Phßng GD §T §øc thä §Ò thi chän häc sinh dù thi olimpic n¨m häc 2006 2007 M«n To¸n 7 ( Thêi gian 90 phót) §Ò ra C©u1 Cho a + b + c = 2007 vµ 1 1 1 1 90a b b c c a + + = + + + TÝnh S = a b c b c c a a[.]
Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007 Môn: Toán ( Thời gian: 90 phút) §Ò ra: 1 1 + + = a + b b + c c + a 90 a b c + + S= b+c c+a a +b Câu1: Cho: a + b + c = 2007 TÝnh: 83 , tư sè cđa 120 1 ; ; chóng tØ lƯ thn víi: ; ; 11, mÉu sè cđa chóng tØ lƯ nghÞch với: Câu2: Tìm phân số tối giản Biết tổng chúng 15 Câu3: Tìm số nguyên x y thỏa mÃn đẳng thức: 2x + 3y2 = 77 Câu4: Tìm x biết rằng: x − − x + − x = Câu5: Cho tam giác ABC có A < 120 Dựng tam giác tam giác ®Ịu ABD vµ ACE a) Chøng minh: BMD = 600 b) Chøng minh r»ng: MA + MB = MD c) Chøng minh: ∠ AMC = ∠BMC d) ¸p dơng c¸c kết giải toán sau: Dựng điểm I tam giác NPQ (có góc nhỏ 120) cho: NIP = PIQ = QIN Phòng giáo dục Đức thọ Trờng THCS Hoàng Xuân HÃn *********************** Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007 Môn: Toán ( Thời gian: 90 phút) Đề ra: 1 1 + + = a + b b + c c + a 90 a b c + + S= b+c c+a a +b C©u1: Cho: a + b + c = 2007 vµ TÝnh: 83 , tư sè cđa 120 1 chóng tØ lƯ thn víi: ; ; 11, mÉu sè cđa chóng tØ lƯ nghÞch víi: ; ; Câu2: Tìm phân số tối giản Biết tổng chúng 15 Câu3: Tìm số nguyên x y thỏa mÃn đẳng thức: 2x + 3y2 = 77 Câu4: Tìm x biết rằng: x − x + − x = −2 Câu5: Cho tam giác ABC có A < 120 Dựng tam giác tam giác ABD vµ ACE a) Chøng minh: BMD = 600 b) Chøng minh r»ng: MA + MB = MD c) Chøng minh: AMC = BMC d) áp dụng kết giải toán sau: Dựng điểm I tam giác NPQ (có góc nhỏ 120) cho: NIP = PIQ = QIN Đáp án biểu điểm Toán năm học: 2006 2007 Câu1: điểm Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a)(1®) 2007 − (b + c ) 2007 − (a + c ) 2007 − (a + b) + + (0,5 ®iĨm) = b+c a+c a+b 1 223 193 2007 + + −3= = 19 (0,5 ®iĨm) ÷− = 2007 − (1 ®iĨm) = 90 10 10 10 b+c a+c a+b =>S = C©u2: điểm a c e Gọi phân số cần tìm là: b ; d ; f ;(a; b; c; d ; e; f ∈ Z ; b; d ; f ≠ 0) ( 0,5 ®) Tư sè cđa chóng tØ lƯ thn víi: 5; 7; 11 nªn ta cã a:c:e = 5:7:11 hay: a c e = = (0,5®) 11 MÉu sè cđa chóng tØ lƯ nghÞch víi 1 ; ; => mÉu sè tØ lƯ thn víi 4; 5; 6 b d f = (0,5®) a c e b d f Đặt: = = = k; = = = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p;f 11 => = = 6p(0,5®) 75k + 84k + 110k 269k = (1 ®iĨm) 60 p 60 p a c e 83 1883 269.k 1883 k Mµ b + d + f = 15 120 = 120 => 60 p = 120 ⇒ p = (0,5 ®) e 11.7 77 a 5.7 35 c 7.7 49 = = = => = ; ; f = 6.2 = 12 (0,5 ®iĨm) b 4.2 d 5.2 10 a c e 5k 7k 11k => b + d + f = p + p + p = Câu3: điểm Từ 2x2 + 3y2 = 77 => ≤ y ≤ 77 => ≤ y ≤ 25 kÕt hợp với 2x2 số chẵn =>3y2 số lẻ => y2 số lẻ => y2 { 1; 9; 25 } ( ®) + Víi y2 = => 2x2 = 77 – = 74 x2 = 37 (KTM) + Víi y2 = => 2x2 = 77 – 27 = 50 x2 = 25 x =5 hc x = -5 + Víi y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = x2 = x = hc x = -1 (0,5 đ) Vậy ta có trờng hợp sau: 0,5 đ (nếu thiếu trờng hợp trừ 0,25 ®) x -1 -1 -5 -5 y 5 -5 -5 3 -3 -3 Câu4: điểm x x + − x = −2 (1) + Víi x ≤ −3 th×: (1) – x + 2x +3 – x = -2 0x = -7 ( KTM) −3 < x ≤ th× (1) – x – 2x – – x = -2 - 4x = - x = (TM) −3 + Víi x > th× (1) x - – 2x – – x = -2 - 2x = x = (KTM) VËy x = + Víi Bài5:7 điểm a) Ta có: ADC = ABE (c-g-c) => ADC =ABE ADFvàBMF Gọi F giao điểm AB vµ CD XÐt Cã Dˆ = Bˆ ; ∠AFD = ∠BFM ( ®èi ®Ønh) ( ®) => ∠BMF =∠FAD => ∠BMF = 60°=>∠BMC =120° ∠MBP =60° b)Trªn tia MD lấy điểm P cho BM = MP =>BMP tam giác => BP = BM; Kết hợp với ∠ABD =60° => ∠MBA = ∠PBD => ∆PBD = ∆MBA (c-g-c) => AM = DP AM + MB = DP + PM = DM (2 ®iĨm) c) Tõ: ∆PBD = ∆MBA => ∠AMB = ∠DPB, mµ: ∠BPD = 120°=>∠BMA =120° => ∠AMC =120° =>∠AMC = ∠BMC (1 ®iĨm) d) áp dụng kết trên, ta giải toán nh sau: Dựng tam giác NPQ tam giác NPA NQB Nối AQ BP chúng cắt I Thì I điểm thỏa mÃn: NIP = PIQ = QIN => Điểm I điểm cần dùng (1 ®iĨm)