SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2009 Môn Toán Khối B Thời gian làm bài 180 phút A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh Câu 1 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x +[.]
TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2009 Mơn: Tốn - Khối B Thời gian làm bài: 180 phút A Phần dành chung cho tất thí sinh: Câu Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x + − m2 1) Khảo sát hàm số m = 2; 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại, cực tiểu điểm I(0 ; 4) thẳng hàng Câu 1) Giải phương trình: tan x cos x cos x 4 2x y x y 2) Giải hệ phương trình: 3x 2y Câu 1) Tính tích phân: I = 2x dx x 1 2) Cho x, y, z số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = xy + yz + zx 27xyz Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi cạnh a, AA ' · · · BAD BAA ' DAA ' 600 Tính thể tích hình hộp theo a a B Phần dành riêng cho ban: Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn) x x 1 1) Giải phương trình: log (4 4) x log (2 3) 2) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) mặt phẳng () có phương trình 2x 2y z + = a) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A, B vng góc với (); b) Gọi d giao tuyến () () Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d qua điểm A, B Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao) 1) Giải phương trình: log (4 x 1) log (22 x 3 6) x 2) Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB hình vng A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) Gọi A’, B’, C’ hình chiếu O SA, SB, SC a) Viết phương trình mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng SC; b) Chứng minh điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu Viết phương trình mặt cầu Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2008−2009.KHỐI B A Phần dành chung cho tất thí sinh: Câu 1(2đ) ý 1(1đ ) Nội dung Điểm Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 − 3x + 1) TXĐ: R 2) SBT y ; lim y •Giới hạn: xlim x •BBT: Có y’ = 3x2 − = ⇔ x = ±1 x −∞ −1 y’ + − y −∞ −1 0,25 +∞ + số ĐB (−∞ ; −1) (1 ; +∞), nghịch biến (−1 ; 1) Hàm số đạt cực đại x = −1, yCĐ = y(−1) = 3; Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = y(1) = −1 3) Đồ thị: Giao với Oy: (0 ; 1) Đi qua: (2 ; 3), (−2 ; −1) Tâm đối xứng: (0 ; 1) -1 -2 0,25 +∞ Hàm 0,25 y 0,25 O x -1 -2 2(1đ ) 2(2đ) 1(1đ ) Tìm m Có y’ = 3x2 − (m + 1) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ 3(m + 1) > ⇔ m > −1 (*) y” = 6x = ⇔ x = ⇒ Đồ thị có tâm đối xứng U(0 ; − m2) ⇒ CĐ, CT đồ thị U thẳng hàng Từ giả thiết suy I trùng U ⇔ − m2 = ⇔ m = (do (*)) Giải phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢ ) PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) k (k ∈ ¢ ) (Thoả mãn) ⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x 2(1đ ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải hệ PT Đặt x y u 0, x y v Ta có hệ: 0,5 u v 1 u 2, v ⇒ 2 u 1, v 2(loai ) u v 5 2x y x y 1 Vậy hệ ⇔ 3(2đ) 1(1đ ) 2x y x2 x y 1 y 1 ⇔ 0,5 Đặt u x ⇒ x = u3 − 1; dx = 3u2du; u(0) = 1, u(7) = 0,25 Tính tích phân ⇒I= 2(u 1) 3u du = 1 u (6u 9u)du 0,25 6u 9u 237 = 10 2(1đ ) 0,5 Tìm giá nhỏ 1 1 1 ⇒ x y z x y z Với x, y, z > ta có ( x y z ) 0,25 ⇒ xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT xyz = Do đó: ∀x, y, z ≥ 0, A ≥ −18xyz Mặt khác, x + y + z = nên xyz Từ suy ra: A 0,25 27 18 27 Hơn x = y = z = 1/3 A = 2/3 Vậy A = 2/3 +) Ta có: x2 ≥ x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) Tương tự : y2 ≥ (1 2z)(1 2x) (2) ; z2 ≥ (1 2x)(1 2y) (3) Từ (1), (2), (3) suy xyz ≤ (1 2x)(1 2y)(1 2z) xyz ≥ 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) xyz xyz 4(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz xy yz zx 99 xyz A 4 Mặt khác x = 0, y = z = ½ A = ¼ Vậy max A = ¼ 4(1đ) Tính thể tích hình hộp Hạ đường cao A’H Gọi E, F hình chiếu H AB, AD Theo định lý đường vng góc suy A’E ⊥ AB, A’F ⊥ AD ∆ vuông A’AE ∆ vng A’AF (A’A chung góc A’AE góc A’AF) ⇒ HE = HF ⇒ H thuộc đường phân giác góc BAD ⇒ H ∈ AC 0,25 0,25 D' C' A' B' 0,25 D F A C H E B a a , A' E a a2 a2 a Từ ∆AHE ⇒ HE = AE.tan300 = ⇒ A' H 36 Từ ∆A’AE ⇒ AE Diện tích ABCD a2 a3 Suy thể tích hộp: V 0,25 0,25 0,25 B Phần dành riêng cho ban: Câu 5a(3đ) ý 1(1đ ) Nội dung PT ⇔ log (4 x 4) x log (2 x 1 3) ⇔ log (4 x 4) log 2 x (2 x1 3) ⇔ x x (2 x1 3) Đặt 2x = t > 0, ta có: t2 + = t(2t − 3) ⇔ t2 − 3t − = ⇔ t = t = −1(loại) Vậy 2x = ⇔ x = 2(2đ ) Điểm Giải PT 0,25 0,5 0,25 a) Viết phương trình mp(β) mp(α) có vectơ pháp tuyến nα (2; -2;-1); AB = (4;0; -2) ⇒ mp(β) có vectơ pháp tuyến nβ = nα ^ AB = (4;0;8) ⇒ phương trình mp(β): x + 2z − = b) Viết phương trình mặt cầu Gọi (γ) mp trung trực AB (γ)đi qua trung điểm M(1 ; ; 1) AB có vectơ pháp tuyến AB = (4;0; -2) ⇒ PT mp(γ): 2x − z − = Gọi I tâm mặt cầu I giao điểm mặt phẳng (α), (β), (γ) ⇒ toạ độ I nghiệm hệ: 0,5 0,5 0,5 2x y z ⇒ I(1 ; ; 1) x 2z 2x z 1 5b(3đ) 1(1đ ) Bán kính mặt cầu R IA ⇒ PT mặt cầu: (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = Giải phương trình 0,5 2(2đ ) PT ⇔ log (4 x 1) log 2 x (22 x 6) ⇔ x x (22 x3 6) Đặt 2x = t > 0, ta có PT: t2 + = t(8t2 − 6) = ⇔ 8t3 − t2 − 6t − = ⇔ (t − 1)(8t2 + 7t + 1) = ⇔ t = Vậy 2x = ⇔ x = a) Viết phương trình mặt phẳng 0,25 0,5 0,25 Vì OABC hình vng nên C(1; 1; 0) mặt phẳng cần tìm qua O có vectơ pháp tuyến SC (1;1;-2) ⇒ PT mặt phẳng cần tìm: x + y − 2z = b) Chứng minh Viết PT mặt cầu Vì OA’ ⊥ (SAC) nên OA’ ⊥ A’C S Tương tự: OB’ ⊥ B’C Như vậy: điểm A, B, A’, B’, C’ nhìn C’ đoạn AC góc vng ⇒ O, A, B’ B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) A’ đường kính OC B 1 Tâm I mặt cầu (S) trung điểm OC ⇒ I ; ;0 2 Bán kính (S): R OC 2 C A 0,5 I O 0,5 0,5 1 1 Vậy phương trình mặt cầu (S): x y z 2 2 0,5 ... A'' E a a2 a2 a Từ ∆AHE ⇒ HE = AE.tan300 = ⇒ A'' H 36 Từ ∆A’AE ⇒ AE Diện tích ABCD a2 a3 Suy thể tích hộp: V 0,25 0,25 0,25 B Phần dành riêng cho ban: Câu 5a(3đ) ý 1(1đ ) Nội dung PT... 1 ⇒ x y z x y z Với x, y, z > ta có ( x y z ) 0,25 ⇒ xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT xyz = Do đó: ∀x, y, z ≥ 0, A ≥ −18xyz Mặt khác, x + y + z = nên xyz Từ suy ra: A 0,25 27... trùng U ⇔ − m2 = ⇔ m = (do (*)) Giải phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ¢ ) PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx)