Giao trinh SAP2000 FEM1

SAP2000 Đại cương phương pháp phần tử hữu hạn 1.1 Khái niệm phương pháp Phần tử hữu hạn Ph ơng pháp ph n tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) ph ơng pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng g n n hàm ch a biết miền xác định V Tuy nhiên, FEM khơng tìm dạng xấp xỉ n hàm toàn miền V kết cấu mà tìm miền Ve Chính mà FEM áp dụng cho nhiều toán kỹ thuật tốn kết cấu, n hàm c n tìm đ ợc xác Hình H-1.2 – Mơ hình phần tử hữu hạn hệ dàn không gian định miền phức tạp với nhiều điều kiện biên khác Nh vậy, FEM miền tính tốn V đ ợc thay b i số hữu hạn miền Ve đ ợc gọi phần tử Các ph n tử đ ợc nối với b i điểm định tr ớc biên gọi nút Trong phạm vị ph n tử, đại l ợng c n tìm đ ợc xấp xỉ theo dạng phân bố xác định Các hệ số hàm xấp xỉ đ ợc gọi tham số hay tọa độ tổng quát Các tham số lại đ ợc biểu diễn qua giá trị hàm (và đạo hàm nó) vị trí điểm nút ph n tử Các giá trị nút đ ợc gọi bậc tự phần tử đ ợc xem n số c n tìm tốn Nh hệ số hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, dễ thỏa mãn điều kiện biên tốn Đây u điểm bật FEM so với ph ơng pháp khác Để nghiên cứu cụ thể FEM, ta c n thống số ký hiệu làm quen với khái niệm sau: + Phần tử (element) miền thuộc miền V cấu Do yêu c u ph ơng pháp, miền V phải đ ợc r i rạc hóa thành ph n tử + Nút (node hay joint) điểm định tr ớc biên ph n tử mà thông qua nút mà ph n tử đ ợc nối với tạo thành miền liên tục Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 + Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố n hàm c n tìm theo quy luật phạm vi ph n tử + Vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e (hay vectơ bậc tự ph n tử) tập hợp tất bậc tự nút thuộc ph n tử + Vectơ chuyển vị nút kết cấu {q} (hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) tập hợp tất bậc tự tất nút kết cấu + Vectơ tham số {a} (hay vectơ tọa độ tổng quát) tham số hàm xấp xỉ Theo FEM, tham số không đ ợc tính trực tiếp mà đ ợc biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút ph n tử + Các khái niệm hàm dạng [N ] (shape function), ma trận độ cứng [K ] (stiffness matrix), vectơ tải {P} (load vector)… đ ợc trình bày thành lập ph ơng trình FEM Tùy theo ý nghĩa hàm xấp xỉ toán kết cấu, ng i ta chia làm mơ hình sau đây: (i) Mơ hình tương thích biểu diễn dạng phân bố chuyển vị ph n tử n số chuyển vị đạo hàm đ ợc xác định từ hệ ph ơng trình đ ợc thiết lập s nguyên lý biến phân Lagrange hay nguyên lý toàn ph n dừng (ii) Mơ hình cân biễu diễn dạng g n ứng suất nội lực bên ph n tử n số lực nút đựơc xác định từ hệ ph ơng trình thiết lập s nguyên lý biến phân Castigliano hay nguyên lý l ợng hệ tồn ph n dừng (iii) Mơ hình hỗn hợp biểu diễn g n dạng phân bố chuyển vị ứng suất ph n tử Coi chuyển vị ứng suất hai yếu tố độc lập riêng biệt n số đ ợc xác định từ hệ ph ơng trình thành lập s nguyên lý biến phân Reisner-Helinge Trong ba mô hình mơ hình t ơng thích đ ợc dùng rộng rãi Hai mơ hình cịn lại sử dụng hiệu số toán Ph n mềm SAP2000 sử dụng mơ hình t ơng thích để phân tích kết cấu 1.2 Hàm xấp xỉ 1.2.1 Lựa chọn hàm xấp xỉ Nh trình bày trên, n hàm c n tìm đ ợc xấp xỉ hóa ph n tử Nh việc lựa chọn hàm xấp xỉ phải mô tả g n đại l ợng c n tìm phạm vi ph n tử Thông th ng hàm xấp xỉ hay đ ợc chọn dạng đa thức Hàm xấp xỉ sử dụng dạng l ợng giác u điểm hàm xấp xỉ dạng đa thức: + Đa thức đ ợc xem tổ hợp tuyến tính đơn thức tập hợp đơn thức thỏa mãn yêu c u độc lập tuyến tính + Hàm xấp xỉ dạng đa thức th ng dễ tính tốn đạo hàm tích phân + Có khả tăng độ xác cách tăng số bậc đa thức xấp xỉ Ví dụ: Trong tốn 1-D, hàm xấp xỉ đ ợc chọn d ới dạng đa thức nh sau: u (x ) = a + a x (xấp xỉ tuyến tính) u (x ) = a + a x + a x (xấp xỉ bậc 2) Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 u (x ) = a + a x + a x + a x (xấp xỉ bậc 3) Nếu chọn hàm xấp xỉ bậc n ta có: [ u ( x ) = a + a x + + a n x n −1 = x x2 ⎧ a1 ⎫ ⎪a ⎪ ⎪ ⎪⎪ n ⎪ x ⎨ a ⎬ = [P( x )]{a} ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩a n +1 ⎪⎭ ] Bài toán 2-D: [ u ( x ) = a + a x + a y + a x + a y + a xy = x u ( x , y, z) = [P( x , y, z)]{a} y x2 y2 ⎧a ⎫ ⎪a ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪⎪a ⎪⎪ xy ⎨ ⎬ = [P( x , y)]{a} ⎪a ⎪ ⎪a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩a ⎪⎭ ] Bài toán 3-D: [P( x, y, z)] đ ợc gọi ma trận đơn thức {a} đ ợc gọi vectơ tham số (hay vectơ tọa độ tổng quát) (1.1) 1.2.2 Chọn bậc đa thức xấp xỉ Về nguyên tắc, chọn bậc đa thức xấp xỉ cao kết xấp xỉ xác Tuy nhiên, đa thức đ ợc chọn phải thỏa mãn yêu c u sau đây: (i) Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức là: + Liên tục phạm vi ph n tử Điều đ ơng nhiên thỏa mãn chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức + Bảo đảm tồn trạng thái đơn vị ph n tử đạo hàm riêng đến bậc cao mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi (Xem lại ph ơng pháp biến phân Lý thuyết đàn hồi) (ii) Đa thức xấp xỉ chọn khơng làm tính đẳng hướng hình học: + Để đáp ứng yêu c u này, ta chọn dạng đa thức từ tam giác Pascal (bài toán 2-D) hay từ tháp Pascal (bài toán 3-D) Đối với xấp xỉ tốn 1-D yêu c u tự nhiên thỏa mãn Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 Hình H-1.2 – (a) Tam giác Pascal - (b) Tháp Pascal Thí dụ: Với tốn 2-D, muốn dùng hàm xấp xỉ đến bậc 2, ta lấy số hạng đến t ng thứ tam giác Pascal, hàm xấp xỉ là: u ( x, y) = a + a x + a y + a x + a y + a xy Với toán 3-D, hàm xấp xỉ bậc đ ợc lấy đến t ng thứ tháp Pascal: u ( x, y, z) = a + a x + a y + a z + a x + a y + a z + a xy + a zy + a 10 xz (c) Số tham số vectơ {a} phải số bậc tự phần tử {q}e : + Yêu c u c n đ ợc đảm bảo, nh nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại l ợng c n tìm điểm nút Muốn tăng bậc đa thức xấp xỉ lên, ta phải tăng số bậc tự ph n tử lên, ta có đ ợc ph n tử bậc cao 1.3 Hàm dạng Vectơ bậc tự {q}e ph n tử (hay vectơ chuyển vị nút ph n tử) tập hợp tất bậc tự nút ph n tử Các bậc tự n số c n tìm tốn phân tích theo ph ơng pháp ph n tử hữu hạn Sau lựa chọn hàm xấp xỉ, phải biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút ph n tử {q}e Ta nói rằng, đa thức đ ợc nội suy theo {q}e Thực chất ta phải đảm bảo giá trị đa thức xấp xỉ (hay đạo hàm nó) điểm nút thuộc ph n tử phải đồng bậc tự ph n tử Hay nói cách khác, ta thay tọa độ điểm nút ph n tử vào hàm xấp xỉ phải cho giá trị chuyển vị nút Trong tr ng hợp tổng quát, ph n tử có r nút, ta có: ⎧u (node 1) ⎫ ⎪u (node 2)⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ≡ {q}e ⎪ ⎪ ⎪⎩u (node r ) ⎪⎭ Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 Ta thay tọa độ nút vào đa thức xấp xỉ, thực đồng biểu diễn theo (1.1), ta có: ⎧u (node 1) ⎫ ⎧u ( x , y , z ) ⎫ ⎧[P( x , y , z )] ⎫ ⎪u (node 2)⎪ ⎪u ( x , y , z ) ⎪ ⎪[P( x , y , z )]⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎬ {a} = [A ]{a} ≡ {q}e ⎬=⎨ ⎨ ⎬=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩u (node r ) ⎪⎭ ⎩⎪u ( x r , y r , z r ) ⎪⎭ ⎪⎩[P( x r , y r , z r )] ⎪⎭ (1.2) Trong [A ] ma trận vng kích th ớc số bậc tự ph n tử chứa tọa độ điểm nút ph n tử {a} = [A]−1 {q}e Từ (1.2) ta có: (1.3) {u ( x, y, z)}e = [P( x, y, z)]{a} = [P( x, y, z)][A]−1 {q}e = [N]{q}e (1.4) Trong : [N] = [P(x, y, z)][A ]−1 (1.5) đ ợc gọi ma trận hàm nội suy ma trận hàm dạng Thực chất ma trận [N ] dùng để biểu diễn hàm xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút ph n tử {q}e hay nội suy theo {q}e Nhìn vào biểu thức (1.4), thấy, Thay (1.3) vào (1.1), ta có: chuyển vị điểm bên ph n tử đ ợc tính theo chuyển vị nút ph n tử ma trận hàm dạng [N ] Đối với toán kết cấu, thành ph n ma trận [N ] biểu diễn dạng phân bố chuyển vị ph n tử ứng với chuyển vị nút đơn vị Thí dụ 1-1: Tìm ma trận hàm dạng ph n tử chịu kéo (nén) dọc trục có nút (hình H-1.3) Do chịu kéo (nén) nên nút có bậc tự chuyển vị theo ph ơng chịu kéo (nén) Do vectơ chuyển vị nút là: {q}e = {q1 , q }Te = {u i , u j }T Hình H-1.3 Do vectơ chuyển vị nút có hai thành ph n, ta xấp xỉ hàm chuyển vị đến bậc (chứa tham số): ⎧a ⎫ u (x ) = a + a x = [1 x ] ⎨ ⎬ = [P( x )] {a} ⎩a ⎭ Để biểu diễn chuyển vị xấp xỉ theo {q}e , ta thực thay tọa độ điểm nút vào u ( x ) thực đồng nhất, ta có: ⎫ ⎡1 ⎤ ⎧a ⎫ ⎧u (node 1)⎫ ⎧u ( x = 0) ⎫ ⎧a ⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ = [A ]{a} ≡ {q}e ⎩u (node 2) ⎭ ⎩u ( x = L)⎭ ⎩a + a L ⎭ ⎣1 L ⎦ ⎩a ⎭ ⎡ ⎡1 ⎤ −1 ⎢ [ ] A ⇒ = ⎥ L ⎢⎣− L ⎦ ⎣ Nh [A ] = ⎢ 0⎤ 1⎥ L ⎥⎦ Từ (1.5) ta có ma trận hàm dạng ph n tử chịu kéo (nén): Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 [N]e = [P( x )][A]−1 = [1 0⎤ ⎡ x ⎥ = ⎢⎛⎜1 − ⎞⎟ L⎠ L ⎥⎦ ⎣⎝ ⎡ x] ⎢ ⎢⎣− L x⎤ = [N ( x ) N ( x )] L ⎥⎦ Cuối ta xấp xỉ u ( x ) theo vectơ chuyển vị nút ph n tử nh sau: ⎡⎛ x ⎞ u ( x ) = [N ]{q}e = ⎢⎜1 − ⎟ ⎣⎝ L ⎠ x ⎤ ⎧q ⎫ ⎛ x ⎞ x ⎨ ⎬ = ⎜1 − ⎟ q + q ⎥ L ⎦ ⎩q ⎭ ⎝ L ⎠ L Thí dụ 1-2: Tìm ma trận hàm dạng ph n tử d m chịu uốn nút (H-1.4) Đối với d m chịu uốn, nút có bậc tự thành ph n chuyển vị thẳng góc với d m v( x ) góc xoay θ = dv Nh vậy, vectơ bậc tự dx {q}e = {q1 , q , q , q }T = {v i , θ i , v j , θ j }T ph n tử là: Do vậy, hàm xấp xỉ chuyển vị v( x ) xấp xỉ đến bậc (chứa tham số): [ v( x ) = a + a x + a x + a x = x x Hình H-1.4 ⎧a ⎫ ⎪a ⎪ ⎪ 2⎪ x ⎨ ⎬ = [P( x )]{a} ⎪a ⎪ ⎪⎩a ⎪⎭ ] Hàm xấp xỉ góc xoay: ⎧a ⎫ ⎪a ⎪ dv 2 ⎪ 2⎪ θ( x ) = = a + 2a x + 3a x = 2x 3x ⎨ ⎬ dx ⎪a ⎪ ⎪⎩a ⎪⎭ [ ] Để biểu diễn chuyển vị góc xoay xấp xỉ theo {q}e , ta thực thay tọa độ điểm nút vào v( x ) θ( x ) thực đồng nhất, ta có: ⎫ ⎡1 ⎧v1 ( x = 0) ⎫ ⎧a ⎪ ⎢ ⎪θ ( x = 0) ⎪ ⎪a ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪ ⎪ = ⎬=⎨ ⎨ 3⎬ ⎪v ( x = L)⎪ ⎪a + a L + a L + a L ⎪ ⎢1 ⎪ ⎢⎣0 ⎪⎩θ ( x = L) ⎪⎭ ⎪a + 2a L + 3a L2 ⎭ ⎩ ⎡1 ⎢0 Nh [A ] = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 ⎤ ⎧a ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎪a ⎪ ⎨ ⎬ = [A ]{a} = {q}e L L2 L3 ⎥ ⎪a ⎪ ⎥ 2L 3L2 ⎦ ⎪⎩a ⎪⎭ 0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 ⇒ [A ] = ⎢ ⎢− / L2 L L2 L3 ⎥ ⎥ ⎢ 2L 3L2 ⎦ ⎣ 2/L 0 Ma trận hàm dạng đ ợc xác định nh sau: Email: binh.lv@ou.edu.vn 0 1 / L2 / L2 − / L3 − 2/L ⎤ ⎥⎥ − / L⎥ ⎥ / L2 ⎦ SAP2000 [N ] = [P( x )][A]−1 = [1 x Trong đó: N1 = − x2 x3 + ; L2 L3 x2 ⎡ ⎢ x3 ⎢ ⎢− / L2 ⎢ ⎣ 2/L ] N2 = x − 0 1 / L2 / L2 − / L3 − 2/L ⎤ ⎥⎥ = [N N N N ] − / L⎥ ⎥ / L2 ⎦ x2 x2 x3 x3 x2 x3 + ; N3 = − ; N4 = − + L L L L2 L L v( x ) = [N ]{q}e = N 1q + N q + N q + N q Hàm chuyển vị đ ợc nội suy qua vectơ bậc tự ph n tử: 1.4 Các phương trình FEM 1.4.1 Ma trận độ cứng phần tử vectơ tải phần tử Bài toán kết cấu giải giải FEM theo mơ hình t ơng thích tức ta chọn n chuyển vị Sau tìm đ ợc chuyển vị, ta tìm tiếp thành ứng suất, biến dạng Chuyển vị đ ợc xấp xỉ hóa đa thức xấp xỉ đ ợc nội suy qua vectơ chuyển vị nút ph n tử {q}e : {u}e = [N]{q}e Theo ph ơng trình Cauchy Lý thuyết đàn hồi (xem thêm tập ph n tập cuối ch ơng), ta tính đ ợc thành ph n biến dạng: {ε}e = [∂ ]{u}e = [∂ ][N]{q}e = [B]{q}e (1.6) Trong đó: [B] = [∂ ][N ] đ ợc gọi ma trận tính biến dạng (1.7) Để tính ứng suất điểm thuộc ph n tử, ta áp dụng định luật Hooke Nếu bỏ qua thành ph n ứng suất biến dạng ban đ u, ta có: {σ}e = [D]{ε}e (1.8) {σ}e = [D][B]{q}e = [S]{q}e Trong đó: [S] = [D][B] đ ợc gọi ma trận tính ứng suất Thay (1.6) vào (1.8), ta đ ợc: (1.9) (1.10) Để tìm đ ợc ph ơng trình ph ơng pháp ph n tử hữu hạn, ta dùng nguyên lý biến phân Lagrange (t ơng tự nh ph ơng pháp Ritz Galerkin ph ơng pháp biến phân) Thế toàn ph n ph n tử là: ∏ e ({u}e ) = ∫ {ε} {σ} dV − ∫ {g} {u} dV − ∫ {p} {u} dS T e T e Ve T e (1.11) e Ve Se Thay kết từ (1.5), (1.6) (1.9) vào (1.11), ta biểu diễn đ ợc ph n tử theo chuyển vị nút {q}e , cụ thể: ∏ e ({u}e ) = ∫ {q} ([B] [D][B]){q} dV − ∫ {g} [N]{q} dV − ∫ {p} [N]{q} dS T e T T e T e Ve Ve e (1.12) Se Có thể viết gọn d ới dạng: ∏ e ({u}e ) = T {q}e [K ]e {q}e − {q}Te {P}e Email: binh.lv@ou.edu.vn (1.13) SAP2000 [K ]e = ∫ [B]T [D][B]dV Trong đó: gọi ma trận độ cứng phần tử (1.14) {P}e = ∫ [N]T {g}e dV + ∫ [N]T {p}e dS gọi vectơ tải phần tử Ve (1.15) Để ý phép tính ma trận độ cứng (1.14) [D] ma trận đối xứng nên [K ]e ma trận đối xứng 1.4.2 Ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể Giả sử kết cấu đ ợc chia thành N ph n tử b i R nút Số bậc tự nút s Mỗi ph n tử có r nút Nh vậy: + Số bậc tự ph n tử ne = r x s + Số bậc tự hệ n = R x s Vectơ chuyển vị nút ph n tử {q}e có kích th ớc (ne x 1) Se Ve Vectơ chuyển vị nút tổng thể {q} có kích th ớc (n x 1) Thực chất, {q}e thành ph n {q} , hai vectơ chuyển vị nút ph n tử tổng thể có mối quan hệ với theo biểu thức: {q}e = [L]e {q} (1.16) Trong đó: [L]e (ne x n) gọi ma trận định vị ph n tử Ma trận cho thấy hình ảnh xếp {q}e {q} Thí dụ 1-3: Hãy biểu diễn vectơ chuyển vị nút {q}e ph n tử theo vectơ chuyển vị nút {q} kết cấu dàn phẳng nh hình H-1.6 Kết cấu gồm N = ph n tử, tổng số nút R = nút, nút có s = bậc tự thành ph n chuyển vị mặt phẳng dàn, ph n tử có r = nút Nh vậy, vectơ {q} có tất R x s = x = thành ph n thành ph n, cụ thể: {q}= {q q8} Hình H-1.6 Vectơ chuyển vị nút ph n tử {q}e có x = thành ph n tùy ý quan niệm điểm đ u i điểm cuối j ph n tử: {q}1 = {q1 {q}4 = {q q2 q2 q3 q5 q4 q5 q6 T q7 q } ; {q}2 = {q T q } ; {q}5 = {q q4 q1 q } ; {q}3 = {q T q } ; {q}3 = {q q8 q4} q1 q } q3 Ta biểu diễn vị trí xếp {q}e {q} ma trận định vị [L]e : q8 q5 Email: binh.lv@ou.edu.vn T q4 q5 T q8 T T SAP2000 ⎡1 ⎢0 {q}1 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ ⎡0 ⎢0 {q}2 = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ ⎡0 ⎢0 {q}5 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ ⎡0 ⎢0 {q}6 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0 1⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ ⎡0 ⎢0 {q}3 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0 1⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ ⎡0 ⎢0 {q}4 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ ⎧ q1 ⎫ 0 0 0 1⎥⎥ ⎪⎪q ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 0⎥ ⎪ # ⎪ ⎥ 0 0 0⎦ ⎪⎩q ⎪⎭ Trong tất tr ng chuyển vị khả dĩ, tr ng chuyển vị thực phải làm cho toàn ph n hệ đạt giá trị dừng (theo nguyên lý biến phân chuyển vị) Do vậy, ta c n thiết phải tìm đ ợc tồn ph n hệ, sau từ điều kiện dừng tìm tr ng chuyển vị {u} Từ (1.13), ta tồn ph n hệ đ ợc biểu diễn theo {q} : ∏= ∑∏ ⎞ ⎛1 T T T = ∑ ⎜ {q} [L]e [K ]e [L]e {q} − {P}e [L]e {q}⎟ ⎠ e =1 ⎝ N e =1 N e ⎧ ∂∏ =0 ⎪ ⎪ q1 ⎪∂ ⎪⎪ ∏ = ∂∏ = ⇔ ⎨ q hay viết gọn ⎪# ⎪ ⎪ ∂∏ ⎪ =0 ⎪⎩ q n (1.17) Áp dụng nguyên lý toàn ph n dừng: dạng ma trận: ∂∏ ∂{q} =0 (1.18) Thay (1.17) vào (1.18) thực đạo hàm riêng với biến số bậc tự t ơng ứng, ta nhận đ ợc hệ ph ơng trình: [K ]{q} − {P} = (1.19) [K ] = ∑ [L] [K ] [L] Trong đó: N T e e T e e {P}= ∑ [L] {P} e =1 N e gọi ma trận độ cứng tổng thể gọi vectơ tải tổng thể (2.20) (1.21) Ph ơng trình (1.19) chứa n hàm chuyển vị nút {q} Tuy nhiên, ta áp dụng nguyên lý để thành lập ph ơng trình này, ta ch a áp đặt điều kiện biên cho e =1 Email: binh.lv@ou.edu.vn SAP2000 [] hệ kết cấu Do ma trận K suy biến không tồn ma trận nghịch đảo Ta phải đ a thêm vào điều kiện biên để đảm bảo hệ bất biến hình Sau áp đặt điều kiện biên cho {q} (áp đặt điều kiện biên nút), ph ơng trình (1.19) tr thành: [K ]{q }− {P } = * * * (1.22) Ph ơng trình (1.22) hệ ph ơng trình FEM Các nhận xét: + Ma trận [K ]e đối xứng nên [K * ] đối xứng [ ] {} + Trong công thức (1.20) (1.21), để xác định K P ta dùng ma trận định vị ph n tử [L]e , thực chất xếp ph n tử [K ]e {P}e vào vị trí [ ] {} K P Trong thực hành, ta không dùng công thức mà dùng ma trận số để tiện lợi trình ghép nối ph n tử + Về mặt học, ph ơng trình (1.22) biễu diễn điều kiện cân vật thể điểm nút kết cấu Chú ý: nút có lực tập trung nút (th ng gặp hệ dàn), ta phải kể thêm ngoại lực tập trung nút P n vào vectơ tải P {} {} 1.4.3 Ghép nối phần tử ma trận số Ma trận cứng vectơ tải tổng thể tính trực tiếp từ cơng thức (1.20) (1.21) Tuy nhiên, để tiện lợi ta dùng hệ thống số để đánh số cho bậc tự nút nh sau: Hệ thống số tổng thể: ta thực đánh số thứ tự bậc tự tập hợp bậc tự xét {q} Chỉ số đánh từ 1, 2, 3, …, n = R x s Hệ thống số phần tử: ta thực đánh số thứ tự bậc tự ph n tử {q}e Chỉ số đ ợc đánh từ 1, 2, …, ne = r x s Ta lập ma trận số [b] cho với thành ph n b ij số tổng thể t ơng ứng với bậc tự thứ j ph n tử thứ i Do ma trận [b] có số hàng số ph n tử N số cột số bậc tự ph n tử ne [] Khi sử dụng ma trận số [b] để xây dựng ma trận cứng tổng thể K vectơ tải tổng thể P , ta c n nhớ thành ph n K ije ma trận cứng ph n tử K e đ ợc cộng {} [] thêm vào ph n tử K mn ma trận cứng tổng thể K với m = b ei n = b ej T ơng tự, {} ph n tử Pie vectơ {P}e đ ợc cộng thêm vào ph n tử P m P với m = b ei [] {} Thí dụ 1-4: Lập ma trận số hệ d m liên tục sau để xây dựng ma trận cứng tổng thể K vectơ tải tổng thể P (hình H.1-5) Chỉ số cục Nút i Nút j Phần tử (1) (2) (3) Email: binh.lv@ou.edu.vn q1 q2 q3 q4 q5 q6 Hình 1-5 10 q7 q8 SAP2000 Làn xe đ ợc định nghĩa b i chuỗi ph n tử Khi thực chọn ph n tử cho xe phải bật số hiệu ph n tử lên chức Set Element Độ lệch tâm (Eccentricity) đ ợc tính từ trục đ ng chạy đến trục ph n tử hình thành xe Do ch ơng trình phân tích đ ợc tải trọng di động ph n tử nên sử độ lệch tâm để tính tốn mơmen xoắn dọc trục ph n tử để đảm bảo tính tốn g n so với thực tế Độ lệch tâm xem dương (+) tâm đường chạy nằm bên trái xe (theo hướng xe chạy) ngược lại Các khái niệm đ ng chạy (roadway), xe (lane) độ lệch tâm (eccentricity) mang tính chất mơ hình, khơng thể hình đồ họa SAP2000, dễ nh m lẫn Chúng ta xét ví dụ hình d ới đây: Hình bên gồm 03 đ ng chạy A, B C, đ ng chạy đ ợc mơ tả b i chuỗi ph n tử thanh, cụ thể: Đ ng chạy A (8, 7, 6) Đ ng chạy B (11, 10, 9) Đ ng chạy C (5, 4, 3, 2,1) Hai xe đ ợc định nghĩa b i đ ng chạy độ lệch tâm t ơng ứng ph n tử so với tâm đ ng chạy, cụ thể: Lane 1: đ ợc mô tả b i 02 đ ng chạy A C bao gồm ph n tử xếp theo thứ tự frame 8-7-6-5-4-3-2-1 Trong độ lệch tâm ph n tử 5-4-3 +6 feet, ph n tử số +3 feet, ph n tử cịn lại có độ lệch tâm Lane 2: đ ợc mô tả b i đ ng chạy A ph n đ ng chạy C, bao gồm ph n tử 11-10-9-5-4-3 Độ lệch tâm ph n tử 5-4-3 –6 feet, lại 3.7.5 Định nghĩa hoạt tải xe SAP2000 cho phép ng i dùng định nghĩa hoạt tải xe từ th viện có sẵn (theo tiêu chu n ASSHTO) định nghĩa hoạt tải xe tổng quát cách nhập số liệu cho khoảng cách trục, tải trọng trục… theo sơ đồ tổng qt (hình bên) Các thơng số sau phải đ ợc định định nghĩa tải trọng xe tổng quát: + (n-1) khoảng cách d hai trục xe, với < dmin ≤ d ≤ dmax + n tải trọng trục xe + Với TCVN phụ tải px (n+1) tải phân bố w không c n khai báo Email: binh.lv@ou.edu.vn 97 SAP2000 Để thực định nghĩa tải trọng xe tổng quát, ta thực hiện: Define → Moving Loadcase → Vehicle\Add General Vehicle… Tên tải trọng xe Tải phân bố trục tr ớc Tải phân bố trục sau Tải tập trung trục tr ớc Tải tập trung khoảng cách trục xe Ví dụ: hình mơ tả đồn tải trọng xe H30 gồm Với tải trọng XB80 gồm 1chiếc, ta khai báo thông số sau: First Axle 20.0 Uniform Axle Min Distance Max Distance 0.00 20.0 1.20 1.20 0.00 20.0 1.20 1.20 0.00 20.0 1.20 1.20 Với tải trọng đoàn ng i hành q = 300kg/m2, ta khai báo thông số sau: + Leading uniform load = 0.3 T/m (tính cho 1m ngang c u) + Trailing uniform load = 0.3 T/m (tính cho 1m ngang c u) 3.7.6 Định nghĩa nhóm xe (vehicle class) Thực hiện: Define → Moving Loadcase → Vehicle Classes\Add New Class… Theo TCVN, nhóm xe gồm loại xe nên ta định nghĩa nhóm: + Nhóm DNC : gồm đồn ng i + Nhóm H30C: gồm xe H30 + Nhóm XB80C: gồm xe XB80 Email: binh.lv@ou.edu.vn 98 SAP2000 3.7.7 Chỉ định đáp ứng tính tốn Khi thực giải tốn chịu tải di động, số l ợng tính tốn theo đ h ng nhiều Do vậy, để hạn tính tốn khơng c n thiết SAP2000 cho phép ng i dùng giới hạn yêu c u phân tích Define → Moving loadcase → Brigde Responses… Thực định đáp ứng c n tính tốn nh chuyển vị nút (Displacements), phản lực nút (reaction), phản lực gối đàn hồi (Spring forces), nội lực ph n tử (Frame forces) Ph ơng pháp tính xác (Exact) g n (Refinement level) Chú ý: chức Calculate corresponding values for frame dùng để định đáp ứng cực trị đặt tải, đ ợc sử dụng làm toán thiết kế Nên loại bỏ chức để giải nhanh toán 3.7.8 Trường hợp hoạt tải xe Theo TCVN c n định nghĩa 02 tr ng hợp hoạt tải xe: Tổ hợp 1: Tải trọng H30 + đoàn ng i Tổ hợp 2: Tải trọng XB80 Define → Moving loadcase \ Add Load… Tên tr ng hợp tải xe chạy Số xe & hệ số xe Định nghĩa quy tải cho tr ng hợp tải xe chạy Khai báo số liệu cho quy tải (Add new assign): Assignment number: số hiệu quy tải ch ơng trình tự động đánh số Vehicle class: chọn nhóm xe quy tải Scale factor: hệ số nhân tải trọng = hệ số phân bố ngang × hệ số xung kích Assignment lanes : xe đặt tải Email: binh.lv@ou.edu.vn 99 ng ảnh SAP2000 3.7.9 Tổ hợp tải trọng Sau thực định nghĩa tr ng hợp tải trọng xe chạy, tr ng hợp tải tổ hợp với tr ng hợp tải trọng khác nh tĩnh tải, hoạt tải tĩnh… Cách thực ph ơng pháp tổ hợp tải trọng đ ợc trình bày trọng mục 3.5 3.8 Bài tập thực hành Bài tập 1: Vẽ đ ng ảnh h ng nội lực chuyển vị tiết diện d m đơn giản có đ u thừa cho hình vẽ So sánh với l i giải Cơ học kết cấu 2m 6m 2m Trình tự thực hiện: Bước : Mơ tả hình học Chọn hệ đơn vị KN-m, File > New Model From Template > [Beam] Number of Spans Span Length Restraints Bước : Khai báo đ - ng ảnh h 10 [] ng hay định nghĩa xe Hiển thị số hiệu ph n tử thanh: View > Set Elements > [Frames > Labels] Kết đ ợc nh hình sau Email: binh.lv@ou.edu.vn 100 SAP2000 Định nghĩa xe: định nghĩa xe ch ơng trình xác định đ ng ảnh h ng đáp ứng (nội lực, chuyển vị…) đặt tải trọng đơn vị dọc theo xe Từ menu, Define > Moving Load Cases > Lane …[Add New Lanes] - Khai báo liệu xe Lane Name : Tên xe, không nên đặt tên dài ký tự Frame : Số hiệu ph n tử tạo thành xe Eccentricity : Độ lệch tâm ph n tử tâm xe Add : thêm ph n tử vào cuối lane Insert : chèn ph n tử vào lane Modify : sửa đổi Delete : xoá ph n tử khỏi lane Làn xe đ ợc khai báo hình sau, tồn ph n tử có độ lệch tâm zero LANE1 Frame (số hiệu ph n tử ) Từ -10 Eccentricity (độ lệch tâm) Bước : Gán điều kiện biên Bước : Thực giải - Chọn bậc tự cho nút Analyze >Set Options> Click vào ô [v] UZ [v] RY - L u toán thực giải (F5) Email: binh.lv@ou.edu.vn 101 SAP2000 Biểu diễn kết quả: - Đ ng ảnh h ng chuyển vị nút: Display > Show Influence Lines > Joints Lane : Chọn xe đặt tải trọng di động Joint ID : Chọn nút để xem đ ng ảnh h ng Vector Type : Chọn đáp ứng c n xem đ ng ảnh h ng Displacement : Chuyển vị Spring Force : Phản lực lò xo Reaction : Phản lực liên kết Component : Chọn thành ph n đáp ứng Scaling : Tỉ lệ vẽ Table : Để xem chi tiết giá trị đ ng ảnh h ng Hộp đối thoại biểu diễn đường ảnh hưởng nút - Đ Hộp đối thoại biểu diễn đường ảnh hưởng nội lực ng ảnh h ng nội lực: Display > Show Influence Lines > Frames Lane : Chọn xe đặt tải trọng di động Frame ID : Số hiệu ph n tử Component : Chọn thành ph n nội lực c n xem đ ng ảnh h ng Location : Vị trí mặt cắt ( xét theo h ớng di chuyển tải trọng) Table : Hiển thị số liệu chi tiết đ ng ảnh h ng Email: binh.lv@ou.edu.vn 102 SAP2000 Bài tập 2: Phân tích tốn c u đơn giản chịu tải trọng di động Yêu c u tính tốn nội lực nguy hiểm cho 02 đoàn xe HS20-44 HS20-44L chạy đồng th i hai xe nằm hai phía tim đ ng chạy, độ lệch tâm hai xe 1.83m (trích ví dụ SAP2000 – A to Z Problems CSI, 2005) 70’ (21.33m) 50’ (15.24m) Lnhịp = 100’ (30.48m) x nhịp Các số liệu nh sau: Vật liệu bê tơng có E = 3.5x107 KN/m2, γ = 25 KN/m3, ν = 0.2 D m : F = 3.72m2, J = 3.46 m4, AS = 2.79 m2 Cột : F = 3.25 m2, J = 4.33 m4, AS = 1.11 m2 Trình tự thực hiện: Bước : Mơ tả hình học Chọn hệ đơn vị KN-cm, File > New Model From Template > [Portal Frame] Number of Stories Number of Bays Email: binh.lv@ou.edu.vn 103 Story Height 21.33 Bay Width 30.48 SAP2000 - Xoá ph n tử d , kết đ ợc nh hình sau - Thay đổi vị trí nút hình trên, click chuột phải vào nút, thay đổi cao độ Z ( → 6.09 ) để có đ ợc sơ đồ kết cấu yêu c u 6.09 - Chia ph n tử d m ngang thành hai ph n tử Email: binh.lv@ou.edu.vn 104 SAP2000 Bước : Khai báo đặc tr ng vật liệu hình học - Định nghĩa đặc tr ng vật liệu Định nghĩa hai đặc tr ng hình học nh sau Define > Frame sections > [Add General] Section Name Material Cross-section (axial) area Shear area in direction (AS) Momen of Inertia about axis (J) Các giá trị lại gán - DAM BT 3.72 2.79 3.46 COT BT 3.25 1.11 4.33 Gán đặc tr ng hình học cho ph n tử d m cột Bước : Định nghĩa tải trọng di động Trong tốn có hai xe chạy đ ợc đặt tên LANE1 LANE2, giả sử h ớng xe chạy từ trái sang phải Nh LANE1 có độ lệch tâm -1.83m LANE2 có độ lệch tâm 1.83m Định nghĩa xe - Hiển thị số hiệu ph n tử thanh: View > Set Elements > [Frames > Labels] - Từ menu, Define > Moving Load Cases > Lane …[Add New Lanes] LANE1 LANE2 Frame (số hiệu ph n tử ) Từ 12 -17 Từ 12 -17 Eccentricity (độ lệch tâm) -1.83 1.83 Định nghĩa loại xe tiêu chuẩn - Define > Moving Load Cases >Vehicle > [Add Standard Vehicle] Chọn loại xe HSn-44 Scale Factor: 20 Email: binh.lv@ou.edu.vn 105 SAP2000 - Làm t ơng tự xe HSn20 -44L Định nghĩa nhóm xe Nhóm xe gồm có hai loại xe HSn441 HSn442, với hệ số nhân tải trọng xe 1.0 Define > Moving Load Cases >Vehicle Class > [Add New Class] Vehicle Class Name : DOANXE Vehicle Name : HSn441 HSn442 Scale Factor : 1.0 Chỉ định đáp ứng cần tính tốn Define > Moving Load Cases >Bridge Reponse Trong vùng Type of Result : đánh dấu tất ô trừ ô Spring Forces Chọn ph ơng pháp tính xác Exact Định nghĩa trường hợp tải di động Trong toán xét có tr ng hợp tải di động, với đoàn xe (DOANXE) Quy tải gán đoàn xe chạy hai xe kết cấu Email: binh.lv@ou.edu.vn 106 SAP2000 Define > Moving Load Cases > Moving Load Cases > [Add New Load] Load Case Name: DIDONG Multilane Scale Factor: Hệ số xe Number of Lane: Scale Factor : 1.0 (Bỏ qua ảnh h ng nhiều xe, hệ số nhân 1) [Add New Assign] > Moving Load Case Assignments Assignment number : Vehicle Class : DOANXE Scale Factor : 1.0 Selected Lanes : LANE1, LANE2 ( Chọn LANE từ danh sách xe [Select Lanes from > Add] ) Bước : Áp đặt điều kiện biên thực giải - Gán khớp hai đ u c u chân cột - Chọn bậc tự cho toàn kết cấu: Analyze > Set Options > Available DOFs: Ux, Uz, Ry - Thực giải (F5) Email: binh.lv@ou.edu.vn 107 SAP2000 Bài tập Vẽ biểu đồ bao mômen cho kết cấu c u đơn giản tập theo TCVN với hai tổ hợp tải trọng: Tổ hợp 1: Tải trọng H30 + đoàn ng i Tổ hợp 2: Tải trọng XB80 Trình tự thực hiện: Bước 1: Làm giống BT 7-2 Bước 2: Bước 3: Định nghĩa xe Định nghĩa tải trọng xe Define > Moving Load Cases >Vehicle > [Add General Vehicle] - Định nghĩa tải trọng đoàn xe H30 gồm chiếc: Vehicle Name : H30 Leading Uniform Load : 0.0 Trailing Uniform Load : 0.0 First Axle Load : 6.0 Email: binh.lv@ou.edu.vn 108 SAP2000 Uniform 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Axle 12 12 12 12 12 12 Min Distance 1.6 10 1.6 10 1.6 Max Distance 1.6 10 1.6 10 1.6 Thao tác Add Add Add Add Add Add Add Add Tất tuỳ chọn khác chọn theo mặc định ch ơng trình - Định nghĩa tải trọng xe XB80 gồm chiếc: Vehicle Name : XB80 Leading Uniform Load: 0.0 Trailing Uniform Load: 20 First Axle Uniform Axle Min Distance Max Distance - 20.0 0.00 20.0 1.20 1.20 0.00 20.0 1.20 1.20 0.00 20.0 1.20 1.20 Định nghĩa tải trọng đoàn ng i hành DN: Khai báo tải trọng đồn ng i, tính bề rộng 1m ngang c u, lực phân bố q=0.3T/m Email: binh.lv@ou.edu.vn 109 SAP2000 Vehicle Name : DN Leading Uniform Load : 0.3 Trailing Uniform Load : 0.3 Định nghĩa nhóm xe Define > Moving Load Cases >Vehicle Class > [Add New Class] Theo TCVN, nhóm xe gồm loại xe nên ta định nghĩa nhóm: Nhóm DNC : gồm đồn ng i Nhóm H30C: gồm xe H30 Nhóm XB80C: gồm xe XB80 Chỉ định đáp ứng cần tính tốn Define > Moving Load Cases >Bridge Reponse Trong vùng Type of Result : đánh dấu tất ô trừ ô Spring Forces Chọn ph ơng pháp tính xác Exact Định nghĩa trường hợp tải di động Theo yêu c u toán, gồm hai tổ hợp nh sau: Tổ hợp 1: Tải trọng H30 + đoàn ng i Tổ hợp 2: Tải trọng XB80 Minh hoạ cho tr ng hợp định nghĩa tổ hợp 1, học viên tự thực tổ hợp Define > Moving Load Cases > Moving Load Cases > [Add New Load] Load Case Name: TH1 Multilane Scale Factor: Hệ số xe Number of Lane: Scale Factor : 1.0 (Bỏ qua ảnh h ng nhiều xe, hệ số nhân 1) [Add New Assign] > Moving Load Case Assignments Email: binh.lv@ou.edu.vn 110 SAP2000 Assignment number : Vehicle Class : DNC Scale Factor : 1.0 Selected Lanes : LANE1, LANE2 ( Chọn LANE từ danh sách xe [Select Lanes from > Add] ) [Add New Assign] > Moving Load Case Assignments Assignment number : Vehicle Class : H30C Scale Factor : 1.0 Selected Lanes : LANE1, LANE2 Bước : Áp đặt điều kiện biên thực giải - Gán khớp hai đ u c u chân cột Chọn bậc tự cho toàn kết cấu: Analyze > Set Options > Available DOFs: Ux, Uz, Ry Thực giải (F5) Email: binh.lv@ou.edu.vn 111