Hình học giải tích

MAI QUANG VINH (Chủ biên) - TRẦN THANH PHONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bình Dương, tháng 10 năm 2015 Mục lục Giới thiệu VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ 1.1.1 Khái niệm vectơ 1.1.2 Các phép toán vectơ 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 1.1.4 Chiếu vectơ 1.1.5 Tích vơ hướng hai vectơ 1.2 Mục tiêu affine mặt phẳng 1.2.1 Mục tiêu affine-Tọa độ 1.2.2 Đổi mục tiêu affine 1.2.3 Tâm tỉ cự 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng 1.3.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.3.4 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ 1.4 Mục tiêu affine không gian 1.4.1 Mục tiêu affine không gian Tọa độ 1.4.2 Đổi mục tiêu affine không gian 1.5 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.5.3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 1.5.4 Tích có hướng hai vectơ 1.5.5 Tích hỗn hợp ba vectơ 1.6 Phương trình đường mặt 1.6.1 Phương trình đường mặt phẳng 1.6.2 Mặt không gian 1.6.3 Đường không gian 1.6.4 Hai toán thường gặp Hình học giải tích 1.7 BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 2.1 Đường thẳng mặt phẳng 2.1.1 Phương trình đường thẳng mục 2.1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.1.3 Chùm đường thẳng 2.1.4 Nửa mặt phẳng tiêu affine 7 10 12 13 15 15 17 21 22 22 22 23 26 27 27 28 31 31 32 35 35 37 38 38 40 43 44 45 51 51 51 53 54 55 MỤC LỤC 2.1.5 Phương trình đường thẳng hệ tọa độ trực chuẩn 2.2 Mặt phẳng không gian 2.2.1 Phương trình mặt phẳng mục tiêu affine 2.2.2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 2.2.3 Chùm mặt phẳng 2.2.4 Nửa không gian 2.2.5 Phương trình mặt phẳng hệ tọa độ trực chuẩn 2.3 Đường thẳng không gian 2.3.1 Phương trình đường thẳng khơng gian 2.3.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian 2.3.3 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng 2.3.4 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.3.5 Góc hai đường thẳng không gian 2.3.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian 2.3.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học 2.4 BÀI TẬP 56 58 59 61 62 63 65 67 67 69 70 70 71 71 72 73 77 ĐƯỜNG BẬC HAI 3.1 Ba đường conic 3.1.1 Đường tròn ellipse 3.1.2 Hyperbol parabol 3.1.3 Ba đường conic 3.1.4 Đường kính ba đường conic 3.1.5 Tiếp tuyến ba đường conic 3.1.6 Đường chuẩn ba đường conic 3.2 Đường bậc hai mặt phẳng với mục tiêu affine 3.2.1 Khái niệm 3.2.2 Phương trình tắc đường bậc hai 3.2.3 Giao đường bậc hai đường thẳng 3.2.4 Tâm đường bậc hai 3.2.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 3.2.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận 3.2.7 Đường kính liên hợp 3.3 Đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 3.4 Các bất biến đa thức bậc hai Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.4.1 Các bất biến đa thức bậc hai 3.4.2 Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.5 BÀI TẬP 83 83 83 86 87 89 93 96 98 98 98 103 105 106 108 109 111 MẶT BẬC HAI 4.1 Mặt tròn xoay 4.2 Mặt tròn xoay bậc hai 4.2.1 Mặt cầu 4.2.2 Ellipsoid tròn xoay 4.2.3 Hyperboloid tròn xoay 4.2.4 Paraboloid tròn xoay 4.2.5 Mặt nón trịn xoay 131 131 133 134 134 135 137 138 118 118 123 128 MỤC LỤC 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.2.6 Mặt trụ tròn xoay 4.2.7 Cặp mặt phẳng song song 4.2.8 Cặp mặt phẳng trùng Mặt bậc hai 4.3.1 Ellipsoid 4.3.2 Hyperboloid 4.3.3 Paraboloid 4.3.4 Mặt nón bậc hai 4.3.5 Mặt trụ bậc hai Mặt bậc hai không gian với mục tiêu affine 4.4.1 Phương trình tắc mặt bậc hai 4.4.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng 4.4.3 Giao mặt bậc hai mặt phẳng 4.4.4 Tâm mặt bậc hai 4.4.5 Mặt kính liên hợp mặt bậc hai Mặt bậc hai không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 4.6.1 Khái niệm 4.6.2 Đường sinh thẳng hyperboloid tầng 4.6.3 Đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic BÀI TẬP 138 139 139 140 140 141 141 142 143 145 145 152 153 154 156 160 165 165 165 170 174 Tài liệu tham khảo 178 Danh mục từ khóa 180 Giới thiệu Quyển sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích Trong sách này, chúng tơi hệ thống hóa khái qt hóa kiến thức hình học giải tích THPT bổ sung kiến thức giúp cho người đọc thấy nghiên cứu hình học nhiều phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Phần lớn tính chất chứng minh chặt chẽ, tìm thấy tài liệu tham khảo, trừ chứng minh dễ dàng nhận dành cho bạn đọc xem tập Các tính chất khái niệm đối tượng xét mục tiêu (hệ tọa độ) phù hợp (affine hay trực chuẩn) Đồng thời, nhiều ví dụ trình bày chi tiết giúp cho việc tìm hiểu lí thuyết tốt Nội dung sách chia làm bốn chương Chương Vectơ tọa độ Trong chương này, khái niệm vectơ phép tốn vectơ trình bày kĩ Bên cạnh đó, khái niệm hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính, tâm tỉ cự tích hỗn hợp bổ sung Về phương pháp tọa độ, mục tiêu affine (hệ tọa độ xiên), hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng không gian trình bày kĩ, chặt chẽ sở với mong muốn giúp người đọc có nhìn thấu đáu tảng hình học Và qua đó, tìm hiểu hình học khác tốt hơn, chẳng hạn hình học affine, hình học Euclide Ở cuối chương, tọa độ cực, tọa độ trụ tọa độ cầu giới thiệu sơ lược để giúp người đọc thấy tồn nhiều hệ tạo độ khác bước đầu làm quen với sở cho mơn học Tốn khác Chương Đường thẳng-Mặt phẳng Khái niệm tính chất đường thẳng mặt phẳng khơng gian hệ thống hóa đầy đủ, với khái niệm tính chất mặt phẳng khơng gian Bên cạnh đó, chúng tơi cịn bổ sung vào phần nửa mặt phẳng nửa không gian, số ví dụ minh họa việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học Chương Đường bậc hai Ba đường conic (ellipse, hyperbol parabol) đối tượng quen thuộc giới thiệu trước tiên nhằm giúp người đọc dễ tiếp cận với đối tượng chương đường bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, phương tiệm cận, Đồng thời, dấu hiệu để nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến đa thức bậc hai trình bày chi tiết đầy đủ Đây xem nội dung đặc biệt thú vị chương Chương Mặt bậc hai Mặt tròn xoay, mặt tròn xoay bậc hai mặt bậc hai đối tượng xét đến trước tiếp cận với mặt bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, giao mặt bậc hai mặt phẳng, mặt bậc hai Và tính chất hai mặt kẻ bậc hai đặc biệt, hyperboloid tầng paraboloid hyperbolic (hay mặt yên ngựa), trình bày đầy đủ chi tiết Bên cạnh đó, hình ảnh minh họa cho cơng trình xây dựng thực tế mơ theo số mặt bậc hai đặc biệt Giới thiệu trình bày nhằm giúp người đọc thấy tốn học khơng phải xa rời thực tế Việc nắm vững số kiến thức không gian vectơ sở tọa độ vectơ, dạng toàn phương Đại số tuyến tính cần thiết để tiếp cận nội dung sách cách thuận lợi Ở cuối chương có phần tập phong phú để thực hành củng cố nội dung lí thuyết trình bày trước Làm nhiều tập tốt cho việc tìm hiểu nắm vững kiến thức liên quan, việc học Tốn học Có thể nói sách kết việc tổng hợp chọn lọc phần ưu điểm tài liệu tham khảo Việc tóm tắt lí thuyết cho chương sau học cần thiết thú vị Vì vậy, việc dành cho người đọc Hy vọng sách giúp ích cho sinh viên ngành Tốn dùng làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Và xin cảm ơn bạn đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến để sách hoàn thiện Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để sách tốt Bình Dương, tháng 11 năm 2015 Tác giả Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 1.1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Khái niệm vectơ Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng không gian, cho hai điểm A B Đoạn thẳng AB thứ tự hai điểm mút gọi vectơ hay đoạn thẳng có hướng Một điểm gọi điểm đầu, điểm lại gọi −→ điểm cuối Đường thẳng (AB) gọi giá vectơ AB −→ Nếu A điểm đầu, B điểm cuối vectơ kí hiệu AB Vectơ cịn có → − − − − thể kí hiệu → a , b ; , → x ,→ y , −→ Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài hay module AB kí hiệu −→ −→ −→ −→ độ dài AB |AB| Suy hai vectơ AB BA có độ dài −→ −−→ Định nghĩa 1.1.2 Hai vectơ AB CD gọi hai vectơ phương hay cộng tính đường thẳng AB CD song song trùng −→ −−→ Hai vectơ phương AB CD gọi hướng xảy hai trường hợp sau (xem Hình 1.1): (i) Nếu hai đường thẳng AB CD song song hai điểm B D nằm phía đường thẳng AC (ii) Nếu hai đường thẳng AB CD trùng hai tia AB (gốc A) tia CD (gốc C) chứa tia D B C A B C A Hình 1.1: Hai vectơ hướng D Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Hai vectơ phương mà khơng hướng gọi hai vectơ ngược hướng → − → − − − Định nghĩa 1.1.3 Hai vectơ → a b gọi nhau, kí hiệu → a = b, chúng có hướng độ dài − − − Vectơ đối vectơ → a , kí hiệu −→ a , vectơ ngược hướng với → a có độ dài → − với độ dài a −→ −−→ Đặc biệt, vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA, M M , → − gọi vectơ-khơng, kí hiệu Độ dài vectơ-không Quy ước: vectơ-không phương hướng với vectơ Từ suy vectơ-khơng 1.1.2 Các phép toán vectơ Cộng trừ vectơ → − − Định nghĩa 1.1.4 Tổng hai vectơ → a b vectơ xác định −→ − sau: từ điểm O tùy ý không gian, dựng vectơ OA = → a , từ A dựng → − −→ −−→ → − vectơ AB = b (xem Hình 1.2) Vectơ c = OB gọi vectơ tổng hai → − → − − −c = → − vectơ → a b Kí hiệu → a + b − − − a , , → a Tương tự, ta định nghĩa tổng n vectơ → a ,→ n A → − b → − a O → − → −c = → − a + b B Hình 1.2: Cộng vectơ Từ định nghĩa suy phép cộng vectơ có tính chất sau → − → − − − Mệnh đề 1.1.5 (i) Giao hoán: → a + b = b +→ a → − → − − −c = → − −c ) (ii) Kết hợp: (→ a + b )+→ a +( b +→ → − − − (iii) Có vectơ không: → a + =→ a → − → − → − (iv) Có vectơ đối: a + (− a ) = → − −→ −→ −−→ − − Chứng minh (i) Đặt OA = → a , AB = b BC = → a xem Hình 1.3 Khi đó, OACB hình bình hành theo định nghĩa tổng hai vectơ, ta có → − −→ −→ −−→ → − a + b = OA + AB = OB, → − → −→ −−→ −→ b +− a = AB + BC = AC → − → − − − =⇒ → a + b = b +→ a Chứng minh phần (ii), (iii), (iv) hoàn toàn tương tự với chứng minh 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Hình 1.3: → − − Nhận xét 1.1.6 Vectơ tổng → a + b vectơ đường chéo hình bình hành nên người ta cịn nói phép cộng hai vectơ thực theo quy tắc hình bình hành Định nghĩa phép cộng hai vectơ phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui học → − → − − − − Định nghĩa 1.1.7 Hiệu hai vectơ → a b , kí hiệu → a − b , vectơ → x → − → → − − → − → − → − cho b + x = a Người ta gọi vectơ x vectơ hiệu viết x = a − b Nhân số với vectơ − − Định nghĩa 1.1.8 Tích số k với vectơ → a vectơ, kí hiệu k → a, − − − có độ dài |k|.|→ a |, hướng với vectơ → a k > 0, ngược hướng với → a k < (xem Hình 1.4) → − a → − a → − − b = k→ a (k > 0) → − − b = k→ a (k < 0) Hình 1.4: Nhân số với vectơ Phép nhân số với vectơ có tính chất sau Các chứng minh xem tập → − − Mệnh đề 1.1.9 Với vectơ → a , b số thực k, l tùy ý, ta có − − (i) 1.→ a =→ a → − − (ii) (−1) a = −→ a → − − (iii) k(l a ) = (kl)→ a → − → − → − − (iv) k( a + b ) = k → a +k b − − − (v) (k + l)→ a = k→ a + l→ a Khái niệm vectơ phép toán vectơ định nghĩa mục làm cho mặt phẳng không gian trở thành không gian vectơ trừu tượng theo nghĩa Đại số tuyến tính Tuy nhiên, mục tiêu muốn có tài liệu tham khảo phù hợp với người đọc học sinh phổ thông nên khái niệm phép tốn trình bày cách sơ cấp 168 Chương MẶT BẬC HAI Để cho gọn, ta đặt y z x = X; = Y ; = Z a b c Như  pX − qY + pZ − q = l:  qX + pY − qZ − p = ,  p′ X + q ′ Y + p′ Z − q ′ = l :  ′ q X − p′ Y + q ′ Z − p′ = ′ Từ phương trình đường thẳng l ta suy  X = 2pq + (q − p2 )Z Y = p2 − q + 2pqZ Từ phương trình đường thẳng l′ ta suy  X = 2p′ q ′ + (q ′2 − p′2 )Z Y = q ′2 − p′2 − 2p′ q ′ Z Sự giao l l′ phụ thuộc tương thích hệ phương trình  2pq + (q − p2 )Z = 2p′ q ′ + (q ′2 − p′2 )Z p2 − q + 2pqZ = q ′2 − p′2 − 2p′ q ′ Z hay  (q − p2 + p′2 − q ′2 )Z = 2(p′ q ′ − pq) 2(pq + p′ q ′ )Z = q ′2 − p′2 + q − p2 (4.29) Vì p, q p′ , q ′ khơng đồng thời không xác định sai khác thừa số khác nên ta chọn chúng cho p2 + q = p′2 + q ′2 = Như vậy, định thức 2(p′ q ′ − pq) q − p2 + p′2 − q ′2 2(pq + p′ q ′ ) q ′2 − p′2 + q − p2 = (q − p2 )2 − (p′2 − q ′2 )2 − 4(p′2 q ′2 − p2 q ) = D = Điều chứng tỏ hệ (4.29) ln ln có nghiệm, hai đường thẳng l l′ ln ln cắt (l l′ song song xem chúng cắt xa vô tận) Ta xét trường hợp riêng: Z → ∞, xảy hai hệ số Z hai phương trình hệ (4.29) triệt tiêu, nghĩa q − p2 + p′2 − q ′2 = pq + p′ q ′ = Lúc l l′ song song giao điểm chúng với mặt phẳng Oxy : Z =    X1 = 2pq M :  Y1 = p − q   Z1 = ,  ′   X1 = 2p′ q ′ = −X1 M2 : Y1′ = q ′2 − p′2 = −Y1   ′ Z1 = Rõ ràng M1 M2 hai điểm nằm mặt phẳng Oxy đối xứng với qua gốc tọa độ O 169 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai Định lí 4.6.4 Hai đường sinh thẳng phân biệt hyperboloid tầng thuộc họ luôn chéo Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng phân biệt l1 l2 thuộc họ Å Å  Åx  Åx yã yã zã zã p    p2 = q1 + = q2 + + +       a c b a c b : , l l1 :  Å Å Å Å    yã yã x zã x zã      q1  q2 = p1 − = p2 − − − a c b a c b x y z Đặt = X, = Y, = Z, ta có a b c  p X − q1 Y + p1 Z − q1 = l1 :  q1 X + p1 Y − q1 Z − p1 = , l2 :  p 2X − q Y + p Z − q2 = q2 X + p2 Y − q2 Z − p2 = Xét hai vectơ phương hai đường thẳng p −q1 p1 , p1 −q1 −q1 Ç p −q2 p2 → − , a2 = p2 −q2 −q2 → − a1 = Ç Ä ä p1 p1 −q1 , = q12 − p21 , 2p1 q1 , p21 + q12 , q q1 p å ä Ä p2 p2 −q2 , = q22 − p22 , 2p2 q2 , p22 + q22 q q2 p å Ta chọn p1 , q1 p2 , q2 cho p21 + q12 = p22 + q22 = Như vậy, a1 = (q12 − p21 , 2p1 q1 , 1); a2 = (q22 − p22 , 2p2 q2 , 1) Gọi điểm M1 M2 giao điểm mặt phẳng Oxy với đường thẳng l1 l2 Dễ thấy M1 (2p1 q1 , p21 − q12 , 0); M2 (2p2 q2 , p22 − q22 , 0) −−−−→ Ta có M2 M1 = (2(p1 q1 − p2 q2 ), p21 − q12 − p22 + q22 , 0) Xét định thức D sau q12 − p21 2p1 q1 2 q2 − p 2p2 q2 D = 2 2 2(p1 q1 − p2 q2 ) p1 − q1 − p2 + q2 = (p21 − q12 − p22 + q22 )2 + 4(p1 q1 − p2 q2 )2 Ta cần chứng minh D = Thật vậy, giả sử D = Ta suy  p2  p2 2 − q1 − p + q =  p q − p q2 =  q = q22 ⇒  p q − p q2 = Có hai trường hợp  q ⇒ ⇒ + q12 − 2q12 − p22 − q22 + 2q22 = p q1 − p q = = ±q2 q1 (p1 ± p2 ) = (1) q1 = 0: ta suy q2 = Lúc đó, l1 ≡ l2 trái với giả thiết (2) p1 = ±p2 : ta suy q1 = ±q2 Lúc đó, l1 ≡ l2 trái với giả thiết Như vậy, D = định lí chứng minh 170 4.6.3 Chương MẶT BẬC HAI Đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic Cho paraboloid hyperbolic, xem Hình 4.21, có phương trình y2 z2 − = 2x a2 b Phương trình (4.30) viết dạng Å y z ã Åy z ã = 2x + − a b a b Mặt có hai họ đường sinh thẳng xác định  Åy  Åy zã p  p′   = qx + +       a b a ′ l:  Å , l :  Å   y y zã     q ′ q = 2p − − a b a với p2 + q = p′2 + q ′2 = (4.30) zã = 2q ′ b zã = p′ x b Hình 4.21: Paraboloid hyperbolic Ví dụ 4.6.5 Tìm đường sinh thẳng mặt yên ngựa x2 y − = 2z 16 qua điểm A(3, −4, 0) Giải Dễ thấy điểm A nằm mặt yên ngựa cho Phương trình mặt cho viết Å x y ã Åx y ã = 2z + − 4 Phương trình hai họ đường sinh thẳng  Åx  Åx yã yã ′ p    p = 2q = q′z + +       4 ′ l:  Å : , l Å    yã x yã     ′ x q  = pz q = 2p′ − − 4 Đường sinh thẳng họ thứ qua điểm A ứng với giá trị q = p tùy ý Đường sinh thẳng họ thứ hai qua điểm A ứng với giá trị p′ q ′ Để cho phương trình đường sinh thẳng gọn, ta chọn p′ = q ′ = 12 Vậy, phương trình hai đường sinh thẳng qua điểm A  z =0 lA :  4x + 3y = , ′ lA :  4x − 3y 4x + 3y − 24 = − 12z = 171 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai Dưới số tính chất đường sinh thẳng paraboloid hyperbolid (mặt yên ngựa) Để tiện cho việc trình bày, chứng minh trình bày cho paraboloid hyperbolic có phương trình y2 z2 P : − = 2x a b Định lí 4.6.6 Hai đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc hai họ khác cắt Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng l l′ thuộc hai họ khác P có phương trình  Åy  Åy zã zã ′     = qx = 2q ′ + + p p       a b a b l: Å l′ :  Å ã   y z y zã     q q ′ = 2p = p′ x − − a b a b y z Đặt x = X, = Y, = Z, ta có a b  qX − pY − pZ = l:  qY − qZ − 2p = l′ : Từ phương trình đường thẳng l, suy      X          Y   p′ Y + p′ Z − 2q ′ = p′ X − q ′ Y + q ′ Z = p p2 =2 Z +2 q q p =Z +2 q Từ phương trình đường thẳng l′ , suy      X            Y q′ q ′2 = −2 ′ Z + ′2 p p q′ = −Z + ′ p Hai đường thẳng l l′ cắt hệ phương trình sau có nghiệm   p    Z     q Hệ tương đương        Z +2 q′ q ′2 p2 = −2 Z + q2 p′ p′2 p q′ + = −Z + ′ q p                 Z p q′ q ′2 p2 + ′ Z = ′2 − q p p q q′ p − p′ q Rõ ràng hệ ln có nghiệm, l l′ ln cắt = 172 Chương MẶT BẬC HAI Định lí 4.6.7 Hai đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc họ luôn chéo Chứng minh Lấy tùy ý hai đường sinh thẳng l l′ thuộc hai họ khác P có phương trình  Åy   p1    a l1 :  Đặt x = X, zã = q1 x + b Å  y    q1 zã = 2p1 − a b z y = X, = Z, ta có a b  q X − p1 Y − p Z = l1 :  q1 Y − q1 Z − 2p1 =  Åy   p2    a l2 :  zã = q2 x + b Å  y    q2 zã = 2p2 − a b  q l2 :  2X − p2 Y − p2 Z = q2 Y − q2 Z − 2p2 = Xét hai vectơ phương hai đường thẳng −p1 q1 Ç −p2 → − a2 = q2 → − a1 = Ç −p1 −p1 , −q1 −q1 −p2 −p2 , −q2 −q2 q1 q1 −p1 , = (2p1 q1 , q12 , q12 ), 0 q1 å q2 q2 −p2 , = (2p2 q2 , q22 , q22 ) 0 q2 å Gọi M1 M2 giao điểm mặt phẳng Oxz đường sinh thẳng l1 l2 , ta có −2p21 −2p22 −2p1 −2p2 M1 M2 , 0, , 0, 2 q1 q1 q2 q2 Suy −−−−→ p1 p2 p2 p M2 M1 = −2 21 − 22 , 0, −2 − q1 q2 q1 q2 Ç å − − Muốn chứng tỏ l1 l2 chéo nhau, ta phải xét tích hỗn hợp ba vectơ → a1 , → a2 −−−−→ M2 M1 Nhưng đơn giản hơn, ta xét tích hỗn hợp ba vectơ cộng tuyến với chúng sau D= 2p1 q1 1 2p2 q2 p1 p2 − 1 =2 q1 q2 Ç å p1 p + q q2 Rõ ràng D = ngược lại l1 ≡ l2 , trái giả thiết Vậy, l1 l2 chéo Định lí 4.6.8 Tất đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic thuộc họ song song với mặt phẳng 4.6 Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 173 Chứng minh Lấy đường sinh thẳng l tùy ý (thuộc họ) paraboloid hyperbolic có phương trình  Åy   p    a l: zã = qx + b zã = 2p − a b Å  y   q 2p − , 1, vectơ phương đường thẳng l Rõ ràng Dễ thấy vectơ → a = q − vectơ → a song song với mặt phẳng y − z = 0, tức l song song với mặt phẳng Vì l tùy ý nên ta kết luận đường sinh thẳng, thuộc họ xét, song song với mặt phẳng y − z = (cố định) Định lí chứng minh Ç å 174 4.7 Chương MẶT BẬC HAI BÀI TẬP Các tập không gian với hệ tọa độ trực chuẩn 4.1 Xác định tâm bán kính đường tròn x2 + y + z − 12x + 4y − 6z + 24 = 0, 2x + 2y + z + = 4.2 Lập phương trình mặt cầu qua hai đường tròn x2 + y = 9, z = x2 + y = 25, z = 4.3 Viết phương trình mặt trịn xoay đường thẳng   x  = + 2t y = −3 + 3t    z=t quay vòng xung quanh trục Oz tạo nên 4.4 Lập phương trình mặt trụ trịn xoay biết trục có phương trình    x = t y = + 2t    z = −3 − 2t điểm M (1, −2, 1) nằm mặt trụ 4.5 Lập phương trình mặt trụ biết tất đường sinh thẳng tiếp xúc với mặt cầu x2 + y + z = làm với trục tọa độ góc 4.6 Lập phương trình mặt nón ngoại tiếp mặt cầu x2 − y + z = biết đỉnh mặt nón S(5, 0, 0) 4.7 Lập phương trình mặt nón trịn xoay trục Oz, có đỉnh S(0, 0, h) thiết diện tạo mặt nón mặt phẳng Oxy đường trịn bán kính √ r 4.8 Lập phương trình ellipsoid biết qua điểm M (1, 2, 23) cắt mặt phẳng tọa độ Oxy theo ellipse   x   + z=0 y2 =1 16 4.9 Tìm góc hai đường sinh thẳng hyperboloid tầng x2 + y − z = qua điểm tùy ý 4.10 Tìm đường sinh thẳng mặt x2 + y = 2(z + 1) qua điểm (1, 1, 0) 175 4.7 BÀI TẬP 4.11 Chứng minh đường thẳng chiếu vuông góc đường sinh thẳng mặt yên ngựa x2 y − = 2z a2 b mặt phẳng Oxz tiếp xúc với parabol x2 = 2a2 z, y = 4.12 Tìm quỹ tích giao điểm cặp đường sinh thẳng vng góc (a) mặt yên ngựa x2 − y = 2z x2 y (b) mặt yên ngựa − = 2z(a = b) a b 4.13 Tìm quỹ tích điểm cách hai đường thẳng chéo vng góc với x2 y z 4.14 Cho ellipsoid + + = a b c (a) Chứng minh a ≥ b ≥ c > với điểm M thuộc ellipsoid ta có c ≤ OM ≤ a (b) Chứng minh a > b > c > ln có hai mặt phẳng qua tâm O cắt theo giao tuyến đường tròn 4.15 Chứng minh giao tuyến mặt cầu x2 + y + z − 50z = x2 y2 paraboloid elliptic + = 2z hai đường trịn Tìm tâm bán kính 25 16 chúng 4.16 Chứng minh mặt phẳng Oxy cắt paraboloid x2 − y = 2pz theo hai đường thẳng hai trục đối xứng 4.17 Cho hai mặt trụ parabolic y = x z = − x Chứng minh giao tuyến chúng nằm mặt trụ tròn xoay 4.18 Một mặt phẳng song song với mặt phẳng x−y+z = cắt mặt x2 +y −z = theo hai đường sinh thẳng Tìm giao điểm hai đường sinh thẳng góc tạo chúng 4.19 Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai x2 + y − z = a2 x2 − y = 2az 4.20 Có thể cắt mặt trụ elliptic mặt nón elliptic mặt phẳng để có giao tuyến đường trịn hay khơng? 4.21 (a) Chứng tỏ mặt phẳng có điểm chung với ellipsoid cắt ellipsoid theo đường ellipse (b) Chứng minh a > b giao tuyến hai ellipsoid E1 : x2 y z x2 y z + + = E : + + =1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 hai đường ellipse 4.22 Mặt phẳng x = a cắt hyperboloid tầng H : đường gì? z2 x2 y + − = theo a2 b2 c2 x2 y z + − = 1, a > b, cắt a2 b c mặt cầu S : x2 + y + z = a2 theo hai đường trịn có bán kính R = a z2 4.24 Cho ellipsoid E : x2 + y = mặt phẳng P : 2x + 2y + z − = Mặt phẳng P có cắt E hay khơng? Nếu có, tìm phương trình hình chiếu giao tuyến mặt phẳng Oxy 4.23 Chứng minh hyperboloid tầng H : 176 4.25 Cho ellipsoid E : Chương MẶT BẬC HAI x2 y z + + = điểm I(x0 , y0 , z0 ) nằm E, tức a2 b c x20 y02 z02 + + < Ba đường thẳng thay đổi l1 , l2 l3 đơi vng góc với a2 b c qua điểm I cắt E cặp điểm (A1 , B1 ), (A2 , B2 ) (A3 , B3 ) Chứng minh 1 + + IA1 IB1 IA2 IB2 IA3 IB3 có giá trị khơng đổi x2 y z 4.26 Cho ba điểm A, B C thay đổi ellipsoid E : + + = cho a b c OA, OB, OC đơi vng góc với Chứng minh mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu cố định x2 y z 4.27 Cho mặt nón C : + − = với a = b Hãy tìm mặt phẳng a b c cắt C theo đường tròn x2 y z 4.28 Giao tuyến mặt phẳng x = hyperboloid H : + + = đường gì? 4.29 Viết phương trình mặt phẳng qua trục Oy cắt hyperboloid x2 y z tầng H : + − = theo cặp đường thẳng a b c 4.30 Viết phương trình paraboloid trịn xoay P biết đỉnh A(1, 1, 2) cắt mặt phẳng Oyz theo đường trịn có bán kính x2 y z + − = điểm A(2, −3, 0) 4.31 Cho hyperboloid tầng H : 25 (a) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H qua A (b) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H song song với đường sinh thẳng H câu (a) x2 y z 4.32 Cho hyperboloid tầng H : − + = điểm A(3, −2, 5) 25 (a) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H qua A (b) Hãy viết phương trình đường sinh thẳng H song song với đường sinh thẳng H câu (a) x2 y z 4.33 Cho hyperboloid tầng H : − + + = điểm A(5, 3, −2) 25 (a) Hãy viết phương trình đường thẳng qua A nằm H (b) Hãy viết phương trình đường thẳng nằm H song song với đường thẳng câu (a) 4.34 Đưa phương trình mặt bậc hai sau dạng tắc (a) x21 + 5x22 + x23 + 2x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 − 2x1 + 6x2 + 2x3 = 0; (b) x2 x3 + x1 x3 + x1 x2 + 2(x1 + x2 + x3 ) + = 4.35 Nhận dạng mặt bậc hai sau (a) 2x21 − 2x1 x3 + 2x22 − 2x2 x3 + 3x23 = 16; (b) xy + yz + zx − 3x − 3y − 2z = 177 4.7 BÀI TẬP Các tập khơng gian với mục tiêu affine 4.36 Tìm tâm mặt bậc hai sau (a) x2 + y − z + 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y − 3z − 2xy + 2yz + 4zx + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 3x2 − 2y − z + 4xy − 2yz + 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) x2 − y − z − 2xy − 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2x2 + y − 2z − 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 4.37 Hãy xác định giao điểm đường thẳng l : mặt bậc hai sau (a) x2 − z + 2xy + 4zx + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y − 2xy + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 4xy − 2yz + 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) y − z − 2xy − 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2z − 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 4.38 Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng l : mặt bậc hai sau (a) x2 + 2xy + 2x − 2y + = 0; (b) 2x2 − y + 4x − 2y − 6z = 0; (b) 4xy − 2zx + 2x − 2y + = 0; (d) y + 2yz + 4zx − 2y + = 0; (e) 2xy − 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = x−1 y z+1 = = với −1 x−1 y z+1 = = với −1 − 4.39 Hãy chứng tỏ vectơ → u không phương tiệm cận mặt bậc hai S tương ứng sau Khi đó, viết phương trình mặt kính S liên hợp với − phương → u − (a) S : x2 − y + 2xy + 2x − 2y + = 0, → u = (1, 1, −1); − 2 u = (1, 0, −2); (b) S : x − y + 4xy − 3yz + 4x − 2y − 6z = 0, → − (b) S : x2 + y + 4xy − 2zx + 2x − 2y + = 0, → u = (1, −1, 0); − (d) S : y − 4z + 2yz + 4zx − 2y + = 0, → u = (0, −1, 2); − u = (1, 2, −3) (e) S : x2 + y − 2z − 2xy + 2yz + 4zx + 2x − 2y + 4z + = 0, → Tài liệu tham khảo [1] K Q Anh - N A Kiệt - T Mân - N D Tuấn 2004 Bài tập Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [2] L K Bảo 1982 Hình học Giải tích NXB GD [3] V N Cương (Chủ biên) - H T Thái 2004 Hình học giải tích NXB ĐHSP [4] Ng M Hy 2007 Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ NXB GD [5] N V Mậu - Đ H Ruận - N T Thanh - N M Tuấn 2004 Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [6] Đ Quỳnh (Chủ biên) - K Q Anh - N A Kiệt - T Mân - N D Tuấn 2007 Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích NXB ĐHQG Hà Nội [7] Jean-Marie Monier 2006 Giáo trình Tốn - Tập Hình học Giáo trình 400 tập có lời giải NXB GD Danh mục từ khóa Chùm đường thẳng, 52 có tâm, 52 song song, 52 Các bất biến đa thức bậc hai, 113 nửa bất biến, 118 ứng với phép dời, 118 ứng với phép quay, 117 ứng với phép tịnh tiến, 118 Cặp mặt phẳng song song, 135 Cặp mặt phẳng trùng nhau, 135 hệ tọa độ affine không gian, 26 Hệ tọa độ Descartes vng góc khơng gian, 30 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian, 30 đổi hệ tọa độ, 30 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng, 21 Descartes vng góc, 21 phép quay, 25 Dạng toàn phương n biến, 114 biệt số, 114 Dạng tuyến tính n biến, 114 Khoảng cách, 54 hai đường thẳng chéo nhau, 70 điểm đến mặt phẳng, 63 điểm đến đường thẳng không gian, 68 điểm đến đường thẳng mặt phẳng, 54 Ellipse, 83 bán trục bé, 84 bán trục lớn, 84 phương trình tắc, 84 tiêu cự, 83 tiêu điểm, 83 trục bé, 84 trục lớn, 84 Ellipsoid, 136 phương trình tắc, 136 Ellipsoid trịn xoay, 130 Mặt bậc hai với hệ tọa độ trực chuẩn, 155 Mặt bậc hai với mục tiêu affine, 141 cặp mặt phẳng thực cắt nhau, 146 cặp mặt phẳng thực song song, 146 cặp mặt phẳng trùng nhau, 146 cặp mặt phẳng ảo cắt nhau, 146 cặp mặt phẳng ảo song song, 146 Góc hai đường thẳng khơng ellipsoid thực, 146 gian, 68 ellipsoid ảo, 146 Góc đường thẳng mặt phẳng, 68 hyperboloid hai tầng, 146 Góc hợp hai vectơ, 12 hyperboloid tầng, 146 mặt kính liên hợp, 152 Hyperbol, 84 mặt nón thực, 146 tiêu cự, 84 mặt nón ảo, 146 tiêu điểm, 84 mặt trụ elliptic, 146 trục thực, 84 mặt trụ elliptic ảo, 146 trục ảo, 84 mặt trụ hyperbolic, 146 đường tiệm cận, 84 mặt trụ parabolic, 146 Hyperboloid, 136 