ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Xuân Tấn THÁI NGUYÊN - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Thị Hồng Nhung LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ii LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Xuân Tấn, người thầy nghiêm túc hướng dẫn, tận tâm bảo cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sáng tạo, định hướng đắn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập trường Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân gia đình ủng hộ, động viên, giúp đỡ đồng hành tác giả suốt thời gian học Cao học thời gian tác giả thực luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Học viên Trần Thị Hồng Nhung LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com iii MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng Bài toán cân giả đơn điệu mạnh 1.1 Các kiến thức sở giải tích lồi 1.2 Bài tốn cân giả đơn điệu 13 Chƣơng Bài toán cân tách 29 2.1 Phát biểu toán 29 2.2 Thuật toán giải 30 2.3 Sự hội tụ thuật toán 31 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✶ ▼Ð ✣❺❯ ❈❤♦ ❈ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣✱ f : C×C → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✳ ❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (¯x, y) ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ x¯ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ❝↔ ✈➲ ♠➦t ❧➼ tt tỹ t õ ỗ t tr ỵ tt tố ữ ữ ỳ trữớ ủ ❜✐➺t✳ ❱✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ✈✐➺❝ t➻♠ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ t➼♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣✳ ❚❤✉➟t ♥❣ú ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ tø ❧➙✉ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ữ t ỵ õ tt t ữợ tự tũ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ t ữỡ ỵ tt tt t ữỡ ỵ tt õ ự sỹ tỗ t t ê♥ ✤à♥❤✱ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❤✐➺♥ ♥❛② ❝ì ❜↔♥ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➽ t❤✉➟t t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♥❤÷ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉✱ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➔♠ ✤→♥❤ ❣✐→✱✳ ✳ ✳ ✳P❤➛♥ ❧ỵ♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ♠✉è♥ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ t❤➻ t❛ ♣❤↔✐ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❝❤➾♥❤✳ ❱✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉✱ ❤♦➦❝ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â t❤➸ ❣➦♣ ❦❤â ❦❤➠♥ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â ❝➜✉ tró❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ s♦ ✈ỵ✐ tø♥❣ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✳ ❱✐➺❝ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤✉ ❝➛✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝â t❤➸ t→❝❤ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤❛② ♥❤✐➲✉ ❤➔♠ ❦❤→❝ ✈➔ ♠é✐ ❤➔♠ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t tèt ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❞➵ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t ỗ t ỡ ụ ữ sỹ tỗ t t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❚→❝ ❣✐↔ ❚r➛♥ ỗ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ tự ỡ t ỗ ởt số ❜ê ✤➲ ❝➛♥ t❤✐➳t s➩ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ sỹ tỗ t ụ ữ sỹ tử ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ ❝â t❤➸ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ♥❤÷♥❣ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔②✱ t❛ ❝❤➾ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✶✳✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ỡ s t