chuyen de tiep tuyen cat tuyen on thi vao lop 10

CHÙM BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN Những tính chất cần nhớ: 1) Nếu hai đường thẳng chứa dây AB,CD,KCD đường tròn cắt M MA.MB = MC.MD 2) Đảo lại hai đường thẳng AB,CD cắt M MA.MB = MC.MD bốn điểm A ,B,C,D thuộc đường trịn 3) Nếu MC tiếp tuyến MAB cát tuyến MC = MA.MB = MO − R THCS.TOANMATH.com 4) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD,H , trung điểm CD năm điểm K ,A ,H ,O,B nằm đường tròn 5) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD AC BC = AD BD AC KC · · = ADK ⇒ ∆KAC#∆KAD ⇔ = Ta có: KAC AD THCS.TOANMATH.com KA Tương tự ta có: BC KC = mà KA = KB nên suy BD KB AC BC = AD BD Chú ý: Những tứ giác quen thuộc A CBD ta ln có: AC BC CA DA = = AD BD CB DB NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Bài 1: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh a) KIOD tứ giác nội tiếp b) KO phân giác góc IKD Giải: a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến THCS.TOANMATH.com Ta có: AIBD tứ giác nội tiếp A B ∩ ID = M nên ta có: MA.MB = MI.MD Mặt khác KA OB tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MK Từ suy MO.MK = MI.M D hay KIOD tứ giác nội tiếp a) Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác KIOD Ta có · · IO = OD = R ⇒ OKI = OKD suy KO phân giác góc IKD Bài 2: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Chứng minh a) CMOD tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng AB chứa phân giác góc CM D Giải: a) Vì KB tiếp tuyến nên ta có: KB2 = KC.KD = KO − R Mặt khác tam giác KOB vuông B BM ⊥ KO nên KB2 = KM.KO suy KC.KD = KM.KO hay CMOD tứ giác nội tiếp THCS.TOANMATH.com · · · · = ODC,OMD = OCD b) CMOD tứ giác nội tiếp nên KMC · · · · Mặt khác ta có: ODC = OCD ⇒ KMC = OMD Trường hợp 1: Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ KO (h1) · · Hai góc AMC,AMD có góc phụ với tương ứng · · · · · · mà KMC nên AMC hay MA tia phân KMC,ODC = ODC = AMD · giác góc CMD Trường hợp 2: Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B bờ KO (h2) · tương tự ta có M B tia phân giác góc CMD · Suy Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Bài Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H Chứng minh BF / /CD Giải: THCS.TOANMATH.com · · FB Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK =A 1· · = AOB Ta có AFB ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ) · Mặt khác KO phân giác góc AOB nên 1· · · · · AOK = BOK = AOB ⇒ AFB = AOK Vì A ,K ,B,O,H nằm đường trịn đường kính KO nên · · · · AHK = AOK ⇒ AFB = AHK ⇔ BF / /CD Bài Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI ⊥ OB Giải: · · · · Ta có HI / /BD ⇒ CHI Mặt khác CAB chắn cung = CDB = CDB · · CB nên suy CHI hay AHIC tứ giác nội tiếp Do = CAB THCS.TOANMATH.com · · · · Mặt khác ta có A ,K ,B,O,H nằm IAH = ICH ⇔ BAH = ICH · H = BKH · đường trịn đường kính KO nên BA · · Từ suy ICH = BKH ⇒ CI / /KB Mà KB ⊥ OB ⇒ CI ⊥ OB Nhận xét: Mấu chốt toán nằm vấn đề OB ⊥ KB Thay chứng minh CI ⊥ OB ta chứng minh CI / /KB Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC / /AI Giải: · · Ta cần chứng minh: AIK = KBC THCS.TOANMATH.com » · · = CAB = sđ CB Mặt khác ta có: KBC nên ta chứng minh · · hay ⇔ ∆BID : ∆BCA Thật theo tính chất ta có: AIK = CAB CB DB CB DB = = mà DA = DI ⇒ CA DA CA DI · · · · Tứ giác A CBD nội tiếp nên BCA = BDI ⇒ ∆BID : ∆BCA ⇒ AIK = CAB · · Hay AIK = KBC ⇒ BC / /A I Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây CF qua M Chứng minh DF / /AB Giải: Kẻ OH ⊥ CD Ta chứng minh được: CMOD tứ giác nội tiếp (bài tốn 2) ¶ =D ¶ mà M ¶ +M · = 900;D ¶ + DOH · · = DOH · = 900 ⇒ M nên M Mặt 1 2 THCS.TOANMATH.com 1· 1· · · · · = COD,DOH = COD ⇒ CFD = DOH khác ta có: CFD Từ suy 2 · = CFD · M ⇔ DF / /AB Chú ý: DF / /AB ⇒ ABFD hình thang cân có hai đáy · · AB,DF ⇒ OMD = OMF Bài 7: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh a) CMOE tứ giác nội tiếp b) CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: a) Theo tốn 2, ta có CMOD · · · tứ giác nội tiếp nên CMK = ODC = OCD Do góc phụ với chúng · · nhau: CME = COE Suy CMOE tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) c) Cũng theo toán 2, CMOD nội tiếp Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M ,O,D thuộc đường trịn Từ dễ chứng minh CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 8) Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Vẽ đường kính AI Các dây IC,ID cắt KO theo thứ tự G,N Chứng minh THCS.TOANMATH.com OG = ON Giải: Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp khác chứng minh tương tự Để chứng minh OG = ON , ta chứng minh ∆IOG = ∆AON · · · · Ta có OI = OA ,IOG , cần chứng minh CIA , muốn = AON = IAN · · phải có AN / /CI Ta chứng minh AND Chú ý đến = CID · AI đường kính, ta có ADI = 900 , ta kẻ AM ⊥ OK Ta có · · A MND tứ giác nội tiếp, suy AND (1) = AMD Sử dụng 2, ta có CMOD tứ giác nội tiếp 1· 1· · AMD = CMD = COD 2 1· · = COD (2) Từ (1) (2) suy AND Ta 1· 1· · · = COD = CID lại có CID nên AND 2 HS tự giải tiếp Bài Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp THCS.TOANMATH.com tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M trung điểm · · AB Chứng minh ADC = MDB Giải: Kẻ OH ⊥ CD , cắt AB E Theo , EC tiếp tuyến đường tròn ( O ) , nên theo toán quen thuộc 3, ta có ECMD tứ giác nội tiếp, suy · · (2) EBD = ECD · · Từ (1) (2) suy CBD = EMD · · Do hai góc bù với chúng nhau: CAD = BMD ⇒ · · ∆CA D : ∆BMD (g.g) nên ADC = MDB THCS.TOANMATH.com THCS.TOANMATH.com ... minh THCS.TOANMATH.com OG = ON Giải: Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp khác chứng minh tương tự Để chứng minh OG = ON , ta chứng minh ∆IOG = ∆AON · · · · Ta có OI = OA... trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI ⊥ OB Giải: · · · · Ta có HI / /BD ⇒ CHI Mặt khác CAB chắn... CMOD nội tiếp Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M ,O,D thuộc đường tròn Từ dễ chứng minh CE ,DE tiếp tuyến đường trịn (O) Bài 8) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát