gia tri lon nhat nho nhat on thi hsg dai so 8

Giaovienvietnam.com DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A Bài tốn Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − 3x − 1) + 2017 2 Bài 2: a) Tìm GTLN : x + y + xy − x − y + 2015 ( x + 1) b) Tìm GTLN : x + x + x + Bài 3: Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ ( GTNN ) biểu thức A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) Bài 4: Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P = ( a + b + c)  + + ÷ a b c Cho số thực x thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài 5: x2 − x2 P= + − x2 + x2 nhỏ biểu thức Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) 2015 A= , x −3 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức với x số nguyên Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 14 x − x + B= 3x + x + a) A = x + + x + − x + b) A = ( x + 3x + ) 2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 Tìm giá trị nhỏ của: ( x ) ( Bài 10: Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 13 x + y + xy − y − 16 x + 2015 Bài 12: Tìm giá trị nhỏ lớn Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài 14: Tìm giá trị nhỏ E = x − x + Bài 15: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: Bài 16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Trang B= ( x + 1) x + x2 + x + A = x + y + xy − x − y + 18 Giaovienvietnam.com Bài 17: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = x2 + 4x + Bài 18: Tìm giá trị nhỏ B = x + y + xy − x + 2028 M= x4 + x2 − x2 + + − x6 + x4 − x2 + x4 + x2 + Bài 19: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Bài 20: Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ 24 + x y Bài 21: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 H = x2 + y + 2 Bài 22: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010  x +1 x2 + x − x2  P= : + + ÷ x − 2x +  x x −1 x  Bài 23: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x > Bài 24: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 25: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2010x + 2680 x2 + ( ) A = ( x − 1) ( 2x − 1) 2x2 − 3x − + 2017 Bài 26: Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : A= x2 + x + x2 − x + Bài 27: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 2xy + 2y − 4y + 3( x + 1) B= x + x + x+ b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: Bài 28: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 A= 2010x + 2680 x2 + Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: 4 2 A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) ( x − ) x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Bài 31 Cho 1 P= + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 32 Tìm giá trị nhỏ : A = x − xy + y − 12 x + y + 45 Trang Giaovienvietnam.com 3x + x + 10 B= x + 2x + Bài 33.Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 34 Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 3x2 − x + C= x2 + Bài 35 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 36 Cho a + b = Tính giá trị nhỏ biểu thức a + b x2 − 8x + P= x2 + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: Bài 37 Bài 38 Tìm giá trị lớn biểu thức C = − x + x Bài 39 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 P= + + x +x y +y z +z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 40: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = M= 1 + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 Bài 41: Cho a > 0;b > 0và a + b = 10 Tìm giá trị nhỏ Q= 1 + a2 b2 Bài 42: Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) A = ( x − 2) ( x − 5) x2 − 7x − 10 Bài 43: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2x + 3x + 2x + 2 Bài 44: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: S= a b + a+ b+ Bài 45: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + 16x 4y z P = ( x − 2012) + ( x + 2013) Bài 46: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 47: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − 2) ( y + 6) + 12x2 − 24x + 3y2 + 18y + 2045 M= x4 + x2 − x2 + + − x6 + x4 − x2 + x4 + 4x2 + Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Bài 48: Trang Giaovienvietnam.com Bài 49: Cho x,y > thỏa mãn x + 2y ≥ Tìm giá trị nhỏ 24 H = x2 + 2y2 + + x y Tìm giá trị nhỏ Bài 50: Bài 51: Cho P = a +b +c 2 a, b, c ∈ [ 0;1] P = x2 + y2 − 4( x + y ) − 2010 a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức 2 Bài 52: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + ( x + 1) x + x2 + x + Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2010 x + 2680 A= x2 + Bài 53: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 54: Tìm giá trị x để biểu thức: B= P = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 55: Tìm giá trị nhỏ P = x + y − ( x + y ) − 2010 Bài 56: Tìm giá trị nhỏ E = x – x + Bài 57: Tìm giá trị nhỏ M = 4x2 + 4x + 2 x2 + x + A= x2 + Bài 58: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Bài 59: Tìm giá trị biến x để: a) P= Q= x2 + 2x + đạt giá trị lớn b) A= x−4 (2− x−4) x2 + x + x2 + 2x + đạt giá trị nhỏ Bài 60: : a) Tìm GTLN b) Tìm GTNN biểu thức Bài 61: Tìm GTNN của: 16 + 2007, x > x −3 a) ; x + 2000 C= ,x > x c) A= x+ b) B= B= 9x + − x x , với < x < x − x + 2018 ,x ≠ 2018 x ; Bài 62: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3x + y ; b Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy a Bài 63: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Q= + x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 b) Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y 3 Bài 64: a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 Trang Giaovienvietnam.com Bài 65: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = 2 B = x4 + ( − x ) b) Tìm GTNN c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) D ( x) = x ( x + 2019 ) với x > d) Tìm GTLN Q = ( x − 3) − x − + Bài 66: Tìm giá trị nhỏ giá trị x tương ứng Bài 67: Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ H = x2 + y2 + 24 + x y GTLN 2 Bài 68: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: S= a b + a +1 b +1 2 Bài 69: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = M= a3 b3 + 2016a + 2017b 2017a + 2016b Tìm giá trị nhỏ 4 Bài 70: Cho x, y, z số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ của: x + y + z biết x + y + z = P = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 71: Tìm giá trị x để biểu thức: có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 72: Tìm giá trị nhỏ biểu thức L = x − x + x − 12 x + 20 Bài 73: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 74: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2010 x + 2680 x2 + B = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 Bài 75: Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 76: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Bài 77: Tìm giá trị biến x để: P= a) A= x2 + 2x + đạt giá trị lớn Bài 78: a) Tìm GTLN b) P= x y z + + y+z z+ x x+ y x2 + x + x2 + Q= x2 + x + x2 + 2x + A= x−4 (2− x−4) b) Tìm GTNN biểu thức Bài 79: Tìm GTNN của: B= Trang 9x + − x x , với < x < đạt giá trị nhỏ Giaovienvietnam.com 16 + 2007, x > x − a) ; x + 2000 C= ,x >0 x A= x+ b) B= x − x + 2018 ,x ≠ 2018 x ; c) Bài 80: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y ; b) Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Bài 81: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Q= + x y biểu thức 2 b) Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y 2 Bài 82: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = b) Tìm GTNN B = x4 + ( − x ) c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) x D ( x) = ( ) với x > d) Tìm GTLN 3 Bài 83: : a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 x + 2019 Q = ( x − 3) − x − + Bài 84: Tìm giá trị nhỏ tương ứng giá trị x Q= 1 + 2 a b Bài 85: Cho a > 0; b > a + b = 10 Tìm giá trị nhỏ Bài 86: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 87: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b2 = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: Bài 88: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 89: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 A= 2010 x + 2680 x2 + Bài 90: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 91: a Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x, y, z ≥ 4x + b Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = x + Bài 92: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 93: Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − x − x2 − − P= 2012 x + y − 20( x + y ) + 2213 2 Bài 94: Cho số a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2 + c2 Trang Bài 95: Cho hai số dương Q = (1 − x, y có Giaovienvietnam.com tổng Tìm giá trị nhỏ biểu 1 )(1 − ) + xy x y thức: Bài 96: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − xy , x, y 2013 2013 1006 1006 số thực thoả mãn điều kiện: x + y = x y Bài 97: a) Cho thoả mãn a1 , a2 , , a2 m , m ∈ N * Tìm GTNN biểu thức b) Cho a1 < a2 < < a2 m A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m−1 + x − a2 m a1 , a2 , , a2 m−1 , m ∈ N , m ≥ Tìm GTNN biểu thức thoả mãn a1 < a2 < < a2 m −1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −2 + x − a2m −1 Bài 98: 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + Bài 99: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K= − 4x 2x2 + Bài 100: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= Bài 101: Cho số thực dương x,y,z P= Bài 102: Cho hai số (x −y ) x,y 1 + + 16x 4y z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + y + z = x+ y + z = 1 + + x +x y +y z +z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + 4x y + x − 2y = 2 biểu thức 2 A = x2 + y2 P = x + y − ( x + y ) − 2010 Bài 103: Tìm giá trị nhỏ Bài 104: Cho x, y , z số dương thỏa mãn x + y + z = 1 1 P= + + 16 x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1 + + = a, b, c số dương thỏa mãn: + a + b + c : Cho Tìm giá trị