LỜI NÓI ĐẦU

LỜI NÓI ĐẦU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1 NÂNG LUỸ THỪA I BÀI TẬP Bài 1 Giải phương trình x 1 x 1+ = − (1) HD (1) ⇔ 2 2 x 1 0 x 1 x 1 x 3x 1 (x 1) x 3x 0 − ≥ ≥ ≥   ⇔ ⇔   =+ = − − = [.]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=3 x =  x + = (x − 1)  x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD: (1) ⇔  HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ ⇔ 2 x + = x x ≥ ⇔ x − 2x − = x ≥  ⇔   x = −1 ⇔ x =  x =  Bài 3: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥  ⇔ 1 − x ≥   x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x)  x≤    x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − x +     −1 ≤x≤  −1   ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0  x + 7x =     x = −7 Bài 4: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = HD:ĐK:  PT ( )  x−2 =0 ⇔ ⇔  1− x + =  ( ) x =   x = −17  (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x HD:Đk: ≤ x ≤ pt đã cho tương đương: x + 3x + x − = 3  10 10 −  ⇔x+ ⇔x= ÷ = 3 3  Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : (1+ 3+ x ) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 5/ x + = − x − 4/ + x x + = x + 7/ x − x − − x − + x + = 8/ x − − = 10/ =0 16 x + 17 = x − 23 5x − + 13/ Bài 2: Giải phương trình: a) x − = x − d) + x + − x = 19 3x + + − x = 11/ − x + = 14/ b) x − x + = e) 3x − + x − = g) x + = − x + h) 3x + − x + = x + Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + 3x − = 2m + x − x Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x − x − − = d/ x − − x − + x − = −17 b/ 2x − = e/ x − − c/ 3x − x + = x − 27 + x − 12 = −1 f) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2)  x + ≥ HD: (2) ⇔   x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + +  x ≥ −1 ⇔ (*)  x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | x + (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) đã cho trở thành: y + 1+ | y − |= | y − 1| Đặt y = – Nếu ≤ y < suy ra: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ Suy ra: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > suy ra: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x − + 2x − + x + + 2x − = HD:ĐK: x ≥ PT ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ 2x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4: Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = HD:ĐK: x ≥ Pt ⇔ x − + x − + + x − − x − + = ⇔ x −1 +1+ x −1 −1 = Nếu x > pt ⇔ x − + + x − − = ⇔ x = (Loại) Nếu x ≤ pt ⇔ x − + + − x − = ⇔ x = (Luôn với ∀x ) Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x ∈ R | ≤ x ≤ 2} Bài 5: Giải phương trình: x − x + + x − x + = 10 DK : x ≥ ⇔ x −1 + x − = 10 Neu ≤ x ≤ ⇔ −2 x = (loai ) Neu p x ≤ ⇔ −1 = 10 (loai ) Neu x ≥ ⇔ x = 13 ⇒ x = 169 Bài 5: Giải phương trình 2x + + 2x − + 2x − − 2x − = dk : x ≥ ⇔ 2x − + + 2x − − = Dat x − = y ( y ≥ 0) ⇔ y + 3+ y −1 = Neu ≤ y p ⇔ y = dung∀ y khoang ≤ y p Neu y ≥ ⇔ 2y = ⇒ y = vay : ≤ x − ≤ ≤ x≤3 III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x + = 2/ x − x + = 3/ x − x + = x − 4/ 5/ x − x + + x + x + = 7/ 6/ x − x + − x − x + = 10 8/ x2 − x + + x2 − x + = x + x + = 5x + x2 − x + + x2 + x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 11/ 10/ x − − x − + x − x − = 12/ x − + x − + x + + x − = x + − x + + x + 11 − x + = 14/ 13/ x + x − x + x + − = x + +6 x −5 + x −4 −2 x −5 = 15/ x − x + + x = 10 17/ 19/ 16/ x − x + + x = 1 + x+ = 2 x+3 x + x −1 + x − x −1 = x+ x+ 21/ ( x − 1) + − x − + x − − x − + = 18/ x + x +1 − − = 20/ x − x + = − x 22/ x + − x − = PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Bài Giải phương trình: x − x − + x + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x − x + x − = 1 Đặt y = x − x − thì phương trình có dạng: y + = ⇔ y = y Thay vào tìm x = Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − Đặt y = x + ( y ≥ 0) thì x = y2 − Thay vào ta có phương trình sau: y − 10t + 25 − ( y − 5) − = y ⇔ y − 22 y − y + 27 = 16 ⇔ ( y + y − 7)( y − y − 11) = Ta tìm bốn nghiệm là: y1,2 = −1 ± 2; y3,4 = ± Do y ≥ nên nhận gái trị y1 = −1 + 2, y2 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vàx = + Cách 2: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2 − 6x − ≥ Ta được: x ( x − 3) − ( x − 1) = , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y − = x + đưa hệ đối xứng Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) thì phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với y ≤ 5) + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = )( ( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x ) HD: ĐK: ≤ x ≤ Đặt y = − x thì phương trình trở thành: 2( 1− y) (y + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x + HD: x = không phải nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1   x − ÷+ x − = x x  1± Đặt t= x − , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5  y=  ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔  y =1  x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔  Là nghiệm phương trình đã cho  x = −6 2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Bài Giải phương trình : ( x + ) = x3 + HD: Đặt u = x + (u ≥ 0) ; v = x − x + (v ≥ ) u = 2v ± 37 phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔  Tìm được: x = u = v 2  x + x + (*) Bài Giải phương trình : x − x + = − 4 2 2 HD:Dễ thấy: x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) 2 Ta viết α ( x + x + 1) + β ( x − x + 1) = − Đồng vế trái với (*) ta : −3 ( x + x + 1) + ( x − x + 1) = − (x (x + x + 1) ( x − x + 1) + x + 1) ( x − x + 1) 3 3   2 Đặt : u = x + x +  u ≥ ÷ ; v = x − x +  v ≥ ÷  4 4  phương trình trở thành :-3u+6v=- uv ⇒ u = 3v Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x + x − = x3 − (*) HD:Đk: x ≥ Nhận xét : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng vế trái với (*) ta : ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔  v = u  Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − x + ( x + 2) − 6x = HD:Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc đối với x y : x = y x − 3x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔   x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 + = ( x + ) HD:ĐK: x ≥ −1 Pt ⇔ 10 x + x − x + = 3( x + 2) u = x + Đặt  v = x − x + (u , v ≥ 0) u = 3v  v = 3u Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) ⇔ ( 3u − v ) ( u − 3v ) = ⇔  Nếu u = 3v ⇔ x + = x − x + ⇔ x − 10 x + = (vô nghiệm)  x = − 33 2 Nếu v = 3u ⇔ x − x + = x + ⇔ x − 10 x − = ⇔   x = + 33 nghiệm Bài Giải phương trình : x + x − = x − x + u = x ( u, v ≥ 0; u ≥ v ) phương trình trở thành : HD:Ta đặt :  v = x − u + 3v = u − v hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u − v ) Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = 3x + x + HD:Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) u = x + x ta có hệ : v = x − Ta đặt :   1− v u =  uv = u − v ⇔  1+ v u =  1+ 1+ v ⇔ x2 + 2x = Do u, v ≥ u = ( x − 1) 2 Bài Giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + HD:Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: 2 x2 − 5x + = (x − x − 20 ) ( x + 1) 2 Nhận xét : Không tồn tại số α , β để : x − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) u = x − x − 20 ta đặt :  v = x + Nhưng may mắn ta có : (x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Ta viết lại phương trình: ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Từ phương trình tích Bài ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = ( )( x +1 −1 ⇔ x +1− Dat ( ) x +1 − x + = ) x + ( x − 1) + x − = ( Dk : x ≥ −1) x + = y ( y ≥ 0) y − y ( x − 1) + x − = ∆ = x − x + − x + = x − x + = ( x − 3) ∆ = x−3 x −1+ x − ⇒y= = x−2 x −1 − x + y= =1 Thay y = x − ⇔ x + = x − ⇒ x − = x − x + ⇔ x2 − 5x + = ⇒ x = 5+2 5−2 Thay y = ⇔ x + = ⇔ x = x=  + 5 −  ;  2    Vậy x ∈ 0; Bài ( ( 2x + − x 2x + − x )( )( ) 2x + − x + = ) 2x + − x + = ⇔ x + + x + 3(−2 x + 2) + x − x = dk : x ≥ −3 Dat y = x + ⇔ y + y (−2 x + 2) + x − x = ∆ = x2 − x + − x2 + x = 2x − + y= =x 2x − − y= = x−2 Thay y = x ⇔ x + = x ⇒ x + = x ⇔ x − x − = ⇒ x = −1; x = Thay y = x − ⇔ x + = x − dk : x ≥ ⇒ 2x + = x2 − 4x + ⇔ x2 − 6x − = ⇒ 10