Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
NGUN HÀM
Ví du 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx
Giải
a)
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x C
b)
xx
23
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
xx
xx
f x dx dx dx dx C
c)
6
55
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx C
d)
5
44
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x C
Ví du 2ï: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
)= 0.
Giải
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
) = 0
6
-
1
3
cos
2
+ C = 0
C = -
6
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
.
Bài tập đề nghò:
1.Tìm nguyên hàm.
3
2
2 2 2
. (2 3 5) . . .
2
3
. sin . . ( 5) . .
2
21
xx
x
a x x dx b dx
x
x
c dx d e e dx e dx
x
2.Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
3
8
khi x=
3
3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
1
)0
2
4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
32
2
2 3 3 1
21
x x x
xx
, biết F(
1
1)
3
TÍCH PHÂN
Ví dụ1: Tìm tích phân các hàm số sau:
a/
3
3
1
( 1)x dx
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
c/
2
2
1x dx
Giải
a/
3
3
1
( 1)x dx
=
3
33
4
3
11
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
b/
4 4 4
4 4 4
22
4
4
41
( 3sin ) 4 3 sin (4tan 3cos )
cos cos
x dx dx xdx x x
xx
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
=
(4tan 3cos ) [4tan( ) 3cos( )]
4 4 4 4
= 8
c/
2
2
1x dx
=
1
2
1x dx
+
2
1
1x dx
=
1
2
(1 )x dx
+
2
1
( 1)x dx
=(x-
22
12
21
) ( )
22
xx
x
=5
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
dx =
u (t). dt
b2: Đổi cận:
x = a
u(t) = a
t =
x = b
u(t) = b
t =
( chọn
,
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b
a
f(x)dx
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
1
2
0
1 x dx
§Ỉt x = sint
dx = cost.dt. Víi x
[0;1] ta cã t
[0; ]
2
§ỉi cËn: Vy
1
2
0
1 x dx
=
22
2
2
0
00
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
=
4
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :
22
ax
thì đặt x=
a
sint t
[ ; ]
22
22
ax
thì đặt x=
a
tgt t
( ; )
22
22
xa
thì đặt x=
sin
a
t
t
[ ; ]
22
\
0
Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a
bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
(x)
dt =
'( ). dxx
b2: Đổi cận:
x = a
t =
(a) ; x = b
t =
(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau : a/
1
2
0
21
1
x
I dx
xx
b/
1
2
0
3. .J x x dx
Giải:
a/ Đặt t = x
2
+ x +1
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: Vậy I=
3
3
1
1
ln ln3
dt
t
t
b/ Đặt t=
2
3x
t
2
= x
2
+ 3
tdt = x dx
x
0
1
1
x
0
1
t
0
2
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
Đổi cận: Vậy J =
2
2
3
2
3
3
1
(8 3 3)
33
t
t dt
Bài tập đề nghò:
Bài 1. TÝnh các tích phân sau: 1/I=
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
1
2
0
(6 4 )x x dx
Bài 2. Tính các tích phân sau: 1/
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
1
0
1
x
x
e
dx
e
3/
1
1 ln
e
x
dx
x
4/
1
25
0
( 3)x x dx
Chú ý:
đi bin thì phi đi cn
Du hiu :
Cha (biu thc)
n
t u = biu thc
Cha
t u =
Cha mu
t u = mu
Cha sinx.dx
t u = cosx
Cha cosx.dx
t u = sinx
Cha
x
dx
t u = lnx
Du hiu:
2
1 x
dx
t x = sint , t
2
;
2
22
xa
dx
t x = a.sint , t
2
;
2
2
1 x
dx
t x = tant , t
2
;
2
22
xa
dx
t x = a.tant , t
2
;
2
Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần :
. . .
bb
b
a
aa
u dv u v v du
hoc
. '. . . '
bb
b
a
aa
u v dx u v v u dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I=
2
0
.cos .x x dx
b/J=
1
.ln .
e
x x dx
Giải
a/ Đặt :
'1
' cos sin
u x u
v x v x
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
x
0
1
3
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
Vậy I = x cosx
2
0
-
2
0
sin .x dx
= cosx
2
0
= -1
b/ Đặt :
2
1
'
ln
'
2
u
ux
x
vx
x
v
Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
11
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
ee
e
x e e e
dx xdx x
x
Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
22
2
1
11
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln3
2 1 2 1 2 2
x
dx dx x x
xx
= + = + - = +
òò
=
1
ln3
2
.
b/
00
3 3 2
20
1
11
3 1 5 23
( 4 ) [ 4 ln 1] ln2
1 1 3 2 6
x x x x
dx x x dx x x
xx
-
++
= + + + = + + + - = -
òò
b) Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
*Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân :
( )
2
2
1
51
6
x dx
xx
-
ò
Giải
Đặt
( )
2
51
6
x
xx
-
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2
A=3. cho x=3
B=2.
Vậy ta có:
( )
2
2
1
51
6
x dx
xx
-
ò
=
2
2
1
1
3 2 16
( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln
2 3 27
dx x x
xx
+ = + + - =
+-
ò
* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :
1
2
0
(2 1)
44
x dx
xx
+
-+
ò
Giải
CI:
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1
( ) 5
4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
+ - - +
= + = +
- + - + - + - + -
ò ò ò ò
=(ln
2
5
4 4 )
2
xx
x
1
0
5
ln4
2
CII: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = Û - + = +
- + - - - -
Ax -2A+B= 0
22
2 1 5
AA
A B B
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
Vậy
11
22
00
2 1 2 5
[]
4 4 2 ( 2)
x dx
dx
x x x x
+
=+
- + - -
òò
=
1
0
5
(2ln x-2 - )
x-2
5
ln4
2
*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
0
2
1
(2 3)
24
x dx
xx
-
-
++
ò
Giải:
0 0 1
2
2 2 2
1 1 0
2 2 5 ( 2 4)
I 5J
2 4 ( 1) 3 2 4
x d x x
dx dx
x x x x x
+ + +
= - = -
+ + + + + +
ò ò ò
Ta có
1
2
2
0
( 2 4)
24
d x x
xx
++
++
ò
=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln4 ln3 ln
3
Tính J=
0
2
1
5
( 1) 3
dx
x
-
++
ò
Đặt x+1=
3tgt
(t
;
22
)
dx=
2
3(1 )tg t dt
. Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
J=
2
66
2
00
3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t
dt dt
tg t
. Vậy I= ln
4
5(
3
3
36
)
3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:
Dạng1:
( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b
Dạng 2:
( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d
Ví dụ: Tính tích phân I =
1
3
0
1 xdx
Giải
Đặt t =
3
1 x
t
3
= 1-x
x= 1-t
3
dx= -3t
2
dt.
Đổi cận: Vậy I=
1
01
4
23
10
0
3
.( 3 ) 3 3
44
t
t t dt t dt
4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
Dạng:
sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải.
Dạng:
sin ; cos
nn
xdx xdx
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến.
Ví dụ :
x
0
1
1
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
2 1 2 2
22
sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
nn
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
Dạng:
(sin ).cos R x xdx
Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
nk
x xdx
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
Dạng:
(cos ).sin R x xdx
Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
nk
x xdx
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
b/
2
2
0
sin xdx
c/
2
3
0
cos xdx
d/
2
32
0
cos sinx xdx
Giải a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
=
4
2
0
0
1 1 cos4 cos2 1
(sin4 s 2 ) ( )
2 2 4 2 2
xx
x in x dx
b/
22
2
2
0
00
1 cos2 1 sin2
sin ( )
2 2 2 4
xx
xdx dx x
c/ I=
2
3
0
cos xdx
=
22
22
00
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
ặt t =sinx
dt = cosx dx.
i cn
Vậy: I=
1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
33
t
t dt t
d/J =
2
32
0
cos sinx xdx
=
22
2 2 2 2
00
cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx
ặt t = sinx
dt = cosx dx.
i cn
Vy: J=
11
35
1
2 2 2 4
0
00
2
(1 ) . ( ). ( )
3 5 15
tt
t t dt t t dt
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
Bài 1 : 1/
1
3
0
.
x
x e dx
2/
4
2
0
cos
x
dx
x
3/
1
ln .
e
x dx
4/
5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
2
0
.cos .
x
e x dx
Bài 2 : 1/ I=
2
32
2
1
23x x x
dx
x
2/ J=
4
2
3
2 5 3
1
xx
dx
x
Bài 3 : 1/ I=
1
2
0
1
56
dx
xx
2/ I=
5
2
4
12
69
x
dx
xx
3/ I=
4
2
2
31
48
x
dx
xx
x
0
2
0
x
0
2
t
0
1
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
Bài 4: 1/
1
3
0
.1x xdx
2/
1
2
2
x
dx
x
Bài 5 : 1/
4
0
cos .x dx
2/
2
33
0
sin .cos .x x dx
3/
2
44
0
sin .cos .x x dx
4/
2
6
1
sin
dx
x
.
NG DNG CA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIN TÍCH HÌNH PHNG
1/Các kin thc cn bn :
a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x)
và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
()
b
a
S f x dx
b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
Cách tính
()
b
a
S f x dx
TH1: Nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm
là:
()
b
a
S f x dx
TH2: Nếu phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm là x
1
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
1
( ) ( )
x
b
ax
S f x dx f x dx
TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x
1
; x
2
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng
cần tìm là:
1 1 2
2
( ) ( ) ( )
xxx
a x b
S f x dx f x dx f x dx
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2
] và Ox.
Giải:
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=
0;2
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
22
00
sin sin sinx dx xdx xdx
=
2
0
cos cosxx
= 4
Ví d 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.
GiảiTa có (P): y
2
= 4 x
x =
2
4
y
và (d): 2x+y-4 = 0
x=
4
2
y
.
Nguoithay.vn
Nguoithay.vn
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là:
2
4
y
=
4
2
y
2
4
y
y
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
22
2 2 2 3
2
4
44
4
( ) (2 ) (2 ) 9
2 4 2 4 4 12
y y y y y y
dy dy y
Bài tp đ ngh :
Bài 1: Tính din tích hình phng gii hn bi các đng:
1. Trc hồnh,
2
1, 0, 1y x x x
.
2. Parabol:
2
6y x x
, các đng thng x = -1, x = 3 và trc hồnh.
3.
s , 0, 0, 2y inx y x x
.
4.
2
, 2 3y x y x
.
5.
2
3 1, 6 1y x x y x
.
Bài 2: Tính th tích khi tròn xoay to nên khi hình phng gii hn bi các đng sau quay quanh trc hồnh:
1.
2
4yx
và
0y
.
2.
s , 0, 0, /2y inx y x x
.
3.
cot , 0, 0,
4
y x y x x
.
Bài 3: Tính din tích hình phng gii hn bi các đng:
1. Trc hồnh,
3
1, 0, 1y x x x
.
2. Parabol :
2
4,y x x
các đng thng x = -1, x = 2 và trc hồnh.
3.
, 0, 0, 2y cosx y x x
.
4.
2
,2y x y x
.
Bài 4: Cho hình phng gii hn bi đ th hàm s y =
osx(0 )
2
cx
và hai trc to đ. Tính th tích khi
tròn xoay đc to thành khi quay hình đó quanh trc Ox.
Bài 5: Tính th tích khi tròn xoay to nên khi hình phng gii hn bi các đng sau quay quanh trc hồnh:
1.
2
1yx
v à
0y
.
2.
, 0, 0, 2
x
y e y x x
Bài 6: Cho hàm s y =
m
xm
(C )
x
4
1
, (m là tham s).
a) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s khi m = 4.
b) Tính din tích hình phng gii hn bi (C), tim cn ngang và các đng x = 2, x =4.
. có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình.
Nguoithay.vn
Đổi cận: Vậy J =
2
2
3
2
3
3
1
(8 3 3)
33
t
t dt
Bài tập đề nghò:
Bài 1. TÝnh các tích phân sau: 1/I=
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
1
0
(