TIỂU LUẬN ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Trong khuôn khổ bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu những lý thuyết về đạo hàm đã rất quen thuộc trong chương trình phổ thông và ý nghĩa vật lý của đạo hàm thông qua những bài toán minh họa tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ tức thời. Củng cố lại kiến thức về đạo hàm, và vận dụng vào giải các bài toán thực tế trong vật lý. Để thấy rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của đạo hàm không chỉ được ứng dụng trong toán học mà còn được ứng dụng trong các môn học khác. Cụ thể trong khuôn khổ của bài tiểu luận này là ứng dụng của đạo hàm trong vật lý
MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU I MỤC LỤC II CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1.1 Lý chọn chủ đề 1.2 Mục đích chủ đề 1.3 Khái niệm liên quan 1.3.1 Đạo hàm điểm 1.3.2 Ý nghĩa đạo hàm 1.3.3 Đạo hàm khoảng 1.3.4 Đạo hàm số hàm số thường gặp 1.3.5 Đạo hàm cấp cao 1.3.6 Cực trị hàm số 10 1.3.7 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 12 CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 13 2.1 Bài toán 13 2.2 Công cụ 17 2.3 Giải toán 17 2.4 Nhận xét 23 CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN 24 3.1 Kết luận liên quan đến chủ đề 24 3.2 Kết luận cho trình làm chủ đề 24 TÀI LỆU THAM KHẢO 26 PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC 27 ii ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU Trong phần chương giải thích lí chọn đề tài,trình bày mục tiêu chủ đề khái niệm liên quan đến đạo hàm 1.1 Lý chọn chủ đề Đạo hàm thường biết cơng thức tốn học mà học sinh, sinh viên biết tới Đạo hàm đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực Động lực đến từ nhu cầu phải giải hai toán quan trọng hai lĩnh vực khác Một đến từ hình học toán xác định tiếp tuyến đường cong đến từ vật lí tốn xác định vận tốc tức thời chất điểm Đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi đại lượng so với đại lượng khác vài vị trí hay điểm riêng biệt (nên ta gọi “tốc độ thay đổi tức thời”) Điều áp dụng cho tất loại đại lượng vận tốc, gia tốc, lực, động lượng nhiều loại khác Hiểu nắm bắt tầm quan trọng toán học trong sống mối quan hệ toán học vật lý, nhóm chúng em chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm vật lý” Qua đề tài này, tìm hiểu cụ thể lý thuyết đạo hàm ứng dụng quan trọng đạo hàm nhằm giải tốn vật lý 1.2 Mục đích chủ đề Trong khuôn khổ tiểu luận nghiên cứu lý thuyết đạo hàm quen thuộc chương trình phổ thơng ý nghĩa vật lý đạo hàm thơng qua tốn minh họa tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ tức thời Củng cố lại kiến thức đạo hàm, vận dụng vào giải toán thực tế vật lý Để thấy rõ ý nghĩa tầm quan trọng đạo hàm khơng ứng dụng tốn học mà cịn ứng dụng môn học khác Cụ thể khuôn khổ tiểu luận ứng dụng đạo hàm vật lý ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 1.3 Khái niệm liên quan 1.3.1 Đạo hàm điểm a.Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) 𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱 𝟎 ) 𝐱→𝐱𝟎 𝐱 − 𝐱𝟎 𝐥𝐢𝐦 Thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 ký hiệu f′(x0 ) (hoặc y’(x0 )), tức là: 𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱 𝟎 ) 𝐱→𝐱𝟎 𝐱 − 𝐱𝟎 𝐟′(𝐱 𝟎 ) = 𝐥𝐢𝐦 CHÚ Ý: Đại lượng ∆𝐱 = 𝐱 − 𝐱 𝟎 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆𝐲 = 𝐟(𝐱) − 𝐟(𝐱 𝟎 ) = 𝐟(𝐱 𝟎 + ∆𝐱) − 𝐟(𝐱 𝟎 ) gọi số gia tương ứng hàm số Như ∆𝐲 ∆𝐱→𝟎 ∆𝐱 𝐲’(𝐱 𝟎 ) = 𝐥𝐢𝐦 b.Cách tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa, ta có quy tắc sau QUY TẮC: o Bước 1: Giải sử ∆𝑥 số gia đối số x0 , tính ∆𝐲 = 𝐟(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝐟(𝒙𝟎 ) o Bước 2: Lập tỉ số ∆𝐲 o Bước 3: Tìm 𝐥𝐢𝐦 ∆𝐲 ∆𝐱 ∆𝐱→𝟎 ∆𝐱 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ c Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số ĐỊNH LÝ: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm CHÚ Ý: Định lý tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm Mệnh đề đảo định lý không Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Chẳng hạn, hàm số f(x) = {−x x ≥ liên tục x = khơng có đạo x x ≤ hàm Ta nhận xét đồ thị hàm số đường liền, bị “gãy” điểm O (0;0) 1.3.2 Ý nghĩa đạo hàm a.Ý nghĩa hình học Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) có đạo hàm x0 ∈ (a;b) Gọi (C) đồ thị hàm số ĐINH LÝ 2: Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M0t (C) điểm M0 (x0; f(x0)) Từ ý nghĩa hình học đạo hàm ta có định lý sau đây: ĐỊNH LÝ 3: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y=f(x) điểm M0 (x0; f(x0)) là: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′(𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 ) Trong y0 = f(x0) b Ý nghĩa vật lý Đạo hàm sử dụng toán liên quan: +Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s= s(t), với s = s(t) hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời cùa chuyển động thời điểm t0 đạo hàm hàm số s = s(t) t0 v(t0) = s’(t0) Giải thích: s’ O s(t0) s(t) s Một chất điểm M chuyển động trục s'Os Quãng đường s chuyển động hàm số thời gian t: s = s(t) Trong khoảng thởi gian từ t0 đến t , chất điểm quãng đường là: s − s0 = s(t) − s(t ) Vận tốc trung bình chất điểm chuyển động khoảng thời | t-t0| s(t) − s(t ) t − t0 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Khi t gần t0 tức |t-t0| nhỏ vận tốc trung bình thể xác mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t0 Từ nhận xét trên, người ta dưa đinh nghĩa sau đây: Giới hạn hữu hạn ( có): s(t) − s(t ) t→t0 t − t0 lim Được gọi vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 Hệ quả: v(t0) = s'(t0) = lim t→t0 s(t)−s(t0 ) t−t0 +Cường độ tức thời dòng điện Điện lượng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian t: Q=Q(t) Cường độ trung bình bình dịng điện khoảng thời gian |t-t0| là: Itb Q(t) − Q(t ) t − t0 Nếu |t- t0| nhỏ tỉ số biểu thị xác cường độ dòng điện thời điểm t0 Người ta đưa định nghĩa sau Giới hạn hữu hạn (nếu có) Q(t) − Q(t ) t−t0 t − t0 lim Được gọi cường độ tức thời dòng điện thời điểm t0 Hệ quả: I(t ) = Q′(t ) = lim t−t0 Q(t)−Q(t0 ) t−t0 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ +Gia tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định phương trình vận tốc v = v(t), với v = v(t) hàm số có đạo hàm Khi giá tốc tức thời thời điểm t = t0 giới hạn (nếu có): v(t) − v(t ) t→t0 t − t0 lim Từ ta có: a(t0) = v0’ (t0) 1.3.3 Đạo hàm khoảng Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R x f′(x) đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a:b), kí hiệu y′ hay f′(x) 1.3.4 Đạo hàm số hàm số thường gặp Việc tính đạo hàm hàm số định nghĩa nói chung phức tạp.Đối với số hàm số thường gặp, ta có cơng thức cho phép tính cách nhanh chóng đạo hàm chúng điểm ĐỊNH LÍ 1: Hàm số y = x n (n ∈ ℕ, n > 1)có đạo hàm x ∈ ℝ (𝐱 𝐧 )′ = 𝐧 𝐱 𝐧−𝟏 ĐỊNH LÍ 2: Hàm số y = √x có đạo hàm x dương (√𝐱)′ = 𝟏 𝟐 √𝐱 a Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ ĐỊNH LÍ 3: Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (𝐮 + 𝐯)′ = 𝐮′ + 𝐯′ (1) (𝐮 − 𝐯)′ = 𝐮′ − 𝐯′ (2) (𝐮𝐯)′ = 𝐮′𝐯 + 𝐮𝐯′ (3) 𝐮 ′ (𝐯) = 𝐮′𝐯 − 𝐮𝐯 ′ 𝐯𝟐 (𝐯 = 𝐯(𝐱) ≠ 𝟎) (4) HỆ QUẢ - Hệ 1: Nếu k số (𝐤𝐮)′ = 𝐤𝐮 - Hệ 2: 𝟏 ′ 𝐯′ ( ) =− 𝟐 𝐯 𝐯 (𝐯 = 𝐯(𝐱) ≠ 𝟎) b Đạo hàm hàm hợp ĐỊNH LÍ Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u′x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y′x hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x 𝐲′𝐱 =𝐲′𝐱 𝐮′𝐱 BẢNG TÓM TẮT: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ c Đạo hàm hàm số lượng giác +Giới hạn 𝐒𝐢𝐧𝐱 𝐱 𝐒𝐢𝐧𝐱 =𝟏 𝐱→𝟎 𝐱 𝐥𝐢𝐦 +Đạo hàm hàm số 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧𝐱 Hàm số y=sinx có đạo hàm x ∈ 𝐑 𝐯à (𝐬𝐢𝐧𝐱)′ = 𝐜𝐨𝐬𝐱 CHÚ Ý: Nếu y = sin u u = u(x) (𝐬𝐢𝐧𝐮)′ = 𝐮′ 𝐜𝐨𝐬𝐮 +Đạo hàm hàm số 𝐲=𝐜𝐨𝐬𝐱 Hàm số y = cosx có đạo hàm x ∈ 𝐑 (cos x)′ = −sin x CHÚ Ý: Nếu y = cos u u = u(x) ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ (𝐜𝐨𝐬𝐮)′ = −𝐮′ 𝐬𝐢𝐧𝐮 +Đạo hàm hàm số 𝐲 = 𝐭𝐚𝐧𝐱 π Hàm số y= tanx có đạo hàm x ≠ + kπ, k ϵ ℤ (𝐭𝐚𝐧 𝐱)′ = 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱 CHÚ Ý: Nếu y = tan u u = u(x) ta có 𝐮′ 𝐂𝐨𝐬 𝟐 𝐮 (𝐭𝐚𝐧 𝐮)′ = +Đạo hàm hàm số 𝐲 = 𝐜𝐨𝐭𝐱 Hàm số y = cot x có đạo hàm x ≠ kπ , k ∈ ℤ (𝐜𝐨𝐭 𝐱)′ = − 𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝐱 CHÚ Ý: Nếu y = cot u u = u(x) (𝐜𝐨𝐭 𝐮)′ = − 𝐮′ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝐮 1.3.5 Đạo hàm cấp cao a Đạo hàm cấp 𝐟 ′′ (𝐱) = [𝐟 ′ (𝐱)]′ b Đạo hàm cấp cao ′ 𝐟 (𝐧) (𝐱) = [𝐟 (𝐧−𝟏) (𝐱)] , (𝐧 ∈ ℕ , 𝐧 ≥ 𝟐) 12 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Chú ý: 𝑓 ′ (𝑥0 )𝑐ó 𝑡ℎể 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 Định lý (Quy tắc 2- Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khaorn (a;b) chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0 • Nếu 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑣à 𝑓 ′′ (𝑥0 ) < 𝑡ℎì ℎà𝑚 𝑠ố đạ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑡ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑥0 • Nếu 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑣à 𝑓 ′′ (𝑥0 ) > 𝑡ℎì ℎà𝑚 𝑠ố đạ𝑡 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑡ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑥0 1.3.7 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Số M gọi giá trị lớn (GTLN) f(x) miền xác định D: 𝑀 = max 𝑓 (𝑥) { 𝑥𝜖𝐷 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑥0 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑥0 ) = 𝑀 Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) f(x) miền xác định D: 𝑚 = 𝑓(𝑥) { 𝑥𝜖𝐷 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑥0 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑥0 ) = 𝑚 Định lý tồn GTLN-GTNN: “Nếu hàm số liên tục đoạn [a;b] đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó” Một số lưu ý: • Khi nói đến GTLN, GTNN hàm số f mà khơng rõ GTLN, GTNN tập ta hiểu GTLN, GTNN tập xác định f • Nếu hàm số f đồng biến [a;b] => { 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥𝜖[a;b] max 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑏) 𝑥𝜖[a;b] • Nếu hàm số nghịch biến [a;b] => { 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑏) 𝑥𝜖[a;b] max 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥𝜖[a;b] 12 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 13 CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Từ lý thuyết đạo hàm chương vận dụng vào giải toán Vật lý để thấy rõ ứng dụng đạo hàm vật lý 2.1 Bài toán Bài 1: Một viên đạn bắn lên cao theo phương trình s(t)=196t - 4,9t2 t>0 , t tính giây kể từ thời điểm viên đạn bắn lên caao s(t) khoảng cách viên đạn so với mặt đất tính mét Tại thời điểm vận tốc viên đạn viên đạn cách mặt đất mét? Bài 2: Một cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước (km/ h) Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/ h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E(v) =cv3t (trong c số dương, E tính đơn vị Jun) Vận tốc bơi cá nước yên để lượng tiêu hao thấp ? Bài 3: Một dòng điện (đơn vị Ampere – A) mạch máy khuếch đại tuân theo hàm số π theo thời t(giây – s) cho công thức i(t) = 0,1cos(120πt + ) (A) Hãy xác định biểu thức điện áp qua cuộn cảm có độ lớn mH biết VL= L.i'(t)? Bài 4: Cho vật chuyển động theo phương trình s( t) = − 2t + mt + (m) Xác định m biết thời điểm t= vận tốc tức thời vật 12 m/s Bài 5: 13 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 14 Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s (t) (km) hàm phụ +3 thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau:s(t) = et + 2te3t+1 (km) Hỏi vận tốc tên lửa sau giây (biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? Bài 6: Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số nguời nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t 𝑓 (𝑡 ) = 45𝑡 − 𝑡 (kết khảo sát tháng vừa qua) Nếu xem f'(t) tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ? Bài 7: Cho vật chuyển động theo phương trình s( t)= t2 - 40t +10 – s quãng đường vật ( m) t thời gian chuyển động ( s) Hỏi thời điểm vật dừng lại? Bài 8: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=2t3 + t2 + 2t ( m) quãng đường vật Hỏi sau kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 38( m/s2)? Bài 9: Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : s( t)= mt2 - 8t + ( s) Xác định m biết thời điểm t= 10 gia tốc tức thời vật a= - 6( m/s2) Bài 10: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = t3 + 3t2 - 9t + 27 t tính giây(s) S tính mét (m) Tính gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc triệt tiêu Bài 11: 14 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 15 Cho vật chuyển động theo phương trình : s( t)= t3+ mt2 + ( m) Biết rẳng thời điểm t= 10 ( s) vận tốc chuyển động bị triệt tiêu Tìm gia tốc chuyển động thời điểm t=1 s? Bài 12: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t (m/s2) Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc? Bài 13: Cho biết điện lượng truyền dây dân theo thời gian biểu thị hàm số Q(t) = 2t2 + t, t tính giây (s) Q tính theo Culong (C) Tính cường độ dòng điện thời điểm t = 4s Bài 14: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm đượcc cho công thức: f(v) = 290,4v 0,36v2 +13,2v+264 (xe/ giây), v (km / h) vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn ? Bài 15: Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với Phương trình dao động vật x1 = A1coswt (cm) x2 = A2sinwt (cm) Biết 64x12 + 36x22 = 482cm2 Tại thời điểm t, vật thứ qua vị trí có li độ x1 = 3cm với vận tốc v1 = -18cm/s Khi vật thứ hai có tốc độ bằng? Bài 16: Xét chuyển động có phương trình 15 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 16 s(t) = Asin(ωt + φ) (A, ω, φ số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Bài 17: Cho phương trình chuyển động chất điểm s = f(t) = t − 6t + 9t, với đơn vị đo t giây, s mét Khi chất điểm đứng yên biết biểu thức phương trình v(t) điểm t biết v(t) = f′(t)? Bài 18: Một máy bay Cessa cất cánh từ sân bay gần mặt nƣớc biển có quỹ đạo bay theo hàm số với h(t)=2000ln(t+1) với h tính theo feet t tính theo phút Tính tốc độ cất cánh thời điểm t = phút ? (biết feet = 0,3048 mét) Bài 19: Một nguồn điện với suất điện động E điện trở r nối với biến trở R hình vẽ Với giá trị biến trở cơng suất tỏa nhiệt tồn mạch đạt cực đại ? Bài 20: Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ AB = 5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đị từ A đến M bờ biển với vận tốc km/h đến C với vận tốc km/h Xác định vị trí điểm M để người đến kho nhanh ? Bài 21: Khi cá hồi bơi với tốc độ v(km/h) ngược dòng nứớc, lượng sản đơn vị thời gian v3 (J) , đơn vị Jun Ngƣời ta thấy rằng, cá di cư cố gắng 16 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 17 cực tiểu hóa lượng tổng thể để bơi cách định Nếu vận tốc dòng nước a (km/h) thời gian cần bơi khoảng cách L 𝐸(𝑣) = 𝑞𝑣 𝐿 𝑣−𝑎 𝐿 𝑣−𝑎 lượng sản q số dương Để giảm thiểu tối đa lượng bơi quãng đường L tốc độ v cần thỏa mãn? 2.2 Công cụ Đề giải tốn phải dùng cơng thức tính đạo hàm sau: (x α )′ = α x α−1 (u + v − w) = u′ + v ′ − w′ u ′ u′ v − uv′ ( ) = v v2 ′ 𝑣′ ( ) =− 𝑣 𝑣 f(x) − f(x0 ) x→x0 x − x0 f′(x0 ) = lim (u v)′ = u′ v + v ′ u (e u )′ = u ′ e u ′ (√𝑢) = 𝑢′ √𝑢 (𝐶𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑆𝑖𝑛𝑥 (𝑢𝛼 )′ = 𝛼 𝑢′ 𝑢𝛼−1 (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢 ′ 𝑒 𝑢 2.3 Giải toán Bài 1: Vận tốc viên đạn v(t)=s’(t) = 196 -9,8t 17 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 18 Ta có v(t) 196- 9,8t =0 t = 20 Khi viên đạn cách mặt đất khoảng h=s(20)=196 20 -4,9.202 =1 960m Bài 2: Vận tốc cá bơi ngược dòng v − 6, (v ≥ 6) Thời gian để ca sboiw từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản là: t = 300 v−6 (h) Năng lượng tiêu thụ cá 900 300 300cv v E(v) = cv − cv = (3 − ) (v − 6)2 v−6 v−6 v−6 E′ (v) = 300cv2 v−6 (3 − v ) = (3 − v−6 v ) = v =9 v−6 Vậy vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao v= (km/h) Bài 3: π i′ (t) = −12πsin(120πt + ) π Ta có: VL= L.i'(t) = -24.10-3 sin(120πt + ) (V) Bài 4: Phương trình vận tốc chuyển động : v(t) = s′( t) = −4t + m ( m/s) Tại thời điểm t= vận tốc tức thời vật 12m/s nên ta có: − 4.2 + m = 12 ⇔ m = 20 Vậy m = 20 Bài 5: 18 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 19 V(t) = s′ (t) = 2t 2+3 + 2te3t+1 + 6te3t+1 => v(1) = 2e4 + 2e4 + 6e4 = 10e4 (km/s) Bài 6: Ta có 𝑓(𝑡 ) = 45𝑡 − 𝑡 ′( 𝑔(𝑡)=90𝑡−3𝑡 f t) = 90t − 3𝑡 → 𝑔′ (𝑡 ) = 90 − 6𝑡 = t=15 Lập dựa vào bảng biến thiên g (t) t= 15 giá trị cần tìm Bài 7: Phương trình gia tốc chuyển động a( t) = v’ ( t) = −10 (m/s²) Gia tốc vật trình chuyển động -10m/s2 Khơng thay đổi Bài 8: Phương trình vận tốc chuyển động là: v(t)=s' ( t)=6t2+2t+2 ( m/s) Phương trình gia tốc chuyển động là: a(t)=v' (t)=12t+2 ( m/s2) Để gia tốc tức thời chuyển động 38m/s2 thì: 12t + =38 ⇔ t= ( s) Vậy sau s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 38m/ s2 Bài 9: Phương trình vận tốc tức thời chuyển động: v(t)=s' (t)=2mt-8 ( m/s) Phương trình gia tốc tức thời chuyển động là: a( t)=v' (t)=2m ( m/ s2) Tại thời điểm t= 10 gia tốc tức thời vật a= - 6( m/s2) nên ta có; 2m= -6 ⇔ m= -3 Bài 10: Vận tốc chất điểm đạo hàm quãng đường theo thời gian: 19 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 20 𝑣 = 𝑆′ = 3t2 + 6𝑡 – Gia tốc chất điểm đạo hàm vận tốc theo thời gian: 𝑎 = 𝑣’ = 6𝑡 + Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: v = => 3t2 + 6t – = => t=1 (do t >0) Khi gia tốc chất điểm là: a =6.1 +6 =12 (m/s2) Bài 11: Phương trình vận tốc chuyển động : v( t)=s' (t)=3t2+2mt ( m/s ) Vận tốc chuyển động bị triệt tiêu khi: 3t2 + 2mt = Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu t= 10 s nên ta có:3.102+2m.10=0 ⇔ m= - 15 ⇒ Phương trình vận tốc chuyển đông là: v(t) = 3t2-30t ( m/s) ⇒ Phương trình gia tốc chuyển động : a( t) = 6t - 30 ( m/s2) Do đó: gia tốc chuyển động thời điểm t= a( 1)= - 24 (m/s2) Bài 12: 𝑎(𝑡 ) = 3𝑡 + 𝑡 𝑣 ′ (𝑡 ) = 𝑎(𝑡 ); 𝑆 ′ (𝑡 ) = 𝑣(𝑡) Theo đề ta có vận tốc ban đầu 109m/s) 3 1 12 𝑣(𝑡 ) = 𝑡 + 𝑡 + 10 (m/s) 𝑆 (𝑡 ) = 𝑡 + 𝑡 + 10𝑡 (m) Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: 𝑆(10) = 4300 (m) 20 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 21 Bài 13: Dùng định nghĩa ta tính Q'(t) = 4t + 1, từ suy cường độ dịng điện thời điểm t = 4(s) I(4) = Q'(4) = 4.4 + = 17 Bài 14: f(v) = 290,4v 0,36v2 +13,2v+264 f′(v) = 290,4 f ′ (v) = v = −0,36v2 +264 ′ (0,36v2 +13,2v+264)2 v>0 km √264 10√66 = ≈ 27,08 ( ) 0,6 h Bài 15: + Thay x1 = 3cm vào 64x12 + 36x22 = 482 => x2 = ± 4cm + Đạo hàm theo thời gian hai vế phương trình 64x2 + 36 x2 = 482 , ta được: 64 2x1v1 + 36.2x2v2 = (v đạo hàm bậc x theo thời gian) Hay 128.x1v1 + 72.x2v2 = Thay giá trị x1, x2 v1 vào ta |v2|= 24 cm/s Bài 16: Ta có gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động là: a(t) = s '' (t) = (Aω cos(ωt + φ) )' = -Aω2 sin(ωt + φ) Bài 17 Theo đề ta có: v(t) = f ′ (t) = 3t − 12t + Chất điểm đứng yên v(t)=0 3t − 12t + = { t=1 t=3 Bài 18: h′ (t) = 2000 , ∀t −1 t+1 Do tốc độ cất cánh ℎ′(3) = 500 𝑓𝑒𝑒𝑡 ≈ 152,4 𝑚é𝑡 21 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 22 Bài 19: Để làm dạng tốn này, trước tiên ta cần có kiến thức dòng điện chiều học lớp dưới: cơng suất tỏa nhiệt tồn mạch P =RI2 đồng thời cường độ dòng điện mạch I= E R+r Đến ta thấy P tính theo R r Và ta vận dụng kiến thức đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P Theo cơng thức tỏa nhiệt ta có P = RI2 với I= => P = RE2 (R+r)2 (R > 0) Xét hàm số f(R) = Ta tìm f ′ (R) = E2 (R+r)2 −2R(R+r) (R+r)4 Suy max f(R) = f(r) = = E2 E R+r RE2 (R+r)2 r−R ′ (R+r)3 với R > , f ′ (R) = r = R E2 4r Bài 20: Đặt x =BM (km) Điều kiện: x Suy quãng đường 𝐴𝑀 =√25 + 𝑥 quãng đường MC = – x Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M tAM= Thời gian người canh hải đăng từ M đến C tMC = √25+𝑥 + 7−𝑥 7−𝑥 Thời gian người canh hải đăng từ A đến C t= tAM + tMC= Xét hàm số f(x) = √25+𝑥 √25+𝑥 + 7−𝑥 đoạn [0;7] Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) với x 𝜖 [0;7] 22 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 23 Đạo hàm 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 4√25+𝑥 𝑥∈[0;7] 𝑓 ′ (𝑥) = = 6𝑥 ↔ Ta có 𝑓(0) = 𝑥 = 2√5 29 12 + = − ≈ 2,41; 𝑓(2√5) ≈ 2,09 ; 𝑓 (7) = √74 ≈ 2,15 Vậy giá trị nhỏ t điểm M cách B khoảng 𝑥 = 2√5 km ≈ 4,472 𝑘𝑚 Bài 21: Do toán cho ta sẵn hàm 𝐸(𝑣) = 𝑞𝑣 𝐿 𝑣−𝑎 nên ta ứng dụng đạo hàm tìm E (lưu ý v > a) 𝐿 3𝑣 (𝑣 − 𝑎) − 𝑣 𝑣 (2𝑣 − 3𝑎) ′ 𝐸 (𝑣 ) = 𝑞𝑣 => 𝐸 (𝑣 ) = 𝑞 =𝑞 , ∀𝑣 > 𝑎 (𝑣 − 𝑎 )2 (𝑣 − 𝑎 )2 𝑣−𝑎 𝐸 ′ (𝑣 ) = 𝑣 = 3𝑎 Lập bảng biến thiên ta thấy 2.4 Nhận xét Ứng dụng đạo hàm Vật lý đa dạng đặc biệt thể rõ nét qua toán chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Không riêng toán chuyển động vậy, ta bắt gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý toán khác Và phần làm rõ ứng dụng thơng qua toán vật lý 23 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 24 CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN Sau tìm hiểu lý thuyết đạo hàm hướng giải cho toán vật lý, ta kết luận sau: 3.1 Kết luận liên quan đến chủ đề Nói đến ứng dụng đạo hàm khơng thể khơng nói đến ứng dụng đạo hàm vật lý Ngoài việc cơng cụ tính tốn tốn tối ưu Nó cịn số ứng dụng khác để hình thành số cơng thức vật lý Một tảng vật lý xét xem đối tượng vật chất hoạt động nào, phản ứng lại với ngoại lực tác động lên nội lực, mà cụ thể có ba đại lượng mơ tả điều vận tốc, quãng đường gia tốc vật thời gian t xác định đó.Và khơng thể có cơng thức tính vận tốc, gia tốc hay biểu diễn mối quan hệ ba đại lượng mà không kế thừa thành tựu từ tốn học mà xác đạo hàm Về lý thuyết bản, đạo hàm xét xem thay đổi đại lượng ảnh hưởng đại lượng liên quan Một số ví dụ vật lý áp dụng kiến thức đạo hàm như: Trong động lực học, sử dụng đạo hàm để tính vận tốc, gia tốc vật 3.2 Kết luận cho trình làm chủ đề Qua nghiên cứu đề tài theo tiêu chí bám sát mục tiêu nhiệm vụ đề ra, tiểu luận giải nội dung cụ thể sau: Hệ thống lý thuyết đạo hàm trình bày ứng dụng đạo hàm Vật lý, giải tốn vật lý lý thuyết đạo hàm Từ rút kết luận sau: Đối với tốn qng đường, vận tốc, thời gian ta nhận thấy có mối quan tâm lớn thực tế để quãng đường ngắn thời gian 24 25 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ Trong thực tế, đời sống ngày, điều lúc lẽ phải chịu tác động nhiều yếu tố khác thời điểm, mật độ di chuyển, động nhiều thứ ta khơng lường trước Việc lý tưởng hóa toán mức sai số chấp nhận Khi làm theo dỏi đề tài tiểu luận sinh viên có khả ơn tập, củng cố tổng hợp lại kiến thức học trình học tập vận dụng vào nghiên cứu Qua tìm hiểu ý nghĩa đạo hàm vật lý phân tích ứng dụng ta hiểu rõ tầm quan trọng tốn học nói chung đạo hàm nói riêng Tuy nhiên kinh nghiệm thân hạn chế, nên tiểu luận có thiếu sót Nhóm mong nhận hướng dẫn góp ý từ Thầy để hồn thiện nội dung đề tài 25 26 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ TÀI LỆU THAM KHẢO • Nguồn: Tài liệu - SGK Đại số Giải tích 11 • Nguồn: Website [1] XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH by Dạy Kèm Quy Nhơn Official - Issuu [2] Dạng tập Ý nghĩa v (VietJack, n.d.)ật lí đạo hàm hay, chi tiết - Tốn lớp 11 (vietjack.com) [3] https://toanx.com/bai-viet-moi/y-nghia-cua-dao-ham.html [4] https://123docz.net/document/2424921-ung-dung-dao-ham-va-tichphan-trong-vat-ly.htm [5] https://hoc24h.vn//files/exam/upload/2018/08/22/1534953722848-deung-dung-bai-toan-dao-ham-vao-giai-toan-vat-lypdf.pdf [6] http://thptnvk.edu.vn/upload/31760/20171018/LIEN_MON.pdf 26 ... đạo hàm không ứng dụng tốn học mà cịn ứng dụng mơn học khác Cụ thể khuôn khổ tiểu luận ứng dụng đạo hàm vật lý ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 1.3 Khái niệm liên quan 1.3.1 Đạo hàm. .. Vật lý toán khác Và phần làm rõ ứng dụng thơng qua tốn vật lý 23 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÝ 24 CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN Sau tìm hiểu lý thuyết đạo hàm hướng giải cho tốn vật lý, ta... b Đạo hàm hàm hợp ĐỊNH LÍ Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u′x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y′x hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x