Phßng GD §T §øc thä Phßng GD §T §øc thä Trêng THCS Hoµng Xu©n H n §Ò thi chän häc sinh giái trêng n¨m häc 2006–2007 M«n To¸n – Líp 7 Thêi gian lµm bµi 90 phót C©u1 Cho a + b + c = 2007 vµ 1 1 1 1 90a[.]
Phòng GD-ĐT Đức thọ Trờng THCS Hoàng Xuân HÃn Đề thi chọn học sinh giỏi trờng năm học 20062007 Môn Toán Lớp Thời gian làm bài:90 phút 1 1 + + = a + b b + c c + a 90 a b c + + S= b+c c+a a +b C©u1: Cho: a + b + c = 2007 Tính: Câu2: Tìm phân số tối giản Biết tổng chúng 15 83 , tư 120 sè cđa chóng tØ lƯ thn víi: ; ; 11, mÉu sè cđa chóng tØ lƯ nghÞch víi: 1 ; ; Câu3: Tìm số nguyên x y thỏa mÃn đẳng thức: 2x + 3y2 = 77 Câu4: Tìm x biết rằng: x − x + − x = −2 Câu5: Cho tam giác ABC có A < 120 Dựng tam giác tam giác ABD ACE a) Gọi M giao điểm BE CD TÝnh ∠ BMC b) Chøng minh r»ng: MA + MB = MD c) Chøng minh: ∠AMC = ∠BMC d) áp dụng kết giải toán sau: Dựng điểm I tam giác NPQ (có góc nhá h¬n 120°) cho: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN Đáp án biểu điểm Toán năm học: 2006 – 2007 C©u1: Tõ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a) 2007 − (b + c ) 2007 − (a + c) 2007 − (a + b) + + = b+c a+c a+b 1 223 193 2007 + + −3= = 19 ÷− = 2007 − = 90 10 10 10 b+c a+c a+b a c e Câu2: Gọi phân số cần tìm là: b ; d ; f ;(a; b; c; d ; e; f ∈ Z ; b; d ; f ≠ 0) S= Tö sè cđa chóng tØ lƯ thn víi: 5; 7; 11 nªn ta cã a:c:e = 5:7:11 hay: a c e = = 11 MÉu sè cđa chóng tØ lƯ nghịch với b 4; 5; 6=> = Đặt: 1 ; ; => mÉu sè tØ lÖ thuËn víi d f = a c e b d f = = = k; = = = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; 11 d = 5p; f = 6p a c e 5k 7k 11k 75k + 84k + 110k 269k + + = + + = = b d f 4p 5p 6p 60 p 60 p a c e 83 1883 269.k 1883 k Mµ b + d + f = 15 120 = 120 => 60 p = 120 ⇒ p = e 11.7 77 a 5.7 35 c 7.7 49 = = = => = ; ; f = 6.2 = 12 b 4.2 d 5.2 10 C©u3: Tõ 2x + 3y2 = 77 => ≤ y ≤ 77 => ≤ y ≤ 25 kÕt hỵp với 2x2 số chẵn =>3y2 số lẻ => y2 số lẻ => y2 { 1; 9; 25 } + Víi y2 = => 2x2 = 77 – = 74 => x2 = 37 (KTM) + Víi y2 = => 2x2 = 77 – 27 = 50 => x2 = 25 => x =5 + Víi y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = => x2 = => x = Vậy ta có trờng hợp sau: x -1 -1 -5 y 5 -5 -5 3 x − − x + x = (1) Câu4: x = -5 hc x = -1 -3 -5 -3 + Víi x ≤ + Víi −3 th×: (1) – x + 2x +3 – x = -2 0x = -7 ( KTM) −3 < x ≤ th× (1) – x – 2x – – x = -2 - 4x = - => x = (TM) + Víi x > th× (1) x - – 2x – – x = -2 - 2x = => x = −3 (KTM) VËy x = Bµi5: ∠ADC =∠ABE XÐt ∆ADFvµ∆BMF a)Ta cã: ∆ADC = ABE (c-g-c) => Gọi F giao điểm AB vµ CD Cã Dˆ = Bˆ ; ∠AFD = ∠BFM ( ®èi ®Ønh) => ∠BMF =∠FAD => ∠BMF = 60=>BMC =120 b)Trên tia MD lấy điểm P cho BM = MP BM; MBP =60 =>BMP tam giác ®Ịu => BP = KÕt hỵp víi ∠ABD =60° => ∠MBA = ∠PBD => ∆PBD = ∆MBA (c-g-c) => AM = DP AM + MB = DP + PM = DM c) Tõ: ∆PBD = ∆MBA => ∠AMB = ∠DPB, mµ: ∠BPD = 120°=>∠BMA =120° => ∠AMC =120° =>∠AMC = BMC d) áp dụng kết trên, ta giải toán nh sau: Dựng tam giác NPQ tam giác NPA NQB Nối AQ BP chúng cắt I Thì I điểm tháa m·n: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN => §iĨm I điểm cần dựng