ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN TOÁN - VÒNG 2 ppt

Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC.. 1 Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.. 2 Chứng min

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010

MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

1) Giải phương trình

4 1 3

x

2) Giải hệ phương trình





















11 2

3

26 2

2

y x y x x

xy y

x

Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 391 là số chính phương

2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện xyz 1 Chứng minh rằng

1 1

2











xy

y x z xy

Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng

1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC

2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1,a2, ,a2010,

ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương

Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất

cả các số được đánh dấu là một số dương

_

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

Vòng II Câu I

1)Giải phương trình

4 1 3

x

Đk: x 1

3

 

 Với x=1 là nghiệm của phương trình

 Với x > 1 , vế trái lớn hơn 4 Phương trình vô nghiệm

 Với x < 1 , vế trái nhở hơn 4 Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là x=1

2)Giải hệ phương trình





















11 2

3

26 2

2

y x y

x

x

xy y

x

2

x 2

x 3



 













  



 Với x=2 Ta có

2.2 3.2 y 2y 11 y 2y 3 0







 Với x 8

3

  Ta có :

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;1 ; 2; 3   

Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 391 là số chính phương

Giả sử n2391a2 với a nguyên dương Ta có

 

L

TM

Vậy số nguyên dương n thỏa mãn đề bài là 195

minh rằng

1 1

2











xy

y x z

xy

Ta có

1

Dấu “=” xảy ra khi x y z 1

3

Câu III

1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC

Ta có các tứ giác BEPH và PHQM là tứ giác nội tiếp Từ đó

1 1 2 2

H P P H mà H2 C1 (cùng phụ với QHC )

1 1

  nên CM EH CMAB tương tự BMAC Vậy M là trực tâm của tam

giác ABC

2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp

EBHHPF (cùng bù với góc HPE )

HPFPFAEBHPFA

Vậy tứ giác BEFC nội tiếp

Câu IV

Số các số được đánh dấu  1

Nếu tất cả các số được đánh dấu là số dương ta có đpcm

n n 1

và an an 1 0, mọi số âm đều có số có tổng dương, các cặp số này không trùng nhau Vậy tổng các số được đánh dấu là dương