LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009

LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 1 Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết) 1 Một số kỹ năng cơ bản Bài 1 Khai triển các hằng đẳng thức 1) 2( 2 1)+ 2)[.]

LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết) Một số kỹ Bài 1: Khai triển đẳng thức 1) ( + 1) 7) (2 + 2) 2) ( − 1) 8) (2 − 2) 9) 2 + 10) 2 − 11) ( + 1)( + 1) 12) 2 − 3) ( − 2) 4) ( − 2) 5) ( + 2) 6) ( − 2) Bài 2: Phân tích thành lũy thừa bậc hai 1) + 15 2) 10 − 21 3) + 24 4) 12 − 140 5) 14 + Bài 3: Phân tích thành nhân tử 1) + + + 15 2) 10 + 14 + 15 + 21 3) 35 + 14 − 15 − 6) − 28 7) + 8) 28 + 9) 17 + 18 10) 51 + 10 5) 36x − 6) 25 – 3x2 7) x – (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0) 9) 31 + 7x (x < 0) 10) x y + y x 4) + 18 + + Bài 4: Tính: A = 21 + 6 + 21 − 6 HD: Ta có: 6 = 3.3 và 21 = ( 3) + (3 2) Từ suy ra: A = Bài 5: Tìm giá trị x để 1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ 2) có giá trị lớn x + 2x + 2x + x − 2x + 3) có giá trị lớn 4) có giá trị nhỏ 2x + x + 4x + Bài 6: Tìm giá trị x ∈ Z để biểu thức sau có giá trị nguyên 14 x+5 4x + 1) A = 2) B = 3) C = 4) D = x −1 2x + x+2 2x − Bài 7: Giải bất phương trình 1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 5x − − 2x 11 − 3x 5x + > < 3) 4) 12 10 15 Bài tập tổng hợp x   x +1 x −1  − − + Bài 8: Cho biểu thức: A =  ÷:  ÷  x −1 x + 1  x −1 x −1 x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = + c) Tìm giá trị x A = Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 HD: a) ĐK: x ≠ ±1: A = 4x ; − x2 b) x = + = + Khi đó: A = −2 ; c) x1 = − ; x = 5 x +1 10 − + x+3 x +x−6 x−2 a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A > x +1 HD: a) a ≠ −3, a ≠ ; b) A = ; c) A > ⇔ x > x < −1 x−2 2a − a  a − a + 4a  − + Bài 10: Cho biểu thức C =  ÷ a +  a + a − − a2  a) Tìm điều kiện a để biểu thức C xác định Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C = c) Khi C có giá trị dương? Có giá trị âm? a ≠ a =  4a HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) C = ; c) C = ⇔  ; d) C > ⇔ a ≠ ±2 ; C < ⇔ a < −3 a = − a +3  a > −3   Bài 9: Cho biểu thức: A =    x+2  Bài 11: Cho biểu thức C =  x − + ÷:  x − − ÷: x −1  x −1 x  a) Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị biểu thức C x = + 20 d) Tìm giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên x−2 HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) C = ; c) C = − ; d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2} x+2  a a −1 a a +1 a + − Bài 12: Cho biểu thức: A =  ÷: a+ a ÷  a− a  a−2 a) Với giá trị a biểu thức A khơng xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị ngun a A có giá trị nguyên? HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2(a − 2) b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: A = ; c) có a = thỏa mãn a+2 x 2x − x − Bài 13: Cho biểu thức: B = x −1 x − x a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x = + c) Với giá trị x B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B = x − b) x = + = ( + 1) : B = ; c) B > ⇔ x > 1; B < ⇔ x < 1; B = ⇔ x = Bài 14: Cho biểu thức B = a +3 − 3− a a −6 a +6 a) Tìm điều kiện a để B xác định Rút gọn B b) Với giá trị a B > 1? B< 1? Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 c) Tìm giá trị x để B = a +9 HD: a) a ≥ a ≠ 9: B = a −9 b) B > ⇔ a > 9, B < ⇔ ≤ a < c) B = ⇔ a = 15   1   + − Bài 15: Cho biểu thức A =  ÷:  ÷+ 1− x 1+ x  1− x 1+ x  1− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta A = x (1 − x ) b) x = − = (2 + 3) : A = − (3 − 5) c) A = x =  x −2 x +  1− x  P = − Bài 16: Cho  ÷ ÷ x + x +1÷  x −1   1) Rút gọn P 2) Chứng minh : Nếu < x < P > 3) Tìm giá trị lớn P HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ x ≠ Kết quả: P = x (1 − x ) 2) Nếu < x < : < x < ⇔ P > 3) P = 1 1  1 −  x − ÷ ≤ Dấu "=" xảy ⇔ x = ⇔ x = Vậy: max P = ⇔ x = 4 4  2 Bài 17: Cho biểu thức B = + + x3 − x x −1 − x x −1 + x x −1 a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị x B = d) Tìm giá trị nguyên dương x để B có giá trị nguyên HD: a) x > b) B = x − x − c) B = ⇔ x = 10 d) B nguyên x = m2 + (m ∈ Z)  1  x +1 + Bài 18: Cho biểu thức: A =  ÷: x −1 x − x +1 x− x a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b) So sánh A với 1+ x ( x − 1) = HD: a) Điều kiện: x > x ≠ Ta có: A = x ( x − 1) x +1 b) Xét hiệu: A – = Cách 2: Dễ thấy: A = − x −1 x x −1 = < vì: x −1 − x x x =− >0 Trang x < Vậy: A < x −1 x LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 2: Hàm số đồ thị (2 tiết) Bài 1: Xác định a b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(1; −2) B(2; 1) ĐS: a = b = −5 Bài : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc −2 qua điểm A(1; 5) ĐS: y = −2x + Bài 3: Viết PT đường thẳng qua điểm B(−1; 8) song song với đường thẳng y = 4x + ĐS: y = 4x + 12 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + cắt trục hoành điểm có hồnh độ ĐS: y = −x + Bài 5: Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số đường thẳng có hệ số góc qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) C(1 ; 3) c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 3) song song với đường thẳng y = 3x − ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x2 hai đường thẳng: (d1): mx − y − = (d2): 3x + 2y − 11 = a) Tìm giao điểm M (d1) (d2) m = b) Với giá trị m (d1) song song với (d2) c) Với giá trị m (d1) tiếp xúc với (P) HD: a) M(3 ; 1); b) m = − m = c) (d1) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x2 − mx + = có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ m2 = 16 ⇔   m = −4 Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt Bài Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) (d1): 5x + 11y = (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m HD: a) ĐS: m = b) m = 4,8 Bài Tìm khoảng cách hai điểm A B mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) B(3 ; 5) 2 HD: a) AB = (5 − 1) + (4 − 1) = b) AB = (3 + 2) + (5 − 2) ≈ 5,83 Bài tập nhà Bài 9: Xác định a b để đường thẳng y = ax + b qua A(−2 ; 15) B(3 ; −5) Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc −1 qua gốc tọa độ Bài 11: Xác định a b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x cắt đường thẳng điểm nằm trục tung Bài 12: Gọi (d) đường thẳng qua A(1 ; 1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d) Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2 Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m y = (2m + 1)x + 2m − Tìm điều kiện m để: a) Hai đường thẳng cắt b) Hai đường thẳng song song với c) Hai đường thẳng trùng Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 3: Phương trình hệ phương trình (6 tiết) Hệ phương trình bậc Bài 1: Giải hệ phương trình:  x + 2y = 3x − 4y =  x − 7y = −2 1)  2)  3)   2x − y =  2x + 3y =  2x + y = 11 Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: 1 15  x + y = x − y =9 x + y + x − y =    a)  b)  c)  1 − =  + = 35  − = −3  x y  x y  x + y x − y  2x + 3y = 10 4)  3x − 2y =   2x − 3y + 3x + y =  d)   − = 21  3x + y 2x − 3y 10   1 1 HD: a) ĐS: (x ; y) =  ; ÷ b) (x ; y) =  ; ÷ c) (x ; y) = (5 ; 3) 3   3  mx − y =  Bài 3: Cho hệ phương trình  x y  − = 334 a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) 2  ; ÷ d) (x ; y) =   66 11  b) Hệ cho vô nghiệm ⇔ m =  x + my = Bài 4: Cho hệ phương trình:   mx − 3my = 2m + a) Giải hệ phương trình với m = –3 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ m ≠ –3 mx − y =1  Bài 5: Cho hệ phương trình:  Chứng tỏ m = –1, hệ phương trình có vơ số nghiệm − x + y = m HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm  −2mx + y = Bài 6: Cho hệ phương trình:   mx + 3y = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ Phương trình bậc hai Bài 7: Giải phương trình: 1) x2 – 4x + = 2) x2 + 6x + = 3) 3x2 – 4x + = 4) x2 – 5x + = 5) ( − 1)x + x − = 6) 2x − ( + 1)x + = 7) x + ( − 1)x − = 8) x4 – 11x2 + 10 = 9) 3x4 – 11x2 + = 10) 9x4 – 22x2 + 13 = 2 2 11) (2x + x – 4) – (2x – 1) = 12) (x – 3) + (x + 4) = 23 – 3x 1 2x x − x +8 + = 13) 14) = x−4 x+4 x + x − 3x − 2 15) 3(x + x) – 2(x + x) – = 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = Bài 8: Cho phương trình x + 3x − = gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 1 1 2 3 + a) b) x1 + x c) + d) x1 + x x1 x x1 x HD: Đưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2 HD: m = 2, x2 = Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1) a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm có nghiệm −2 HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > − b) m = m = Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1) a) Chứng minh ∀m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu HD: a) Chứng minh ∆' > b) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔ m < −1 m > Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c) gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x = ± b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒A không phụ thuộc vào m Bài 13: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 15 15 c) P = (2m − 5) + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ m = 4 2 Bài 14: Cho phương trình x − 6x + m = (m tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = ⇒ x1 = 1, x2 = b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = a) Giải phương trình với k = b) Tìm tất số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = b) ∆' = − k > ⇔ k < ĐS: k ∈ {1 ; ; 3} Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = b) ĐS: m = − 20 Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − = (*) a) Giải phương trình (*) m = b) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt HD: a) Khi m = 1: x = ; b) ĐS: m > , m ≠ Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm bình phương nghiệm lại HD: a) Với m = −1 ⇒ x1 = 2, x2 = −4 b) m = m = Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 4: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình (4 tiết) Bài 1: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết thời gian lẫn 50 phút HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 0) x x + + = Giải ta được: x = 75 (km) Ta có phương trình: 30 25 Bài 2: Hai canơ khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài qng sơng AB, biết hai canô đến bến B lúc HD: Gọi chiều dài quãng sông AB x km (x > 0) x x − = Giải ta được: x = 80 (km) Ta có phương trình: 20 24 Bài 3: Một ơtơ dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ơtơ với vận tốc đó, cịn 60km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h qng đường cịn lại, ơtơ đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 120) x x  x  − Giải ta được: x = 280 (km) Ta có phương trình:  − 60 ÷: 40 +  + 60 ÷: 50 = 40 2  2  Bài 4: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng x km/h (x > 0) 80 80 + = Giải ta được: x1 = − (loại), x2 = 20 (km) Ta có phương trình: x+4 x−4 Bài 5: Một ca nô bè gỗ xuất phát lúc từ bến A xi dịng sơng Sau 24 km ca nô quay trở lại gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nơ nước n lặng biết vận tốc dòng nước km / h HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng x km/h (x > 4) 24 16 + = Giải ta x1 = (loại), x2 = 20 (km/h) Ta có phương trình: x+4 x−4 Bài 6: Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau 30 phút, người xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp HD: Gọi vận tốc xe đạp x km/h (x > 0) 50 50 = + (1,5 + 1) Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn) Ta có phương trình: x 2,5x Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh phải điều dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe huy động 180 180 − = 15 ⇒ x1 = 4; x2 = –6 (loại) HD: Gọi số xe lớn x (x ∈ Z+) Ta có PT: x x+2 Bài 8: Một đội xe cần chun chở 100 hàng Hơm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có xe? (biết số hàng chở xe nhau) HD: Gọi x (xe) số xe đội (x > x ∈ N) 100 100 − = Giải ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn) Ta có phương trình: x−2 x Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 9: Để làm hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt hình vng góc miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh hình vng bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vng diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) độ dài cạnh hình vng bị cắt ( < x < 9) 2 Ta có phương trình: 4x = (24 − 2x)(18 − 2x) Giải ta được: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa) Bài 10: Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho HD: Gọi số phải tìm xy (0 < x, y ≤ x, y ∈ Z) 6(x + y) = 10x + y x = ⇔ Ta có hệ:  Vậy số phải tìm 54  xy + 25 = 10y + x y = Bài 11: Hai vòi nước chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai 12 phút đầy bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể HD: Gọi thời gian chảy đầy bể vịi I, II x, y phút (x, y > 80)  80 80  x + y =1  x = 120  ⇔ Ta có hệ:   y = 240 10 + 12 = y 15  x Bài 12: Hai người thợ làm cơng việc 16giờ xong Nếu người thứ làm 3giờ người thứ hai làm 6giờ họ làm 25% công việc Hỏi người làm cơng việc hồn thành cơng việc HD: Gọi x, y (giờ) thời gian người thứ nhất, hai làm xong công việc (x > 0, y > 16) 16 16  x + y =1  x = 24  ⇔ Ta có hệ:  (thỏa mãn điều kiện đầu bài)  y = 48 3 + =  x y Bài 13: Một phịng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy ghế dãy có ghế? HD: Gọi số dãy ghế phòng họp x dãy (x ∈ Z, x > 0)  360  + 1÷ = 400 Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24 Ta có phương trình: (x + 1)   x  ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì vậy, thời gian qui định họ vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch HD: Gọi x, y số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch (x, y ∈ N*) Ta có hệ phương trình:  x + y = 600  x = 200 ⇔  0,18x + 0, 21y = 120  y = 400 Bài 14: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định HD: Gọi thời gian dự định x vận tốc dự định y (x, y > 0) Ta có hệ: (x + 1)(y − 4) = xy x = ⇔  (x − 2)(y + 14) = xy  y = 28 Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 5: Một số tốn hình học tổng hợp (6 tiết) µ ,O Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp A trung điểm IK a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O) A c) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm · · HD: a) KBI + KCI = 1800 (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O) I µ + OCI · µ +$ b) C =C I1 = 900 ⇒ OC ⊥ AC ⇒AC tiếp tuyến (O) 1 B C c) AH = AC2 − HC = 202 − 122 = 16 (cm) H O CH 122 OH = = = (cm) AH 16 Vậy: OC = OH + HC = + 122 = 225 = 15 (cm) K Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp · b) Tính góc CHK A B c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động cạnh BC điểm H chuyển động đường nào? H E · · HD: a) BHD = BCD = 90 ⇒ BHCD nội tiếp · · · b) DHC = DBC = 450 ⇒ CHK = 450 c) ∆KCH ∆KDC (g.g) ⇒ KC.KD = KH.KB · d) BHD = 900 ⇒ Khi E chuyển động đoạn BC » H chuyển động BC D K C Bài 3: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M d)* Khi M di động đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định · · HD: a) OMP = ONP = 900 ⇒ ONMP nội tiếp C b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO hình bình hành c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra: M O CM CO A B = ⇒ CM.CN = CO.CD = Const CD CN 1 · d) ∆ONP = ∆ODP (c.g.c) ⇒ ODP = 900 N Suy ra: P chạy đường thẳng cố định Vì M ∈ [AB] nên P ∈ [EF] E P D F Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác MPOQ hình gì? sao? c) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi K ≡ MH ∩ EB So sánh MK với KH · · HD: a) EOA + OME = 1800 ⇒AEMO nội tiếp b) MPOQ hình chữ nhật có ba góc vng Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 c) ∆EMK Mặt khác: ∆ABE ⇒ EM EF EM EF = = MF = BF ⇒ MK BF MK MF EA AB EF AB = = ∆HBK: Vì: (Talet) HK HB MF HB ∆EFB: EM EA = Vì: EM = AE ⇒ MK = KH MK KH y F x M E Q K P A H O B AO Kẻ dây MN ⊥ AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E M a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh ∆AME ∆ACM AM2 = AE.AC C O' c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2 E · · HD: a) Dễ thấy BIE + ECB = 1800 ⇒ IECB nội tiếp A B ¼ = AN » ⇒ AME · · b) Ta có AM ⇒ ∆AME ∆ACM (g.g) I O = ABM ⇒AM2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) (2) ĐL Pitago: AI = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB N µ Bài 6: Cho ∆ABC có góc nhọn, A = 45 Vẽ đường cao BD CE ∆ABC Gọi H giao điểm cảu BD CE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC B c) Tính tỉ số DE : BC d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC CM: OA ⊥ DE E · · HD: a) Ta có: AEH + ADH = 1800 ⇒ đpcm x µ = 450 ⇒ACD · H b) ∆v.AEC có A = 450 ⇒∆DCH vng cân O D ⇒ HD = HC A C DE AE AE D c) ∆ADE ∆ABC (g.g) ⇒ = = = BC AC AE 2 · · d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có BAx = BCA · · · · · mà BCA (cùng bù với DEB ) ⇒ BAx ⇒ DE // Ax ⇒ OA ⊥ DE = AED = AED Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn · · b) Khi điểm D di động đường trịn BMD khơng đổi + BCD c) DB.DC = DN.AC HD: a) CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD D · · tứ giác nội tiếp ⇒ BMD + BCD = 1800 C N · c) Ta có: ANB = 900 (gt) ⇒ N ∈ (O) M · · » ) Mặt khác: BDN (Cùng chắn BN = BAN · · A (So le trong) BAN = ACD B O · · Suy ra: BDN = ACD · · · » ) Lại có: DAC (Cùng chắn DN = DAN = DBN Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định Điểm I nằm A O cho AI = Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) ⇒ đpcm Trang 10 LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 8: Cho ∆ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d)* Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn A HD: a) AEHF có ba góc vng ⇒AEHF hình chữ nhật E µ =E µ = F$1 ⇒ BEFC nội tiếp b) B 1 c) ∆AEF ∆ACB (g.g) ⇒AE.AB = AF.AC F µ µ µ µ d) E1 + E = H1 + H = 90 ⇒ EF tiếp tuyến (O1) Tương tự: EF tiếp tuyến (O2) B O1 H O2 C Bài Cho ΔABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB CD; AD CE A a) Chứng minh BC // DE b) Chứng minh tứ giác CODE APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP hình gì? O HD: a) BC DE vng góc với OD ⇒ BC // DE · · b) ODE B + OCE = 1800 ⇒ CODE nội tiếp C · · » = CD » )⇒APQC nội tiếp Ta có: PAQ (Do BD = PCQ E D c) BCQP hình thang Vì: · · P Q Ta có: QPC (Cùng chắn cung QC (APQC) = CAQ · · · · » ) ⇒ BC // PQ Lại có: QAC QAP (cùng chắn BD = QAP = BCP Bài 10 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn (O) (O’) cắt đường tròn (O’) (O) theo thứ tự C D gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh: a) ΔABD ΔCBA A · · b) BQD = APB O c) Tứ giác APBQ nội tiếp · · ¼ 'B ) HD: a) Ta có: DAB = ACB (Cùng chắn An Q · · ¼ Lại có: ADB = BAC (Cùng chắn AnB ) Suy ra: ΔABD ΔCBA D AD BD DQ = = b) ΔABD ΔCBA ⇒ (Do P, Q trung điểm AC, AD) CA BA AP · · · · Và: BDQ Suy ra: ΔBQD ΔAPB ⇒ BQD = BAP = APB · · c) Do BQD suy ra: APBQ nội tiếp = APB n' n P O' B C Bài 11: Cho ∆ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn cá điểm thứ hai F, G Chứng minh: S a) ∆ABC ∆EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC // FG F A d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui µ chung) D HD: a) ∆ABC ∆EBD (Hai tam giác vuông có B b) Học sinh tự chứng minh µ = F$1 ( = E µ ) ⇒AC // FG c) C 1 G d) Gọi S ≡ BF ∩ CA ⇒ ∆BSC có D trực tâm B Trang 11 E C LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 ⇒ S, D, E thẳng hàng ⇒ BF, CA, ED đồng qui S Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10cm, CB = 40cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K) E a) Chứng minh EC = MN b) CmR: MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) N S c) Tính độ dài MN M d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn HD: a) Chứng minh CMEN hình chữ nhật ⇒ EC = MN µ µ µ µ b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M1 + M = C1 + C = 90 ⇒ MN ⊥ MI A I C K B µ µ µ µ Tương tự: N1 + N = C3 + C4 = 90 ⇒ MN ⊥ NK ⇒ MN tiếp tuyến chung hai đường tròn  1πAB πAC πBC  − −  ÷ = 100π(cm ) 2 4  Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H ≠ O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC M a) Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng qui I K c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh C KCOH nội tiếp · · HD: a) MCI D = MDI = 900 ⇒ MCID nội tiếp I b) Chứng minh I trực tâm ∆MAB suy đường cao MH qua I A B c) Xét hai tam giác cân OCA KCM, chứng minh: O H µ1 +C µ = 900 ⇒ C µ +C µ = 900 , từ suy KCOH nội tiếp C c) MN = EC = AC.BC = 10.40 = 20(cm) d) S = Bài 14: Cho ∆ABC vng A Dựng miền ngồi tam giác hình vng ABHK ACDE a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC F, chứng minh ∆FBC vuông cân · c) Cho biết ABC > 450 Gọi M giao điểm BP ED, E M chứng minh năm điểm B, K, E, M, C thuộc đường tròn d) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (ABC) K · · HD: a) Từ gt chứng minh: HAB = DAC = 450 chứng · · · Minh: HAB + BAC + DAC = 1800 ⇒ H, A, D thẳng hàng A F · · b) Chứng minh FBC = 450 , BFC = 900 Suy ∆BFC vuông cân H · · · c) Chứng minh BKC = BEC = BMC = 45 , từ B C suy B, K, E, M, C thuộc đường tròn Chú ý đến FMDC tứ giác nội tiếp · d) Chứng minh ∆FCM vuông cân, FCM = 450 Từ ta có: · · MCF + FCB = 900 hay: MC ⊥ BC ⇒ MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trang 12 D ... = x ( x − 1) x +1 b) Xét hiệu: A – = Cách 2: Dễ thấy: A = − x −1 x x −1 = < vì: x −1 − x x x =− >0 Trang x < Vậy: A < x −1 x LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chuyên đề 2: Hàm số đồ thị... HD: Đưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm... 1)(y − 4) = xy x = ⇔  (x − 2)(y + 14) = xy  y = 28 Trang LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009 Chun đề 5: Một số tốn hình học tổng hợp (6 tiết) µ ,O Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I tâm đường