Luận văn thạc sĩ HUS tìm hiểu về phân tích chuỗi thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THU HẰNG TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THU HẰNG TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHAN VIẾT THƯ HÀ NỘI - NĂM 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Các yếu tố phân tích chuỗi thời gian thăm dị 1.1 Mơ hình cộng tính chuỗi thời gian 1.1.1 Mơ hình với xu hướng khơng tuyến tính 1.1.2 Hàm Logistic 1.1.3 Hàm Mitscherlich 1.1.4 Đường cong Gompertz 1.1.5 Hàm tương quan sinh trưởng (the Allometric 1.2 Bộ lọc tuyến tính chuỗi thời gian 1.2.1 Các lọc tuyến tính 1.2.2 Điều chỉnh theo mùa 1.2.3 Chương trình điều tra dân số X - 11 1.2.4 Đa thức địa phương phù hợp 1.2.5 Bộ lọc sai phân 1.2.6 Làm trơn hàm mũ 1.3 Tự hiệp phương sai tự tương quan Function) Mơ hình chuỗi thời gian 2.1 Bộ lọc tuyến tính q trình ngẫu nhiên 2.1.1 Quá trình dừng 2.1.2 Sự tồn q trình tuyến tính tổng qt 2.1.3 Hàm sinh hiệp phương sai (The Covariance Generating Function) 2.1.4 Đa thức đặc trưng 2.1.5 Bộ lọc ngược 2.1.6 Bộ lọc nguyên nhân (Causal Filters) 2.2 Trung bình trượt trình tự hồi quy 2.2.1 Quá trình khả nghịch 2.2.2 Quá trình tự hồi quy 2.2.3 Điều kiện dừng trình tự hồi quy 2.2.4 Phương trình Yule - Walker 2.2.5 Hệ số tự tương quan riêng 2.2.6 Quá trình - ARMA 2.2.7 Hàm tự hiệp phương sai trình - ARMA 2.2.8 Quá trình - ARIMA 2.3 Nhận dạng mơ hình ARMA: Phương pháp Box - Jenkins 2.3.1 Lựa chọn bậc 2.3.2 Ước lượng hệ số 6 9 11 11 13 15 16 18 20 20 22 22 28 29 30 31 33 35 36 36 38 39 41 42 45 46 46 47 i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.3 2.3.4 Kiểm định phù hợp mô hình Dự báo 52 53 Mơ hình khơng gian - trạng thái (State - Space Models) 3.1 Biểu diễn không gian - trạng thái 3.2 Bộ lọc Kalman 58 58 62 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời mở đầu Trong toán kinh tế, kỹ thuật sống hàng ngày, việc biết trước giá trị tương lai vô quan trọng Nó giúp hoạch định kế hoạch, tránh rủi ro không cần thiết lựa chọn phương án tối ưu Chuỗi thời gian sử dụng công cụ hữu hiệu để phân tích dự báo kinh tế, xã hội nghiên cứu khoa học Một chuỗi thời gian tập hợp quan sát liệu xác định rõ thu thông qua phép đo lặp lặp lại theo thời gian Phân tích chuỗi thời gian bao gồm phương pháp để phân tích liệu chuỗi thời gian, từ trích xuất thuộc tính thống kê có ý nghĩa đặc điểm liệu Nhờ đó, ta có sở để dự báo kết cho tương lai Với mong muốn tìm hiểu phân tích chuỗi thời gian nhằm dự báo kết tương lai, luận văn nghiên cứu đề tài "Tìm hiểu phân tích chuỗi thời gian" Luận văn cung cấp kiến thức cho việc phân tích chuỗi thời gian miền thời gian Các kiến thức sở cần có hội tụ phân phối, hội tụ ngẫu nhiên, ước lượng hợp lý cực đại kiến thức lý thuyết kiểm định Luận văn gồm ba chương: Chương đưa yếu tố việc phân tích chuỗi thời gian thăm dị bao gồm mơ hình phù hợp (Logistic, Mitscherlich, đường cong Gompertz) cho chuỗi liệu, lọc tuyến tính cho điều chỉnh theo mùa xu hướng điều chỉnh (bộ lọc sai phân, chương trình điều tra dân số X – 11) lọc mũ cho theo dõi hệ thống Tự hiệp phương sai tự tương quan giới thiệu chương Chương cung cấp phép toán mơ hình tốn học dãy ổn định biến ngẫu nhiên (ồn trắng, trung bình trượt, trình tự hồi quy, mơ hình ARIMA) với kiến thức sở (sự tồn trình dừng, hàm sinh hiệp phương sai, lọc ngược lọc nguyên nhân, điều kiện dừng, phương trình Yule – Walker, tự tương quan riêng) Chương trình Box – Jenkins cho mơ hình ARMA nghiên cứu cách cụ thể iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (tiêu chuẩn thơng tin AIC, BIC HQ) Q trình Gaussian ước lượng hợp lý cực đại mô hình Gaussian giới thiệu ước lượng bình phương tối thiểu khả loại trừ khơng có tham số Kết kiểm tra Box – Ljung Chương giới thiệu mơ hình chuỗi thời gian nhúng mơ hình khơng gian trạng thái Bộ lọc Kalman phương pháp dự đoán thống gần với phân tích chuỗi thời gian miền thời gian Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình PGS.TS Phan Viết Thư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà Nội, ngày 11 tháng 02 năm 2014 Học viên Phạm Thu Hằng iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các yếu tố phân tích chuỗi thời gian thăm dò Chuỗi thời gian chuỗi quan sát xếp theo thời gian Ví dụ, thu hoạch hàng năm củ cải đường giá chúng/tấn ghi lại nông nghiệp Thông báo giá cổ phiếu hàng ngày, tỷ lệ đầu tư hàng tuần, tỷ lệ số người thất nghiệp hàng tháng doanh thu hàng năm tờ báo kinh tế Khí tượng học ghi lại tốc độ gió hàng giờ, nhiệt độ cao thấp hàng ngày, mực nước mưa hàng năm Địa lý học liên tục theo dõi thay đổi trái đất để dự đoán khả động đất Một điện não đồ ghi lại dấu vết sóng não thực máy điện tử để phát bệnh não, điện tâm đồ dấu vết sóng tim Những điều tra xã hội tỷ lệ sinh tỷ lệ chết, tai nạn nhà hành vi phạm tội Tham số trình sản xuất theo dõi thường xuyên để kiểm tra trực tuyến, đảm bảo chất lượng Hiển nhiên, có nhiều lý để ghi lại phân tích liệu chuỗi thời gian Trong số đó, đặc biệt mong muốn có hiểu biết tốt liệu tạo chế, dự đoán kết tương lai điều khiển tối ưu hệ thống Tính chất đặc trưng chuỗi thời gian liệu không sinh cách độc lập, sai khác chúng thay đổi theo thời gian, chúng thường bị điều chỉnh xu hướng chúng có thành phần chu kỳ Do đó, q trình thống kê mà người ta giả sử liệu có tính độc lập phân phối, loại trừ khỏi phân tích chuỗi thời gian Điều đòi hỏi phương pháp thích hợp tập hợp lại tên Phân tích chuỗi thời gian LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.1 Mơ hình cộng tính chuỗi thời gian Mơ hình cộng tính chuỗi thời gian y1 , y2 , , yn giả thiết liệu phép thể biến ngẫu nhiên Yt cho Yt tổng bốn thành phần Yt = Tt + Zt + St + Rt , t = 1, , n, (1.1) Tt hàm (đơn điệu) t , gọi xu hướng Zt phản ánh số tác động dài hạn không ngẫu nhiên có chu kỳ Ví dụ, chu kỳ tiếng kinh doanh thường bao gồm suy thoái, phục hồi, tăng trưởng suy giảm St mô tả số ảnh hưởng không ngẫu nhiên theo chu kỳ ngắn hạn thành phần theo mùa Rt biến ngẫu nhiên bao gồm tất độ lệch từ mơ hình khơng ngẫu nhiên lý tưởng yt = Tt +Zt +St Các biến Tt Zt thường viết gọn thành Gt = Tt + Zt , (1.2) Gt mô tả diễn biến dài hạn chuỗi thời gian Chúng ta giả thiết kỳ vọng E (Rt ) = biến sai số tồn 0, điều phản ánh giả thiết độ lệch ngẫu nhiên mơ hình khơng ngẫu nhiên cân lẫn trung bình Chú ý E (Rt ) = ln đạt cách thay đổi thích hợp nhiều thành phần không ngẫu nhiên Biểu đồ liệu thất nghiệp thành phần theo mùa xu hướng giảm Chu kỳ từ tháng năm 1975 tới tháng năm 1979 ngắn biết chu kỳ kinh doanh dài hạn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Biểu đồ 1.1.1: Dữ liệu thất nghiệp 1.1.1 Mơ hình với xu hướng khơng tuyến tính Trong mơ hình cộng tính Yt = Tt + Rt , có thành phần khơng ngẫu nhiên xu hướng Tt phản ánh phát triển hệ thống giả thiết E (Rt ) = 0, ta có: E (Yt ) = Tt = f (t) Giả thiết chung hàm f phụ thuộc vào nhiều tham số (chưa biết) β1 , , βp tức f (t) = f (t; β1 , , βp ) , (1.3) nhiên biết dạng hàm f Các tham số chưa biết β1 , , βp cần ước lượng từ tập thể yt biến ngẫu nhiên Yt Cách tiếp cận thông thường sử dụng phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu βˆ1 , , βˆp thỏa mãn yt − f t; βˆ1 , , βˆp t 2 (yt − f (t; β1 , , βp )) = β1 , ,βp (1.4) t Nếu phép tốn tồn toán đưa toán số Giá trị yˆt = f t; βˆ1 , , βˆp dùng để dự báo giá trị tương lai yt Hiệu yt − yˆt gọi phần dư Chúng chứa thông tin phù hợp mơ hình với liệu Sau ta liệt kê số ví dụ thơng dụng hàm xu hướng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.1.2 Hàm Logistic Hàm số flog (t) = flog (t; β1 , β2 , β3 ) = β3 , + β2 exp (−β1 t) t ∈ R, (1.5) với β1 , β2 , β3 ∈ R\ {0} hàm Logistic sử dụng rộng rãi Biểu đồ 1.1.2: Hàm Logistic flog với giá trị khác β1 , β2 , β3 Hiển nhiên ta có lim flog (t) = β3 β1 > Giá trị β3 thường giống t→∞ sản sinh cực đại phát triển hệ thống Chú ý rằng: 1 + β2 exp (−β1 t) flog (t) β3 − exp (−β1 ) + β2 exp (−β1 (t − 1)) = + exp (−β1 ) β3 β3 − exp (−β1 ) = + exp (−β1 ) β3 flog (t − 1) b =a+ (1.6) flog (t − 1) Điều Như tồn mối liên hệ tuyến tính flog (t) dùng làm sở để ước lượng tham số β1 , β2 , β3 ước lượng bình phương tối thiểu thích hợp Trong ví dụ sau, ta khớp mơ hình xu hướng (1.5) với liệu phát triển dân số phía bắc Rhine-Westphalia (NRW) bang Đức = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com kỳ kết đệ quy E Yn+h − Yˆn+h Yi  min(h−1,p) au Yˆn+h−u  Yi  au Yn+h−u − = E εn+h +   min(h−1,p) u=1 u=1 min(h−1,p) = au E Yn+h−u − Yˆn+h−u Yi = 0, i = 1, , n u=1 bổ đề 2.3.2 Lặp lại lập luận chứng minh suy kết sau Kết cho thấy trình - ARM A (p, q) dự báo Yn+h với h > q bị điều khiển phần AR trình p Định lý 2.3.5 Giả sử Yt = q bv εt−v , t ∈ Z trình au Yt−u + εt + u=1 v=1 - ARM A (p, q) thoả mãn điều kiện dừng (2.4) có E (ε0 ) = Giả sử n + q − p ≥ Dự báo h - bước tốt Yn+h với h > q thoả mãn đệ quy p au Yˆn+h−u Yˆn+h = u=1 Ví dụ 2.3.6 Ta minh hoạ dự báo tốt trình - ARM A (1, 1) Yt = 0.4Yt−1 + εt − 0.6εt−1 , t∈Z với E (Yt ) = E (εt ) = Đầu tiên ta cần dự báo bước tối ưu Yˆi với i = 1, , n Điều xác định cách đặt giá trị chưa biết Yt với số t ≤ giá trị kỳ vọng chúng, Do đó, ta thu Yˆ1 = 0, Yˆ2 = 0.4Y1 + − 0.6ˆ ε1 = −0.2Y1 , ˆ Y3 = 0.4Y2 + − 0.6ˆ ε2 = 0.4Y2 − 0.6 (Y2 + 0.2Y1 ) = −0.2Y2 − 0.12Y1 , εˆ1 = Y1 − Yˆ1 = Y1 , εˆ2 = Y2 − Yˆ2 = Y2 + 0.2Y1 , εˆ3 = Y3 − Yˆ3 , 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Yˆi εˆi xác định với i = 1, , n Dự báo thực cho Yˆn+1 = 0.4Yn + − 0.6ˆ εn = 0.4Yn − 0.6 Yn − Yˆn Yˆn+2 = 0.4Yˆn+1 + + h→∞ Yˆn+h = 0.4Yˆn+h−1 = = 0.4h Yˆn+1 −→ εt với số t ≥ n + thay Vì khơng tương quan với Yi , i ≤ n Trong thực hành, người ta thường thay hệ số chưa biết au , bv dự đoán giá trị ước lượng chúng 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Mơ hình khơng gian - trạng thái (State - Space Models) Thơng thường, mơ hình khơng gian - trạng thái ta có q trình khơng quan sát (Xt ) trình quan sát (Yt ) Chúng liên kết với giả thiết (Yt ) hàm tuyến tính (Xt ) cộng thêm nhiễu, hàm tuyến tính thay đổi theo thời gian Mục đích chương ước lượng tuyến tính tốt Xt dựa quan sát (Ys )s≤t 3.1 Biểu diễn khơng gian - trạng thái Nhiều mơ hình chuỗi thời gian trình - ARM A (p, q) bị nhúng vào mơ hình khơng gian trạng thái ta cho phép dãy sau vectơ ngẫu nhiên Xt ∈ Rk Yt ∈ Rm Một mơ hình khơng gian – trạng thái nhiều chiều xác định phương trình trạng thái Xt+1 = At Xt + Btε t+1 ∈ Rk , (3.1) mô tả phụ thuộc thời gian trạng thái Xt ∈ Rk phương trình quan sát Yt = Ct Xt + η t ∈ R m (3.2) Ta giả thiết (At ) , (Bt ) (Ct ) dãy ma trận biết, (εεt ) (ηη t ) dãy không tương quan ồn trắng với vectơ trung bình ma trận hiệp phương sai biết Cov (εεt ) = E ε tε Tt = Qt , Cov (ηη t ) = E η tη Tt = Rt Giả thiết thêm X0 ε t , η t , t ≥ không tương quan, hai 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vectơ ngẫu nhiên W∈ Rp V∈ Rq gọi không tương quan thành phần chúng tức ma trận hiệp phương sai triệt tiêu T E (W − E (W)) V − E(V) =0 Ta kí hiệu vectơ thành phần kỳ vọng W E (W) Ta nói chuỗi thời gian (Yt ) có biểu diễn khơng gian trạng thái thoả mãn biểu diễn (3.1) (3.2) Ví dụ 3.1.1 Cho (ηt ) ồn trắng R đặt Yt = µt + ηt với xu hướng tuyến tính µt = a + bt Mơ hình đơn giản biểu diễn mơ hình khơng gian trạng thái sau Vectơ trạng thái Xt định nghĩa sau Xt = µt A= b , đặt Từ đệ quy µt+1 = µt + b ta thu phương trình trạng thái Xt+1 = µt+1 1 b = µt = AXt , với C = (1, 0), phương trình quan sát Yt = (1, 0) µt + ηt = CXt + ηt Chú ý trạng thái Xt không ngẫu nhiên tức Bt = Hơn nữa, mô hình thời gian bất biến ma trận A, B = Bt C không phụ thuộc vào t Ví dụ 3.1.2 Cho q trình - AR (p) Yt = a1 Yt−1 + + ap Yt−p + εt với ồn trắng (εt ) có biểu diễn không gian trạng thái với vectơ trạng thái T Xt = (Yt , Yt−1 , , Yt−p+1 ) 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu ta định nghĩa ma trận A cấp p × p  a1 a2 ap−1   A=  0 ap 0      ma trận B, CT cấp p × T B = (1, 0, , 0) = CT Khi ta có phương trình trạng thái Xt+1 = AXt + Bεt+1 phương trình quan sát Yt = CXt Ví dụ 3.1.3 Cho trình - M A (q) Yt = εt + b1 εt−1 + + bq εt−q Ta định nghĩa trạng thái không quan sát T Xt = (εt , εt−1 , , εt−q ) ∈ Rq+1 Với ma trận cấp (q + 1) × (q + 1)  0 1  A=0  0 0 0 0    ,  ma trận cấp (q + 1) × T B = (1, 0, , 0) ma trận × (q + 1) C = (1, b1 , , bq ) Ta thu phương trình trạng thái Xt+1 = AXt + Bεt+1 phương trình quan sát Yt = CXt 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.1.4 Kết hợp kết cho trình - AR (p) M A (q), ta thu biểu diễn khơng gian - trạng thái q trình - ARM A(p, q) Yt = a1 Yt−1 + + ap Yt−p + εt + b1 εt−1 + + bq εt−q Trong trường hợp vectơ trạng thái chọn sau T Xt = (Yt , Yt−1 , , Yt−p+1 , εt , εt−1 , , εt−q+1 ) ∈ Rp+q Ma trận cấp (p + q) × (p + q)  a1 a2 ap−1        A =        định nghĩa ap 0 0 b1 0  b2 bq−1 bq               Ma trận cấp (p + q) × T B = (1, 0, , 0, 1, 0, 0) với giá trị vị trí vị trí thứ p + ma trận cấp × (p + q) C = (1, 0, , 0) Ta thu phương trình trạng thái Xt+1 = AXt + Bεt+1 phương trình quan sát Yt = CXt Chú ý 3.1.5 Quá trình - ARIM A (p, d, q) tổng quát có biểu diễn khơng gian - trạng thái Kết cho di động ngẫu nhiên, mà viết q trình - ARIM A (0, 1, 0) 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.2 Bộ lọc Kalman Vấn đề quan trọng mơ hình khơng gian trạng thái (3.1), (3.2) ước lượng trạng thái không quan sát Xt Có thể lấy ước lượng Xt theo cách đệ quy từ ước lượng Xt−1 với quan sát cuối Yt gọi đệ quy Kalman (Kalman, 1960) Theo cách ta có phương pháp dự đốn thống cho mơ hình chuỗi thời gian có biểu diễn khơng gian trạng thái Ta muốn tính dự báo tuyến tính tốt ˆ t = D1 Y1 + + Dt Yt X (3.3) Xt dựa Y1 , , Yt tức ma trận D1 , , Dt cấp k × m chọn cho sai số bình phương trung bình nhỏ E ˆt Xt − X  T ˆt Xt − X T t = E  Xt − Dj Yj Xt − j=1 Dj Yj  j=1  =  t ma trận D , ,D t cấp k×m T t E  Xt − D j Yj t Xt −  D j Yj  j=1 j=1 (3.4) Bằng cách lặp lại lập luận chứng minh bổ đề 2.3.2 ta chứng minh kết Kết phát biểu ˆ t dự báo tuyến tính tốt Xt dựa Y1 , , Yt sau: X ˆ t trực giao với thành phần thành phần vectơ Xt − X vectơ Ys , ≤ s ≤ t, tương ứng với tích vơ hướng E (XY ) hai biến ngẫu nhiên X Y ˆ t định nghĩa (3.3) thoả mãn Bổ đề 3.2.1 Nếu ước lượng X E ˆ t YsT Xt − X = 0, ≤ s ≤ t, (3.5) cực tiểu hố sai số bình phương trung bình (3.4) ˆ t YsT Xt − X ma trận cấp k × m, tạo ˆ t ∈ Rk với thành phần cách nhân thành phần Xt − X Chú ý E 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ys ∈ Rm t D j Yj ∈ Rk kết hợp tuyến tính Chứng minh Cho X t = j=1 Y1 , , Yt Khi đó, ta có: T E (Xt − X t ) (Xt − X t )  T t ˆt + = E  Xt − X ˆt + Xt − X (Dj − D j ) Yj j=1 T ˆt Xt − X =E  t (Dj − D j ) Yj  j=1 t ˆt Xt − X +2 E ˆt Xt − X T (Dj − D j ) Yj j=1  T t (Dj − D j ) Yj +E (Dj − D j ) Yj  j=1 ˆt Xt − X ≥E  t j=1 T ˆt Xt − X , dịng thứ hai từ lên, số hạng cuối không âm số hạng thứ hai triệt tiêu theo tính chất (3.5) ˆ t−1 dự báo tuyến tính Xt−1 theo (3.5) dựa quan sát Lấy X Y1 , , Yt−1 Khi ˆ t−1 ˜ t = At−1 X (3.6) X dự báo tuyến tính tốt Xt dựa Y1 , , Yt−1 Ta đơn giản thay ε t phương trình trạng thái kỳ vọng Chú ý ˜ t YsT = ε t Ys không tương quan s < t tức E Xt − X với ≤ s ≤ t − Từ ta có ˜ t = Ct X ˜t Y dự báo tuyến tính tốt Yt dựa Y1 , , Yt−1 E ˜ t YsT Yt − Y =E ˜ t + η t YsT Ct Xt − X = 0, ≤ s ≤ t − 1, ý η t Ys không tương quan s < t Bây ta định nghĩa ˆt = E ∆ ˆt Xt − X ˆt Xt − X T , ˜t = E ∆ ˜t Xt − X ˜t Xt − X T 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ma trận hiệp phương sai sai số xấp xỉ Khi ta có ˜t = E ∆ ˆ t−1 + Bt−1ε t At−1 Xt−1 − X At−1 =E ˆ t−1 + Bt−1εt Xt−1 − X ˆ t−1 At−1 Xt−1 − X T ˆ t−1 At−1 Xt−1 − X T T + E (Bt−1ε t ) (Bt−1ε t ) ˆ t−1 ATt−1 + Bt−1 Qt BTt−1 , = At−1 ∆ ˆ t−1 rõ ràng không tương quan Tương tự, người ta chứng ε t Xt−1 − X minh E ˜t Yt − Y ˜t Yt − Y T ˜ t CTt + Rt = Ct ∆ ˜t = Giả sử ta có quan sát Y1 , , Yt−1 ta dự báo Xt X ˆ t−1 Giả thiết ta có quan sát Yt Làm để ta sử At−1 X ˜ t Xt ? Để kết thúc dụng thông tin thêm để cải thiện dự báo X ˆ t dựa ta thêm ma trận Kt cho ta thu dự báo tốt X Y1 , , Yt : ˜t = X ˆt ˜ t + Kt Yt − Y (3.7) X ˆ t Ys tức ta phải chọn ma trận Kt theo bổ đề 3.2.1 cho Xt − X không tương quan với s = 1, , t Trong trường hợp này, ma trận Kt gọi gia lượng Kalman (Kalman gain) Bổ đề 3.2.2 Ma trận Kt (3.7) nghiệm phương trình ˜ t CTt + Rt = ∆ ˜ t CTt Kt Ct ∆ (3.8) ˆ t Ys không tương Chứng minh Ma trận Kt phải chọn cho Xt − X quan với s = 1, , t tức 0=E ˆ t YsT Xt − X =E ˜ t + Kt Yt − Y ˜t Xt − X YsT , s ≤ t Chú ý ma trận Kt cấp k × m thoả mãn E =E ˜ t + Kt Yt − Y ˜t Xt − X ˆ t YsT − Kt E Xt − X YsT ˜ t YsT Yt − Y = 0, s ≤ t − 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để hoàn thành điều kiện trên, ma trận Kt cần thoả mãn 0=E ˜ t YtT Yt − Y ˜ t YtT − Kt E Xt − X T =E ˜t Xt − X ˜t Yt − Y =E ˜t Xt − X ˜ t + ηt Ct Xt − X =E ˜t Xt − X ˜t Xt − X ˜t Yt − Y − Kt E T T − Kt E CTt − Kt E ˜t Yt − Y ˜t Yt − Y ˜t Yt − Y T ˜t Yt − Y ˜t Yt − Y T T ˜ t CTt − Kt Ct ∆ ˜ t CTt + Rt =∆ ˜ t kết hợp tuyến Nhưng khẳng định bổ đề 3.2.2 Chú ý Y ˜ t khơng tương quan tính Y1 , , Yt−1 η t Xt − X ˜ t CTt + Rt khả nghịch Nếu ma trận Ct ∆ ˜ t CTt + Rt ˜ t CTt Ct ∆ Kt = ∆ −1 gia lượng Kalman xác định Hơn nữa, ta có với gia lượng Kalman cho (3.8) ˆt = E ∆ =E ˆt Xt − X ˆt Yt − Y T ˜t ˜ t − Kt Yt − Y Xt − X ˜ t + Kt E =∆ −E ˜t Yt − Y ˜t Xt − X ˜ t − Kt Yt − Y ˜t Xt − X ˜t Yt − Y ˜t Yt − Y T T T KTt KTt − Kt E ˜t Yt − Y ˜t Xt − X T ˜t ˜ t + Kt Ct ∆ ˜ t CTt + Rt KTt − ∆ ˜ t CTt KTt − Kt Ct ∆ =∆ ˜ t − Kt Ct ∆ ˜t =∆ lập luận chứng minh bổ đề 3.2.2 Đệ quy lọc Kalman rời rạc thực hai bước: Trong ˆ t−1 ∆ ˆ t−1 ta tính bước đầu dự đoán X ˜ t = At−1 X ˆ t−1 , X ˜ t = Ct X ˜ t, Y 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ˜ t = At−1 ∆ ˆ t−1 ATt−1 + Bt−1 Qt BTt−1 ∆ (3.9) ˆ t, ∆ ˆt Trong bước cập nhật, ta tính Kt cập nhật giá trị X ˜ t CTt + Rt ˜ t CTt Ct ∆ Kt = ∆ −1 , ˆt = X ˜ t + Kt Yt − Y ˜t , X ˆt = ∆ ˜ t − Kt Ct ∆ ˜ t, ∆ (3.10) ˜ ∆ ˜ Ta thường Một vấn đề rõ ràng lựa chọn giá trị ban đầu X ˜ = ∆ ˜ ma trận đường chéo với số nhập σ > Số σ đặt X thể mức độ không chắn mơ hình Tuy nhiên, ˆ t thường mô kết lý thuyết cho thấy ước lượng X ˜ ∆ ˜ t lớn (xem ví dụ khơng bị ảnh hưởng giá trị ban đầu X 3.2.3 bên dưới) Nếu ngồi ra, ta u cầu mơ hình khơng gian trạng thái (3.1), (3.2) hoàn toàn xác định tham số ϑ hàm phân phối (Yt ) (Xt ) nên ta ước đốn ma trận lọc Kalman (3.9) (3.10) điều kiện phù hợp ước lượng hợp lý cực đại ϑ ˆ t−1 Xt (3.6) h ˜ t = At−1 X Bằng cách lặp lại dự đoán bước X lần, ta thu dự đoán h - bước lọc Kalman ˜ t+h−1 , ˜ t+h = At+h−1 X X h ≥ 1, ˜ t+0 = X ˆ t Do đó, dự đốn h - bước liên quan với giá trị ban đầu X Yt+h ˜ t+h = Ct+h X ˜ t+h , h ≥ Y Ví dụ 3.2.3 Cho (ηt ) ồn trắng R với E (ηt ) = 0, E ηt2 = σ > đặt µ ∈ R Yt = µ + ηt , t ∈ Z Quá trình biểu diễn mơ hình khơng gian trạng thái cách đặt Xt = µ với phương trình trạng thái Xt+1 = Xt phương trình quan sát Yt = Xt + ηt tức At = = Ct Bt = Bước dự đoán (3.9) lọc Kalman cho ˜t = X ˆ t−1 , Y˜t = X ˜t, ∆ ˜ t = ∆t−1 X Chú ý tất giá trị R Do đó, dự đoán h - bước ˜ t+h , Y˜t+h cho X ˜ t+1 = X ˆ t Bước cập nhật (3.10) lọc X 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kalman ∆t−1 ∆t−1 + σ ˆt = X ˆ t−1 + Kt Yt − X ˆ t−1 X Kt = ˆ t−1 = ∆ ˆ t−1 ˆt = ∆ ˆ t−1 − Kt ∆ ∆ ˆt = E Chú ý ∆ ˆt Xt − X σ2 ∆t−1 + σ 2 ˆt = ∆ ˆ t−1 0≤∆ ≥ σ2 ˆ t−1 ≤∆ ∆t−1 + σ ˆ t tồn thoả mãn dãy giảm bị chặn Giới hạn ∆ = lim ∆ t→∞ σ2 ∆ = ∆ tức ∆ = Điều có nghĩa sai số bình phương ∆ + σ2 2 ˆt ˆt = E µ−X biến tiệm cận mà trung bình E Xt − X ˜ ∆ ˜ chọn Hơn nữa, ta có khơng liên quan tới giá trị ban đầu X lim Kt = 0, có nghĩa quan sát bổ xung Yt không ảnh hưởng tới t→∞ ˆ t t lớn Cuối cùng, ta thu sai số bình phương trung bình X dự đoán h - bước Y˜t+h Yt+h E Yt+h − Y˜t+h =E ˆt µ + ηt+h − X =E ˆt µ−X 2 t→∞ + E ηt+h −→ σ 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Luận văn "Tìm hiểu phân tích chuỗi thời gian" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Luận văn đưa yếu tố việc phân tích chuỗi thời gian bao gồm mơ hình phù hợp cho chuỗi liệu Các xu hướng đa thức thành phần theo mùa loại khỏi chuỗi thời gian nhờ lọc tuyến tính thích hợp Mục tiêu nhận chuỗi dừng - Luận văn cung cấp phép toán mơ hình tốn học dãy ổn định biến ngẫu nhiên (ồn trắng, trung bình trượt, trình tự hồi quy, mơ hình ARIMA) Chương trình Box - Jenkins cho mơ hình ARMA nghiên cứu cách cụ thể bao gồm bốn bước: 1.Lựa chọn bậc; Ước lượng hệ số; Kiểm định phù hợp mơ hình; Dự báo - Luận văn giới thiệu mơ hình chuỗi thời gian nhúng mơ hình khơng gian trạng thái Trong mơ hình khơng gian trạng thái ta có q trình khơng quan sát trình quan sát Vấn đề quan trọng mơ hình khơng gian trạng thái ước lượng trạng thái không quan sát Bộ lọc Kalman phương pháp dự đốn thống cho mơ hình thời gian có biểu diễn không gian trạng thái Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm khoa học nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Đông (2011), Phân tích Chuỗi thời gian tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Đào Hữu Hồ (2010), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư (2003), Phân tích thống kê dự báo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Trọng Hoài, Phùng Thanh Bình, Nguyễn Khánh Duy (2009), Dự báo phân tích liệu kinh tế tài chính, NXB Thống kê [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật [7] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [9] Andrew C Harvey (1989), Forecasting, Structural time series models and the Kalman filter, NXB Cambridge University Press [10] Andrew C Harvey (1993), Time Series Models, NXB Harvester Wheatsheaf [11] Michael Falk at al (2011), A First Course on Time Series Analysis, NXB University of Wuerzburg [12] Jame D Hamilton (1994), Time Series Analysis, NXB Princeton 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [13] Peter J Brockwell, Richard A Davis (2002), Introduction to Time Series and Forecasting, NXB Springer, New York [14] Peter J Brockwell, Richard A Davis (1991), Time Series: Theory and methods, NXB Springer, New York [15] Ruey S Tsay (2005), Analysis of Financial Time Series, NXB Fohn Wiley and Sons, Inc, New Jersey 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... muốn tìm hiểu phân tích chuỗi thời gian nhằm dự báo kết tương lai, luận văn nghiên cứu đề tài "Tìm hiểu phân tích chuỗi thời gian" Luận văn cung cấp kiến thức cho việc phân tích chuỗi thời gian. .. HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THU HẰNG TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... xác định rõ thu thông qua phép đo lặp lặp lại theo thời gian Phân tích chuỗi thời gian bao gồm phương pháp để phân tích liệu chuỗi thời gian, từ trích xuất thuộc tính thống kê có ý nghĩa đặc điểm