ỗ ổ rt ❈❤♦ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ R✳ ❚➼❝❤ ổ ữợ tr H , : H × H → R✱ (x, y) → x, y t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭❛✮ x, x ≥ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✱ x, x = ⇔ x = 0✳ ✭❜✮ x, y = y, x ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H✳ ✭❝✮ ❱ỵ✐ x ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ x, : H → R ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✭❞✮ ❱ỵ✐ y ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ , y : H → R ❧➔ t t , ởt t ổ ữợ tr➯♥ H t❤➻ →♥❤ ①↕ x → x, x ✈ỵ✐ x ∈ H ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||.|| ✈➔ →♥❤ ①↕ (x, y) → ||x − y|| ✈ỵ✐ x, y ∈ H ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ d(x, y)✳ ❚❛ ♥â✐ ❝➦♣ ✭H, , ✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tữỡ ự ỗ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✹ ❈❤♦ ❤❛✐ a, b H õ ã ữớ t ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a✱ b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣✿ {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}, • ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b tr♦♥❣ H ❝â ❞↕♥❣✿ [a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ❈❤♦ u ∈ H \ {0} ✈➔ η ∈ R✳ ▼ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ u tr♦♥❣ H ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â ❞↕♥❣ {x ∈ H : x, u = η} ▼é✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❝❤✐❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥û❛✱ ❝→❝ t➟♣ {x ∈ H : x, u ≤ η} ✈➔ {x ∈ H : x, u < η} ❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤â♥❣ ✈➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠ð ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ u✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët t➟♣ ❝♦♥ C ❝õ❛ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ỗ ợ x, y C t [x, y] ⊂ C tù❝ ❧➔ λx + (1 − λ)y, ∀λ ∈ [0, 1] ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H✱ u ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø u ✤➳♥ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ dC (u)✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ∈ H dC (u) = inf {d(u, y) : y ∈ C} = inf {||u − y|| : y ∈ C} ◆➳✉ ❝â ✤✐➸♠ p ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ||u − p|| = dC (u) t❤➻ p ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ u tr➯♥ C ✳ ◆➳✉ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H ✤➲✉ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C t❤➻ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❈❤❡❜②s❤❡✈✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ q✉② t➢❝ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥â tr➯♥ C ❝❤♦ t❛ ♠ët t♦→♥ tû ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ PC ✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✺ ❚❛ ❝â ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝❤♦ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠ët t ỗ õ rộ s ỵ C ởt t ỗ õ rộ H✳ ❑❤✐ ✤â C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ✈➔ p tr♦♥❣ H✱ p = PC (u) ⇐⇒ p ∈ C ✈➔ (∀y ∈ C) u − p, y − p ≤0 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ C ởt t ỗ õ rộ H✱ x ∈ H✳ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ C t↕✐ x✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ NC x✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ {u ∈ H | u, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ♥➳✉ x ∈ C , NC x = ∅ ♥➳✉ x ∈/ C ❚✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët ❞➣② {xn} tr♦♥❣ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✭✐✮ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ||xn − x|| → ❦❤✐ n → ∞✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x❀ ✭✐✐✮ ❤ë✐ tư ②➳✉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ H✱ xn − x, u → ❦❤✐ n → ∞✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ✈➔ {un}n≥0 ❧➔ ❝→❝ ❞➣② tr♦♥❣ H✱ x ✈➔ u ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû xn → x✱ un → ∞✳ ❑❤✐ ✤â xn, un → x, u ❦❤✐ n → ∞✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ H✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ {xn}n ≥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q tở số ỗ ✶✳✶✳✺✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H ✈➔ ❤➔♠ f : C → [−∞, +∞]✳ • ▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ f ❧➔ t➟♣✿ domf = {x ∈ C | f (x) < +∞}✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷✺ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â lim k→∞ k i=k0 [1 = 0, + 2ρk (β − L2 )] ✭✶✳✷✳✶✻✮ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ❞ø♥❣ t❤➻ {xk } ❤ë✐ tư ✤➳♥ x¯✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ k t❛ ❝â [1 + 2ρk (β − L2 )]||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 − (1 − 2ρk L1 )||xk+1 − xk ||2 ứ tt k lim k = tỗ t k0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ − 2ρk L1 > 0✱ ∀k ≥ k0 ✳ ❉♦ ✤â✱ [1 + 2ρk (β − L2 )]||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 , ∀k ≥ k0 , ✤✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ ||xk − x¯||, ∀k ≥ k0 + 2ρk (β − L2 ) ||xk+1 − x¯|| ≤ ❚ø ✤â t❛ ✤÷đ❝ k k+1 ||x [1 + 2ρi (β − L2 )]||xk0 − x¯||, − x¯|| ≤ i=k0 tù❝ ❧➔ ✭✶✳✷✳✶✺✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t α := 2ρk (β − L2) > 0✱ t❛ ❝â ∞ ∞ αk = 2(β − L2 ) k=k0 ρk = ∞, k=k0 ❦➨♦ t❤❡♦ k i=k0 (1 + αi ) ≤ 1+ k i=k0 αi → 0, ❦❤✐ k → ∞ ❉♦ ✤â tø ✭✶✳✷✳✶✺✮✱ t❛ ✤÷đ❝ xk → x¯ ❦❤✐ k → ∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷✻ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❚➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ F (¯ x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C, ð ✤â F : C → H ❧➔ t♦→♥ tû ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❤➺ sè µ > ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✲▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✱ ✈ỵ✐ s♦♥❣ ❤➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ f (x, y) := F (x), y − x , t❛ ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ t❤❛♠ sè m > s❛♦ ❝❤♦ L2 = 2mL < µ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♣❤➨♣ ❧➦♣ tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷ trð t❤➔♥❤ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ xk+1 = PC (xk − ρk F (xk )) ❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈→❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✶ ✈➔ ✶✳✷✳✷ ❝â t❤➸ ❝♦✐ ♥❤÷ ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â✳ ❱➼ ❞ö s❛✉ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❈❤♦ C = H = R ✈➔ f (x, y) = x(y − x) ❉➵ t❤➜②✱ f (x, y) ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β = tr➯♥ C ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞↕♥❣ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈ỵ✐ L1 = L2 = 12 ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x¯ = 0✳ ❈❤♦ {ρk }k≥0 ⊂ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ ρk → ❦❤✐ k → ∞✳ ❳✉➜t ♣❤→t tø ởt x0 = tũ ỵ t t t❛ ❝â xk+1 = argmin{ρk f (xk , y) + ||y − xk ||2 } y∈C argmin{ρk xk (y − xk ) + ||y − xk ||2 } = (1 − ρk )xk , y∈C ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ k→∞ lim ρk = ✈➔ xk = 0✱ ∀k ∈ N✱ t❛ s✉② r❛ {xk } ❤ë✐ tư ✈➲ x¯ = ♥❤÷♥❣ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ð ✤â s♦♥❣ ❤➔♠ f ổ tt ữợ ữợ ỡ ỳ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔♠ ♥❤➭ ✤✐ ♥❤✐➲✉ ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ✤➳♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠ f ♥ú❛✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷✼ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤å♥ s❛✐ sè { k }k≥0 ⊂ [0, ∞), k →0 ∞ ❦❤✐ ≥ 0✱ ❝→❝ ❞➣② k → +∞✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ∞ k=0 ∞ ρ2k ρk = +∞, sè {ρk }k≥0 ⊂ (0, ∞) ✈➔ < +∞, k=0 ρk k < +∞ k=0 ▲➜② x0 C t k = ữợ ▲➜② gk ∈ ∂2 f (xk , xk )✱ tù❝ ❧➔ k f (xk , y) + g k , xk − y ≥ − k , ∀y ∈ C ✭✶✳✷✳✶✼✮ ✭❛✮ ◆➳✉ gk = ✈➔ k ≤ t❤➻ ❞ø♥❣✿ xk ❧➔ ♠ët ✲♥❣❤✐➺♠✳ ✭❜✮ ◆➳✉ gk = k > q tr ữợ ợ k ữủ t k + ữợ t tố ữ ỗ min{k f (xk , y) + ||y − xk ||2 } y∈C ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t xk+1✳ ◆➳✉ xk+1 = xk t❤➻ ❞ø♥❣✿ xk ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠✱ tr→✐ ❧↕✐ t❤➻ trð ❧↕✐ ữợ ợ k ữủ t k + ❙ü ❤ë✐ tư ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s ỵ sỷ f ỡ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❆✶✮✱ ✭❆✷❛✮✳ ❳➨t ❞➣② {xk }k≥0 s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✸✳ ❑❤✐ ✤â ✭✐✮ ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ứ t ữợ k tr ữợ t xk ❧➔ ♠ët ✲♥❣❤✐➺♠✳ ✭✐✐✮ ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❦➨♦ ❞➔✐ ✈æ ❤↕♥✱ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✉ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k , ∀k, ✭✶✳✷✳✶✽✮ ð ✤â x¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ {gk } ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❞➳♥ x¯✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷✽ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ◆➳✉ t❤✉➟t t♦→♥ ❞ø♥❣ t↕✐ ữợ õ gk = k ✳ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✶✳✷✳✶✼✮✱ f (xk , y) ≥ − k ≥ − ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✳ ❱➻ ✈➟②✱ xk ❧➔ ♠ët ✲♥❣❤✐➺♠✳ ✭✐✐✮ ❙û ❞ö♥❣ ❧➟♣ ữ tr ự ợ ộ k t❛ ❝â ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 2ρk [f (xk , x¯) − f (xk , xk+1 )] − ||xk+1 − xk ||2 ✭✶✳✷✳✶✾✮ ❚ø ✭✶✳✷✳✶✼✮✱ t❛ ❝â f (xk , xk+1 ) ≥ g k , xk+1 − xk − ✭✶✳✷✳✷✵✮ k ❉♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β ❝õ❛ f ✈➔ x¯ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❊P✮✱ t❛ ❝â f (xk , x¯) ≤ −β||xk − x¯||2 ✭✶✳✷✳✷✶✮ ❚ø ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ✭✶✳✷✳✶✾✮✱ ✭✶✳✷✳✷✵✮✱ ✭✶✳✷✳✷✶✮ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 − 2ρk g k , xk+1 − xk + 2ρk k − ||xk+1 − xk ||2 = (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k − ||xk+1 − xk + ρk g k ||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + ρ2k ||g k ||2 + 2ρk k ❚ø ✤â✱ ✭✶✳✷✳✶✽✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû {gk } ❜à ❝❤➦♥✱ ❦❤✐ ✤â ❝â M > s❛♦ ❝❤♦ ||gk || ≤ M ✈ỵ✐ ♠å✐ k✳ ❚ø ✭✶✳✷✳✶✽✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ (1 − 2βρk )||xk − x¯||2 + M ρ2k + 2ρk k ✭✶✳✷✳✷✷✮ ❉♦ ∞k=0 ρk = +∞✱ ∞k=1 ρ2k < +∞✱ ∞k=0 ρk k < +∞✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ tø ✭✶✳✷✳✷✷✮ t❛ s✉② r❛ ||xk − x¯|| → ❦❤✐ k → ∞✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✷✾ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿ ❚➻♠ x¯ ∈ C, f (¯x, x) ≥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s♦♥❣ ❤➔♠ f t→❝❤ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤❛② ♥❤✐➲✉ s♦♥❣ ❤➔♠ ❦❤→❝✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❣✐↔ sû s♦♥❣ ❤➔♠ f ❝â ❞↕♥❣ f (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ q✉❛♥ trå♥❣✱ ✈➼ ❞ư ♥❤÷ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❤❛② tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❤é♥ ❤đ♣✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❞↕♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ♠ët ✈➔✐ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ✈➔ ữợ q t Pt t C t ỗ õ rộ tr ổ ❍✐❧❜❡rt H✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ ①➨t s♦♥❣ ❤➔♠ f : C ì C R ữủ t t tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ s♦♥❣ ❤➔♠ f1, f2 : C × C → R ♥❤÷ s❛✉✿ f (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y), ∀x, y ∈ C ❈→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✈➔ fi✱ i = 1, ♥❤÷ s❛✉✿ ✭❇✶✮ f (., y) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ②➳✉ ð tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ❀ f (x, ) ❧➔ ỷ tử ữợ tr C ợ ộ x ∈ C; ✭❇✶✬✮ f (., y) ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ð tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ❀ f (x, ) ỷ tử ữợ tr C ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✵ ✭❇✷✮ fi(x, x) = 0, x C; fi(x, ) ỗ ữợ tr C ợ ộ x ∈ C ❱ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❇✶✮✱ ✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮✱ t➟♣ P P ởt t ỗ õ r ♠ư❝ ♥➔② t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ✭❙❊P✮ ❦❤ỉ♥❣ ré♥❣✳ ❙❛✉ ✤➙② t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤✳ ✷✳✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❡r❣♦❞✐❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶✳ ❈❤å♥ ❞➣② {βk }k≥0 ⊂ (0, 1) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ∞ ∞ βk2 < +∞ βk = +∞, k=0 ✭✷✳✷✳✶✮ k=0 ▲➜② x0 ∈ C ✈➔ k = ộ ữợ k = 1, 2, , ❧➜② g1k ∈ ∂2f1(xk , xk )✱ g2k ∈ ∂2f2(xk , xk ) ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ηk yk xk+1 ✈➔ ✤➦t zk = := max{βk , ||g1k ||, ||g2k }, λk = βk ηk , = argmin{λk f1 (xk , y) + 21 ||y − xk ||2 | y ∈ C}, = argmin{λk f2 (xk , y) + 21 ||y − y k ||2 | y ∈ C} k i i=0 λi x k i=0 λk , k = 0, 1, ú ỵ r f1 ❦❤✐ ✤â yk = xk ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ N✳ r trữớ ủ ợ s f ỡ tr➯♥ C t❤➻ ❞➣② {xk } s✐♥❤ ❜ð✐ t❤✉➟t t♦→♥ tr➯♥ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ▼ët ♣❤↔♥ ✈➼ ❞ö q✉❡♥ t❤✉ë❝ ♠✐♥❤ ❤♦❛ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ♥➔② ♥❤÷ s❛✉✿ ❳➨t tr♦♥❣ R2✱ C := R2 ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ f2 (x, y) := Ax, y − x ✈ỵ✐ A= −1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✶ ❉➵ t❤➜②✱ x¯ = (0, 0)T ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ợ x0 = tũ ỵ {xk } s ❜ð✐ t❤✉➟t t♦→♥ ♠ët ❧➛♥ ❝❤✐➳✉ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ xk+1 = xk − λk Axk = (xk1 − λk xk2 , xk2 + λk xk1 )T ❉♦ ✤â✱ ||xk+1||2 = (1 + λ2k )||xk ||2 > ||xk ||2 > 0✱ ✤✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ ❞➣② {xk } ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tö ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ x¯ = ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞➣② ❡r❣♦❞✐❝ {zk } ❧↕✐ ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷đ❝ ❜↔♦ ✤↔♠ q✉❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ sỹ tử tr ữợ ①➨t ✤➳♥ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ❞➣② {gk ∈ ∂2f (xk , xk )} ❜à ❝❤➦♥ ♥➳✉ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✳ ✭❍✶✮ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥✳ ✷✳✸ ❙ü ❤ë✐ tö tt t ỵ sỷ ❦✐➺♥ ✭❇✶✮✱✭❇✷✮✱ ✭❇✸✮ ✈➔ ✭❍✶✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✈➔ f (., y) ❧ã♠ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C ✱ fi(x, ) ✭✐❂✶✱✷✮ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â t❤✉ë❝ C ❤♦➦❝ intC = ∅✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {z k } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ữủ tọ ợ ♠é✐ x¯ ∈ (SEP )✱ ❞➣② {||xk − x¯||} ❤ë✐ tư✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ k ≥ 0✱ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t❛ ✤➦t hk1 (x) := λk f1 (xk , x) + ||x − xk ||2 , hk2 (x) := λk f2 (xk , x) + ||x − y k ||2 ❉♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❇✸✮✱ ❤➔♠ hk1 ỗ ợ số ữợ ♣❤➙♥ ♥➯♥ t❛ ❝â hk1 (y k ) + uk1 , x − y k + ||x − y k ||2 ≤ hk1 (x), ∀x ∈ C, ✭✷✳✸✳✷✮ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✷ ✈ỵ✐ uk1 ∈ ∂hk1 (yk )✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ yk ✱ sû ❞ư♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ t q ỗ t õ hk1 (y k ) + NC (y k ), ❞♦ ✤â tỗ t uk1 NC (yk ) s tứ ✭✷✳✸✳✷✮✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C ✱ t❛ ❝â uk1 , x − y k ≥ 0, ∀x ∈ C ✳ ❱➻ ✈➟②✱ hk1 (y k ) + ||x − y k ||2 ≤ hk1 (x) 1 ⇔ λk f1 (xk , y k ) + ||y k − xk ||2 + ||x − y k || ≤ λk f1 (xk , x) + ||x − xk ||2 2 k k k k ⇔ ||y − x|| ≤ ||x − x|| − ||y − x || ✭✷✳✸✳✸✮ + 2λk [f1 (xk , x) − f1 (xk , y k )] ▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ h2✱ t❛ ✤÷đ❝ hk2 (xk+1 ) + ||x − xk+1 ||2 ≤ hk2 (x) k+1 =⇒ ||x − x|| ≤ ||y k − x||2 − ||xk+1 − y k ||2 ✭✷✳✸✳✹✮ + 2λk [f2 (xk , x) − f2 (xk , xk+1 )] ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✳✸✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✹✮✱ ❝❤♦ t❛ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk [f1 (xk , x) + f2 (xk , x)] − ||y k − xk ||2 − 2λk [f1 (xk , y k ) + f2 (xk , xk+1 )] − ||xk+1 − y k ||2 = ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 − 2λk [f1 (xk , y k ) + f2 (xk , xk+1 )] ✭✷✳✸✳✺✮ ❚ø g1k ∈ ∂2f1(xk , xk ) ✈➔ f1(xk , xk ) = 0✱ t❛ ❝â f1 (xk , y k ) − f1 (xk , xk ) ≥ g1k , y k − xk ⇒ −2λk f1 (xk , y k ) ≤ −2λk g1k , y k − xk t tự r ú ỵ r➡♥❣ ||g1k || ≤ ηk ✱ tø ✭✷✳✸✳✻✮✱ t❛ ✤÷đ❝ −2λk f1 (xk , y k ) ≤ βk ηk ||y k − xk || = 2βk ||y k − xk || ηk ✭✷✳✸✳✼✮ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✸ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ✭✷✳✸✳✽✮ −2λk f2 (xk , xk+1 ) ≤ 2βk ||xk+1 − xk || ❚❤➳ ✭✷✳✸✳✼✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✽✮ ✈➔♦ ✭✷✳✸✳✺✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 ✭✷✳✸✳✾✮ + 2βk ||y k − xk || + 2βk ||xk+1 − xk || ❚❤❛② x = xk tr♦♥❣ ✭✷✳✸✳✾✮✱ ❞♦ f (xk , xk ) = 0✱ ♥➯♥ ||xk+1 − xk ||2 ≤ 2βk ||y k − xk || + 2βk ||xk+1 − xk || − ||y k − xk ||2 − ||xk+1 − y k ||2 =⇒ (||xk+1 − xk || − βk )2 + (||y k − xk || − βk )2 + ||xk+1 − y k ||2 ≤ 2βk2 ✭✷✳✸✳✶✵✮ =⇒ ||xk+1 − xk || ≤ 3βk ❚ø ✭✷✳✸✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✾✮✱ ❦➨♦ t❤❡♦ ||xk+1 − x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk f (xk , x) + 7βk2 ✭✷✳✸✳✶✶✮ ●✐↔ sû x¯ ∈ (SEP )✳ ❚❤❛② x = x¯ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✳✶✶✮ ✈➔ sû ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ f ✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 7βk2 ✭✷✳✸✳✶✷✮ ❚ø ✭✷✳✸✳✶✷✮ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻✱ t❛ s✉② r❛ ❞➣② {||xk − x¯||} ❤ë✐ tö✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❞➣② {xk } ❜à õ tỗ t M > s ||xk || ≤ M ✱ ∀k = 0, 1, ❚ø ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ z k ✱ t❛ ❝â k ||z || = || k i i=0 λk x || k λ i=0 i ≤ k i i=0 λi ||x || k i=0 λi ≤ M, ∀k = 0, 1, ✤✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❞➣② {zk } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❉♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❍✶✮✱ ❝→❝ ❞➣② {g1k }✱ {g2k } ❜à ❝❤➦♥✱ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ tỗ t K > s ||g1k || ≤ K ✱ ||g2k ≤ K ✱ βk ≤ K ✱ ∀k = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✹ 0, 1, ❉♦ ✤â✱ tø ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ηk ✱ λk ✱ t❛ ❝â ηk = max{βk , ||g1k |, ||g2k || ≤ K} βk βk ≥ , ∀k = 1, 2, ⇒ λk = ηk K ∞ ⇒ ✭✷✳✸✳✶✸✮ λk = +∞ k=0 ✭✐✐✮ ▼å✐ ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ②➳✉ ❝õ❛ {zk } ✤➲✉ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✭❙❊P✮✳ ●✐↔ sû z¯ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ tö ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② {zk }✱ õ tỗ t ởt {z k } ❝õ❛ {z k } s❛♦ ❝❤♦ z k z¯✳ ❚ø ✭✷✳✸✳✶✶✮✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✱ t❛ ❝â j j 2λk f (xk , x) ≤ ||xk+1 − x||2 − ||xk − x||2 − 7βk2 k ⇒ ⇒ k i (||xi+1 − x||2 − ||xi − x||2 − 7βi2 ) λi f (x , x) ≥ i=0 k i i=0 λi f (x , x) k i=0 λi ≥ i=0 k i+1 i=0 (||x − x||2 − ||xi − x||2 − 7βi2 ) k i=0 λi ✭✷✳✸✳✶✹✮ ❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❧ã♠ ❝õ❛ f (., x) ✈➔ rót ❣å♥ ✭✷✳✸✳✶✹✮✱ t❛ ✤÷đ❝ k f (z , x) = f ( ||x ≥ k i i=0 λi x , x) k λ i i=0 k+1 − x|| − ||x0 − x||2 − k i=0 λi k i=0 βi ✭✷✳✸✳✶✺✮ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✶✸✮✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✸✳✶✺✮✱ lim inf f (z k , x) ≥ k→∞ ❈ư t❤➸✱ ✈ỵ✐ ❞➣② ❝♦♥ zk t❛ ✤÷đ❝ j z¯✱ ❞♦ t➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ②➳✉ ❝õ❛ f (., x)✱ f (¯ z , x) ≥ 0, ∀x ∈ C, ✤✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ z¯ ∈ (SEP )✳ ❱➟② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ❞♦ ✤â ❞➣② {zk } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠ x¯ ∈ (SEP ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✺ ❚r♦♥❣ ✣à♥❤ ỵ ợ s f ỡ ✤✐➺✉✱ ✤➸ ✤↔♠ ❜↔♦ ❝❤♦ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {zk } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✸✳✶ t❤➻ ❝➛♥ ❤➔♠ f (., y) ❧➔ ❧ã♠ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❧ã♠ ❝â t❤➸ ❜ä ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ✤ì♥ ❞✐➺✉ tr➯♥ C ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ t❤➻ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t ỵ ợ tt ✭❍✶✮✱ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✱ t❤➻ ❞➣② {z k } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠ x¯ ∈ (SEP ) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✭✷✳✸✳✶✶✮ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✐✮ ❝õ❛ ỵ ợ x C t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ f ✱ t❛ ❝â 2λk f (x, xk ) ≤ ||xk − x||2 − ||xk+1 − x||2 + 7βk2 k ⇒ ⇒ k i (||xi − x||2 − ||xi+1 − x||2 + 7βi2 ) λk f (x, x ) ≤ i=0 k i i=0 λk f (x, x ) k i=0 λi ≤ i=0 k i i=0 (||x − x||2 − ||xi+1 − x||2 + 7βi2 ) k i=0 λi ✭✷✳✸✳✶✻✮ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ỗ f (x, ) rút t ✤÷đ❝ k i i=0 λi x ) k λ i=0 i k+1 k f (x, z ) = f (x, ≤ ||x0 − x|| − ||x − x||2 + k i=0 λi k i=0 βi ✭✷✳✸✳✶✼✮ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✳✶✸✮✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✸✳✶✼✮✱ lim sup f (x, z k ) ≤ k→∞ ❈ư t❤➸✱ ✈ỵ✐ ❞➣② ❝♦♥ zk t❛ ❝â j z¯✱ t ỷ tử ữợ f (x, )✱ f (x, z¯) ≤ 0, ∀x ∈ C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✻ ❉♦ ✤â✱ tø ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✱ s✉② r❛ z¯ ∈ (SDEP ) = (SEP ) ❱➟②✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽✱ ❞➣② {zk } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠ x¯ ∈ (SEP ) ỵ ợ tt ✭❍✶✮ ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > tr➯♥ C t❤➻ ❞➣② {xk } s✐♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❤ỉ✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x¯ ❝õ❛ ✭❊P✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t tứ tr ự ỵ ✷✳✸✳✶✱ ✈ỵ✐ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❞♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛ f ✱ t❛ ❝â ||xk+1 − x¯||2 ≤ ||xk − x¯||2 + 2λk f (xk , x¯) + 7βk2 ≤ ||xk − x¯||2 − 2βλk ||xk − x¯||2 + 7βk2 ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ t❛ ✤÷đ❝ ||xk − x¯|| → ❦❤✐ k → ∞ ❙♦ s→♥❤ ✈ỵ✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭✶✳✷✳✹✮✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❣✐ó♣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ →♣ ❞ư♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ ❤ì♥ ♥❤✐➲✉ s♦ ✈ỵ✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët ❤➔♠ f : C ì C R ữủ ❧✐➯♥ tư❝ τ ✲❍♦❧❞❡r t❤❡♦ ❜✐➳♥ t❤ù ♥❤➜t ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ t tự tỗ t số L > ✈➔ τ ∈ (0, 1] s❛♦ ❝❤♦ |f (x, y) − f (z, y)| ≤ L||x − z||τ , ∀x, y, z ∈ C t÷ì♥❣ ù♥❣ , |f (x, y) − f (x, z)| ≤ L||y − z||τ , ∀x, y, z ∈ C) ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r ❦❤✐➳♥ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ❝â t❤➸ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜à t❤✉ ❤➭♣✳ ▼ët ✈➼ ❞ư ✈➲ s♦♥❣ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ❍♦❧❞❡r ♥❤÷ s❛✉✿ ( h(x, y) = ey − ex , ∀x, y ∈ [0, +∞) ❍➔♠ h ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ❍♦❧❞❡r tr➯♥ [0, +∞) × [0, +∞) ợ z = t ổ tỗ t ❤➡♥❣ sè L > ✈➔ τ ∈ (0, 1] t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞↕♥❣ f (x, y) = F (x), y − x + h(x, y), LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✼ ✈ỵ✐ F : [0, +∞) → R ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ s➩ ❦❤ỉ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tư ❝õ❛ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❦❤✐ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ f1(x, y) = F (x), y − x ✱ f2(x, y) = h(x, y) ú ỵ r ợ ♠é✐ x ∈ [0, +∞) t❤➻ h(x, ) ❧➔ ❤➔♠ ỗ ỡ tr [0, +) s õ tọ ỵ ✷✳✸✳✷✱ ✤↔♠ ❜↔♦ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② {zk } tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔② ✤➸ t➼♥❤ t♦→♥✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✽ ❑➳t ❧✉➟♥ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣✱ ♥â ❜❛♦ ❤➔♠ r➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ❈ö t❤➸ tr♦♥❣ ❦❤✉æ♥ ❦❤ê ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ tæ✐ ✤➣ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ t ỗ t ỡ r ữủ sỹ tỗ t ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ✈➔ ✤÷❛ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤÷đ❝ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔②✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ✸✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍✐➲♥✱ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥ ✭✷✵✶✺✮✱ ●✐→♦ tr t ỗ ự t ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐ ❬✷❪ P✳▼✳❉✉❝✱ ▲✳❉✳▼✉✉✱ ◆❣✳❱✳◗✉② ✭✷✵✶✻✮✱ ❙♦❧✉t✐♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ✇✐t❤ t❤❡✐r ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡ ❢♦r str♦♥❣❧② ♣s❡✉❞♦♠♦♥♦♥❡ ❡q✉✐✲ ❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ P❛❝✐❢✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✶✷✭✹✮✱ ♣♣✳ ✽✸✸✲✽✹✺✳ ❬✸❪ P✳▼✳❉✉❝✱ ▲✳❉✳▼✉✉✱ ▲✳❳✳❚❤❛♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ ❙♣❧✐tt✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❜✐❧❡✈❡❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ♠❛♣✲ ♣✐♥❣s✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ♣♣✳ ✶✽✺✺✲✶✽✻✻✳ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Chƣơng Bài toán cân giả đơn điệu mạnh 1.1 Các kiến thức sở giải tích lồi 1.2 Bài toán cân giả đơn điệu 13 Chƣơng Bài toán cân tách 29 2.1 Phát biểu toán 29 2.2 Thuật toán giải 30 2.3 Sự hội tụ thuật. .. NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG NHUNG THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Xuân... kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập trường Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả