Luận án tiến sĩ HUS một số nghiên cứu về vành auslender gorenstein không giao hoán luận án PTS toán học62 46 05 01

^ -25 ^^,.3 /• GlAU ( DUC & D A O T A O KO miỊNGDAI HOCTĨNG HOP HANOI HoDinhDn C.-I| rt!i » ! M » l r „ > KQl I ^^' •' S'.rvl:"''*^-* ••• V - ' ' T\^'J% ik- J- M^'ilMP ^-*—«^ MOT SO NGHIÈN CÙU VE VÀNH AISLANDER-GORENSTEIN KHÒNG GIAO HOAN Chuvèn nsdnh: Dai sS'và Ly thuyet so' Ma $0: I J L Luàn àn Pho tien si khoa hoc Tồn - Ly Ngi hng d2n khoa hoc: Gs Ts Nguyen fiinh Ngoc Hanoi-1991 N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai M U C LUIC CHJdNG O : Phan chuan b l 0.0 Cac ki hiéu 0,1^ Nhac lai mot so két qua e uà 1y thuyet vành va dai so dóng diéu 0.2 N h a e lai mot so k é t c^ u a e u a d s o g i a a h t:) a n CHlJdNG : vành Auslander - Gorenstein, va mò dun holonom mò dun thuàn 1.0 Day phò Roos - Bjork - Isc^lebeck 1.1-0 1-1,1 Xay ddng day phd 1.1.1.0 1-1.1-1 1-1.1.2 1.1-2 Ménh de (sd hpi tu cua day -i- ) 1.1-3 B~-lpc cua mot mò dun 1.1-3-0 , 1.1-4 He qua ( euà Nenh de 1.1.2) 1.1.5 Dinh nghia ( vành Ausi andt^r - Gorenstei n ) 1.1-6 Nhan xéti - vành Ausiander ~ Gorenstei n; 1.2.0 Dièu kién Auslander 1-2-0-0 1.2 Nhan ;-;ét1-2.2 Dinh nghla ( vành Ausiander - Gorenstei n )1-2.3 Cac VI du1-2.3-0 ; 1-2-3.1 1-2.3.2 o T -r 1.2.4 Qui dóc1-2-5 Dinh nphia (so tS(M)) 1.2.6 Ménh de ( j (M) + (S(ti) - j \ ) 1-2-7 He uan (cua Menti de 2.6 ) 1-2-8 He qua ( cua tlé luan 1.2.7 )1.2.9 Nhan xét 1-2.10 Bò de ( mot bàt dàng thdc cua qrade ) 1.2-10.0 1.2-10.1 ^ ^ 1.2-11 Ménh de (mot day khóp ngancua B-1oc) - Mó dun thuan (pure modules)J - - 1.3.1 Dinh nghla (mó dun thuan t u y ) 1.3-2 Vi du> 1-3-3 Nhan xét 1.3-4 Ménh de (tinh thuan cixa E;;t (M,R)) 1.3.5 He qua (cua Ménh de 1-3-4) 1.3,0 Dinh li (cac diéu kién tddng dddng cua tinh N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai • ' ' » i ' • ! ! • ! thuan tuy)• I 1.3.7 He qua ( e uà D i n h i ) : ;• 1-3-8 Mot mó tà khàc cua B-lpci 1.3-8.0 Menh de ( B;^ =: F^ , k ~ 0, ^M ^ • , - D i n h li (E^-lpc c u a m ó d u n cari ) j 1.4 Mò dun holonom ( holonomic modules) ; 1-4.0 I ì ' 1,4.1 Dinh nghia (mị dun holonom)| Ì,"4-2 Càc vi du1.4.2-0 ' 1.4.2-1 1.4-3 Nhan xét ! 1.4.4 Nhan xét : 1.4.5 Ménh de (ve hàm td M > Ff r: Ext^(M,R)) 1-4.6 He qua (cua Ménh de 1.4-5)1-4.7 Ménh de (day khdp cac mò dun holonpm)1.4.8 Ménh de (tinh holonom va tinh cyclic) 1.4-8-0 Ménh de (mot ket qua Sta-f-ford)1 V Ménh de ( t inh hol onom va t i rth thuan ) 1.4-9,0 Ménh de ( mot két qua eùa Bjork ) 1.5 vành Ausiander - Gorenstei n gi ao hoàn 1.5.0 Nhac lai ve cac vành Gorenstei ri qioa hoàn1-5.0.0 1,5-0,1 1-5,0,2 ; 1-5.0,3 1.5.1 Dinh li < diéu kién can va du de mot vành gi ao hoàn 1à Ausiander - Gorenstei n ) 1-5-2 He qua ( cua Dinh li 1.5.1) 1.5.3 Nhan liet 1.5.4 Dinh 1i ( cac di éu ki én tddng dddng cua t inh thuan tuy) 1.5.5 Menh de ( ve cac ideal nguyén tó 1ién két )1-5-6 Dinh nghla ( ideal dàng chiéu ) 1-5.7 He qua ( cua Menh de 1.5.5) ' CHlJdNG : Vành Auslander—Gorenstein co loc, ideal dac trdng va mò dun thuan ; i 2-0 ^ Nhac ve vành 1pc va mó dun 1pc 2.1.0 Lpc cua vành va mó dun 2.1.1 Tị pị sinh bdi mot lpc 2-1-2 vành phan bac lién két vdi mot lpc 2.1.3 Dinh nghTa* ( lpc tot ) 2-1-4 Dinh nghTa (1 oc Art i n~Fi;ees , oc Arti n'-F\e£?s yéu) 1.5 Nhan ;;ét 2- 1-6 Menh _^dé ( tinh chat cua lpc Artin - Rees ) 2.2 Mot day phị cua mó dun oc 2-2-1 Ménh de ( sd ton tai cua mot day phò ) 2.2.2 Nhan xét 2.2.3 He qua ( cua Nhan ;:ét 2.2.2 ) 2-3 vành lpc va tinh Auslander - Gorenstein2.3-0 2-3-1 Menh de ( mot bat dang thuc cua grade ) 2.3.2 Nhac lai Dinh li F(oos-Bjork (ve sd bào toàn tinh Ausiander-Gorenstei n cua vành oc)- N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai ' : ! i ' 2.3.3 Nhan ;-;ét (ve tinh Ausi ander-Gorenstei n cua cac vành tồn ttì vi phan quen biét ) 2-4 Ideal dac trdng cua mò dun thuan 2.4.0 2-4-1 Dinh ngl~tTa (ideal dac triìng éa mịl: fdó dun ) 2.4.2 KÌ hieu ( tap hdp V(M) ) 2.4.3 Nhac Dinh i Kashi wara- Gabbe?r-B jor k ve dang chi éu cua i deal dac trdng, 2-4-4 Nhan xét] 2.4.5 Dinh nghìa (di éu ki eri Ass~cdc ti éu) 2.4.6 Menh de (diéu kién can cua tinh thuan tuy) 2-4-6-0 2.4.7 Nhan xétj 2.4.7.0 Cau hai 2.4.8 Ménh de (dièu kién du cua tinh ttUan t u y ) 2-5 Tap hdp V(M) ,) 2-5,0 2.5-1 Menh de (mot tinh chat cua cac tap V(M))2-5-2 He qua ( cua Menh de 2.5.1 )f 2.5-3 Nhan xéti 2-5.3.0 t 2.5-4 Dinh nghia ( tap V(M) ) 2.5.5 Dinh li (tinh chat cua càc tap Ass(grpM))2^5-5-0 2.5-6 Nhan :-:ét, 2.5.6.0 Cau bòi CHlJdNG 3: Ma dun hol onom trén Gorenstein co loc- vanh Ausi ander — 3.1 VàI'1 h 3.1.0 3-1-1 3-1.2 3.1.3 lpc va tinh ho onam Sd tịn tai éa càc mó duri holonom Qui ddcMenh dè(diéu kién can ?-: du cua tinh holonom) So bòi theo ideal ngun tị va cycle 3-1-3-0 Dinh rìqhi'a (so bòi cua niòt mò dun)3-1,3.1 Ménh de ( so bòi va day khdp ngan )„ 3,1-3-2 Dinh nghla ( cycle cua mot mó dun ) 3-1.3-3 Ménh de ( cycle va day khdp ngan ) 3-1.4 Ménh de ( day hdp thành va cycle ) 3-1.5 Nhan xét i ! 3.1.6 Nhan i Ff 3- 1.7 Mò dun hol onom va hàm td M 3-1.7-0 Ménh de ( V(M) - V(M) )3.2 Mó dun thc 1óp Berntei n„ 3-2-0 3-2.1 Ngoac Poisson va ideal doi hdp 3.2-1.0 3.2.1-1 Dinh nghTa (ideal doi h d p ) 3.2-1.2 Vi du , 3-2-2 Nhan xét 3-2,3 Nhac lai dinh li Gabber ( ve tinh doi hdp eùa da tap dac trdng ), - '1' Cac ideal r^ g u y e n t o p h a n b a e v d o i h ó p 3.2,5 Ménh de (mot bat dang thdc cua g r a d e ) 3.2-6 Dinh nghla ( 1dp B e r n s t e i n ) - N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai i«M 3.2.7 Dini"^ l i 3^2.7.0 (IKÌĨ d u n tio onoin va dp B e r r i s t e i n ) Nhan ; : e t Nhan x é t 3-3 tlé q u a ( e uà D i n h i ) Nhan x é t - - L i e ri h e v ó i ^: e t q u a e: u a E s s e n F'hép vi mò dia phudng boa, dp Bernstein va t i n h dang c h i é u | , - F'hép v i mò d i a p h d d n g l i ị a 3-3.0.0 • - , N f a e l a i (^ i n h l i e ù a E sii s e n ( v i \ 11 v i m ò d i a |::) h i.i d n g t:: u a m ò t v a n h g e ) - - - N h a c l a i d i n h i e ù a E s s e r i v mò d u n v i mò d i a p t t d d n g ) - , Qu i \\óc ' , D i n h l i ( m o t d r i g c u e d ^;id ) - - Da t a p d a c t r LÌ n g e ù a mị d u n v i in ó dia p h d d r"i g , 3-3-1-0 3-3-1.1 Ménh de ( d a t a p d a e:; t r u n g e:: ù a m d d u n vi mò dia phddng) , | 3-3-2 Nhan ; - 4- D i n h i ( Sd b o t o r i t i n h h o l o n o m ) , - D i n hi l i ( S u hàa t o n t i n h t h u a n t u y ) Bo d e T - v r i h , t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n k i d i e h i n r i q u i - Dinh nghi'a ( T - vành ) - vi du3 o- Dinh i ( s d bào toàn t irth Ausi a n d e r v r 11" i ) G o r" e n s t e i f » c u a e a e "I " 3.5.4 He qua ( eùa dinh li 3.5-3 ) 3.5.5 Dia phddng hóa T - vành j:, 5,6 Dinh nghìa ( i deal dac trdng ) 3,5-7' Dinh nghTa(ki di chinh qui theo rìchìa dai so) 3-5-8 Dinh nghìa (diéu kién cuc tiéu dai vdi Ass) 3-5-9 Dia phddng hóa the^j mot ideal ngun tị3-5-10 Dia phddng hóa va tinh Ausiander-Gorenstein 3-5.11 Dinh li (dia p ti i.ì d n g ti ị a va k di e h \ n ti qui ) 3-5.12 Dinh 1i(Mò dun thuan va kx di chinh qui) TAI LIEU THAM KHAO- N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai Mci o A L J - bàt dàu td càc còng tr m h Ly thuyet Vànfi toàn td vi phan Malgr^ange CMAL 613 va Matauura [MA 61 "J, da mó mot hddng nghién cdu mdi cho ly thuyet phddng t r m h dao liam i- iéng, dac b i e t càc phddng t r" ì n h v ci i ti e so r i g so Y t L( d n g ;• mot he phddng tr inh tuyér^ t inh nhd mot mòdun quen thuòc chàng han h inh hpe dai so, nhi én vi èc vi éc dai so hóa càc he vi phan thành nhdng mòdun trén càc vành dò eh mdi ;•; uàt h i en nhdng nàm t>(.)- 61 Theo hddng do, indi he ptiddng tr ì nh dao ham r i éng ddde h i éu mot ; ( bó ) mỊdun trén mot (bó) vành tồn td vi phan thichi hdp„ Nhdng dóng góp dau tién cua D- Qui 11en , H-Kon atsu, I NBernstein va M Kashi wara nhidnq nàm 60 va dàu 70 da dat mot ed sd vdng chàc cho 1y thuyet va khàng dinh hi éu qua cua vi éc àp dung nhi éu phddng phàp khàc cua dai so vào e a e b ài t oan p h ddng t r ì n h dao h àm r i én g Noi mot cach ngan gpn, 1y thuyet D-módun righi én ' cdu cac bó vành tồn td vi phan trén mot da tap (giài tich, dai so) va càc bó mịdun trén chung (ve mat dia nhddng , ta e: ò thè coi ehung càc vành va mòdun thòng thddng) Càc vành toàn td ed bàn nhat : dai so Weyl A„ (K) , càc bó va E^ trén mot da tap X Trong nhi éu trddng hdp , cà e 11 nh chat dia phddnq cua bó lìói én hau hét nhdng tinh chat cua bo do, cho nèn ta 1udn luon co the nghién cdu cac stalk cua càc bó vành va mịdun nói trén Theo cach dị nhi éu ly thuyet khàc dung nhdng còng cu cua 1y thuyet van h , d so dòng diéu, dai so giao hoàn co the dddc xa y ddn g de nghién cdu càc Viing toàn td nói trén ve mat dai s ị I / Chung ta bay mị ta qua cac vanh tồri td vi phan vda nèu Chufìg ngn xt phat cua càc toàn vd a dng dung cua càcz righi én cdu ly thuyet- Cho k trddng co dac so (thddng C ) , dò An(K) vành càc toàn td vi phan vdi he so trén vành da thdc kCx^ ^ ,x^ Cho Xà mot da tap ph de Dy a bó vành tồn td vi phan trén X si nh bdi bó D^ càc hàm chinh h inh va dai so Li e càc trddng vectd trén X F- bó vành càe mam toan td vi mó-dia phddnq trén phan thd dịi ti ép ;;uc T**X Ngoài ra^ nhi éu trddn g hdp, càc dai so bao U ^g) ( g -dai so Li e hdu han ehièu ) eCinq x u a t h i e n càc vành toàn td vi phan dò ixem LMAC - RGB , eh ) Ti^ chd y ràng càc vành deu Noether va co loc I - N Bernstein ngddi dau ti én nghi én cdu mot àch co hé^thòng dai so Weyl A ( O Trong nhdng nàm o9-72, b àng nhdng còng cu tddng doi sd cap, òng da thiet 1ap dddc nh dng tinh chat ed bàn nhat cua vành nhd sd ton tai cua càc phddng trình hàm cho thàc trién chinh hình cua hàm , d ành già so.chiéu ^ cua da tap dac trdng cua càc he vi p han (bàt dàng thi'ìc Bernstein)^, sd ton tai cua mot óp càc mò dun hòlònóm ^ Chi sau^nhdng còng trình éa Bernstein mot phài Niiat n d i nhdnqj nàm dau cua thap ky 70 , trddng bat vdi càc cịng trình cua H Komatsu , M Sato , M Kashiwara5 va T Kawai Trong so dàu tién phài ke dén N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai ém so cua cac he luan an cua Kasniuara ve càc nghién cdu dai vi phan CKASH 71] va bào cua Sato - Kashi wara - Kawai ve 1y thuyet siéu hàm va toàn tu già vi phan CSA-KASH-KAW 73 Di^ém ^dàng chu y là, khàc vdi càc phddng phàp tddng dòi co dién cua Bernstein, càc tàc già nói trén da hình thdc hóa khà thành cịng càc khài niem QÌ^^i tich sang càc ^ khài niem dai so, nhd dò àp dung dddc nhdng két qua sau sac eùa dai so hi én dai nhd 1y thuyet giài ky d i cua H Hi ronaka Vdi cịng trình vdà ké , càc tàc già da dda , mot quan diém mdi 'vi mò dia phddng" ve càc he vi phan, qua dò dat dddc nhdng két qua quan trpng nhd tinh ^dịil hdp éa, da tap dac trdng hoac càc dinh ly càu truc tóng ì qt | { xem tSCHA 8511 ) Td dò cho dén nay, ly thuyet vành tồn td vi phan co mot vai tró quan trpng nhiéu n'gành tồn hpe khàc nhd hình hoc dai so , 1y thuyet ky dii » dai so Lii va cà ly thuyet tich phan Feynman Dén cuoi nhdng nàm 70, da co thém nhiéu tac già tham già nghién cdu ly thuyet D-mòdun , ^sò dò co the ké T Oshima (Nhat), J, E Bjork (Thuy Dién), va dac biét trddng phài Phàp vdi P Schapi^ra, F F'ham, Z Mebkhout, Gabber Tat nhién khòng the khòng nhac dén nhdng két qua cua càc ngành toàn hpe khàc co ành hdong 1dn dén ly thuyet D-mịdun dị co càc cịng trình éa V P Maslov, Hormander, „ phddng trình dao hàm riéng, eùa A Grothendj eck, J, P Serre, R Hartshorne, J, T, Sta-f-f ord dai so , cua L Schwartz, M Sato ly thuyet hàm suy róng, va éa nhiéu tàc già khàc Xuat phat td giài tich va sd dung phddng phàp cua dai so , bau hét càc bai toan cua 1y thuyet vành tồn td vi phan dèu nàm gida ranh gi éa hai llnh vuc Tuy nhién, ràng sd sàng sua va tinh khài quàt cua minh, co thè nói y ngịn ngd va cịng cu dai so da bau nhd Kun st càc tồn Cauchy tddng éa 1y thuyet Chàng han, cach nhìn éa ly thuyet phddng trình dao hàm riéng dddi D~-mịdun , gidi han ngddc (inverse limit) éa mot ho co mịdun dó^ Qua , Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia dién dddc dién dat bang sd tddng dddng eùa hai pham trù (Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia - Kashiwara, xem CBCHA 8511) Mot thi du khàc , ta co thè Ket dai so Weyl r^„ (k ) theo mot quan diém thuàn ly thuyet vành nhd mot k-dai so sinh bdi 2n phan td K, , - ,K„ ,y, , - , y^ vdi quan he LK-, ,Kj » , Ly ,y ] == , Cx; ,^,^3 - 1, va ^nhd thè mot he vi phan vdi he so da thdc (trén k) dddc hi éu a mot k-khòng gi an vectd vdi mot tàc dịng éa càc phan td K-^ ^y^^ ,v-v vi nhdng 1i trén, mot hddng td nhi én éa 1y thuyet D-mịdun khài qt càc tinh chat éa càc vành tồrì th cu thè thành mot óp vành trdu tddng de nqhién CLÌU bang dai so Nh i éu tàc già da quan tam dén hddng nhd J E Bjcjrk, Gabber, A van den Essen, , Mot nghién cdu nhd (dai so) cho mot thè bao gòm vièc^xay ddng mot ly thuyet lóp vành mang rihdng dac trdng éa càc vành toàn td , nhdng mot linh vuc àp dung dịng thdi dù tịng c|t de co dilóc bay tìm nhdng rpng rai , Theo hdóng do, viéc dau tién dac di ém chung éa càc vành tồn td quen bi et N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai Nhd da thày, càc vành Art(k), càc stalk éa càc bó D^ , Ex déu Noether (hai phia) va co lpc- Ngoài , ^ chung Lièu co chiéu dòng dièu hdu han ^ Theo mot ^quan diém dò, càc tinh chat vda nèu co thè xem dù de xày ddng mot mị hình éa mot Idp càc vành toàn td nhd J E Bjork dà làm tBJO BSÌ va CBJO 87]| J E- Bjork , nghién cdu Idp vành Noether nhd trén, dà chù y dén mot bat bién quan trpng pham trù mòdun tddng dng - Bàt bi én dò gàn cho mòi mòdun M mot so nguyén khòng àm j cho càc mịdun Eiìt ^ (M,F\) déu tri et tiéu vdi k j va EMt^(M,R) 5^ - Day mot thay thè tịt trddng hdp h:hóng giao hồn éa khài niem grade ,(hay dịi chiéu) cua mot mịdun Dai so gi ao hồn - Dai ddrig này, theo mot nghTa dò, co thè dùng de dành già kich thddc éa mot mịdun ve mat dòng dièu , va dà dddc xét dèn CFOS - GFTII REI 75] Trong bào , càc tàc già dà • de ngh j mot dinh ngh3^a cho càc vành Gorenstei n "khòng giao hồn' , dị co aiịt diéu kién qpi Diéu ki èn Ausiander Tuy nhién , J- E Bjork 1à ngdoi dàu ti én ;ìét dèn Idp vành mot càch co he thòng va ;;ày ddng mot ly thuyet ve càc vành * Gorenstein khòng giao hồn '- Tat nhi èn 1y thuyet éa Bjork hddng tdi càc àp dung càc vành toàn til vi phan, nèn ngồi tinh Gorenstein, mot khào sàt tddng dịi ky ve càc ' vành Noether co lpc ' da dddc thdc hièn, Bac biét , ly thuyet eùa Bjork dda trén sd tòn tai va fiòi tu cua nhiéu day phò dòi dòng diéu trddc dò dà dddc khào sàt CRD 733 va [ISCH 693Ly thuyet cua J, E Bjork ve càc vành Gorenstein khịng giao hồn (trong 1uan àn gpi 1à càc vành Ausiander-Gorenstei n) ngan gpn nhd sau, Cho va varih Noether co lpc co thè nói vdi chiéu nói Jia hdu han vành R Noethier trai va phài inj-dim R ~ K < =-« (già thiét yéu hdn ql.dim R < » ) Vdi mdi R -mddun M , tòn tai^ mot day phò ma sd bang E^ E;i t^ (ELKt^(M, R) ,R) - Day mang nhiéu thòng tin ve mòdun M ,dàc biét nò chdng minh sd tòn tai éa bat bien khịng am j(M) :- ^ k grade nói d trén : dị 1à so ngun ( E;;t^ (M,FO v^ } R dddc gpi mot vành Gorenstein neu : mòdun N vdi mpi R -mòdun M, mpi so nguyén k ^ , mpi éa Ext^(M,R) , ta déu j(M) ^ k - ( Diéu kién F( vành Gorenstein, day Auslander dda dau tién )- Khi bòi tu,va nhiéu két luan bò ich dddc rùt td dóChàntj han, mpi mịdun M déu co mot lpc M^^ e, , , e M^ :::: M, mòi thddng M; /M^^^ déu thuòc mot dp mòdun dac bi et, qpi càc mòdun thuàn tù>^ (pure modul es) - Cac mòdun dddc dac trdng bdi tinh chat :tat cà càc mòdun dèu co ( : : : : h* ) mot grade Bac biét, Idp càc mịdun grade CLIC dai dddc gpi càc mòdun hòlònòm - Khi trén vành R dddc trang bi mot lpc FR , chung ta quan tam dén ành hddng cua tinh Gorenstein eùa vành phan bac 1ién két grR dén t inh Gorenstei n eùa bàn thàn vành R , Khi 1pc FR 1à Arti rv Rees, J - E, Roos va J - E Bjork dà eh LÌ n g h r~ a n g né u g r H vành giao Gorenstein R cCing co tinh chat dị Do mpi hoàn chinh quy déu Gorenstein ta suy rang càc vành A < k ) , , dèu vành Gorenstein- Diéu cho!thày ly càc stalk thuyet dang de cap dén da dàp óng dddc mot dai bòi dat tùi dàu nò phài bao gom càc vành toàn tu vi phan quen biét-Nhd vay mpi tinh chat vành va mòdun dà thiét 1ap déu N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai àp dung dddc vào càc trddng hdp cu thè eùa A ( k ) , D va E cua mot dai so Li e hdu han chi é u ) (va cà càc dai so bao Ti èp dèn , vdi già thiet grR gi ao hoàn ta Ket càc i deal dac tr dng va da tap dac trdng eùa mot nió d u n , dac co bi et mó dun dị 1à thn hoac bịiịnịm Chàng h a n , thè chdnq minh ràng mpi mòdun thuàn déu co da tap dac chdng trdng dàng chiéu (kèt qua rìày dau tién dddc Kashiwara dị dddc mi nh cho trddng hdp vành vi mò - dia phddng , sau dai sd bao) Ngồi ra, « Babber ctidng mi nh cho trddng h d ^ càc khào sàt ve vành lpc dàn dén viee nghién cdu càc khài vành Rees tddng dng va Bjork dà khài quàt chung niem T-vành ( ;:em CBJO , Part i n , TEK B ] ) Vdi ky chdng minh mdi eó thuat riày, chang h a n , Eijork dà cho mot phan t ò n g quàt h d n cua D i n ^i y Gabber' ve ti ri h d ó i , h d p e:: ù a ' da tap dac trdng Nhdng két qua vùa nèu co mot so dng dung vao cac v^nh toan Xet dai sd Neyl A ^(C) vài già sd tu 'vi phan nhd sau Khi dò vanh dia philc3rtg | CI;•; , F'' J P, £ CLx3 -: ceM • » • " ? '- „ ] diéu A„(C) niòt vành l!à mot A n (C)-mòdun Sd dunq Auslander - Gorenstein ta co the chdng minti ràng C [ K , P niịt mịdun bịi óndm (day mot d inh i cua I-J Be^nstei n ) ddng càc b-tiàm (con gpi da tliùc Td d ò , co thè xày Bernstein - Sato) dòi vdi mpi da thdc P € CLK] cho truócBày gi d cho X mot da tap phdc n cìii èu va gi sd Fi: cà hai trddng hdp, mot stalk éa bó D hoac E - ìrong , nhd dị trén R déu co càc lpc de cho - dim (grR) 2n ciu-ing mi nh dddc dàng thdc j (M) -^ d (M) 2n, vdi mpi Rra dddc bat dang thdc Bernstein mòdun MTd day suy M d(M) ^ n (d(M) ki hieu chiéu Gelfand - K i r r i l o v ) Nèu chdng mi nh ddde hoac M mot mòdun cho d(m) = n + , ta ( khàc ) hoac M/f(M) 1à chda mot mòdun hòlònòm hòlònòm vdi mpi ddn cau -f : M > M Nhd ta co thè thay dddc^ ly thuyet eùa Bjork ve càc vành Auslander- - Gorenstei n theo mò t a d tr- éri mpt hiL.Ìóng nghi én cdu vanh - 1y thuyet co dòng ed td càc van de 1i én quan den dai so Weyl A„(k) , càc vành Dj^ , E^ , U(g) - Ly thuyet cua Bjork dà ;;àc ap mot pham vi nghi én cdu khà rpng rai dòng thdi manq nhii éu dac trdng éa càc vành tồn t e , va bddc dàu dà thi et 1ap dupe càc co sd eùa nóTàt nhi én bàn than 1y thuyet eó su 1y thù ri éng cua nò , nhd mot van dà eùa ly thuyet càc vành két hdp , va càc t::èl: qua trình bay trén day ngồi nhdng àp durig vào càc D-mòdun , ec-n co mot y nghìa nhat dinh ve mat ly thuyet vành - Tuy n h i é n , theo chung tòi n h i é u van de co 1ién chat che dén càc trình bay trén ma Bjork chdai chda de cap dèn hoac chda khào sàt day^ dù Chung tịi néu sau day , ddói dang cau h ó i , mot so van de khà ed bàn , va chung dà 1à dòng de cho càc nghi én cdu eùa 1uan àn ( Trong e: a e p h t; b i è u s a u , F( k i h i e u mot v a n ti A u s a ri ci e r • - G o r e ri s t e i n ) , l.Khào sàt tinh A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n càc Idp vành quen thuòc (càc vành gi ao h o n , vành ma t r a n , vành n h ó m , PI-vanti )càc khào sàt se cho ta thém nhiéu thi du ve càc A u s i a n d e r Gorenstei n vành 2.Nghién cdu cac B- lpc trén cac R-mò d u n Mot nhdng chat ed bàn nhat eùa vành A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n 1à sd t inh : add luanvanchat@agmai N VAN CHAT LUONG download W4 ^v_j L-utcì iHLJu u d / p n o , g p i a d a y p h ò R u o s - B j o r k ~ I s c h e b e e k V d i ' m ò i m ó (iJ u ri hi, d a y p hi ò n y c o E ^ : E ; i t ^ ( E x t ^ ( M, R ) , R )va b o i t u v e c h i n h Nò d u n M- Dac b i e t , La c o m o t oc i M^ e M^ e , e H^ :^ M , t r " o ri g dị ^ c h i é u nói x a e ù a va n h E< ( B -1 g e ) C a u h i d d a y bay k h a o sàt s a u h ó n n i.l a càc B ~ p e T ì (lì e: a e li dac: t r" d n g càc mò d u n dac t:) i e t ( m ò d u n t h u a n t u y , mò dun ho lo nòm - - ) - Vdi già thiét R dddc loc cho vành p hi a n bac lién I-:: è t grR v n hi g i a o hi o ri, t a h a y m ò t a e a e d p m ó d u ri nói trén qua càc dòi t d d ri g " h i n hi i i p e '' h d n ri hi il ideal dac t r~ il n g , da tap dac t r u n g , t a p e: a e ideal n g u y e n t ó 1i én két''I N hi i è n e il u Idp càc lpc tòt trén (n ò t m ò d u n e \ 11;:) t r" u d e C h a fi g lì a n càc: ideal dac t r d n g , càc i tJ e a 1 i e ri k et - - d i.l d e dinh n'ghi'a thòng qua ềe ìge tịt trén mot mị dun M, nhdng r • ò t e LI e e hi ù n g k hi ò n g p hi u t h u ò e v o p e d d d e e hi c) n X e t e a e ideal I p M ;- A n n grp M e grF ta co khài niem gr§ (A) ( = 0(S ) grA ), il f ngồc Poisson ideal dịi hdp grS (A),do § (A) mịt vành loc vói vành phàn bàc lien ket giao hoan Chù y ràng càc ti'ch Poisson tren grA ( tuong ùng, grS (A)) tuóng thich vdi qua dòng càu vùa neu Ki' hièu fi- md rong (extension) cua ideal ^ grA va J thu hep (contraction) eùa ideal J £ grS (A) •il - - Mènh de' i) Néu I thi I mot ideal Cho fi £ SpecfgrA) ideal thuàn nhàt thuàn nhàt (tdóng ùng, (tuóng u'ng doi ^ TUón.g td , néu J mot ideal doi • thuàn hdp) ' ' nhàt hóp) trong grg ' (tuóng grA ^ dng (A) ^ doi ^ hóp) G ii) gi% Già A-modun (A) fi thièt thi i) co tinh thuàìi tddng duoc - { qf néu grA Ti'nh thuàn nhat hièn nhièn Tihh dòi hdp % (M) i^ (/) nhàt ùng mòt sinh ideal chat M hùu han minh: fi la mSt \7(% (M)) Chùng J thi / q- £ V(M) = bt.fi N VAN CHAT LUONG download64 : add luanvanchat@agmai -, ^ ,M) ?^ 0, dò theo (3.3.1.3 i i ) , moi fi ^ ' ^ ideal nguyén tò cua V(§ (M)) co' dang iq , voi q ^ \I{^A) ^ra -• e ^ f^ Do fi Clic t i e u , = ht.fi , (^ = fi v a t a ' c o V(g '' (M)) ^ {fi, ^ C u ò i c Ù n g , h t / i , t a c o DPCM ^ 3-3.5 Nhan xet - Phep chùng minh dinh li' trèn cho thày i-àna M mot R-modun hùu han sinh khàc 0, vói fi moi £ § (M) mot S (Rl-modun thuòc ldp Bernstein dàc V(M), bièt" modun da tap Ta dac truhg cua S (M) ehi co' mòt phan tu -/i va' ht.-fi - f ^' ^ ' S (R) thay rang vdi fi £ Spee (grR) , luon luon co' bàt dàng thùc ìf =5; ht.fi S (R) Trong noi chung | (M) khong thuoc lop Bernstein fi [ES b ] , ta thay ti'nh chat thuòc lo'p Bernstein duoc bao toan qua phèp vi mo dia phuong hịa Sau day ta se diéu tng tù cho tinh dàng ehièu Nhàc lai rang thày )f tàp Spec(grR) goi la dàng chièù neu tòn tal so' nguyén k cho £ moi ideal cua if dèu co dò cao bang k 3-3-6 Mènh de Cho M la mot vài da mpi fi £ Spee(grR)^ R-modun tap dac vói V(M) trdng dàng chiéu V(% (M)) cua modun Chung fi chléu minh: q, £ V(8 J(M) B (M) S n dang d^o Co' t h è \ x e m r n g g (M)) 11 (do (3.3.4 ii)) f M ) 7^ ( ^' V(S ( M ) ) r^ ) il nv o i q £ V Ì M ) Khi ht.q, = 'ht.q § 3-4 Phep vi m6 dia phiiong hoa, tinh A-G, ti'nh thu^n Lay = tùy tinh holonom 3.4-0 Trong phàVi này, già thiét R mòt vành loe, Artin-Rees grR la vành Auslander-Gorenstein.Kèt eùa phàn su bào tồn cua tinh A-G éa vành vdi qua loc ed ban ti'nh A-R FR cua loc qua phep vi mị dia phudng hồ, qua dị ta chung mimh duoc su bào toàn tinh thuàn ti'nh holonom éa càc modun qua phép dia phuong hồ N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai 65 3.4-1 ^inh cua vành li- dia Vói moi ideal % (R) Il phuong nguyén A-R to'ji gr^ £ Spec(grR), (R) loc vành 1% (R) A-G giao 11 hoan 3-4.1.0 tihan xét Do (3.4.1), ta co khài niem modun thuàn tùy modun holonom trèn mo± vanh % ( R) fi £ Specd^rRì Climig chung minh f)inh minh li'3.4.1: Su kien Ice FS [ES S6b, Prop 15, Prop 1.8] -De minh gr§ (M) vành A-G, ta su -fi ( R ) artin- rees dà duoc , dung (3.3.3) Dàt ' S= chùng 0(5 ), ^ R=gr(R),khi S mot tàp do'ng nhàn tinh R va ta chung minh vành dia phuong hoà S R la A~G Trudc tièn ta chu y ràng R ) => dim(R) -•: cc: nèn theo (.1.5.4)ta chi càn chùng minh - 1_ in.i.dim S R < O) nhung dièu suy tù hàt dàng thiic inj.dim dim ( S '— ^ ^ • _ '^~ S R Cin.i dim R, voi moi tàp dòng nhan tinh S '- Rsao cho S R /O ^ 3-4-2 He qua, f cua D'inh li'3.4-lì Vdi mot vành A-G co' chieu •- ht mpi fi £ Spec(grR) % (R) la fi Chùng minh: Do (2.3.2), % (R) vành A-G, ta ed inj.dim g (R) ^: fi nf , Nhàn xe't 3.3.6 f C ht.n • S (R) S 'R) 3.4-3 Tden he giùa ù Ì R R , ^ìàt ù - inn.dim R Nhàc lai f - sup { Y\tq.\q ng.to,dòi hdp e grR } nèu ù = f •R R-modun thc lóp thi hai khài niem R modun holonom va 'R Bernstein ràng no'i chung ta eó \i ^> X R S(R) trùng Cung nhàc lai vdi già thiet grR la mot (fi-dai s^ R 3.4.3.1 BỊdé^ GiA thièt gr« mỊt (Q-dai S Ò ' N S U fon tai mot -modun mot modun ^ M £ ldp Bernstein thi |i = T R R lonohom Chùng htJ(M) minh:ì^ < ^ , ^o ^ vfM)?^ t u d o j^ = )i M Lày fi £ V(M) t a e o va nhù v a y j(M) f = ht.fì R = - U t u e M holonom N VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmai R 3.4.4 Uènh ^ holonom chat Già Khi ù do', ~ T thiét grR m>^t (Q-dai fi €V(M) vài mpi ^'^ modun dia vành phuong sfj^\'à dia P^O phuong g (li) màt % (R) mot modun co" % tinh (R)-modun holonom Chùng minh:gr'$ (R) la mot Q-dai so va theo (3.3.5) § (M) la mot fi- •a (R) modun khac va thuoc lop Berstein Ap dung (3.4.4)ta co dièu phai chung minh n Sau day ta sé thày phép vi mo dia phuong ho'a bào toàn tinh thuàn tùy tren ldp càe modun thoà main dièù kién (2.4.6.0) d Trong ménh de M thuàn (R)~modun S sau ta khòng càn dèn già thièt Q-dai s5 cua grR 3.4-5 -Dinh li' Cho modun thiét chuong tùy Khi thuan M t.ho'a man diéu vói kien (2.4.6.0) mpi fi £ Spee(grRJ % (M) già mot fi Chùng minh -Theo (2.4.6),V(M) dàng chieu va M thoa man dièu kièn Ass-cue tiéu ( -Dinh nghia 2.4.5ì.Do (3.3.6),V(S(M)) Ta mn chùng minh % (Mi thoa man dàng chièù dièu kien Ass - cùc tieu •Jl , ^ Goi F loc tòt trèn M cho Ass gr M khong co pnan tù nhung theo dinh nghi'a eùa dièu kien Ass- cùc tieu^Vdi loc tòt LF tren -1 ( M ) , dòng nhàt cele modun grS (Mi vói 0(S) grM (qua dàng cau f fi ~ $ e ù a ^ i n h ly^ , B a t R = " g r R , S :=~U( S^ ) , M* = g r ^ M , t a co' M ' ,1 '_ ._ 11 gr§ ( R ) = S R v g r S (Mi = S M G o i sp l a d o n g c u c h i n h t c : fi 11 _ (p _-i : R -> S * va Cp _ F: , _ _.f_ ành xa Spee (S R) + > Spee (R) e cho boi (p f ( ^ )=