Toán 2 Calculus 2 Nguyễn Hữu Hiếu 12102020 N H Hiếu Toán 2 Calculus 2 12102020 1 269 Tài liệu học tập Tiếng Việt (Giáo trình chính học tập) 1 Bản dịch Nhóm tác giả 2 Giải Tích 1 Tiếng Anh (Tài l................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Toán - Calculus Nguyễn Hữu Hiếu 12/10/2020 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Tài liệu học tập Tiếng Việt (Giáo trình học tập) Bản dịch - Nhóm tác giả Giải Tích N H Hiếu Toán - Calculus Tài liệu học tập Tiếng Việt (Giáo trình học tập) Bản dịch - Nhóm tác giả Giải Tích Tiếng Anh (Tài liệu tham khảo) Karlj Smith + Montyj Strauss + Magdalena D Toda (1995), Calculus, Sixth Edition Ron Larson + Bruce H Edwards (2010), Calculus Early Transcendental Functions, Cengage N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Nội dung Diện tích hai đường cong N H Hiếu Toán - Calculus Nội dung Diện tích hai đường cong Dạng cực diện tích N H Hiếu Tốn - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Nội dung Diện tích hai đường cong Dạng cực diện tích Thể tích N H Hiếu Tốn - Calculus Nội dung Diện tích hai đường cong Dạng cực diện tích Thể tích Độ dài cung N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Nội dung Diện tích hai đường cong Dạng cực diện tích Thể tích Độ dài cung Diện tích mặt N H Hiếu Toán - Calculus Nội dung Diện tích hai đường cong Dạng cực diện tích Thể tích Độ dài cung Diện tích mặt Một số ứng dụng vật lý N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 Diện tích hai đường cong Định lý Diện tích hình thang cong giới hạn đường liên tục y = f (x), x = α, x = β trục Ox tính cơng thức β |f (x)|dx A= α N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 Diện tích hai đường cong Hệ Giả sử đường cong liên tục y = f (x) y = g(x) không giao khoảng (α, β) Diện tích hình thang cong giới hạn đường y = f (x), y = g(x), x = α, x = β tính công thức β |f (x) − g(x)|dx A= α N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Diện tích hai đường cong Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường y = x2 , y = x4 N H Hiếu Toán - Calculus Diện tích hai đường cong Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường y = x2 , y = x4 Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường y = ex − 1, y = e2x − 3, x = N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Diện tích hai đường cong Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường cong x − y − = 0, x − y − = 0, y = 0, y = N H Hiếu Toán - Calculus Diện tích hai đường cong Định lý Giả sử đường cong kín liên tục y = f (x) cho phương trình tham số x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β, x = x(t) khả vi liên tục diện tích miền giới hạn đường y = f (x) tính cơng thức β |y(t)x (t)|dt A= α N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 12/10/2020 / 269 Diện tích hai đường cong Ví dụ Tính diện tích miền phẳng có biên đường Elip x2 y2 + = a2 b2 N H Hiếu Toán - Calculus Diện tích hai đường cong Ví dụ Tính diện tích miền phẳng có biên đường Elip x2 y2 + = a2 b2 Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn đường cong x(t) = t2 − 1, y(t) = 4t − t3 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 / 269 Dạng cực diện tích Định nghĩa (Hệ tọa độ cực) Trong hệ tọa độ cực, điểm xác định so với điểm cố định O, gọi gốc hay cực tia cố định từ gốc gọi trục cực Mỗi điểm A mặt phẳng gắn với cặp xếp thứ tự (r, ϕ), với r khoảng cách từ O tới A ϕ góc đo từ trục cực tới tia OA Số r gọi bán kính A, ϕ góc cực hay góc phương vị Góc cực xem dương đo theo ngược chiều kim đồng hồ từ trục cực, âm đo theo chiều kim đồng hồ Gốc O có bán kính góc cực ϕ A(r, ϕ) r ϕ x O N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 10 / 269 Dạng cực diện tích Chú ý Trong hệ trục tọa độ cực (i) Mỗi điểm hệ tọa độ cực có vố sơ cách biểu diễn N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 11 / 269 Dạng cực diện tích Chú ý Trong hệ trục tọa độ cực (i) Mỗi điểm hệ tọa độ cực có vố sơ cách biểu diễn (ii) Tọa độ cực khơng thiết phải có thành phần đầu (bán kính) số dương N H Hiếu Tốn - Calculus 12/10/2020 11 / 269 Tích có hướng hai vector Chú ý 17 Quy tắc nắm bàn tay phải: Nếu bạn đặt lòng bàn tay phải dọc theo hướng vectơ v cuộn ngón tay phía vector w ngón tay bạn hướng vector v ngón tay hướng vector v × w N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 252 / 269 12/10/2020 253 / 269 Tích có hướng hai vector Định lý sau cho ta cơng thức tính modun tích có hướng N H Hiếu Tốn - Calculus Tích có hướng hai vector Định lý sau cho ta cơng thức tính modun tích có hướng Định lý 45 Giả sử u, v vector khác vector không R3 , ta có hệ thức u × v = u v sin(u, v) N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 253 / 269 12/10/2020 254 / 269 Tích có hướng hai vector Tính chất 16 Cho u, v, w vector α, β số, (αu) × (βv) = (αβ)(u × v) N H Hiếu Tốn - Calculus Tích có hướng hai vector Tính chất 16 Cho u, v, w vector α, β số, (αu) × (βv) = (αβ)(u × v) Phân phối phép cộng hai vector: u × (v + w) = (u × v) + (u × w) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 254 / 269 12/10/2020 254 / 269 Tích có hướng hai vector Tính chất 16 Cho u, v, w vector α, β số, (αu) × (βv) = (αβ)(u × v) Phân phối phép cộng hai vector: u × (v + w) = (u × v) + (u × w) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) u × v = −v × u N H Hiếu Tốn - Calculus Tích có hướng hai vector Tính chất 16 Cho u, v, w vector α, β số, (αu) × (βv) = (αβ)(u × v) Phân phối phép cộng hai vector: u × (v + w) = (u × v) + (u × w) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) u × v = −v × u v×0=0×v =0 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 254 / 269 12/10/2020 254 / 269 Tích có hướng hai vector Tính chất 16 Cho u, v, w vector α, β số, (αu) × (βv) = (αβ)(u × v) Phân phối phép cộng hai vector: u × (v + w) = (u × v) + (u × w) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) u × v = −v × u v×0=0×v =0 u×v = u N H Hiếu v − (u.v)2 Tốn - Calculus Tích có hướng hai vector Định nghĩa 46 Giả sử lực F đặt điểm Q Khi moment quay lực F quanh điểm P định nghĩa tích có hướng vector P Q với lực F T = P Q × F Fig: Moment quay lực quanh điểm N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 255 / 269 Tích có hướng hai vector Ví dụ 91 Hình cánh cửa rộng 3f t mở nửa Một lực nằm ngang có độ lớn 30lb tác động vào cạnh cánh cửa Tìm độ lớn moment quay lực quanh lề cánh cửa N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 256 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Định nghĩa 47 (Tích hỗn tạp) Cho ba vector u = u1 i + u2 j + u3 k, v = v1 i + v2 j + v3 k, w = w1 i + w2 j + w3 k tích hỗn tạp ba vector xác định hệ thức u1 (u × v).w = v1 w1 N H Hiếu u2 v2 w2 Toán - Calculus u3 v3 w3 12/10/2020 257 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Mệnh đề Cho u, v, w vector khác không chúng khơng đồng phẳng Khi đó, (i) Diện tích hình bình hành tạo hai vector u, v A = u × v N H Hiếu Tốn - Calculus 12/10/2020 258 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Mệnh đề Cho u, v, w vector khác không chúng không đồng phẳng Khi đó, (i) Diện tích hình bình hành tạo hai vector u, v A = u × v (ii) Diện tích hình tam giác tạo hai vector u, v A = u×v N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 258 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Mệnh đề Cho u, v, w vector khác không chúng khơng đồng phẳng Khi đó, (i) Diện tích hình bình hành tạo hai vector u, v A = u × v (ii) Diện tích hình tam giác tạo hai vector u, v A = v (iii) Thể tích hình hộp dựng ba vectơ u, v w V = |(u × v).w| N H Hiếu Tốn - Calculus 12/10/2020 258 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Mệnh đề Cho u, v, w vector khác không chúng không đồng phẳng Khi đó, (i) Diện tích hình bình hành tạo hai vector u, v A = u × v (ii) Diện tích hình tam giác tạo hai vector u, v A = u×v (iii) Thể tích hình hộp dựng ba vectơ u, v w V = |(u × v).w| Mệnh đề Các vector u, v, w khác vector không, đồng phẳng tích hỗn tạp chúng N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 258 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Ví dụ 92 Cho tam giác ABC với đỉnh A(2; 3; 2), B(2; −3; 1) C(−7; 1; 5) Tính diện tích tam giác ABC N H Hiếu Tốn - Calculus 12/10/2020 259 / 269 Tích hỗn tạp thể tích Ví dụ 92 Cho tam giác ABC với đỉnh A(2; 3; 2), B(2; −3; 1) C(−7; 1; 5) Tính diện tích tam giác ABC Ví dụ 93 Tính thể tích hình tứ diện có cạnh kề góc dựng ba vector u = −1, −3, , v = 2, −3, , w = −1, −1, N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 259 / 269 Đường không gian R3 Định nghĩa 48 Giả sử khơng gian ta có L đường thẳng chứa điểm P (x0 , y0 , z0 ) định vị vector v = + bj + ck Ta nói L định phương v ta nói đường thẳng L có số định phương (direction numbers) a, b, c ghi số định phương dạng [a, b, c] N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 260 / 269 Đường không gian R3 Định nghĩa 49 (Phương trình tham số) Giả sử khơng gian ta có L đường thẳng chứa điểm P (x0 , y0 , z0 ) định phương vector v = + bj + ck Khi đó, điểm Q(x, y, z) thuộc L tọa độ (x, y, z) thỏa mãn x − x0 = ta y − y0 = tb z − z0 = tc với số thực t Phương trình gọi phương trình tham số đường thẳng N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 261 / 269 Đường không gian R3 Định nghĩa 50 (Phương trình dạng đối xứng) Giả sử khơng gian ta có L đường thẳng chứa điểm P (x0 , y0 , z0 ) định phương vector v = ai+bj +ck (a, b, c = 0) Khi đó, điểm Q(x, y, z) thuộc L tọa độ (x, y, z) thỏa mãn x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Phương trình gọi phương trình dạng đối xứng đường thẳng N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 262 / 269 Đường khơng gian R3 Ví dụ 94 Cho hai điểm A(1; 2; 3) B(−5; 4; 7) Lập phương trình tham số, phương trình dạng đối xứng đường thẳng qua hai điểm A, B N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 263 / 269 12/10/2020 264 / 269 Đường không gian R3 Nhắc lại phương trình tham số mặt phẳng: N H Hiếu Toán - Calculus Đường khơng gian R3 Nhắc lại phương trình tham số mặt phẳng: Định nghĩa 51 (Phương trình tham số đường cong) Xét hàm x(t), y(t) hàm số liên tục theo biến t khoảng D, hệ phương trình x = x(t) y = y(t) gọi phương trình tham số (parametric equations) với tham số (parameter) t Khi t thay đổi tập tham số (parametric set) D, điểm (x, y) = (x(t), y(t)) vạch thành đường cong tham số (parametric curve) R2 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 264 / 269 Đường không gian R3 Định nghĩa 52 (Phương trình tham số đường cong) Xét hàm x(t), y(t), z(t) hàm số liên tục theo biến t khoảng D, hệ phương trình x = x(t) y = y(t) z = z(t) gọi phương trình tham số (parametric equations) với tham số (parameter) t Khi t thay đổi tập tham số (parametric set) D, điểm (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)) vạch thành đường cong tham số (parametric curve) R3 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 265 / 269 Đường không gian R3 Ví dụ 95 Tham số hóa đường cong cho phương trình a y = 9x2 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 266 / 269 12/10/2020 266 / 269 Đường khơng gian R3 Ví dụ 95 Tham số hóa đường cong cho phương trình a y = 9x2 x2 y2 b + =1 N H Hiếu Toán - Calculus Đường khơng gian R3 Ví dụ 95 Tham số hóa đường cong cho phương trình a y = 9x2 x2 y2 b + =1 c r = cos3 ϕ hệ tọa độ cực N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 266 / 269 Đường khơng gian R3 Ví dụ 96 (Tìm phương trình tham số cho trochoid) Một bánh xe đạp có bán kính a gương phản chiếu lắp vào điểm P nan hoa bánh xe khoảng cách cố định d so với tâm bánh xe Tìm phương trình tham số cho quĩ đạo điểm P bánh xe lăn không trượt đường thẳng Quĩ đạo gọi đường trochoid, đặc biệt P thuộc vành bánh xe (d = a) đường cong gọi đường cycloid N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 267 / 269 Đường không gian R3 N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 268 / 269 Bài tập BT1 Cho vector u = 1, a, , v = −2, −2, −4 , w = 3, 3, Tìm a để (u × v).(v + w) = BT2 Cho tam giác ABC với đỉnh A(−2; 1; 2), B(−3; 1; 0) C(4; 1; 2) Tính diện tích tam giác ABC BT3 Tính thể tích hình hộp có cạnh kề góc dựng ba vector u = 2, −3, , v = 0, −2, −1 , w = −1, 1, −1 BT4 Tham số hóa đường cong cho phương trình a y = −4x3 x2 y2 b + =1 c r = sin3 ϕ hệ tọa độ cực N H Hiếu Toán - Calculus 12/10/2020 269 / 269 ... công thức tích phân phần ta In = x + (x2 + a2 )n ⇔ In = 2nx (x2 + a2 )n+1 x + 2nIn − 2na2 In+ 1 2 (x + a ) ⇒ In+ 1 = N H Hiếu x x 2n − + In 2na2 (x2 + a2 )n 2na2 Toán - Calculus Tích phân bất định... e2x sin xdx 12/ 10 /20 20 52 / 26 9 Tích phân bất định Ví dụ 28 Tính tích phân bất định I2 , I3 với In = N H Hiếu dx n ; n = 1, 2, (x2 + a2 ) Toán - Calculus 12/ 10 /20 20 53 / 26 9 12/ 10 /20 20 53 / 26 9... Ví dụ 28 Tính tích phân bất định I2 , I3 với dx n ; n = 1, 2, (x2 + a2 ) In = Giải Sử dụng cơng thức tích phân phần ta In = x + (x2 + a2 )n ⇔ In = x 2nx (x2 + a2 )n+1 x + 2nIn − 2na2 In+ 1 2 (x