The Format of the IJOPCM, first submission Received 26 November 2021; Accepted 14 February 2022 Vol 2 (2) (2021) Measurement, Control, and Automation Website https // mca journal org ISSN 1859 0551 Mô[.]
Vol (2) (2021) Measurement, Control, and Automation Website: https:// mca-journal.org ISSN 1859-0551 Mơ hình hố ổ đỡ từ có cấu trúc nguyên khối Modelling of Non-laminated magnetic bearings Lê Ngọc Hội1, 2, Phạm Hữu Luân2, Nguyễn Quang Địch1, Nguyễn Tùng Lâm1* Đại học Bách Khoa Hà Nội Đại học Cơng Nghiệp TP Hồ Chí Minh * Corresponding author E-mail: lam.nguyentung@hust.edu.vn Abstract Eddy currents are generated in a nonlaminated geometry axial magnetic bearing actuator by a time-varying magnetic field Therefore, it has a great influence on the dynamics and control design of nonlaminated electromagnetic suspension systems this paper, the approximate formula of effective air element reluctance is given close to the original formula, there by providing a more accurate mathematical model In particular, the author has provided a nonlinear dynamical model on the time domain of the nonlaminated geometry magnetic bearing Keywords: Axial magnetic bearing, Nonlaminated geometry, Air gap element, Effective Reluctance, Nonlinear dynamic model, Fractional-order systems nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối Ký hiệu Symbols Ri0 , Rg0 Units A/Wb Description Từ trở tĩnh PT sắt PTKK Ri , Rg A/Wb Từ trở gần PT sắt PTKK Các từ viết tắt PT PTKK TThongcx TThonggd Phần tử Phần tử khơng khí Từ thơng cơng thức xác Từ thơng cơng gần Tóm tắt Dịng điện xốy tạo cấu chấp hành ổ đỡ từ dọc trục cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng xoay chiều vào hai đầu cuộn dây stator Do dịng điện xoáy ảnh hưởng lớn đến động lực học thiết kế điều khiển cấu chấp hành ổ từ dọc trục cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng xoay chiều vào hai đầu cuộn dây stator Trong báo nhóm tác giả đưa cơng thức gần từ trở hiệu dụng phần tử không khí tiến gần với cơng thức xác so với cơng trình cơng bố trước đây, từ đưa mơ hình tốn học xác so với trình cơng bố Đặc biệt nhóm tác giả đưa mơ hình động lực học tuyến tính phi tuyến miền thời gian ổ từ dọc trục cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng xoay chiều vào hai đầu cuộn dây stator Từ tạo tiền đề cho Received: 26 November 2021; Accepted: 14 February 2022 Giới thiệu Ổ đỡ từ nghiên cứu cho nhiều ứng dụng cơng nghiệp khoa học, bao gồm máy móc có cấu chuyển động [1], [2], băng tải kim loại [3], quy trình phủ kim loại [4], quang khắc [5], hệ thống servo công cụ [6] Mạch từ (stator rotor) ổ đỡ từ thường ghép thép kỹ thuật để giảm tổng hao dịng xốy có từ thơng biến thiên trong vật liệu sắt từ Tuy nhiên, ổ từ dọc trục số ứng dụng cấu chấp hành thường cấu tạo nguyên khối Đặc biệt, yêu cầu độ bền học nên đĩa quay ổ từ dọc trục thường cấu tạo nguyên khối Ngồi ra, mối quan tâm chi phí nên cấu chấp hành ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối Trong ứng dụng ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng xoay chiều vào hai đầu cuộn dây, dòng xoáy ảnh hưởng sâu sắc đến hoạt động cấu chấp hành phải xem xét mơ hình hóa hệ thống thiết kế điều khiển Cơng trình mơ hình tốn học ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối thực Zmood [7], người trình bày mơ hình tốn học cho ổ từ hình C cấu tạo ngun khối có tỷ lệ chiều rộng lớn so với chiều cao Cơng trình thứ hai động lực học ổ đỡ cấu tạo nguyên khối trình bày Feeley Ahlstrom [15], tác giả đưa động lực học miền thời gian Một cơng bố mơ hình hóa cấu chấp hành hình C cấu tạo nguyên khối trình bày Feeley [9] Mặc dù mơ hình tốn học đưa [7], [9] 18 Measurement, Control, and Automation [15] đơn giản Tuy nhiên, độ xác cơng bố Lý ba báo, tác giả giả định mật độ từ thông mặt cắt ngang khe hở không khí giống mật độ từ thơng tiết diện phần sắt từ Đây giả định cho phân tích tĩnh khơng cho trường hợp cấp dịng xoay chiều vào đầu cuộn dây sinh dịng điện xốy Kucera and Ahrens [11], tác giả trình bày kết phân tích mơ tả mối quan hệ dịng điện-lực tương ứng stator hình trụ hình chữ C Tuy nhiên tác giả cho mật độ từ thông khe hở khơng khí khơng phụ thuộc vào tần số trường điều hòa Hơn nữa, tham số d (độ dày phần chia nhỏ cấu chấp hành) mơ hình tốn học phân tích phải xác định từ kết thực nghiệm, không tương ứng với hình dạng vật liệu cấu chấp hành Do đó, kết khơng phù hợp với việc tối ưu hóa thiết kế cấu chấp hành ổ từ dọc trục Tác giả [14] đưa mơ hình tốn học ổ từ dọc trục hình C cấu tạo nguyên khối tương đối hoàn chỉnh Tuy nhiên cơng thức tính gần từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí đưa biểu thức tiến sát với cơng thức xác ban đầu so với công bố [14] Hơn mô hình động lực học tuyến tính phi tuyến miền thời gian tác giả trước chưa đưa Trong báo nhóm tác giả trình bày phương pháp để đưa cơng thức gần từ trở hiệu dụng phần tử không khí đưa sát với cơng thức xác ban đầu Đồng thời nhóm tác giả đưa mơ hình động lực học dạng tuyến tính phi tuyến miền thời gian, tạo tiền đề để áp dụng phương pháp điều khiển phi tuyến cho ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối Theo tác giả [14] từ trở hiệu dụng mạch từ chia thành phần thể hình bao gồm: Từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí từ trở hiệu dụng phần tử sắt từ Từ trở hiệu dụng phần tử Theo [14] xấp xỉ (1) ta từ trở hiệu dụng gần đúng: Theo [14], [16]-[18] ta có ổ từ dọc trục hình C cấu tạo nguyên khối thể hình Hình 2: Mạch từ tương đương ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối Trong đó: Ri : Từ trở hiệu dụng phần tử sắt từ Rg : Từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí NI : Sức từ động Փ : Từ thông Đối với tổng trở hiệu dụng xác phần tử khơng khí theo [14] xác định sau: Rg = g o 4a tanh( b) m 2 b1/ 1 + 3/ tanh( 1n a) 1 n =1 (2n − 1)1n Rg1 = Rg0 + k1 s (1) (2) Trong đó: b 32b a k1 = − a a 2b r 0 (3) s=jω toán tử laplace Trong [14] cho việc tính đạo hàm Bảng 1: Thơng số cấu chấp hành ổ từ dọc trục hình C Ký hiệu σ a b c h N zo 10 µr µo I Mô tả thông số Độ dẫn điện sắt 1/2 Chiều rộng cực từ 1/2 Chiều cao cực từ Chiều rộng cấu chấp hành Chiều dài cấu chấp hành Số cuộn dây Khoảng cách khe hở khơng khí danh định Độ từ thẩm tương đối Độ từ thẩm chân khơng Dịng điện d 12 công thức mở rộng Taylor Pade Rg = Rgo + Hình 1: Ổ từ hình C cấu tạo nguyên khối STT d Rg Giá trị 2.5x106 S/m 7.5 mm 2.5 mm 20mm 30mm 1200 0.2mm 5000 4πx10-7 T.m/A 10A 1 = d Rg d12 12 1 =0 khó khăn số phần tử m tổng 21b1/2 3/2 tanh( 1n a) mẫu (1) tăng nên [14] n=1 (2n − 1)1n m lấy m=1 Trong báo nhóm tác giả sử dụng phần mềm Maple để tính đạo hàm m=2, … d Rg d 12 số phần tử 1 = Measurement, Control and Automation 19 Xét trường hợp m=2 tổng mẫu (1) là: 21b1/ 3/ n =1 (2n − 1)1n m 21b1/ 3/ 11 Rg = Rg0 + k2 s tanh( 1n a) 21b1/ tanh( 1n a) + 3/ 12 Trong đó: tanh( 12 a) (4) Xét trường hợp m=3 tổng mẫu (1) là: 21b1/ 3/ n =1 (2 n − 1)1n m (5) 21b1/ tanh( 1n a) 3/ 11 3 a 2 a 15616 15616e b b b − − 384 e + 384 e + b 81 81 b k2 = + 6a r 0 3 a e b + 1 a 21b1/ tanh( 1n a) + 3/ 12 21b1/ tanh( 12 a) + 3/ 13 (6) tanh( 13 a) (7) Kết công thức gần từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí: 243215552 2b a 243215552 5b a 146015552 6b a 48815552 7b a e + e − e + e + − 253125 253125 253125 253125 x 93440 3 a 93440 4 a 146015552 a 48815552 eb − eb + eb − Rg = Rgo + s = Rgo + k3 s 81 253125 253125 81 r b2 b + 7 a 6 a 5 a 2 a a 6 5a (−e b + e b − e b − e b + e b − 1) 6a 243215552 2b a 243215552 5b a 146015552 6b a 48815552 7b a e + e − e + e + − 253125 253125 253125 253125 x 93440 3 a 93440 4 a 146015552 a 48815552 b b b e − e + e − Trong đó: k3 = 81 253125 253125 81 r b b + 7 a 6 a 5 a 2 a a 6a b b b b b a ( − e + e − e − e + e − 1) (8) (9) Sai số từ trở phần tử khơng khí cơng thức xác (1) so với giá trị gần xác định sau: e1 = Rg − Rg1 , e2 = Rg − Rg , e3 = Rg − Rg (10) Từ tác giả tiến hành chạy mô ta đồ thị từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí ban đầu giá trị từ trở hiệu dụng gần tương ứng với m=1, 2, thể hình 3-4 sai số từ trở phần tử hiệu dụng khơng khí cơng thức xác so với giá trị từ trở hiệu dụng gần tương ứng với m=1, 2, ta kết hình 5-6 Hình 4: Pha từ trở hiệu dụng PTKK cơng thức xác cơng thức gần m=1, 2, Hình 3: Biên độ từ trở hiệu dụng PTKK công thức xác, cơng thức gần m=1, 2, Công thức gần từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí: 20 Measurement, Control, and Automation Ri ( s ) = Ri0 + li s 4(a + b) r 0 (15) Rg ( s) = Rg0 + k s Ri0 = li r 0 A Rg0 = , (16) g , 0 A li = 2c + 2h (17) Mơ hình động lực học 3.1 Mơ hình tuyến tính a Mơ hình tốn học cực từ Hình 5: Biên độ sai số từ trở hiệu dụng PTKK cơng thức xác so với công thức gần m=1, 2, Theo [14], [16]-[18] lực điện từ miền tần số cực từ cấu tạo nguyên khối cấp dịng điện xoay chiều vào đầu cn dây stator là: R0 R0 F ( s) = Ki I ( s ) + K z Z ( s ) (18) R +k s R +k s Biến đổi tương đương (18) trở thành (19): k s F ( s) = Ki I ( s) + K z Z ( s) (19) R0 Biến đổi laplace ngược (19) ta (20): k d 1/2 F (t ) (20) F (t ) + = Ki i + K z z R dt1/2 Theo định luật Newton II ta có phương trình động lực mơ tả cực từ: d 2z (21) m = F (t ) − mg + f z dt Từ (21) F(t) vào (20) ta được: d z km d 5/2 z k d 1/2 ( f z ) m + 5/2 − = Ki i + K z z − mg + f z dt R dt R dt1/2 (22) Biến đổi tương đương (22) ta được: d z Ki K k d 5/2 z k d 1/2 ( f z ) f z (23) = i + z z − g − 5/2 + + dt m m R dt mR dt1/2 m Trong đó: f z nhiễu bên ngồi m khối lượng đĩa quay (rotor) li = 2h + 2c chiều dài đường từ trường sắt từ k xác định (14) hệ số dịng xốy li R0 = g + tổng từ trở tĩnh 0 A r F (s) + Hình 6: Pha sai số từ trở hiệu dụng PTKK biểu thức xác so với cơng thức gần m=1, 2, Từ (1) theo phương pháp xấp xỉ ta nhận thấy giá trị gần lớn giá trị xác nên kết sai số ln mang giá trị âm điều kiểm chứng kết mơ hình 5-6 Do số phần tử m lớn tổng mẫu (1) lớn từ trở hiệu dụng nhỏ, dẫn đến sai số nhỏ sai số tiến dần Vì giá trị gần tiến dần giá trị xác (1) Từ ta được mơ hình tốn học xác mơ hình tốn học mà tả giả trước đưa Từ tổng từ trở hiệu dụng mạch từ là: l 2g R( s ) = Ri ( s ) + Rg ( s) = i + +k s r 0 A 0 A (11) Trong đó: Ki = - Đối với trường hợp số phần tử mẫu (1) m=1: k = 2k1 + li 4(a + b) r 0 (12) - Đối với trường hợp số phần tử mẫu (1) m=2: li k = 2k + 4(a + b) r 0 (13) - Đối với trường hợp số phần tử mẫu (1) m=3: k = k3 + li 4(a + b) r 0 k1, k2 k3 : xác định theo (3), (6) (9) (14) N io o A ( R ) hệ số tỉ lệ với dòng điện Nio Kz = hệ số tỉ lệ với độ dịch chuyển ( R ) o A Xét trường hợp 1: Khơng có nhiễu bên ngồi (23) trở thành: d z Ki Kz k d 5/2 z (24) = i + z − g − dt m m R dt 5/2 Xét trường hợp 2: Nếu nhiễu số (23) trở thành: d z Ki Kz k d 5/2 z (25) = i + z − g − + fz dt m m R dt 5/2 m Measurement, Control and Automation Từ (23) ta biến đổi tương đương thành: d z Ki K k d 5/2 z k d 1/2 ( f z ) = i + z z − g − 5/2 + + fz dt m m R dt mR dt1/2 m (26) = f ( z) + g ( z).i + d ( z) Trong đó: K K f ( z) = z z − g , g ( z) = i m m k d 1/2 ( f z ) k d 5/2 z d ( z) = f z + − 5/2 m mR dt1/2 R dt Vậy (26) động lực học tuyến tính tổng quát miền thời gian cực từ cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng xoay chiều vào đầu cuộn dây stator Trong đó, k xác định (14) hệ số biểu thị ảnh hưởng dịng xốy Khi k=0 mơ hình tốn học trở thành trường hợp cấu chấp hành ổ từ cấu tạo xếp lớp Cũng phương trình (26) ta thấy động lực học có chứa đạo hàm cấp phân số 5/2 đối tượng bên đạo hàm cấp phân số 1/2 nhiễu bên ngồi, dạng mơ hình tốn học tương đối b Mơ hình tốn học cặp cực từ Xét trường hợp cặp cực từ có cấu trúc hình Hình 7: Cấu trúc hệ thống ổ từ dọc trục cấu tạo nguyên khối Theo (20) ta có phương trình lực từ miền thời gian cực từ phía trên: k d 1/2 F1 (t ) (27) F1 (t ) + = Ki i + K z z R dt1/2 Đối với cực từ phía ta có lực điện từ miền tần số: R0 R0 F2 ( s) = − K i I ( s ) − K z Z ( s) (28) R +k s R +k s Tương tự ta có phương trình lực từ miền thời gian cực từ phía dưới: k d 1/2 F2 (t ) (29) F2 (t ) + = − Ki i − K z z R dt1/2 Theo định luật Newton II ta có phương trình động lực mơ tả cực từ: d 2z (30) m = −Cz + F1 (t ) − F2 (t ) − mg + f z dt Từ (27), (29) (30) ta suy phương trình: 21 mz = Ki i + K z z − Cz − Ck d 3/2 z km d 5/2 z − − mg R dt 3/2 R dt 5/2 (31) k d 1/2 ( f z ) + + fz R dt1/2 Biến đổi tương đương (31) ta được: Ki 2K z C Ck d 3/2 z k d 5/2 z z= i+ z− z− − −g m m m mR dt 3/2 R dt 5/2 (32) k d 1/2 ( f z ) f z + + mR dt1/2 m Xét trường hợp 1: Khơng có nhiễu bên ngồi (32) trở thành: Ki 2K z C Ck d 3/2 z k d 5/2 z (33) z= i+ z− z− − −g m m m mR dt 3/2 R dt 5/2 Xét trường hợp 2: Nếu nhiễu số (32) trở thành: Ki 2K z C Ck d 3/2 z k d 5/2 z f z= i+ z− z− − 5/2 − g + z (34) 3/2 m m m mR dt R dt m Từ (32) ta biến đổi tương đương thành: Ki 2K z C Ck d 3/2 z k d 5/2 z z= i+ z− z− − −g m m m mR dt 3/2 R dt 5/2 (35) k d 1/2 ( f z ) f z + + = f ( z ) + g ( z ).i + d ( z ) mR dt1/2 m Trong đó: C: Hệ số giảm chấn đĩa quay 2K z Ki f ( z) = z − g, g ( z) = m m C Ck d 3/2 z k d 5/2 z k d 1/2 ( f z ) f z d ( z) = − z − − + + m mR0 dt 3/2 R dt 5/2 mR dt1/2 m Vậy (35) động lực học tuyến tính tổng quát miền thời gian ổ từ dọc trục (1 cặp cực từ) cấu tạo nguyên khối hoạt động cấp dòng điện xoay chiều vào hai đầu cuộn dây stator Trong đó, k xác định (14) hệ số biểu thị ảnh hưởng dịng xốy Khi k=0 mơ hình tốn học trở thành trường hợp cấu chấp hành ổ từ cấu tạo xếp lớp Cũng phương trình (35) ta thấy động lực học có chứa đạo hàm cấp phân số 3/2, 5/2 đối tượng bên đạo hàm cấp phân số 1/2 nhiễu bên ngoài, dạng động lực học tương đối 3.2 Mơ hình phi tuyến Như ta biết [14], [16]-[18] đưa mơ hình tốn học dạng tuyến tính miền tần số, mơ hình tốn học dạng phi tuyến tác giả chưa đưa Trong báo tác giả trình bày phương pháp xác định mơ hình tốn học ổ từ cấu tạo ngun khối hình C dạng phi tuyến miền tần số miền thời gian Xét trường hợp cực từ: Ta có từ thơng xác định theo công thức sau: N I ( ) = Rg ( s) + Ri ( s) (36) Kết mơ matlab (36) cơng thức xác từ trở hiệu dụng Ri(s) Rg(s) xác định theo cơng thức xác [14] cơng thức gần từ trở hiệu dụng Ri(s) Rg(s) xác định theo công thức gần [14] thể hình 8-11 Kết mơ cho 22 Measurement, Control, and Automation thấy đường từ thông công thức gần tiến sát với đường từ thơng cơng thức xác Hình 11: Pha sai số từ thơng biểu thức xác Hình 8: Biên độ từ thơng cơng thức xác cơng thức gần biểu thức gần Từ hình 10-11 chúng tơi nhận thấy sai số từ thơng tính theo cơng thức xác từ thơng tính theo cơng thức gần nhỏ giá trị sai số mang giá trị dương tức giá trị từ thông công thức gần nhỏ giá trị từ thơng cơng thức xác Giá trị sai số cực đại emax=9.5x10-5 Wb, giá trị nhỏ emin=6x105 Wb Điều nói lên cơng thức gần từ thông tiến sát với công thức xác từ thơng Lực từ tính theo công thức: 2 N 2I 0 r2 AN I (38) F ( ) = = = 2 0 A 0 A ( R ( s ) ) ( l + 2 g ) + A.k s ( Hình 9: Pha từ thơng biểu thức xác biểu thức gần Ta có cơng thức tính sai số từ thơng xác từ thơng gần tính sau: e = cx ( ) − gd ( ) (37) Trong đó: cx ( ) : Từ thơng tính theo cơng thức xác gd ( ) : Từ thơng tính theo cơng thức gần Từ ta tiến hành mơ sai số ta kết hình 10-11 Hình 10: Biên độ sai số từ thơng biểu thức xác biểu thức gần i r r ) Nhận thấy phương trình (38), k hệ số biểu thị ảnh hưởng dịng xốy Khi k=0 mơ hình tốn học trở thành trường hợp cấu chấp hành ổ từ cấu tạo xếp lớp Đặt: B = o r2 AN I , E = li + r g (39) (40) D = k o r A, g = zo z Khi (38) trở thành: B B (41) F (s) = = 2 E + ED s + D s E+D s ( ) E F ( s) + ED s F ( s ) + D sF ( s ) = B (42) Biến đổi laplace ngược vế phương trình (42) ta (coi B, D, E số): d 1/2 F (t ) dF (t ) (43) E F (t ) + ED + D2 = B (t ) 1/2 dt dt Nhận thấy phương trình (43) phương trình có chứa đạo hàm cấp phân số lực theo thời gian Đây dạng mơ hình tốn học mà chưa có cơng trình cơng bố ổ đỡ từ Trong hệ số B tỉ lệ thuận với bình phương dòng điện, E phụ thuộc vào khoảng cách dịch chuyển so với vị trí cân bằng, D số Xét trường hợp cặp cực từ thể hình 7: Từ mơ hình động lực học cực từ (43) ta suy mơ hình động lực cặp cực từ viết sau: di1 2( zo − z ) Ri1 iv 2( zo − z )u1 (44) =− + + dt N o A zo − z N o A di2 2( zo + z ) Ri2 iv 2( zo + z )u2 (45) =− + + dt N o A zo + z N o A v= dz dt (46) Measurement, Control and Automation d 2z = ( F1 − F2 − mg + f z ) dt M d 1/ F1 D dF1 B1 =− − F1 + A1 1/ 2 B1 dt D dt d 1/ F2 D dF2 B2 =− − F2 + A2 B2 dt D dt1/ Trong đó: r N I12 A1 = , B1 = (li + 2r ( zo − z )) 2k (li + 2r ( zo − z )) 23 (47) (48) (49) r N I12 (50) , B2 = (li + 2r ( zo + z )) 2k (li + 2r ( zo + z )) Như nhóm tác giả đưa phương trình từ (44)(49) phương trình dạng miền thời gian Đây động lực học cặp cực từ hình C cấu tạo nguyên khối miền thời gian Từ tạo tiền đề cho phương pháp điều khiển phi tuyến triển khai tương lai, từ hồn thiện phương pháp điều khiển ổ từ cấu tạo nguyên khối A2 = Kết luận Bài báo nhóm tác giả đưa công thức gần từ trở hiệu dụng phần tử khơng khí sát giá trị công thức ban đầu so với cơng trình cơng bố Ngồi tác giả đưa mơ hình động lực học tuyến tính phi tuyến miền tần số miền thời gian, với mơ hình tốn học tuyến tính hóa miền tần số cơng bố trước miền thời gian công bố báo này, tạo thành sở thuận tiện để phân tích thiết kế hệ thống điều khiển ổ từ dọc trục cấu tạo nguyên khối Từ tạo tiền đề cho nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển ổ đỡ từ cấu tạo nguyên khối Các thiết kế hệ thống điều khiển nghiên cứu dựa cách tiếp cận sau: a) phương pháp điều khiển miền tần số miền thời gian (mơ hình tuyến tính), b) phương pháp điều khiển phi tuyến như: Bachstepping, điều khiển trượt…, điều khiển đại Mạng Nơ Ron, điều khiển thích nghi … Kết phương pháp điều khiển công bố báo tương lai Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đề tài mã số T2021-PC-001 Tài liệu tham khảo [1] R Fittro and C Knospe, “Rotor compliance minimization via mu-control of active magnetic bearings,” IEEE Trans Control Syst Technol., vol 10, no 2, pp 238–249, Mar 2002 [2] M D Noh, S.-R Cho, J.-H Kyung, S.-K Ro, and J.-K Park, “Design and implementation of a fault-tolerant magnetic bearing system for turbomolecular vacuum pump,” IEEE/ASME Trans Mechatronics, vol 10, no 6, pp 626–631, Dec 2005 [3] H Hayashiya, D Iizuka, H Ohsaki, and E Masada, “A novel combined lift and propulsion system for a steel plate conveyance by electromagnets,” IEEE Trans Magn., vol 34, no 4, pp 2093–2095, Jul 1998 [4] D L Trumper, M Weng, and R Ritter, “Magnetic suspension and vibration control of beams for non-contact processing,” in Proc 1999 IEEE Conf Control Appl., Kona, HI, vol 1, Aug., pp 551-557 [5] P Subrahmanyan and D Trumper, “Active vibration isolation design for a photolithographic stepper,” presented at the 6th Int Symp Magn Bearings, Cambridge, MA, Aug 1998 [6] H Gutierrez and P Ro, “Sliding-mode control of a nonlinear-input system: Application to a magnetically levitated fast-tool servo,” IEEE Trans Ind Electron., vol 45, no 6, pp 921–927, Dec 1998 [7] R B Zmood, D K Anand, and J A Kirk, “The influence of eddy currents on magnetic actuator performance,” Proc IEEE, vol 75, no 2, pp 259– 260, Feb 1987 [8] R.L Stoll, The Analysis of Eddy Currents London, U.K.: Oxford Univ Press, 1974 [9] J J Feeley, “A simple dynamic model for eddy currents in a magnetic actuators,” IEEE Trans Magn., vol 32, no 2, pp 453–458, Mar 1996 [10] L Zhu, C Knospe, and E Maslen, “An analytical model of a nonlaminated cylindrical magnetic actuator including eddy currents,” IEEE Trans Magn., vol 41, no 4, pp 1248–1258, Apr 2005 [11] Kucera and M Ahrens, “A model for axial magnetic bearings including eddy currents,” in Proc 3rd Int Symp Magn Suspension Technol., Tallahassee, FL, Dec.1995, pp 421–436 [12] L Zhu, C Knospe, and E Maslen, “Frequency domain modeling of nonlaminated C-shaped magnetic actuators,” in Proc 9th Int Symp Magn Bearings, Lexington, KY, Aug 2004, pp 1–6 [13] C Bonnet and J R Partington, “Coprime factorizations and stability of fractional differential systems,” Syst Control Lett., vol 41, no 3, pp 167–174, Oct 2000 [14] Lei Zhu, “Non-laminated Magnetic Actuators: Modeling and Performance Limitations”, A Dissertation Presented to the Faculty of the School of Engineering and Applied Science University of Virginia.2005 [15] Joseph J Feeley and Daniel J Ahlstrom, “A New Eddy Current Model for Magnetic Bearing Control System Design 1”, 4th NASA Symposium onVLSI Design 1992 [16] L Zhu, C Knospe, and E Maslen, “Frequency domain modeling of nonlaminated C-shaped magnetic actuators,” in Proc 9th Int Symp Magn Bearings, Lexington, KY, Aug 2004, pp 1–6 [17] Lei Zhu and Carl R Knospe, Senior Member, IEEE, “Modeling of Nonlaminated Electromagnetic Suspension Systems”, IEEE/ASME TRANSACTIONS ON MECHATRONICS, VOL 15, NO 1, FEBRUARY 2010 [18] Carl R Knospe, Senior Member, IEEE, and Lei Zhu, “Performance Limitations of Non-Laminated Magnetic Suspension Systems” IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL 19, NO 2, MARCH 2011 [19] Zackary W Whitlow “Modeling and Control of Non-laminated Active Magnetic Thrust Bearings” In Partial Fulfillment of the requirements for the Degree Master of Science (Mechanical and Aerospace Engineering), December 2014 [20] Henry Spece, Roger Fittro and Carl Knospe * “Optimization of Axial Magnetic Bearing Actuators for Dynamic Performance” Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University of Virginia, Charlottesville, VA 22904, USA, September 2018 ... Modeling and Performance Limitations”, A Dissertation Presented to the Faculty of the School of Engineering and Applied Science University of Virginia.2005 [15] Joseph J Feeley and Daniel J Ahlstrom,... Fulfillment of the requirements for the Degree Master of Science (Mechanical and Aerospace Engineering), December 2014 [20] Henry Spece, Roger Fittro and Carl Knospe * “Optimization of Axial Magnetic... D K Anand, and J A Kirk, ? ?The influence of eddy currents on magnetic actuator performance,” Proc IEEE, vol 75, no 2, pp 259– 260, Feb 1987 [8] R.L Stoll, The Analysis of Eddy Currents London,