paraboloid elliptic, 146 hai tầng, 136 paraboloid hyperbolic, 146 tầng, 136 phương tiệm cận, 152 Hyperboloid tròn xoay, 131 phương trình tắc, 145 hai tầng, 132 tâm, 150 tầng, 132 Hệ tọa độ affine, 15 Mặt kẻ, 160 181 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mặt nón elliptic, 138 Mặt nón trịn xoay, 133 Mặt phẳng, 56 hệ tọa độ trực chuẩn, 62 góc, 64 vectơ pháp tuyến, 62 mục tiêu affine chùm, 60 chùm giao nhau, 60 chùm song song, 60 phương trình tham số, 56 phương trình theo đoạn chắn, 58 phương trình tổng qt, 57 Mặt khơng gian, 38 phương trình, 38 tham số, 40 tọa độ cầu, 41 tọa độ trụ, 41 tổng quát, 38 Mặt tròn xoay, 127 đường sinh, 127 Mặt tròn xoay bậc hai, 129 Mặt trụ elliptic, 138 đường chuẩn, 139 đường sinh thẳng, 139 Mặt trụ hyperbolic, 139 Mặt trụ parabolic, 139 Mặt trụ tròn xoay, 135 Mặt yên ngựa, 138 Mục tiêu affine không gian, 26 hướng, 28 sở vectơ, 26 gốc mục tiêu, 26 gốc tọa độ, 26 không gian định hướng, 28 nghịch, 28 ngược hướng, 28 thuận, 28 trục tọa độ, 26 tọa độ, 26 vectơ, 26 điểm, 26 Mục tiêu affine mặt phẳng, 15 trục tọa độ, 15 hướng, 17 sở vectơ, 15 gốc tọa độ, 15 mặt phẳng định hướng, 17 nghịch, 17 ngược hướng, 17 phép tịnh tiến, 20 thuận, 17 trục hoành, 15 trục tung, 15 tọa độ, 15 vectơ, 15 điểm, 16 đổi mục tiêu, 16 công thức, 17 ma trận, 17 Nửa không gian, 61 Nửa mặt phẳng, 53 Parabol, 84 tiêu điểm, 84 đường chuẩn, 84 Paraboloid elliptic, 137 Paraboloid hyperbolic, 138 Paraboloid tròn xoay, 133 Phép co, 136 Phương trình tắc đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, 111 Phương trình đường mặt phẳng, 37 tham số, 37 hệ tọa độ cực, 38 tổng quát, 37 Trục, 12 hướng trục, 12 Trực giao, 12 Tâm tỉ cự, 20 trung điểm, 20 trọng tâm, 20 Tích có hướng, 34 biểu thức tọa độ, 35 Tích hỗn hợp, 36 biểu thức tọa độ, 36 Tích vơ hướng, 13 biểu thức tọa độ không gian, 34 biểu thức tọa độ mặt phẳng, 22 Tỉ số đơn, 21 điểm chia ngoài, 21 điểm chia trong, 21 Tọa độ cầu, 41 Tọa độ cực, 38 Tọa độ trụ, 41 Vectơ, vectơ đối, nhau, 182 phương, cộng tính, giá, hiệu, module, ngược hướng, nhân số với vectơ, phụ thuộc tuyến tính, tổ hợp tuyến tính, tổng, vectơ-khơng, điểm cuối, điểm đầu, độ dài, độc lập tuyến tính, Vectơ chiếu, 12 Đoạn thẳng có hướng, Đường bậc hai, 95 cặp đường thẳng thực cắt nhau, 98 cặp đường thẳng thực song song, 98 cặp đường thẳng thực trùng nhau, 98 cặp đường thẳng ảo cắt nhau, 98 cặp đường thẳng ảo song song, 98 ellipse, 98 ellipse ảo, 98 hyperbol, 98 parabol, 98 phương chính, 109 phương tiệm cận, 105 phương trình tắc, 98 phương trình đặc trưng, 108 tiếp tuyến, 103 tâm, 101 đường kính liên hợp, 106 đường tiệm cận, 105 Đường conic, 85 tiếp tuyến, 91 tâm sai, 94 đường chuẩn, 94 Đường kính, 87 ellipse, 87 hyperbol, 89 parabol, 90 Đường sinh thẳng, 160 hyperboloid tầng, 160 paraboloid hyperbolic, 165 Đường thẳng không gian, 64 phương trình, 64 tắc, 65 tham số, 64 tổng quát, 65 Danh mục từ khóa Đường thẳng mặt phẳng, 49 với hệ tọa độ trực chuẩn, 54 góc hai đường thẳng, 55 phương trình pháp dạng, 54 vectơ pháp tuyến, 54 với mục tiêu affine, 49 phương trình tắc, 49 phương trình tham số, 49 phương trình tổng quát, 51 phương trình đoạn chắn, 50 vectơ phương, 49 Đường không gian, 41 phương trình tham số, 42 phương trình tổng quát, 41 Đổi mục tiêu affine không gian, 27 công thức, 27 ma trận, 28 Độ dài đại số, 12 ... sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích. .. sở với mong muốn giúp người đọc có nhìn thấu đáu tảng hình học Và qua đó, tìm hiểu hình học khác tốt hơn, chẳng hạn hình học affine, hình học Euclide Ở cuối chương, tọa độ cực, tọa độ trụ tọa... sách này, chúng tơi hệ thống hóa khái qt hóa kiến thức hình học giải tích THPT bổ sung kiến thức giúp cho người đọc thấy nghiên cứu hình học nhiều phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp