Së GD&§T Tuyªn Quang

Së GD&§T Tuyªn Quang Së GD&§T Tuyªn Quang Trêng THPT Hµm Yªn §Ò thi chän häc sinh giái To¸n n¨m häc 2007 2008 Thêi gian 180 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò bµi C©u 1 (5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau[.]

Sở GD&ĐT Tuyên Quang Trờng THPT Hàm Yên Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2007 - 2008 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Câu 1: (5 điểm) Giải phơng trình sau: x   x   5x Câu 2: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thøc sau: x2 y2 z2 x y z      y2 z2 x2 y z x C©u 3: (4 điểm) u 11 Cho dÃy số (un) xác ®Þnh bëi:  u n 1 10u n  n, n N Tìm công thức tính un theo n Câu 4: (4 điểm) Tổng m số nguyên dơng liên tiếp 2008 Xác định số Câu 5: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có canh a Trên cạnh AD lấy ®iĨm M cho   AM = 3MD KỴ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM Kẻ tia phân giác MBI Tính diện tÝch tam gi¸c BMN BN  N  CD  cña gãc CBI Đáp án thang điểm Câu 1: (5 điểm) x   x   5x  2x  3 x     x   x  5x x  5x x  4x  5x 0  x 0;x  Thư l¹i ta thÊy ph ¬ng tr×nh cã nghiƯm: x = 0; x = Câu 2: (4 điểm) Ta có: x x2   y y2   y2 y  2   z z z2 z 2   x x Céng ba bất đẳng thức trên, ta đợc: x y z x2 y2 z2        (1) y z x y z x áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dơng, ta đợc: x2 y2 z2 x2 y2 z2   3 (2) y2 z2 x2 y2 z x2  x2 y2 z  x y z Tõ (1) vµ (2) suy ra:     2     z x  y y z x Tõ ta có bất đẳng thức cần chứng minh Câu 3: Ta cã: u1 11 10  u 10.11   102 100  u 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán un = 10n + n (1) Chứng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + c«ng thức (1) với n = Giả sử công thøc (1) ®óng víi n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) với n = k + VËy un = 10n + n, n Câu 4: (4 điểm) Giả sử tổng m số nguyên dơng liên tiếp số k b»ng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 m  m  1  mk  2008  m  2k  m  1 4016 24.251 NÕu m lỴ  2k + m - chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - = 24 (không xảy ra) k m  251 m 16 NÕu m ch½n  2k + m - lỴ Ta cã:    m   k 118  VËy số cần tìm 118, 119,133 Câu 5: (3 ®iĨm) Trªn tia BI, lÊy ®iĨm H cho BH = a Khi BH = AB = BC nên ta có: ABM HBM(c.g.c) CBN = HBN(c.g.c) Do đó: MH = AM vµ NH = CN     BHM BAM 900 vµ BHN BCN 900 Suy M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn H MN = AM + NC A B 1 VËy S BMN  BH.MN  a  AM  NC  2 V× AM = 3MD nªn MD  a;AM  a M 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông MDN, ta có: D I N C 2 2 2 MN MD  DN   AM  NC  MD   DC  NC  2 a 3  a   a  x     a  x  x  4  16 3 a  25 Suy : S BMN  a  a    a 4  56