x + y + z = 16 0,50 Tìm số tự nhiên n để n + 14 n − 113 số phương 2,00 Đặt n + 14 = a 2, n − 113 = b 2, (a, b ∈ ℕ, a > b ) 0,50 2 Suy ra: a − b = 127 hay (a − b)(a + b) = 127 a − b = Do a, b ∈ ℕ, < a − b < a + b nên a + b = 127 1,00 a = 64, b = 63 Bài (4,0đ) Từ đó, n = 4082 0,50 Tính P(2) 2,00 Đặt C (x ) = B(x ) − 2A(x ) = −x + x − 0,50 Khi đó, C(x) chia hết cho P(x) Đặt D(x ) = A(x ) + x C (x ) = 3x − 6x + = 3(x − 2x + 3) 0,50 Khi đó, D(x) chia hết cho P(x) Vậy 3(x − 2x + 3) chia hết cho P (x ) = x + ax + b 0,50 Từ đó, tìm P (x ) = x − 2x + P (2) = 0,50 Chứng minh AE ⊥ BC 2,50 C D Chứng minh ∆AME = ∆CMB 1,00 Suy C1 = A1 0,50 Mà C + B = 900 a H E F 1 A B M 0,50 +B = 900 A 1 = 900 Do đó: AHB 0,50 hay AE ⊥ BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi O giao điểm AC BD C D 2,00 Xét ∆AHC vng C,có: 0,50 OC = OH = OA H O Bài (7,0đ) F E b Từ đó: OD = OM = OH Do ∆DHM vuông H 1 A B M 0,50 Suy DHM = 90 = 900 Chứng minh tương tự FHM 0,50 Từ DHM + FHM = 1800 hay D, H, F thẳng hàng 0,50 Chứng minh 1 + = MC ME MP 1,50 MP phân giác góc vng DMF Dựng hình vng PIJM với I thuộc DM J thuộc MF C D c Khi đó: P H O DM = 2MC , MF = 2ME J I A 0,5 F E M B PI = PJ = MP (1) S ∆DMF = S ∆DMP + S ∆PMF 1 DM MF = PI DM + PJ MF 2 (2) 0,50 Từ (1), (2) suy ra: 1 1 2MC 2ME = MP 2MC + MP 2ME 2 2 2MC ME = MP MC + MP ME hay 1 + = MC ME MP Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định K P H O 1,00 Gọi K giao điểm DF AC.Gọi Q hình chiếu K AB C D 0,50 F E d AC // MF (cùng vng góc với MD) mà O trung điểm MD nên K trung điểm DF 0,50 Do KQ đường trung bình hình thang ABFD A QK = Q M B AD + BF AM + BM AB = = 2 Do A, B cố định nên Q cố định, mà QK không đổi nên K cố định 0,50 Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định K điểm M di động đoạn thẳng AB Bài (1,0đ) Hãy chiến thuật để bạn A người thắng 1,00 Chiến thuật chơi sau: A người nhặt trước viên Khi số viên cịn lại 26 Nếu B người chọn k viên (1 ≤ k ≤ ) , An chọn – k 0,50 viên Vì ≤ k ≤ ≤ − k ≤ nên số cách chọn An hợp lệ Với cách chọn vậy, ta gọi vịng Sau vịng có viên bi lấy Sau vòng, viên đến lượt B chọn Vậy B người thua phải chọn viên cuối 0,50 ... + xy + y 0,50 = x −y + x xy 0,50 = x +y xy 0,50 Tính giá trị biểu thức P 1,50 2x + y + 2xy = 2(8x + 5y − 17) 0,50 (x + y − 5) + (x − 3) = Bài (5,0đ) b x = (tmđk) y = x +y 3+2 = = xy... 3xyz b Ta có: x + y + z = 360 ⇔ xyz = 120 0,50 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz = 120 = (−3).(−5) .8 { } nên x , y, z ∈ −3; −5; 0,50 Từ A = x + y + z = 16 0,50 Tìm số tự nhiên n để n + 14 n − 113... Do a, b ∈ ℕ, < a − b < a + b nên a + b = 127 1,00 a = 64, b = 63 Bài (4,0đ) Từ đó, n = 4 082 0,50 Tính P(2) 2,00 Đặt C (x ) = B(x ) − 2A(x ) = −x + x − 0,50 Khi đó, C(x) chia hết cho P(x)