Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o hng yªn A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 §Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò tù nhiªn an = aaa (n ∈ N*) n thõa sè 2 Mét sè tÝnh chÊt Víi a, b, m, n ∈ N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p[.]
A KIN THC CN NH Định nghĩa luỹ thừa víi sè mị tù nhiªn a.a .a an = (n ∈ N*) n thõa sè Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n ∈ N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p ∈ N) am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc: a1 = a a0 = (a ≠ 0) Víi : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x .x xn = (x ∈ N*) n thõa sè n an a = n b b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n xm = x m −n n x x-n = (x ≠ 0) xn (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n x xn = n y y (y ≠ 0) KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z ∈ Q: x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x ∈ Q, n ∈ N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b ∈ Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phơng pháp: Đa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trờng hợp a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 => 2x – = - VËy x = - 2x = -2 + 2x = - => x = −1 VËy x = −1 c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 VËy x = hc x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 hc x = -2 x–2=4 x=6 VËy x = -2 x = Bài Tìm số hữu tØ x biÕt : x2 = x NÕu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà số- cha biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề ? Giáo viên gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = => => x =0 x −1 =0 x =0 => x =1 x =0 x =1 §Õn giáo viên cho học sinh làm tËp sau : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Bài Tìm số hữu tỉ y biết : Hớng dẫn : Đặt 3y = x Khi (*) trở thành : Giải tơng tự ta đợc : x 10 =0 10 x −1 =0 (*) x10 = x20 x =0 => x 10 =1 => x =0 x =− x = RÊt cã thể học sinh dừng lại , đà tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để t×m y +) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = ta cã : 3y -1 = 1 => 3y = => y = +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y = VËy y= ; ;0 3 Bài : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngợc với , hai lũy thừa đà có số mũ -đà biết- giống nhng số cha biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình phơng hai lũy thờa hai số ®èi Ta cè : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = – 3x hc x – = 3x –1 => 4x = 2x = -4 => x= = x= -2 (3x - 5)100 + (2y + 1)200 Bài : Tìm x y biết : (*) Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu , thật khó ! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề : hÃy so (3x - 5)100 (2y +1)200 víi s¸nh ∀x ∈ Q Ta thÊy : (3x - 5)100 ≥ ∀x ∈ Q (2y +1)200 ≥ => BiÓu thøc (*) chØ cã thể , nhỏ (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = VËy : (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = Bài :Tìm số nguyên x vµ y cho : y= −1 (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < ∀x ∈ Z (x + 2)2 ≥ Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : (1) ∀x ∈ Z 2(y – 3)2 ≥ (2) Nhng n¶y sinh vÊn ®Ị ë “ < ” , häc sinh làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < th× xảy trờng hợp sau : (x + 2)2 = +) Trêng hỵp : (y – 3)2 = vµ => x = -2 => (x + 2)2 = +) Trêng hỵp : => x = -2 => x +2 =1 x +2 = −1 => x =− x =− +) Trêng hỵp : (y – 3)2 = vµ => (x + 2)2 = +) Trêng hỵp : y =4 y =2 (y – 3)2 = vµ => (x + 2)2 = vµ x =− x =− => => y=3 y=3 (y – 3)2 = y =4 y =2 Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng x y thỏa mÃn đề : x y -2 -2 -2 -1 -3 -1 4 -3 -3 -1 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trờng hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mÃn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tơng tù sau : T×m x biÕt : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 T×m y biÕt : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y – d, ( y y -5 )2000 = ( -5 )2008 3 T×m a , b ,c biÕt : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phơng pháp : Đa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n N biÕt : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm đợc câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = Nhng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số nhng không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Theo hớng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n = n=4 Bài : Tìm hai sè tù nhiªn m , n biÕt : 2m + 2n = 2m+n Häc sinh thùc sù thÊy khã gặp , phải làm nh để tìm đợc hai số mũ m n Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1)( 2n - 1) = V× 2m ≥ , 2n ≥ m − = Nªn tõ (*) => n − = ∀m,n m = => n = (*) ∈ N => m= n= VËy : m = n = Bµi : Tìm số tự nhiên n cho : a, < 3n ≤ 234 b, 8.16 ≥ 2n Đây dạng toán tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hớng dẫn học sinh đa số lũy thừa cã cïng c¬ sè a, < 3n ≤ 234 31 < 3n ≤ 35 => n ∈ {2;3;4;5} b, 8.16 ≥ 2n ≥ 23.24 ≥ 2n ≥ 22 27 ≥ 2n ≥ 22 => n ∈ {2;3;4;5;6;7} Bài : Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với , giáo viên gợi ý häc sinh quan s¸t , nhËn xÐt vỊ sè mị lũy thừa tích học sinh nghĩ hớng giải toán : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Bây giờ, học sinh biết làm toán tơng tự mà tự toán dạng tơng tự Tìm số nguyªn n cho a 27n = 35 b c 3-2 34 3n = 37 (23 : 4) 2n = d 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tù nhiªn n cho : a 125.5 ≥ 5n ≥ 5.25 b (n54)2 = n c 243 ≥ 3n 9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm số tù nhiªn x, y biÕt r»ng a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng a 411 2511 ≤ 2n 5n ≤ 2012.512 b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 35 + 35 + 35 25 + 25 Híng dÉn: a 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = 22x.3x 3y 22x => x = x +1 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = Hay x = y = b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 5 5 +3 +3 +2 4.4 6.6 = 2n 5 3.3 2.2 46 66 = 2n 36 => 46 = 2n 212 = 2n => => n = 12 3.1.3 Một số trờng hợp khác Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Thoạt nhìn ta thấy toán phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhng đa toán quen thuộc phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta cã: x+2=y+3 x+4=y+5 yy+3 = yy+5 Khi (1) trở thành : yy+5 - yy+3 = yy+3(y2 – 1) = => yy+3 = hc y2 – = * NÕu: yy+3 = => y = Khi ®ã : x – = hay x = * NÕu : y2 – = => y2 = (±1)2 => y = hc y = -1 Víi y = ta cã : x – = hay x = Víi y = -1 ta cã : x – = -1 hay x = VËy : x {0;1;2} Bài : Tìm x biết : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Víi bµi nµy, x xt hiƯn số (không phải số mũ nh trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hớng dẫn x (6-x)2003 = (6-x)2003 x (6-x)2003 - (6-x)2003 = (6-x)2003 (x-1) = => (6-x)2003 = hc (x-1) = * NÕu (6-x)2003 = => (6-x) = x=6 * NÕu (x-1) = VËy : x => x = {1;6} Bài : Tìm số tự nhiªn a, b biÕt : a 2a + 124 = 5b b 10a + 168 = b2 Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đờng bế tắc lời giải Vậy phải làm cách làm nh nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biƯt cđa lịy thõa vµ tÝnh chÊt chia hÕt cđa tổng để giải toán : a) 2a + 124 = 5b (1) * XÐt a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do ®ã a= vµ b = * XÐt a ≥ Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a , a,b N, điều v« lý KÕt luËn : VËy : a = vµ b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tơng tự câu a * Xét a = 0, (2) trở thành 100 + 168 = b2 169 = b2 (±13)2 = b2 => b = 13 (vì b N) Do a = b = 13 * XÐt a ≥ Chóng ta ®Ịu biÕt víi mäi sè tù nhiªn a ≥ 10a có chữ số tận nên suy 10a + 168 cã ch÷ sè tËn cïng 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý Kết luận : Vậy : a = b = 13 Giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau : Tìm số tự nhiên a , b ®Ĩ : a 3a + 9b = 183 b 5a + 323 = b2 c 2a + 342 = 7b d 2a + 80 = 3b 3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phơng pháp : cần nắm đợc số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thờng đa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tËn cïng lµ +) Chó ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài : Tìm chữ số tận sè : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đợc đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ số tận số sau : 20072008 , 1358 2008 67 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , 20072007 , 10231024 Hớng dẫn : Đa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; ; +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận cïng lµ +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501 = = = ( )501 => 20072007 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 23456 = (24)864 = 16864 = +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = => 23456 có chữ số tận 10 = ( )8 = b, 992n = (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 99 99 99 , ta cã 99 lµ mét sè lỴ => 99 99 99 99 (Víi n ∈ N, cã d¹ng 992n+1 n > 1) => 99 99 99 (Víi n ∈ N, = 99.(992)n = 99 ( 01 )n n > 1) 65n = ( 65)n = ( 76 )n c, 65n+1 = ( 65)n = ( 76 )n 66 66 , ta cã 66 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, => 66 66 66 cã d¹ng 65n+1 (n ∈ N, n > 1) => 66 66 = ( 76 )n Bµi tËp lun tËp: Tìm hai chữ số tận : a, 72003 b, 9 d, 182004 e, 682005 c, 742003 f, 742004 Tìm hai chữ số tận : a, 492n ; 492n+1 (n ∈ N) b, 24n 38n (n ∈ N) c, 23n 3n; 23n+3 3n+1 (n ∈ N) d, 742n (n ∈ N) ; 742n+1 Chøng tá r»ng : a, A = 262n - 26 vµ 10 b, B = 242n+1 + 76 100 ( n ∈ N, n > 1) (Víi n ∈ N) c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên *Phơng pháp : Chú ý số điểm sau +) Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lịy thõa (kh¸c 0) cịng cã tËn cïng b»ng chÝnh số +) Số có tận 0625 nâng lên lịy thõa (kh¸c 0) cịng cã tËn cïng b»ng 0625 Bài Tìm chữ số tận cùng, chữ sè tËn cïng cđa 52000 Häc sinh cã thĨ lµm phần không khó khăn nhờ kĩ đà có từ phần trớc 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 15 VËy : 52000 cã ba ch÷ sè tận 625 có bốn chữ số tận 0625 Bài : Tìm ba chữ số tận cïng cña: a, 23n 47n (n ∈ N*) b, 23n+3 47n+2 (n N) Để tìm đợc ba chữ số cuối lũy thừa đà khó với học sinh., lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a, 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n cã tËn cïng lµ 376 => 23n 47n cã tËn cïng lµ 376 b , 23n+3 47n+2 Dù đà làm đợc câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hớng dẫn : 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có :376n+1 có chữ sè tËn cïng lµ 376 => 47 376n+1 cã chữ số tận 672 Bài 3: Chứng tỏ r»ng: ( n ∈ N, n ≥ 1) a + 375 1000 n ( n ∈ N, n ≥ 2) b - 25 100 n c 2001n + 23n 47n + 252n cã tËn cïng 002 Nếu học sinh làm tốt phần trớc gặp không gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến t logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biÕn ®ỉi a Ta cã: = 4.4 n n −1 = 625 n −1 ( n ∈ N, n ≥ 1) tËn cïng lµ 625 => + 375 cã tËn cïng 000 n VËy: + 375 1000 n b Ta cã = 2 n n −2 = (5 ) n −2 = 625 n −2 ( n ∈ N, n ≥ 2) VËy - 25 có chữ số tận 00 n Do ®ã : - 25 100 n c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thÊy : 2001n cã tËn cïng lµ 001 23n 47n = (8 47 )n = 376n cã tËn cïng lµ 376 252n = (252)n = 625n cã tËn cïng lµ 625 16 VËy: 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 3.3 Dạng : So sánh hai lũy thừa * Phơng pháp : ®Ĩ so s¸nh hai lịy thõa ta thêng biÕn ®ỉi hai lũy thừa có số có cïng sè mị (cã thĨ sư dơng c¸c lịy thõa trung gian để so sánh) +) Lu ý số tÝnh chÊt sau : Víi a , b , m , n ∈ N , ta cã : a > b an > bn ∀n ∈ N* m > n am > an (a > 1) a = a = am = an ( m.n 0) Với A , B biểu thøc ta cã : An > Bn A > B > Am > An => m > n vµ A > m < n vµ < A < Bài : So sánh : a, 33317 vµ 33323 b, 200710 vµ 200810 c, (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999 Víi bµi nµy häc sinh cã thĨ nhìn cách giải lũy thừa đà có số có số mũ Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 a, b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 (2008-2007)2009 = 12009 = c, Ta cã : (1998 - 1997)1999 = 11999 = VËy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài : So sánh a, 2300 3200 e, 9920 vµ 999910 b, 3500 vµ 7300 f, 111979 vµ 371320 c, 85 vµ 3.47 g, 1010 vµ 48.505 d, 202303 vµ 303202 h, 199010 + 1990 199110 Để làm đợc học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đa lũy thừa số cïng sè mị Híng dÉn : a, Ta cã : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 V× 8100 < 9100 => 2300 < 3200 17 b, Tơng tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 V× 243100 < 343100 nªn 3500 < 7300 c, Ta cã : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = d, Ta cã : (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e, Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f, ta cã : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Tõ (1) vµ (2) suy : 111979 < 371320 g, Ta cã : 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Tõ (*) vµ (**) => 1010 < 48 505 h, Cã : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 V× 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 Bài Chøng tá r»ng : 527 < 263 < 528 Víi , học sinh lớp không định hớng đợc cách làm , giáo viên gợi ý : h·y chøng tá 263> 527 vµ 263 < 528 Ta cã : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) L¹i cã : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 Tõ (1) vµ (2) => 527 < 263 < 52 Bµi So sánh : a, 10750 7375 b, 291 535 Nếu trớc so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so s¸nh qua hai lịy thõa trung gian : a, Ta thÊy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 18 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2) Tõ (1) vµ (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 VËy 10750 < 7375 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 291 > 535 VËy Bµi So sánh : a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 vµ (-3)50 c, (-32)9 vµ (-18)13 d, ( −1 100 −1 500 ) vµ ( ) 16 Híng dÉn : Đa so sánh hai lũy thừa tự nhiên a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 VËy (-32)9 > (-16)13 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mµ 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 VËy (-32)9 > (-18)13 d, Ta cã : ( 1 −1 100 −1100 ) = = = 100 16 16 400 16100 cßn ( −1 500 ) = (−1) 500 = 500 500 2 Vì 2400 < 2500 nên VËy ( 400 > 500 −1 100 −1 500 ) >( ) 16 Bµi So sánh A B biết : A= 2008 2008 + 2008 2009 + ; B= 2008 2007 + 2008 2008 + Tríc t×m lời giải giáo viên cung cấp cho häc sinh tÝnh chÊt sau : * Víi mäi số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh đợc : 19 +) Nếu a > th× b +) NÕu a a+c > b b+c a < th× b a a+c < b b+c Ap dụng tính chất vào , ta cã : V× A = A= 2008 2008 + < nªn 2008 2009 + 2008.( 2008 2007 + 1) 2008 + 2008 2008 2008 + 2008 2008 + + 2007 < = = 2009 2009 + 1) + 2008 2008.( 2008 2008 2009 + + 2007 2008 2008 2009 + = 2008 2007 + =B 2008 2007 + VËy A < B Giáo viên hớng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : C¸ch 1: Ta cã : 2008.A = ( 2008 2008 + 1).2008 2008 2009 + + 2007 =1+ = 2008 2009 + 2008 2009 + 2007 2008 2009 + 2008.B = 2008 2007 + 1).2008 2008 2008 + + 2007 =1+ = 2008 2008 + 2008 2008 + 2007 2008 2008 + Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2007 < 2008 2009 + 2007 2008 2008 + => 2008.A < 2008 B => A < B C¸ch 2: 2008 2009 + 2008 2009 + 2008 − 2007 2008.(2008 2008 + 1) − 2007 = = = A 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 2008 + = 2008 - 2007 2008 2008 + 1 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 − 2007 2008.(2008 2007 + 1) − 2007 = = = B 2008 2007 + 2008 2007 + 2008 2007 + = 2008 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên 2007 2008 2007 + 2007 2007 < 2008 2008 +1 2008 2007 + 20 ... 1997)1999 Bµi : So sánh a, 2300 3200 e, 9920 999910 b, 3500 vµ 7300 f, 111979 vµ 371320 c, 85 vµ 3.47 g, 1010 vµ 48.505 d, 202303 vµ 303202 h, 199010 + 1990 199110 Để làm đợc học sinh cần sử... biểu thức ta có : An > Bn A > B > Am > An => m > n vµ A > m < n vµ < A < Bµi : So sánh : a, 33317 33323 b, 200710 200810 c, (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999 Víi bµi nµy học sinh nhìn cách... – 3)2 = vµ => x = -2 => (x + 2)2 = +) Trêng hỵp : => x = -2 => x +2 =1 x +2 = −1 => x =− x =− +) Trêng hỵp : (y – 3)2 = vµ => (x + 2)2 = +) Trêng hỵp : y =4 y =2 (y – 3)2 = vµ => (x