(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất(Luận văn thạc sĩ) Ứng dụng phương pháp Proper GeneraIeid Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013 NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM iii CẢM TẠ Trong suốt trình nghiên cứu đề tài hướng dẫn cua thấy Phan Đức Huynh, nhận hướng dẫn chu đáo từ phía thầy đặc biệt quan tâm tận tình vơ chân q từ phía anh Lê Quốc Cường thơng qua giới thiệu thầy Phan Đức Huynh, theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật Tơi xin chuyển đến dịng biết ơn chân thành lịng kính trọng sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh anh Lê Quốc Cường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật mà gắn bó suốt quãng đời sinh viên học viên, với đội ngũ giảng viên-giáo viên-nhân viên Trường mà theo học hỗ trợ nhiệt tình,cuối gửi lời thân thương đến người anh chị,người bạn mà quen biết, trao đổi giúp đỡ iv ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD) This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method for fluid problem” was born here Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional v discretization technique (FEM) Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the ChorinTemam projection method vi TÓM TẮT Ngày phương pháp số công cụ đắc lực giúp giải hầu hết toán khoa học kỹ thuật Mặc dù với tiến bộ, phát triển vượt bậc đạt cơng nghệ máy tính, kỹ thuật t nh tốn khó khăn để giải nhiều tốn cịn bị thách thức mà phương pháp rời rạc truyền thống bị hạn chế tính phức tạp mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày cao tốn Có thể nêu khó khăn điển hình, cộm tốn có số chiều khơng gian lớn thường gặp lượng tử, thuyết động học lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thơng thường độ phức tạp toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều khơng gian tốn Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, phương pháp đời vài năm gần góp phần bổ trợ, thúc đẩy trình phối hợp với phương pháp rời rạc, cụ thể phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà nghiên cứu đây, với tên gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) Đây công cụ giảm bậc mơ hình tốn dựa sở tách biến giúp độ phức tạp toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều tốn Vì kết hợp phương pháp PGD FEM (gọi tắt PGD-FEM) bước đầu mở hướng tiếp cận việc tìm kiếm loại hình phương pháp số với tính ưu việt mặt thời gian xử lí mà đảm bảo độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống có Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho toán lưu chất” đời đề tài nghiên cứu Mặc dù đề tài bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh vực tốn lưu chất khía cạnh hẹp giải phương trình Poisson áp suất 2D cho tốn Navier-Stokes dịng chảy nhớt khơng nén phụ thuộc vào thời gian hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng điều kiện biên vii hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) kết đạt cho thấy ưu việt giải phương pháp PGD-FEM mặt thời gian t nh toán độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM) Đồng thời với mong muốn tạo thuận lợi việc hoàn thiện mở rộng, phát triển cho đề tài tương lại, tác giả đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes cho dịng chảy nhớt khơng nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven cavity phương pháp FEM dựa kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam viii MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân i Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục ix Danh mục kí hiệu-từ viết tắt xi Danh mục hình vẽ xii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan hướng nghiên cứu 1.2 Mục đ ch nghiên cứu, khách thể đối tượng nghiên cứu 1.3 Xác định nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu Chƣơng CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 11 ix Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT 16 3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes 16 3.2 Giải phương trình Poisson phương pháp PGD-FEM 18 3.2.1 Trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng 18 3.2.1.1 Tiến trình giải tốn phương pháp PGD-FEM 19 3.2.1.2 Sơ đồ giải thuật tổng quát 22 3.2.1.3 Kết - nhận xét 23 3.2.2 Trường hợp điều kiên biên hỗn hợp 26 3.2.2.1 Tiến trình giải toán phương pháp PGD-FEM 26 3.2.2.2 Kết - nhận xét 30 3.3 Phƣơng trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian 32 3.3.1 Mơ hình tốn 32 3.3.2 Điều kiên biên toán 33 3.3.3 Tiến trình bước giải phương pháp FEM 33 3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát 42 3.3.5 Kết - nhận xét 44 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 51 x DANH MỤC KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT L2(Ω) Tích hai hàm L2 miền Ω || ||2 Chuẩn vec-tơ L2 hay chuẩn Euclide Resn Phần sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Ω Miền khảo sát toán Ωx Miền khảo sát theo phương x Ωy Miền khảo sát theo phương y ∂Ω Biên miền Ω ∂Ω D Biên Dirichlet ∂Ω ∂Ω N Biên Neumann ∂Ω H1 Khơng gian hàm Sobolev mà có giá trị triệt tiêu ∂Ω D n Vec-tơ pháp tuyến (hướng ngoài) biên ∂Ω N V Vec-tơ hàm dạng nút miền Ω M Vec-tơ hàm dạng nút miền Ωx N Vec-tơ hàm dạng nút miền Ωy Nnod Tổng số nút miền Ω Nnod_x Tổng số nút miền Ωx Nnod_y_ Tổng số nút miền Ωy X,R,F Hàm phụ thuộc miền Ωx Y,S,G Hàm phụ thuộc miền Ωy X,R,F Vec-tơ giá trị hàm X,R,F nút miền Ωx xi Y,S,G Vec-tơ giá trị hàm Y,S,G nút miền Ωy p Toán tử gradient  ,   x y  .u Toán tử divergence  2 u  p p   u u    y   x   2u  2u  Toán tử Laplace    y   x FEM Finite Element Method PGD Proper Generalized Decoposition PGD-FEM coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method MBS Multi-Bead Spring ROM Reduced-Order Model LATIN LArger Time INcremential POD Proper Orthogonal Decomposition SVD Singular Value Decomposition PDE Partial Differential Equations xii CHƢƠNG  cv   ΨT  ΨU  .Ψ  d  e 1 6  1 6  11  12 1  12 1  12 6 12 12 12 1 12 12 1 12 12 1 6 1 6 1 12 12 1 12 12   1  u1(b1  c1 ) u1(b1  c1 ) u1(b2  c2 ) u1(b2  c2 ) u1(b3  c3 ) u1(b3  c3 )    12 12  v1(b1  c1 ) v1(b1  c1 ) v1(b2  c2 ) v1(b2  c2 ) v1(b3  c3 ) v1(b3  c3 )   1  u 2(b1  c1 ) u 2(b1  c1 ) u 2(b2  c2 ) u 2(b2  c2 ) u 2(b3  c3 ) u 2(b3  c3 )    12 12  v 2(b1  c1 ) v 2(b1  c1 ) v 2(b2  c2 ) v 2(b2  c2 ) v 2(b3  c3 ) v 2(b3  c3 )  1  u 3(b1  c1 ) u 3(b1  c1 ) u 3(b2  c2 ) u 3(b2  c2 ) u 3(b3  c3 ) u 3(b3  c3 )     12 12  v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c ) v3(b  c )  1 1 2 2 3 3   1   6  -Tiến hành lắp ghép ma trận địa phương vào hệ toàn cục có dạng tổng quát đây: M.U  Cv.U  G + K.U = F (3.21) Bước 2: Tính vận tốc trung gian U* (3.21) ( bỏ qua thành phần gradient áp suất G) Ta có (3.21) khuyết G sau: M.U  Cv.U + K.U = F Sử dụng phương pháp Euler để tính U * Tại bước thời gian thứ t= n+1,với Un biết trước ta có: U * U n M  Cv.U n  KU n  F t  M  U * U n    Cv.U n  KU n  t  F.t  Cv  K  n F  U*  1  t  U  t M M   Bước 3: Tính tốn trường áp suất từ U * Ta có phương trình Poisson áp suất: 39 CHƢƠNG  n1 *  p  t .U  n1  p   n Chuyển hệ phương trình thành phương trình Poisson tổng quát bước thứ (n+1) là: 2 p  f (3.22) hay 2 p 2 p  f x y Với điều kiện biên: p 0 n Tương tự, ta áp dụng phương pháp FEM để giải (3.22) -Dạng yếu (3.22):  2 p 2 p   Q  x  y  d    Qfd    Q  p  Q  p     d     Qfd   x  x  y  y     (3.23) Với Q hàm trọng số trường áp suất Với kiểu phần tử tam giác nút (tại đỉnh) cho trường áp suất nêu trên, ta có: pe ( x, y )   Φi ( x, y)pi i 1 Với i vec-tơ hàm dạng trường biến áp suất nút; pi vec-tơ giá trị áp suất nút phần tử 40 CHƢƠNG Thay (3.24) vào (3.23) nên:  e  ΦT  Φ  T Φ  T  Φ   p d     Φ fd  y   x x y e Gọi: kp   e  ΦT  Φ  T Φ   Φ   d  x  x  y  y   f p    ΦT f d  e Vậy phương trình tổng quát phần tử: k p p  f p (3.25) Thực phép biến đổi sau: 1   L1  Φ      L     L3  Trong đó:  a1   x2 y3  x3 y2  a   x y  x y   2  1     a3   x1 y2  x2 y1   A (a1  b1 x  c1 y )       L1   1 x1  b1   y2  y  1  L    ( a  b x  c y )  ; b    y  y  ; A  det 1 x 2     2A 2   2     L3    b3   y1  y  1 x3  (a3  b3 x  c3 y )       A  c1   x3  x2   c2   x1  x3     c3   x2  x1  A diện tích miền phần tử a,b,c tọa độ node phần tử Ta có: 41 y1  y  y3  CHƢƠNG b  c  ΦT Φ   ΦT Φ    b2 b1 b2 b3  ;  c2  c1 x x A2   y y A2   b3  c3  b1b1  c1c1  ΦT Φ ΦT Φ   kp     b2b1  c2 c1  d  x x y y  4A  e  b b  c c  31 31  L1  1 A    f p     L f d    1 f e  L  1 c2 c3  b1b2  c1c2 b1b3  c1c3   b 2  c 2 b2b3  c2c3  b2b3  c2 c3 b 23  c 23  -Tiến hành lắp ghép ma trận phần tử vào hệ tồn cục, trường áp suất tính là: P = K p  -1 Fp  (3.26) Đây giá trị trường áp suất bước thời gian thứ (n+1) Tiến hành cập nhập trường vận tốc bước thời gian thứ (n+1)tương ứng sau: Un1  U*  t.Pn1 (3.27) Vậy với vòng lặp thời gian ta nhận cặp áp suất- vận tốc tương ứng hết số lần vòng lặp 3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát phƣơng t ình Navier-Stokes 42 CHƢƠNG Khai báo Tính tốn ma trận địa phương (3.20) liệu toán Lắp ghép vào ma trận toàn cục (3.21) Thiết lập vận tốc ban đầu U=Un Cài đặt bước thời gian∆t số bước thời gian lặp nt Tại bước thời gian n+1&số bước lặp thời gian t Tính giá trị ma trận Cv U=Un Giải phương trình động lượng(khuyết G) phương pháp Euler Áp đặt điều kiện ràng buột U t