Untitled Giáo viên Nguyễn Chí Thành CHÙM BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN ÔN THI VÀO 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Cho ;O R và điểm M nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông góc[.]
CHÙM BÀI TỐN TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN ƠN THI VÀO 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Cho O; R điểm M nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến MB với đường trịn, dây BC vng góc OM H B O H I M C 1) Chứng minh OH OM R Vì MB tiếp tuyến O BM OB OBM vuông B, BH đường cao Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OBM : OM OH OB R 2) Chứng minh MB MC , HB HC Xét hai tam giác vuông OHB OHC có OB OC R , OH chung COH BOH Từ OHB OHC 2cgv HB HC Từ suy OMB OMC c g c MB MC 3) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn OBM 900 CM tiếp tuyến O Do OMB OMC OCM Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường trịn, tìm tâm đường trịn B O H M I C MCO 1800 MBOC nội tiếp, tâm nằm trung điểm OM Chỉ MBO 5) Bài thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC Chứng minh BC OM B O M H C + Lập luận MB MC M nằm trung trực BC , OB OC O nằm trung trực BC Vậy OM trung trực BC OM BC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM đường cao + Hoặc MB MC MO phân giác góc BMC MBC OM BC biết OM R 6) Tính OH , HM , MB, MC , góc BMC B O M H C Chỉ OB OH OM R OH R OH R R 3R HM OM OH R 2 Tính BM OM OB R MC MB R sin BMO OB 300 BMC 2.BMO 600 BMO OM 7) Cho CM R Tính diện tích COBM 1 4R Vì OBM OCM SOBMC 2S OCM .OC.CM .R R ( đơn vị diện tích) 2 3 Giáo viên: Nguyễn Chí Thành I tâm đường tròn nội tiếp 8) Gọi giao OM với O I Chứng minh BI phân giác góc MBC MBC (Đề đổi thành: Chứng minh M thay đổi, tâm đường trịn ngoại tiếp MBC ln nằm đường tròn cố định – chứng minh I cách cạnh BM , CM , BC ) B O H I M C Cách 1: Do MC , MB hai tiếp tuyến cắt M MO phân giác góc BMC 1 IBM 900 OBI HIB 900 IBM BI phân giác góc CBM 2 HBI Ta có: HBI HIB OBI , OI OB R Từ 1 I tâm đường tròn nội tiếp BCM Cách 2: Do MC , MB hai tiếp tuyến cắt M MO phân giác góc BMC 1 BI COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung CI Ta có: BOM CBI sdCI IBM BI phân giác góc CBM 2 Mà CBI sd BI IBM Từ 1 I tâm đường tròn nội tiếp BCM 9) Chứng minh IH HB IM BM B O H I M C HI BH ( tính chất phân giác) Xét BHM có BI phân giác góc HBM IM BM 10) Tìm vị trí điểm M để BI MC ( CI MB ) , để BI CM CBM cân B CB BM Vì BI phân giác góc CBM Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 600 BOC 1200 BOM 600 Mà BM CM BCM tam giác nên BMC Ta có: cos BOM OB OB OM 2R OM cos BOM Vậy để BI CM M O; R 11) Từ điểm A cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O Tiếp tuyến cắt MB, MC A1 , A2 Chứng minh chu vi MA1 A2 không đổi độ lớn góc A1OA2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A A di chuyển cung nhỏ BC B A1 A O M A2 C MB MC Ta có: A1B A1 A ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) A A A C 2 Chu vi MA1 A2 là: MA1 MA2 A1 A2 MA1 MA2 A1 A AA2 MA1 A1 A MA2 AA2 MA1 A1B MA2 CA2 MB MC 2MB không đổi A di chuyển cung nhỏ BC 1 1 1 khơng đổi Ta có: A1OA2 A1OA AOA2 BAO AOC BOC 1800 BMC 2 2 A1OA2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A Vậy chu vi tam giác MA1 A2 độ lớn góc 12) Cho R 3cm, OM 6cm Tính số đo góc A1OA2 B A1 A O M A2 C Trong tam giác vng BMO ta có: Ta có: A1OA2 1800 BMC sin BMO OB 300 BMC 600 BMO OM Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 600 Do A1OA2 1800 BMC 13) Gọi giao OA1 OA2 với BC A3 A4 Chứng minh A2 A3 OA1 A1 A4 OA2 ( câu hỏi liên quan đến ba đường cao OA1 A2 chứng minh tứ giác OCA2 A3 OBA1 A4 A3 A4 A2 A1 tứ giác nội tiếp) B A1 A3 O A M A4 A2 C BOC ( góc tâm góc nt) mà BCA Ở em chứng minh A1OA2 BOC 2 Suy A1OA2 BCA Từ suy tứ giác OCA2 A3 tứ giác nội tiếp nên OA A2 OCA2 90 BOC tứ giác OBA A nội tiếp nên Chứng minh tương tự: A1OA2 CBA OA A1 OBA1 90 A1 A4 OA2 600 , gọi giao OA OA với BC A A Tính tỉ số A1 A2 14) Cho góc BMC A3 A4 B A1 A3 O A M A4 A2 C 1200 Đầu tiên em tính góc BOC Ở em chứng minh tứ giác OCA2 A3 nội tiếp nên OA C OA3C OA2 A OA3C A2 A1 OA3 ( OA C OA2 A tính chất tt cắt nhau) Từ suy OA3 A4 ∽ OA2 A1 A3 A4 OA2 OA3 OA3 Do OA3 A2 vuông A3 A3OA2 BOC 600 nên cos A3OA4 cos 600 OA2 OA2 2 Giáo viên: Nguyễn Chí Thành Vậy A2 A1 OA3 A3 A4 OA2 600 OA1 BC A3 Chứng minh AA AA BA CA 15) Cho góc BMC OA2 BC A4 B A1 A3 O A M A4 A2 C Chỉ A1 BA3 A1OA2 A2CA4 600 A1 BA3 ∽ A4OA3 g g A B BA A1 BA3 ∽ A4CA2 Chỉ A4C CA2 A4OA3 ∽ A4CA2 g g A1B A1 A A A BA AA1 AA2 BA3 CA4 Mà A4C AA2 CA2 AA2 16) Từ điểm A cung nhỏ BC kẻ AR, AT , AY vng góc với CB, BM , CM R , T , Y 600 Tính góc TRY ( chứng minh góc TRY khơng đổi chứng minh Cho góc BMC BMC ) TRY B T A R M O Y C 1 Chỉ ATBR, AYCR tứ giác nội tiếp nên ( góc nt góc tâm) ART ABT BOA 1 1 1 600 Và ARY ACY AOC TRY ART ARY BOA AOC BOC 1800 BMC 2 2 17) Chứng minh AR AT AY B T A R M O Y C Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AYR ACR ABT ART ARY ∽ ATR g g Chỉ góc ARY ACT ABC ATR Suy AR AY AR AT AY AT AR 18) Tìm vị trí điểm A để AT AR AY đạt giá trị lớn AT AY đạt giá trị lớn B T A R M O Y C + Ta có: AT AY AR Do AT AY đạt giá trị lớn AR lớn nhất, suy ARmax AI A I + Ta có: AT AY AR AT AY AR AR Do AT AR AY đạt giá trị lớn AR lớn nhất, suy ARmax AI A I ( với I OM O ) 19) Gọi RT AB A5 , RY AC A6 Chứng minh tứ giác AA5 RA6 nội tiếp A5 A6 RA ( A5 A6 / / BC ) B T A5 R O A H M A6 Y C ARA5 ABT ACB Chỉ ARA6 ACY ABC Suy A5 AA6 A5 RA6 A5 AA6 A5 RA ARA6 A5 AA6 ACB ABC 1800 Suy tứ giác AA5 RA6 nội tiếp A A / / BC A A AR Vì tứ giác AA5 RA6 nội tiếp nên A6 A5 A A6 RA ACY CBA 6 Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 20) Cho A, B, Y thẳng hàng, kéo dài A5 A6 BM R1 Chứng minh BR1 A6 R hình bình hành ( khai thác yếu tố hình bình hành này) B R1 T A5 H O M A R A6 Y C Ở em A5 A6 / / BC Mặt khác: ABT ACB AYR RY / / BM Từ suy BR1 A6 R hình bình hành 21) Chứng minh TR TB RY RC B T A R O M Y C Chỉ AYR ACR ABT ART AYR ART 900 ART TRB RYC Mà TRB AYR RYC 90 TBR RCY RCY RYC RY RC Mặt khác TB TR TRB 22) Chứng minh tia đối tia AR phân giác góc TAY B T O y A R M H Y C Gọi Ay tia đối tia AR TAy Chỉ tứ giác BTAR nội tiếp nên CBT YAy Mà C Ay phân giác góc TAY Chỉ tứ giác CYAR nội tiếp nên BCY BT BCY Giáo viên: Nguyễn Chí Thành AB RT A5 23) Gọi Gọi O4 đường tròn qua điểm ATA5 , O5 đường tròn qua điểm AC RY A6 AYA6 A7 giao điểm thứ hai O4 O5 , H trung điểm BC Chứng minh A7 , A, H thẳng hàng B T A5 O R A8 H A6 O4 A7 A M O5 Y C Gọi A8 giao A7 A với A5 A6 H giao A7 A với BC Chỉ A5 A6 A BCA A6YA A5 A6 tiếp tuyến O5 Từ A8 A62 A8 A A8 A7 Chứng minh tương tự : A8 A5 A BCT A5TA A8 A5 tiếp tuyến O4 suy A8 A52 A8 A A8 A7 Từ suy A8 A62 A8 A52 A8 A5 A8 A6 A8 trung điểm A5 A6 + Do A5 A6 / / BC A5 A8 A6 A8 AA8 H B H C H trung điểm BC H H H B H C AH Vậy A7 , A, H thẳng hàng 1200 Gọi giao OA OA với BC A A Tìm vị trí điểm A cung nhỏ 24) Cho góc BOC BC để diện tích tam giác OA3 A4 bé tìm giá trị bé ( tìm vị trí điểm A để diện tích OA1 A2 bé độ dài A1 A2 bé nhất) B B A1 A3 R O A1 T A3 A M A4 O A H A4 A2 Y A2 C Ta có: OA3 A4 ∽ OA2 A1 theo tỉ số K Giáo viên: Nguyễn Chí Thành C OA3 cos A3OA2 cos 600 OA2 M Suy S OA3 A4 S OA2 A1 = S OA2 A1 S OA3 A4 = 4 Do SOA3 A4 nhỏ S OA2 A1 nhỏ R Mà S OA2 A1 OA A1 A2 A1 A2 nhỏ A1 A2 nhỏ 2 Mà A1 A2 nhỏ A OM O Khi OAB tam giác nên OH HA R OM R Các em tính BC BH R AM OM OA R Ta có: A1 A2 AM AA R R A1 A2 R BC MH R Khi S OA2 A1 Nên S OA3 A4 = R R R R A1 A2 2 3 S OA2 A1 R2 12 25) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt MB, MC O1 O2 Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MO1O2 bé O1 B O M C O2 Xét MO1O2 có: OM vừa đường cao, vừa đường phân giác nên MO1O2 cân M Suy S MO1O2 S MOO1 OB.O1M R.O1 M Mặt khác O1M O1 B BM O1 B.BM OB R R Dấu xảy O1 B BM O1OM vuông cân nên OM R Vậy S MO1O2 R điểm M nằm cách O khoảng OM R 26) Chứng minh ba tam giác O1 A1O ∽ A1OA2 ∽ O2OA2 O1 A1 O2 A2 O2O O1O 1 1 1 Ta có: A1OA2 A1OA AOA2 POA AOC BOC 1800 M 2 2 Giáo viên: Nguyễn Chí Thành ... minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường trịn B O H M I C MCO 1800 MBOC nội tiếp, tâm nằm trung điểm OM Chỉ MBO 5) Bài thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến MB, MC Chứng... 11) Từ điểm A cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn O Tiếp tuyến cắt MB, MC A1 , A2 Chứng minh chu vi MA1 A2 không đổi độ lớn góc A1OA2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A A di chuyển... Từ 1 I tâm đường tròn nội tiếp BCM Cách 2: Do MC , MB hai tiếp tuyến cắt M MO phân giác góc BMC 1 BI COM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung CI Ta có: