(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4(Luận văn thạc sĩ) Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn TS Châu Đình Thành Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2016 Mai Văn Chƣơng ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hƣớng dẫn khoa học TS Châu Đình Thành gợi nên ý tƣởng đề tài tận tình bảo, giúp đỡ, hƣớng dẫn cung cấp tài liệu cần thiết để hoàn thành luận văn thạc sĩ Xin cảm ơn thầy cô giáo Khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy bảo thời gian học tập nghiên cứu Cuối muốn gởi lời cảm ơn chân thành đến tất ngƣời thân gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Vì kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong đƣợc đóng góp ý kiến quý thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Mai Văn Chƣơng iii TÓM TẮT Nội dung luận văn tập trung trình bày việc sử dụng phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử MITC4 để phân tích kết cấu có vết nứt mà khơng chia lại lƣới vết nứt phát triển Vết nứt cắt hồn toàn qua phần tử cắt phần phần nhằm thể chuyển vị không liên tục ngang qua vết nứt Các phần tử chồng lên vị trí vết nứt đƣợc tích phân Luận văn xem xét đến trƣờng hợp phần tử có chứa mũi vết nứt mà quan hệ động học phần tử chồng lên đƣợc thiết lập cho khơng có bƣớc nhảy chuyển vị mũi vết nứt Đây khác biệt đề tài phần tử bốn nút nghiên cứu trƣớc cho phép mũi vết nứt nằm cạnh phần tử Phần mềm Pre - Post processor GiD đƣợc sử dụng để mơ hình, chia lƣới khai báo liệu ban đầu tốn Đây liệu đầu vào cho chƣơng trình đƣợc viết ngôn ngữ Fortran, môi trƣờng Visual Studio 2008 Sau chạy chƣơng trình kết đƣợc tạo theo định dạng GID để biểu diễn ứng suất, chuyển vị toán Phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử MITC4 đƣợc trình bày luận văn cho kết tính tốn hệ số tập trung ứng suất phù hợp với tài liệu tham khảo điều thể đƣợc hiệu phƣơng pháp mơ tốn có vết nứt iv MỤC LỤC DANH SÁCH CÁC HÌNH viii DANH SÁCH CÁC BẢNG x CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung tình hình nghiên cứu 1.1.1 Tầm quan trọng việc phân tích kết cấu có vết nứt 1.1.2 Mô tính tốn kết cấu có vết nứt 1.1.3 Tình hình nghiên cứu nƣớc 1.2 Mục đích nhiệm vụ đề tài 1.2.1 Mục đích 1.2.2 Nhiệm vụ 1.3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu luận văn 1.3.1 Đối tƣợng nghiên cứu 1.3.2 Mục đích nghiên cứu 1.4 Phƣơng pháp luận phƣơng pháp nghiên cứu luận văn 1.4.1 Nghiên cứu lý thuyết 1.4.2 Lập trình 1.4.3 Mơ tính tốn phân tích 1.4.4 Kiểm tra kết 1.5 Ý nghĩa lý luận thực tiễn luận văn CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TẤM MITC4 2.1 Phần tử không nứt 2.2 Phần tử nứt hoàn toàn 11 2.3 Phần tử nứt phần 12 2.3.1 Phần tử nứt phần dạng 13 2.3.2 Phần tử nứt phần dạng 16 2.3.3 Phần tử nứt phần dạng 17 2.3.4 Phần tử nứt phần dạng 18 2.4 Phƣơng trình cân 19 2.5 Tích phân số 20 CHƢƠNG 3: TÍNH HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 22 3.1 Giới thiệu 22 v 3.1.1 Định nghĩa hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22 3.1.2 Phân loại hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22 3.2 Tính hệ số tập trung ứng suất 23 3.2.1 Đối với vật thể có kích thƣớc hữu hạn 23 3.2.2 Tải trọng màng 23 3.2.3 Tải trọng uốn – Lý thuyết Kirchhoff 23 3.2.4 Tải trọng uốn – lý thuyết Reinsser 23 3.3 Cách tính SIF phƣơng pháp tích phân tƣơng tác 24 3.3.1 Giới thiệu 24 3.3.2 Cách tính 24 CHƢƠNG 4: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA 27 4.1 Bài toán ứng suất phẳng 27 4.1.1 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho chịu kéo 27 4.1.2 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho chịu cắt 30 4.2 Bài toán chịu uốn 33 4.2.1 Tìm SIF cho chịu ứng suất uốn phân bố 33 4.2.1.1 Tấm có bốn biên tựa đơn chịu uốn 33 4.2.1.2 Tấm có hai biên tựa đơn, hai biên tự 35 4.2.2 Tìm SIF cho chịu tác dụng mô ment uốn 36 4.2.2.1 Tấm chữ nhật chịu uốn có vết nứt 36 4.2.2.2 Tấm vuống chịu uốn có vết nứt biên 39 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 42 5.1 Kết luận 42 5.2 Kiến nghị 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 vi DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2.1: Phân loại phần tử có vết nứt cắt qua Hình 2.2: Phần tử MITC4 Hình 2.3: Phần tử ttrong mặt phẳng x - y Hình 2.4: Hai trƣờng hợp phần tử nứt hoàn toàn 11 Hình 2.5: Phần tử bị nứt phần 13 Hình 2.6: Phần tử bị nứt phần (Dạng 1) 13 Hình 2.7: Phần tử bị nứt phần (Dạng 2) 16 Hình 2.8: Phần tử bị nứt phần (Dạng 3) 17 Hình 2.9: Phần tử bị nứt phần (Dạng 4) 18 Hình 2.10: Ánh xạ tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 2.12: Các miền thực tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 3.1: Các dạng hệ số tập trung ứng suất 22 Hình 3.2: Ứng suất phân tố 24 Hình 3.3: Tích phân tƣơng tác - J 25 Hình 4.1: Tấm chữ nhật chịu kéo 27 Hình 4.2: Chia lƣới cho phần tử 28 Hình 4.3: Giá trị chuẩn hóa KI chữ nhật chịu kéo 29 Hình 4.4: Giá trị chuyển vị 29 Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu cắt 30 Hình 4.6: Giá trị chuẩn hóa KI chữ nhật chịu cắt 31 Hình 4.7: Giá trị chuẩn hóa KII chữ nhật chịu cắt 31 vii Hình 4.8: Chuyển vị chịu cắt 32 Hình 4.9: Tấm vng chịu uốn bốn biên tựa 33 Hình 4.10: Giá trị tích phân J …bốn biên tự với b/h=6 34 Hình 4.11: Giá trị tích phân J …bốn biên tựa với b/h=10 34 Hình 4.12: Tấm vuông chịu uốn hai biên tựa 35 Hình 4.13: Giá trị tích phân J …hai biên tựa với b/h=6 35 Hình 4.14: Giá trị tích phân J …hai biên tựa với b/h=10 36 Hình 4.15: Tấm có vết nứt chịu tác dụng mô ment uốn 37 Hình 4.16: Các lƣới chia khác tốn 37 Hình 4.17: Sai số hệ số tập trung ứng suất 38 Hình 4.18: Tấm vng có hai vết nứt cạnh đối xứng 39 Hình 4.19: Mơ hình tƣơng đƣơng 40 Hình 4.20: Mơ hình lƣới chia toán 40 Hình 4.21: Tích phân J vng chịu uốn 41 viii DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 4.1: Giá trị hệ số tập trung ứng suất KI chịu kéo 28 Bảng 4.2: Giá trị chuẩn hóa KI chịu kéo 28 Bảng 4.3: Hệ số tập trung ứng suất KI, KII chịu cắt 30 Bảng 4.4: Giá trị chuẩn hóa KI KII chịu cắt 31 Bảng 4.5: Sai số SIF chữ nhật vết nứt chịu mô ment uốn 38 Bảng 4.6: Giá trị tích phân J vng vết nứt biên chịu mô ment uốn 41 ix CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung tính hình nghiên cứu 1.1.1 Tầm quan trọng việc phân tích kết cấu có vết nứt Trong q trình làm việc cấu kỹ thuật thƣờng xuất vết nứt lỗi vật liệu, tính tốn khơng phù hợp với điều kiện làm việc thực tế, vật liệu bị mỏi, tải vấn đề khó lƣờng khác điều dẫn đến phải tốn chi phí lớn để sửa chữa bảo trì Và có nhiều tai nạn nghiêm trọng cơng trình xuất vết nứt cấu kiện chịu lực Chính vậy, việc kịp thời xác định đánh giá nguy hiểm vết nứt kết cấu giải pháp hữu hiệu để tránh tai nạn xảy Do đó, việc phân tích đánh giá xác vị trí, hƣớng phát triển vết nứt vấn đề quan trọng, cần thiết đề tài thu hút quan tâm nhà nghiên cứu kĩ sƣ thể qua cơng trình nghiên cứu kết cấu có vết nứt đƣợc cơng bố tạp chí ngồi nƣớc 1.1.2 Mơ tính tốn kết cấu có vết nứt phƣơng pháp số Để phân tích thành phần cấu trúc chứa vết nứt, phƣơng pháp giải tích đƣợc sử dụng Tuy nhiên phƣơng pháp giải tích giải vấn đề nứt với kết cấu có dạng hình học điều kiện biên tƣơng đối đơn giản Tuy nhiên học rạn nứt, có nhiều tốn thực tiễn mà ta khơng thể cho lời giải xác, ngun nhân phức tạp phƣơng trình ứng xử, hay khó khăn đến từ điều kiện biên hay điều kiện ban đầu Để giải trở ngại đó, phƣơng pháp số đƣợc sử dụng Khi phân tích kết cấu có vết nứt phải xây dựng đƣợc đồng thời mơ hình kết cấu mơ hình vết nứt kết cấu Sau đó, phân tích tính tốn vết nứt dựa mơ hình xây dựng phƣơng pháp số Các phƣơng pháp số phân tích tính tốn vết nứt chủ yếu đƣợc chia làm ba nhóm dựa xấp xỉ chuyển vị kỹ thuật rời rạc miền phần tử: - Nhóm phƣơng pháp chia lại lƣới (FEM, BEM); - Nhóm phƣơng pháp khơng chia lƣới (Meshless); - Nhóm khơng chia lại lƣới (XFEM, Phantom-node) Mỗi phƣơng pháp có ƣu nhƣợc điểm riêng, đƣợc nghiên cứu phát triển cho hoàn thiện Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) đƣợc bắt đầu phát triển Alexander Hrennikoff (1941) Richard Courant 1942 Từ thập niên 1950 đến 1970, đƣợc phát triển kỹ sƣ nhà toán học thành phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình đạo hàm riêng FEM phƣơng pháp phổ biến để phân tích cấu trúc nứt cụ thể nhƣ nghiên cứu mở đƣờng Williams [1], dao động riêng lẻ trƣờng ứng suất quanh mũi vết nứt vật liệu khác nhau; Erdogan [2,3] Tuy nhiên, thách thức FEM việc chia lại lƣới mơ hình lan truyền vết nứt Để khắc phục khó khăn Phƣơng pháp phần tử biên BEM đời khoảng thập niên 1970s [8] Khác với FEM gọi phƣơng pháp miền, BEM phƣơng pháp số liên quan đến phƣơng trình tích phân biên mà tảng cơng thức Green Phƣơng pháp nhằm làm giảm số chiều khơng gian, ví dụ tính tốn vấn đề khơng gian ba chiều rời rạc hóa diễn bề mặt biên không gian hai chiều mà thơi Tuy nhiên sở tốn học thuật tốn BEM tƣơng đối phức tạp Trƣớc khó khăn hai phƣơng pháp việc phải mơ hình lƣới chia cho tốn phƣơng pháp khơng lƣới Phƣơng pháp Meshless [9, 10] phƣơng pháp dùng để thiết lập hệ phƣơng trình đại số cho tồn vấn đề miền tốn mà khơng cần xác định trƣớc lƣới chia, sử dụng lƣới chia cách tự Phƣơng pháp Meshess sử dụng tập hợp nút nằm phân tán miền hay biên để trình bày miền biên Hàm miền đƣợc xấp xỉ cục thơng qua nút Tuy nhiên, hàm dạng phƣơng pháp thƣờng khơng thỏa điều kiện Kronecker delta áp điều kiện biên trực tiếp khó khăn Hiện nay, FEM phƣơng pháp số đƣợc phát triển sử dụng mạnh mẽ để phân tích tính tốn phạm vi rộng kết cấu phức tạp hình dạng, điều kiện biên hay tải trọng, tính chất vật liệu FEM đƣợc ứng dụng để phân tích tốn tuyến tính hai chiều, ba chiều, đối xứng trục, dầm, vỏ Ngoài ra, FEM cịn đƣợc dùng để phân tích tốn phi tuyến hình học, vật liệu với mức độ tin cậy cao FEM đƣợc áp dụng để tính tốn hệ số tập trung ứng suất kết cấu có vết nứt[4, 6]hoặc phát triển vết với độ xác chấp nhận đƣợc Để khắc phục khó khăn việc chia lại lƣới phƣơng pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM đời 4.2 Các tốn ba chiều: 4.2.1 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho chịu ứng suất uốn phân bố đều: 4.2.1.1 Tấm có bốn biên tựa đơn chịu uốn: Xét vuông với vết nứt tấm, chịu ứng suất phân bố p=1 Tấm tựa đơn biên, kích thƣớc b=1 nhƣ Hình 4.9, Vật liệu dùng có mơ đun đàn hồi E = 1000, hệ số Possion ν = 0.3 2b h P 2a 2b Hình 4.9: Tấm vng chịu uốn bốn biên tựa Tấm đƣợc chia bỡi lƣới (81x81) phần tử MITC4 Ba miền kích thƣớc khác đƣợc sử dụng để kiểm tra tính độc lập với lƣới chia tích phân J Với tỷ lệ b/h=10 khác biệt giá trị J kích thƣớc miền xảy trƣờng hợp mũi vết nứt gần biên Kết tích phân J cho trƣờng hợp chiều dài vết nứt thay đổi độ dày lần lƣợt b/h=6 b/h=10 đƣợc minh họa hình 3.10 3.11 Bởi hạn chế biên tích phân J tỷ lệ giải phóng lƣợng G giảm dần nhƣ mũi vết nứt tiến tới cạnh Điều phù hợp với Sosa and Eischen [27] đƣợc giải phƣơng pháp phần tử hữu hạn độc lập tích phân J Lƣu ý vấn đề dúng đối xứng chịu uốn 33 0.3 J=G 0.2 0.1 Phantom, Present, MITC4, b/h=6 Sosa and Eischen b/h=6 Phantom, MITC3, b/h=6 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a/b Hình 4.10: Giá trị tích phân J có vết nứt (tựa đơn xung quanh) chịu ứng suất phân bố với b/h=6 2.0 J=G 1.5 1.0 Phantom, Present, MITC4, b/h=10 0.5 Sosa and Eischen b/h=10 Phantom, MITC3, b/h=10 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a/b Hình 4.11: Giá trị tích phân J có vết nứt (tựa đơn xung quanh) chịu ứng suất phân bố với b/h=10 Qua biểu đồ ta thấy giá trị tích phân J tăng chiều dài vết nứt tăng lên Tuy nhiên vết nứt có chiều dài lơn 0.5b ảnh hƣởng điều kiện biên liên kết nên giá trị tích phân J giảm dần trở lại Khi chiều dày tăng lên giá trị tích phân J mũi vết nứt giảm 34 4.2.1.2 Tấm có hai biên tựa đơn, biên tự do: Xét vuông với vết nứt tấm, chịu ứng suất phân bố p=1 Tấm có hai biên tựa đơn, hai biên tự do, kích thƣớc b =1 nhƣ hình Vật liệu dùng có E = 1000, ν = 0.3 2b h P 2a 2b Hình 4.12: Tấm vng chịu uốn hai biên tựa Tƣơng tự nhƣ ví dụ mục 4.2.1.1 đƣợc chia bỡi lƣới (81x81) phần tử MITC4 Và khảo sát hai trƣờng hợp b/h = b/h = 10 Khi chiều dài vết nứt a thay đổi ta đƣợc giá trị của tích phân J thể nhƣ hình 3.13 3.14 30 25 phantom node, MITC4 - Present, b/h=6 J=G 20 H A SOSA and J W EISCHEN, b/h=6 15 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Chiều dài vết nứt a = tỷ lệ a/b Hình 4.13: Giá trị tích phân J vuông chịu uốn hai biên tựa, hai biên tự với b/h=6 35 180 150 phantom node, MITC4 - Present, b/h=10 J=G 120 H A SOSA and J W EISCHEN, b/h=10 90 60 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Tỷ lệ a/b Hình 4.14: Giá trị tích phân J vng chịu uốn hai biên tựa, hai biên tự với b/h=10 Qua biểu đồ ta thấy: Khi chiều dày tăng lên giá trị tích phân J mũi vết nứt giảm Giá trị tích phân J tăng chiều dài vết nứt tăng Khi vết nứt rộng biên phần tử biên tự khơng bị ràng buộc nên giá trị tích phân J tăng nhanh Tấm mỏng kết gần với lời giải xác 4.2.2 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho chịu tác dụng mô ment uốn 4.2.2.1 Bài tốn chữ nhật chịu mơ ment uốn Để so sánh hội tụ hệ số tập trung ứng suất (SIF) phƣơng pháp với phƣơng pháp dùng XFEM xét toán sau đây: Tấm chữ nhật có kích thƣớc chiều rộng 2b = 2, chiều dài l = chiều dày h = b/4 Vết nứt có chiều dài 2a = Chịu mô ment phân bố không đổi M0 = biên song song với vết nứt Hình 4.15, Vật liệu dùng có mơ đun đàn hồi E = 200 GPa, hệ số Poisson ν = 0.3 Phần tử MITC4 xét có bậc tự do, áp đặt mơ ment vào tốn ta gán giá trị M bậc tự thứ nút, tƣơng ứng với góc xoay θx 36 Hình 4.15: Tấm có vết nứt chịu tác dụng mô ment phân bố ngƣợc chiều Mơ hình với lƣới chia khác dùng phần tử MITC4 a b c Hình 4.16: Ba lƣới chia khác sử dụng phần tử MITC4 với kích thƣớc: (a) 441 phần tử, (b) 14161 phần tử, (c) 38961 phần tử 37 Với chiều dài vết nứt a = 0.5 tủy lệ chiều rộng với độ dày b/t = Lời giải giải tích cho tốn theo [35], Ktham khao = k1b_norm_ref = 0.832 K I error  Kthamkhao  K I Kthamkhao Hệ số tập trung ứng suất uốn đối xứng KI đƣợc giải số với lƣới chia khác dùng phần tử vỏ MITC4 Khác với lời giải tích phân đƣợc đƣa hội tụ sai số KI kích thƣớc phần tử đƣợc thể nhƣ hình 3.16 Giá trị số cho hội tụ tƣơng đối sai số KI với vết nứt a = 0.5 chiều dày t = b/4 = 0.25, h kích thƣớc phần tử Kích thƣớc phần tử h MITC4 Kích thƣớc phần tử h MITC3 [24] MISC MITC4 0.0123 0.0246 0.0199 0.0125 0.0117 0.0288 0.0137 0.0252 0.0210 0.0139 0.0126 0.0300 0.0154 0.0295 0.0227 0.0156 0.0138 0.0316 0.0175 0.0308 0.0237 0.0179 0.0154 0.0335 0.0204 0.0379 0.0269 0.0208 0.0174 0.0361 0.0303 0.0501 0.0483 0.0313 0.0245 0.0444 0.0400 0.0593 0.0552 0.0417 0.0314 0.0519 0.0588 0.0731 0.0711 0.0625 0.0446 0.0668 0.1111 0.1147 0.0999 0.1250 0.0779 0.1136 Phantom node method X-FEM [23] Bảng 4.5: Sai số KI có vết nứt chịu mô ment uốn phân bố 0.1500 phantom node, MITC4 - Present 0.1300 XFEM, MISC - Bordas at al., 09 Phantom node, MITC3 0.0900 0.0700 0.0500 0.0300 Relative error of K1 0.1100 XFEM, MITC4 - Bordas at al., 09 0.0100 0.01 Element size 0.1 -0.0100 Hình 4.17: Sai số hệ số tập trung ứng suất chữ nhật có vết nứt chịu tác dụng mô ment phân bố ngƣợc chiều 38 Qua biểu đồ hội tụ sai số KI ta thấy: - Việc sử dụng XFEM kết hợp với hàm làm giàu mũi vết nứt phần tử MISC [23] cho hội tụ tốt phƣơng pháp trình làm mịn tăng độ xác phần tử MITC Tuy nhiên tỷ lệ hội tụ phƣơng pháp tốt XFEM mà bỏ qua hàm làm giàu mũi Việc sử dựng phần tử MITC4 cho kết hội tụ tốt so với phần tử MITC3 Lƣới chia mịn sai số nhỏ 4.2.2.2 Tấm vng chịu uốn có vết nứt biên: Tấm vng có kích thƣớc cạnh 2b = 2, chiều dày h=b/10 Vết nứt hai biên có chiều dài phần a Chịu môment phân bố không đổi M0 =1 biên nhƣ Hình 4.18 Vật liệu dùng có E = 1000 GPa, ν = 0.3 b M0 2c a a h b 2b M0 Hình 4.18: Tấm vng có hai vết nứt hai cạnh đối xứng chịu tác dụng mô ment phân bố ngƣợc chiều song song với vết nứt Lợi dụng tính chất đối xứng toán để đơn giản tiết kiệm chi phí tính tốn ta mơ hình nửa nhƣ Hình 4.19 39 Hình 4.19: Tấm vng có hai vết nứt hai cạnh đối xứng Dùng lƣới chia phần tử MITC4, khảo sát chiều dài vết nứt theo tỷ lệ c/b Giá trị tích phân J đƣợc thể nhƣ Bảng a b Hình 4.20: Mơ hình tốn phần mềm, (a) trƣờng hợp tỷ lệ c/b=1, (b) trƣờng hợp tỷ lệ c/b=0.9 40 Kết tích phân J Tỷ lệ c/b a Sai số H A Sosa and Present J W Eischen [27] Phantom node 0.1 0.9 856.01 756.4 11.64% 0.2 0.8 369.18 340.42 7.79% 0.3 0.7 223.25 210.25 5.82% 0.4 0.6 152.65 145.68 4.57% 0.5 0.5 109.34 105.84 3.20% 0.6 0.4 79.39 77.72 2.10% 0.7 0.3 56.34 58.86 4.47% 0.8 0.2 37.75 37.52 0.61% 0.9 0.1 21.6 20.88 3.33% Bảng 4.6: Giá trị tích phân J có vết nứt biên chịu mô ment uốn phân bố 900 800 700 phantom node, MITC4 - Present, b/h=10 600 H A SOSA and J W EISCHEN, b/h=10 J=G 500 400 300 200 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Tỷ lệ c/b Hình 4.21: Giá trị tích phân J vng có vết nứt hai biên chịu tác dụng mô ment phân bố ngƣợc chiều với b/h=10 Qua biểu đồ ta thấy: Khi tỷ lệ c/b nhỏ (chiều dài vết nứt lớn) giá trị tích phân J phƣơng pháp có sai số nhiều so với lời giải tham khảo (11.64%) Khi chiều dài vết nứt nhỏ sai số hai lời giải không nhiều (3.33%) Điều giải thích vết nứt lớn với việc ảnh hƣởng điều kiện liên kết nên sai số nhiều 41 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận - Luận văn nghiên cứu thực phƣơng pháp nút ảo với cho phần tử MITC4, dùng ràng buộc động học cho chồng chập phần tử, cho phép vết nứt cắt hoàn toàn phần qua phần tử Các điều kiện ràng buộc động học đƣợc phát triển để thể không liên tục vết nứt Do vết nứt phát triển tùy ý khơng cần chia lại lƣới, giúp tiết kiệm nhiều thời gian chi phí tính toán - Phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử MITC4 tính tốn hệ số tập trung ứng suất cho chịu kéo hay chịu cắt thu đƣợc kết gần với lời giải tham khảo độ xác cao dùng phần tử MITC3 - Phƣơng pháp nút ảo dùng phần MITC4 áp dụng cho toán uốn cho kết gần với lời giải tham khảo XFEM Kết thu đƣợc luận văn phƣơng pháp nút ảo để giải toán vết nứt dùng phần tử MITC4 giúp ta tự tin việc áp dụng mơ hình tính tốn kết cấu có vết nứt phức tạp tƣơng lai - Đối với XFEM thêm vào hàm làm giàu phần tử bị nứt qua lồng ghép bậc tự thêm vào Phƣơng pháp nút ảo thêm vào nút ảo đƣợc chép từ nút thật nên xét chi phí tính tốn phƣơng pháp so với XFEM theo tác giả đánh giá tƣơng đồng 5.2 Kiến nghị - Đề tài cịn giới hạn việc tính tốn vật thể bị vết nứt thẳng mà chƣa áp dụng cho vết nứt nghiêng vết nứt cong Vật liệu khảo sát giai đoạn đàn hồi tuyến tính, toanskhaor sát làm việc trạng thái tĩnh, chƣa đề cập đến phát triển vết nứt Do đó, tƣơng lai nghiên cứu tính toán thêm cho trƣờng hợp để dự đoán phát triển vết nứt đồng phân tích thêm dao động thay đổi vết nứt phát triển - Lƣới chia mịn phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử MITC4 cho kết gần với lời giải tham khảo Do đó, nghiên cứu kết hợp với phƣơng pháp kĩ thuật làm mịn lƣới nhƣ phƣơng pháp phần tử trơn … để phát huy thêm ƣu điểm phƣơng pháp 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Swedlow, J., L., Williams, M.L and Yang, W H (1965) Elasto-plastic Stresses and strain in cracked plate Proc 1st.Int.conf Fracture , (pp Vol 1, 259-283), Sendai, Japan [2] P C Paris and F Erdogan, A critical analysis of crack propagation laws Journal of Basic Engineering, 85, pp 528–534, 1963 [3] F Erdogan and G Sih On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear Journal of Basic Engineering, ASME, 85:519-527, 1963 [4] T.Belytschko, T.Black Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing International Journal for Numerical Methods in Engineering 1999; 45:601– 620 [5] J.Dolbow, N.Moes and T.Belytschko An extended finite element method for modelling crack growth with friction contact Comput Methods Appl Mech Eng 2000 190 6825–46 [6] N.Moes, J.Dolbow, T.Belytschko A finite element method for crack growth without remeshing International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999; 46:131–150 [7] T Belytschko, N 𝑀𝑜𝑒𝑠, S Usui and C Parimi Arbitrary discontinuities in finite elements.Int J Numer.Methods Eng 2001 50993–1013 [8] H.-D Cheng, Daisy T Cheng Heritage and early history of the boundary element method Engineering Analysis with Boundary ElementsVolume 29, Issue 3, March 2005, Pages 268–302 [9] T Belytschko and Y Krongauz and D Organ and M Fleming Meshless methods: An overview and recent developments Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 139, issue 1-4, pp 3-47 [10] M Duflot and H Nguyen-Dang A meshless method with enriched weight functions for fatigue crack growth, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 59, pp 1945–1961, 2004 [11] A Asadpoure and S Mohammadi, Developing new enrichment functions for crack simulation in orthotropic media by the extended finite element method, Int J Numer Meth Engng., 69, pp 2150–2172, 2007 [12] K.-J Bathe Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prenice – Hall, 1982 43 [13] J Dolbow, N Moës, and T Belytschko, Modeling fracture in Mindlin–Reissner plates with the extended finite element method, International Journal of Solids and Structures, 37, pp 7161–7183, 2000 [14] N.Sukumar, N.Moes, B.Moran and T.Belytschko Extended finite element method for three-dimensional crack modelling Int J Numer Methods Eng2000; 481549– 70 [15] M Stolarska, D L Chopp, N Moesand T Belytschko Modelling crack growth by level sets in the extended finite element method International Journal for Numerical Methods in Engineering Volume 51, Issue 8, pages 943–960, 20 July 2001 [16] C Daux, N Moes, J Dolbow, N Sukumar and T Belytschko Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method.Int J Numer Methods Eng 2000.481741–60 [17] Q.Duan, JH.Song, T.Menouillard, T.Belytschko Element-local level set method for three-dimensional dynamic crack growth Int J Numer Methods Eng 2009;80:1520–43 [18] A.Hansbo, P.Hansbo A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2004; 193(33–35):3523–3540 [19] J.Mergheim, E.Kuhl, P.Steinmann A finite element method for the computational modelling of cohesive cracks Int J Numer Methods Eng 2005;63:276–89 [20] J Mergheim, E Kuhl, and P Steinmann, Towards the algorithmic treatment of 3D strong discontinuities, Commun Numer Meth Engng., 23, pp 97–108, 2007 [21] J.H.Song, PMA.Areias, T.Belytschko A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes International Journal for Numerical Methods in Engineering 2006; 67(6):868–893 [22] PMA.Areias, JH.Song, T.Belytschko Analysis of fracture in thin shells by overlapping paired elements International Journal for Numerical Methods in Engineering 2006; 195:5343–5360 [23] Stephane P.A Bordas, Timon Rabczuk, Nguyen – Xuan Hung, Vinh Phu Nguyen, Sundararajan Natarajan, Tino Bog, Do Minh Quan, Nguyen Vinh Hiep Strain smoothing in FEM and XFEM Computers and Structures 88 (2010) 1419 – 1443 44 [24] Thanh Chau-Dinh, Goangseup Zi, Phill-Seung Lee, Timon Rabczuk, Jeong-Hoon Song Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks Computers and Structures 92-93 (2012) 242–256 [25] T.Rabczuk, G.Zi, A Gerstenberger, WA Wall A new crack tip element for the phantom-node method with arbitrary cohesive cracks Int J Numer MethodsEng 2008;75:577–99 [26] N Vu-Bac, H Nguyen-Xuan, L Chen, C K Lee, G Zi, X Zhuang, G R Liu, and T Rabczuk A Phantom-Node Method with Edge-Based Strain Smoothing for Linear Elastic Fracture Mechanics Journal of Applied Mathematics Volume 2013, Article ID 978026, 12 pages [27] Sosa H, Eischen J, computation of stress in tensity factors for plate bending via a path-independent integral Eng Fract Mesh 1986;25:451-62 [28] GiD GiD - The personal pre and postprocessor - Version 9.0.4, 2009a [29] Thanh Chau-Dinh, Tuan Le -Viet, Hieu Nguyen-Van, Goangseup Zi Phantom node method for arbitrary cracked problems with 4-node quadrilateral elements.2nd International Conference on Green Technology and Sustainable Development, 2014 (Volume 2) [30] PMA.Areias, T.Belytschko A comment on the article In: Hansbo A, Hansbo P,editor A finite element method for simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics [Comput Methods Appl Mech Engrg 193 (2004) 3523–40], Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 195 2006 p 1275–76 [31] G.Zi, T.Belytschko New crack-tip elements for XFEM and applications to cohesive cracks International Journal for Numerical Methods in Engineering 2003; 57(15):2221–2240 [32] N Moes, J Dolbow and T Belytschko A finite element method for crack growth without remeshing International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46:131-150, 1999 [33] J R Rice A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks Journal of Applied Mechanics, ASME, 35:379 - 386, 1968 [34] G Zi, J H Song, E Budyn, S H Lee, and T Belytschko A method for growing multiple cracks without remeshing and its application to fatigue crack growth 45 Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 12:901-915, 2004 [35] Bath KJ, Dvokin EN A formulation of general shell elements – The use of mixed interpolation of tensorial component Int J number Methods Eng 1986;22:697722 [36] Ahmad, S., Iron, B.M and Zienkiewicz, O.C (1970), “Analysis of thick and thin shell structures by curved finite element”, Int J Num Meth Engr, 2, pp.419-451 [37] Zienkiewicz, O.C and Taylor, R.L (1989), “The Finite Element Method”, (Fourth Edition), McGraw Hill [38] Reissner, E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Appl Mech, 12, pp 69-76 [39] Mindlin, R D (1951), “Influence of rotatory innertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plate”, J Appl Mech, 18, pp 31-38 [40] Eduardo N Dovorkin, “Nonlinear analysis of shells using the MITC formulation” Archives of computational methods in engineering, Vol 2, 2, 1-50 (1995) [41] Yau JF, Wang SS, Corten HT A mixed – mode crack analysis of isotropic solids using conservation laws of elasticity J Appl Mech ASME 1980;47:335-41 [42] N D Hung and T T Ngoc, Analysis of cracked plates and shells using „metis‟ finite element model, Finite Elements in Analysis and Design, 40, pp 855–878, 2004 [43] C H Furukawa, M L Bucalem, and I J G Mazella, On the finite element modeling of fatigue crack growth in pressurized cylindrical shells, International Journal of Fatigue, 31, pp 629–635, 2009 [44] J Dolbow, N Moës, and T Belytschko, Modeling fracture in Mindlin–Reissner plates with the extended finite element method, International Journal of Solids and Structures, 37, pp 7161–7183, 2000 46 S K L 0 ... phƣơng pháp nút ảo cho phần tử MITC4 để tính tốn kết cấu có vết nứt, có khả cho vết nứt cắt qua hoàn toàn phần phần tử với mong muốn đạt đƣợc kết xác phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút. .. Hình 2.1 Phần tử khơng nứt Phần tử nứt hồn tồn Phần tử nứt phần Hình 2.1: Phân loại phần tử bị vết nứt cắt qua 2.1 Phần tử không nứt Phần tử không bị cắt vết nứt trƣờng chuyển vị liên tục, dùng phƣơng... 2.3.1 Phần tử nứt phần dạng Hình 2.5: Phần tử nứt phần Hình 2.6: Phần tử bị nứt phần (dạng 1) Xét ví dụ phần tử bốn nút có vết nứt cắt qua nhƣ hình vẽ Vết nứt từ cạnh 12 phát triển vào phần tử Do