Bài 105 lớn biểu thức Q = abc Trang Giaovienvietnam.com 6a − 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a + 25b : Cho Bài 106 M = x + y − xy − x + y + : Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 107 Bài 108: Cho a, b > a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  1  1 M = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Bài 109: 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + ( x + 1) x3 + x + x + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + xy + x − y + 2013 B= Bài 110: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − ) ( x − 5) ( x − x − 10 ) B HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − 3x − 1) + 2017 Lời giải a) A = ( x − 1) ( x − 1) ( x − 3x − 1) + 2017 = ( x − 3x + 1) ( x − 3x − 1) + 2017 = ( x − 3x ) − + 2017 = ( x − 3x ) + 2016 ≥ 2016 2 Trang Giaovienvietnam.com x = ⇔ x − x = ⇔ x ( x − 3) = ⇔  x =  Dấu " = " xảy x = Amin = 2016 ⇔  x =  Vậy 2 Bài 2: a) Tìm GTLN : x + y + xy − x − y + 2015 ( x + 1) b) Tìm GTLN : x + x + x + Lời giải a) P= x + y + xy − x − y + 2015 2 Bài P = x + y + xy − x − y + 2015 2 P = ( x + xy + y ) − ( x + y ) + + y − y + + 2010 = ( x + y ) − 4( x + y ) + + ( y − 1) + 2010 2 = ( x + y − ) + ( y − 1) + 2010 ≥ 2010 MinP = 2010 ⇔ x = ; y = 2 Suy ( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) = = = 2 Q= x + x + x + x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x + b) 2 Q đạt GTLN ⇔ x + đạt GTNN mà x + ≥ ⇒ GTLN C ⇔ x = 2 Bài 3: Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ ( GTNN ) biểu thức A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) Lời giải Do: 1 + x, b = + y 2 với x + y = A = a ( a + 2b ) + b ( b − a ) = a + b + ab = a + b a + b =1⇒ a = Ta có: 2 1  1  =  + x ÷ +  + y ÷ = + x2 + y2 ≥ 2  2  1 ⇒ GTNN ( A ) = ⇔ x = y = ⇔ a = b = 2 Bài 4: Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P = ( a + b + c)  + + ÷ a b c Trang Giaovienvietnam.com Lời giải a a b b c c a b a c  b c P = + + + + + + + + = +  + ÷+  + ÷ +  + ÷ b c a c a b b a c a c b ⇒ P ≥3+ 2+ 2+ =9 Vậy Pmin = ⇔ a = b = c Cho số thực x thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị Bài 5: x2 − x2 P= + − x2 + x2 nhỏ biểu thức Lời giải Đặt x = a,0 ≤ a ≤ Biểu thức cho trở thành: a 1− a a 1− a 2 + = +1+ +1− = + −2 − a 1+ a − a 1+ a − a 1+ a     3 = 2 − 1÷ =  − 1  ( − a) (1+ a)   + a(1− a)  3  ⇒ P ≤  − 1÷ = 2  *) Vì ≤ a ≤ P= a = x = ⇔ a = x =1   Đẳng thức xảy x = MinP = ⇔  x = Vậy *) ≤ a ≤ nên a − a hai số không âm Áp dụng BĐT Cô si ta có:   ( a + − a ) = ⇒ P ≤  − 1÷ = a( 1− a) ≤  ÷ 4 2+ ÷   1 x2 = ⇔ x = a =1− a ⇔ a = 2 hay Đẳng thức xảy Vậy MaxP = ⇔x= Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) Lời giải Ta có: Trang 10 Giaovienvietnam.com 2 1 1 1 1     = − 2ì ì + = ữ 2ì ì + ÷ − ÷ + 2018 2018 x x  x  x 2018  2018   2018  2018  2017 2017 1 = − ≥ ÷ + 20182  x 2018  2018 1 ⇔ − = ⇔ x = 2018 x 2018 Dấu “=” ( thỏa x ≠ ) 2017 GTNN ( B ) = 20182 ⇔ x = 2018 Suy x + 2000 C= ,x > x c) 2000 1000 1000 1000 1000 = x2 + = x2 + + ≥ 3 x2 × × = 3.100 = 300 x x x x x 1000 ⇔ x2 = ⇔ x = 10 x Dấu “=” ( thỏa x > ) Suy GTNN ( C ) = 300 ⇔ x = 10 Bài 80: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y ; b) Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Lời giải 2 c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Từ x + y = ⇔ y = −3x + , M = 3x + y = x + ( −3x + 1) = 3x + x − x + Khi đó, 1 1    = 12 x − x + = 12  x − x + ÷ = 12  x − 2.x + + ÷ 12  16 48    1 1  = 12  x − ÷ + ≥ 4 4  1 ⇔ x= ; y= 4 Dấu “=” 1 GTNN ( M ) = ⇔ x = ; y = 4 Suy d Tìm giá trị lớn biểu thức N = xy Từ x + y = ⇔ y = −3x + ,   N = xy = x ( −3x + 1) = −3 x + x = −3  x − x ÷   Khi đó, 1  1 1   = −3  x − 2.x + − ÷ = −3  x − ÷ + ≤ 36 36   12 12   1 ⇔ x− =0⇔ x= 6 Dấu « = » 1 GTLN ( N ) = ⇔ x = 12 Suy Trang 38 Giaovienvietnam.com Bài 81: a) Cho x, y số dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Q= + x y biểu thức e 2 Tìm GTLN A = − x − y + xy + x + y Lời giải a) Ta có : Q=  8  3 + =  + x ÷+  + y ÷− x y x  y  ≥2 x + y − = 2.4 + 2.3 − = x y 2 x + y = 8  = 2x x = x ⇔ ⇔ y =1  = 3y y   x, y > Dấu “=” Suy GTNN(Q) = ⇔ x = 2, y = 2 b) Ta có: A = − x − y + xy + x + y ⇒ A = − ( x − xy + y ) − ( x − x + 1) − ( y − y + 1) + 2 2 = − ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1)  + ≤   ⇒ A ≤1 Dấu “=” ⇔ x = y = Suy GTLN(A) = ⇔ x = y = 2 Bài 82: a) Tìm GTNN A = x + y biết x + y = b) Tìm GTNN B = x4 + ( − x ) c) Tìm GTNN C = ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) ( x + ) D ( x) = d) Tìm GTLN x ( x + 2019 ) với x>0 Lời giải a) * Cách : Ta có: x + y = ⇔ x + xy + y = 16 (1) 2 Ta lại có: ( x − y ) ≥ ⇔ x - xy + y ≥ (2) 2 2 Từ (1) (2) suy x + y ≥ 16 ⇔ x + y ≥ 2 Vậy giá trị nhỏ A = x + y = ⇔ x = y = * Cách 2: Ta có : x + y = ⇔ y = − x A = x + y = x + ( − x ) = = x − x + 16 = = ( x − ) + ≥ Suy x − = x = ⇔ ⇔ Dấu “=”  y = − x  y = GTNN ( A ) = ⇔ x = y = Vậy, Trang 39 b) Ta có : B = x + ( − x ) = = ( x − x + 1) + ( x − x + 1) + 4 Giaovienvietnam.com = ( x − 1) + ( x − 1) + ≥ 2  x2 −1 = ⇔ ⇔ x =1 x −1 =  Dấu “=” Suy GTNN (B ) = ⇔ x = c) Ta có: C = ( x − 1) ( x − ) ( x + ) ( x + ) = = ( x + x − ) ( x + x − 21) Đặt t = x + x − 13 ( ý : Khi đó, −13 = ( −5) + ( −21) ) C = ( t + ) ( t − ) = t − 64 ≥ −64  x = −2 + 17 ⇔ t = ⇔ x + x − 13 = ⇔ ⇔ ( x + ) = 17 ⇔ ⇔   x = −2 − 17 Dấu “=” x D ( x) = x + 2019 ) ( x d) Tìm giá trị để biểu thức sau đạt GTLN: với x > *Cách 1: Đặt a = 2019 Khi D ( x) = x ( x + a) ( x + a) = − ( x + a ) + 4ax 4a ( x + a ) ( x + a) − ( x − a) = 4a ( x + a ) 2 ( x − a) ≤ 1 = − 4a 4a ( x + a ) 4a ( Vì a > 0, x > ) Dấu “=” ⇔ x − a = ⇔ x = a 1 = ⇔ x = a = 2019 4a 4.2019 Suy a = 2019 > *Cách 2: Đặt 1 2 ≤ ( x − a ) ≥ ⇔ ( x + a ) ≥ 4ax ⇔ ( x + a ) 4ax GTLN ( D ( x ) ) = Ta có: D ( x) = x ≤ x = 4ax 4a ( ) Suy Dấu “=” ⇔ x − a = ⇔ x = a x+a GTLN ( D ( x ) ) = ( Vì a > 0, x > nên 4ax > ) ( Vì a > 0, x > ) 1 = ⇔ x = a = 2019 4a 4.2019 Suy 3 Bài 83: : a) Cho x + y = , tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 Lời giải a) Ta có: A = x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = x − xy + y = x2 − x ( − x ) + ( − x ) 1  = 3 x2 − x + ÷ 3  1 1  = 3 x − ÷ + ≥ 2 4  Trang 40 ( Vì x + y = ) ( Vì y = − x ) Giaovienvietnam.com ⇔ x= y= Dấu “=” 1 GTNN ( A ) = ⇔ x = y = 4 Suy 2 b) Tìm GTNN B = x + y + xy − x + y + 2023 2 Ta có: B = x + y + xy − x + y + 2023 = ( x + xy + y ) + ( y + y + ) + ( x − x + 1) + 2018 = ( x + y ) + ( y + ) + ( x − 1) + 2018 ≥ 2018 Dấu “=” 2 2 x + y = x =  ⇔ y + = ⇔   y = −2 x −1 =  Suy GTNN ( B ) = 2018 ⇔ x = y = −2 Q = ( x − 3) − x − + Bài 84: Tìm giá trị nhỏ tương ứng giá trị x Lời giải Ta biết: A =A Đặt: X = x − , X ≥ Q = X − X + = ( X − 2) + ≥ Khi biểu thức (*) viết thành: Dấu “=” xảy ⇔ X = 2 x − = ⇔ 2x − = ⇔   x − = −2 2x − = ⇔ 2x = ⇔ x = *) x − = −2 ⇔ x = ⇔ x = *)  x = ⇔ x =  Vậy minP = 2 Bài 85: Cho a > 0; b > a + b = 10 Tìm giá trị nhỏ Lời giải Ta có: 1 + ≥2 a b ab 1 ≥4⇒ + ≥ = ( a + b2 )  a12 + b12 ÷ ≥ 2ab ab a b 10 MinQ = ⇔ a = b = 5 Vậy a + b ≥ 2ab; Trang 41 Q= 1 + 2 a b Giaovienvietnam.com Bài 86: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có: Vì x2 + x + = Suy : Dấu xảy Bài 87: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a + b2 = a + b Tính giá trị lớn biểu thức: Lời giải Ta có: Chứng minh với hai số dương x,y Do đó: Vậy GTLN S 1, dạt a = b = Bài 88: Cho x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Lời giải Ta có: Theo BĐT si ta có : Dấu xảy y = 2x Tương tự : Dấu xảy z = 4x Dấu xảy z = 2y Suy ra: Dấu “=” xảy Vậy: Min P = Bài 89: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Lời giải Ta có: Vậy Min P = 8100312,5 A= Bài 90: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải 2010 x + 2680 x2 + 335 ( x + 3) 2010 x + 2680 −335 x − 335 + 335 x + 2010 x + 3015 A= = = − 335 + ≥ −335 x2 + x2 + x2 + Vậy giá trị nhỏ A −335 x = −3 Bài 91: a Tìm giá trị lớn tổng x + y + z biết x + 5y = 21 2x + 3z = 51 với x, y, z ≥ 4x + b Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức B = x + Lời giải a) Cộng vế với vế đẳng thức x + 5y = 21 2x + 3z =51 ta 3(x + y + z) + 2y = 72 Trang 42 Giaovienvietnam.com Như 3(x + y + z) lớn 2y nhỏ Mặt khác y ≥ nên 2y nhỏ y = ⇒ x = 21 z = Do 3(x + y + z) lớn 72 ⇒ x + y + z lớn 24 x = 21; y = z = x + x + − x − ( x + 2) 4x + = − ≥ −1 ⇒ minB = -1 với x = -2 x2 + x +1 b) Ta có x + = Vậy giá trị nhỏ B B = -1 x = -2 Mặt khác ta lại có 4x + x2 + = x + − x + x − 4( x + 1) − (4 x − x + 1) (2 x − 1) = = 4− ≤4 2 x +1 x +1 x +1 ⇒ maxB = với x = Vậy giá trị lớn B B = x = 2 2 2 P = x − x − x2 − − Bài 92: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có P = x4 − x2 − x2 −1 − = ( x − 1) − x − − 10 49 49 = ( x2 − − )2 − ≥− 4 Đẳng thức xảy − Vậy Min P = x2 −1 − 10 =0⇔ x=± 2 49 10 x = ± P= 2012 x + y − 20( x + y ) + 2213 2 Bài 93: Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 2 Ta có x + y − 20( x + y ) + 2213 = ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 ≥ 2013 với x, y 2012 2012 ≤ ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 2013 2012 P = 2013 x = 10 y = 10 2012 Vậy Max P = 2013 x = 10 y = 10 ⇒P= Bài 94: Cho số a, b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu P = a + b2 + c2 Lời giải thức 1  a − ÷ ≥  Ta có:  với a ⇔ a2 − a + ≥ với a Trang 43 Giaovienvietnam.com ⇔ a2 + ≥ a với a (1) b2 + ≥ b Tương tự: với b (2) c2 + ≥ c với c (3) Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta : ≥ a+b+c 3 a+b+c = a2 + b2 + c2 ≥ nên: P = Vì Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P đạt a = b = c = Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu a2 + b2 + c2 + thức: Q = (1 − 1 )(1 − ) + xy x y Lời giải 1 Q = (1 − )(1 − ) + xy x y = 1− 1 x2 + y − + + xy = − + 2 + xy 2 2 2 y x x y x y x y ( x + y ) − xy 1 − xy 1− + 2 + xy = − 2 + 2 + xy = + xy + 2 x y x y x y x y xy = x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ ≥4 xy Áp dụng BĐT AM-GM ta có (*) 31 Q = + xy + = + ( xy + )+ xy 16 xy 16 xy Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp (*) ta có: Q ≥ 1+ 31 37 + ×4 = 16 ⇔x= y= 37 MinQ = x= y= Vậy Đẳng thức xảy Bài 96: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − xy , x, y 2013 2013 1006 1006 số thực thoả mãn điều kiện: x + y = x y Lời giải Tìm giá trị nhỏ biểu thức số thực thoả mãn điều kiện: P = − xy , x, y x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 Trang 44 Ta có: x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 ⇒ ( x 2013 + y 2013 ) = x 2012 y 2012 Mặt khác: (x 2013 +y (3) ) 2013 ≥ 4x Từ (2) (3) suy ra: Hay : 2013 y 2013 x 2012 y 2012 ≥ x 2013 y 2013 Do x 2012 y 2012 (1 − xy ) ≥ Đẳng thức xảy khi: Từ (1) (4) ta có: Giaovienvietnam.com (2) P = − xy ≥ xy = ⇔ x 2013 y 2013 = =1 x =  x y ⇔  2013 2013 =2 y =1  x + y 2013 2013 (4) Vậy Min (P) = x = y =1 Bài 97: a) Cho a1 , a2 , , a2 m , m ∈ N * Tìm GTNN biểu thức b) Cho a1 < a2 < < a2 m A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m−1 + x − a2 m a1 , a2 , , a2 m−1 , m ∈ N , m ≥ Tìm GTNN biểu thức a) Ta có: thoả mãn thoả mãn a1 < a2 < < a2 m −1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −2 + x − a2m −1 Lời giải A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −1 + x − a2 m = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am + − x + + a2m − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am ) + ( am +1 − x ) + ( am +2 − x ) + + ( a2 m − x ) = ( am +1 + am +2 + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) Dấu “=” Vậy, ⇔ am ≤ x ≤ am+1 GTNN ( A ) = ( am +1 + am+ + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) b) Ta có: Dấu “=” ⇔ am ≤ x ≤ am+1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −2 + x − a2 m −1 = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am + − x + + a2 m −1 − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am −1 ) + + ( am +1 − x ) + ( am +2 − x ) + + ( a2 m −1 − x ) = ( am +1 + am + + + a2 m−1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) Dấu “=” ⇔ x = am Trang 45 Vậy, GTNN ( B ) = ( am +1 + am+ + + a2 m −1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) Giaovienvietnam.com Dấu “=” ⇔ x = am 2 Bài 98: Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + Lời giải 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ (1) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = m + n + mn + (2) Từ (2) ta có: 2Q = ( m + n ) + 2mn + Do đó: 2Q + m + n = m + n + 2m + 2n + 2mn + 2 = m + n +1 +1 ≥ ( Suy ra: 2Q ≥ − ( m + n Dấu “=” xảy ) (do (1)) ) ≥ −4 ⇒ Q ≥ −2  m = −2  m + n = n = ⇔ ⇔  m = m + n + =   n = −2 Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 Bài 99: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Lời giải Ta có: K= − 4x 2x2 + 2 − x x − x + − x − ( x − ) − ( x + 1) ( x − ) −1 K= = = = − ≥ 2 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 Dấu “=” Suy ⇔ x−2=0⇔ x = GTNN ( K ) = Ta có: −1 ⇔x=2 2 − x x + − x − x − ( x + ) − ( x + x + 1) K= = = 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) = ( x + 1) − ( x + 1) 2 ( x + 1) Dấu “=” ⇔ 2x +1 = ⇔ x = ( x + 1) = 2− 2 ( x + 1) −1 Trang 46 ≤2 Giaovienvietnam.com Suy GTLN ( K ) = ⇔ x = Bài 100: Cho x,y,z −1 số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= Vì x+ y + z = = Ta có: Lời giải nên: M= 1  1 1 + + = + + ÷( x + y + z ) 16x 4y z  16x 4y z  y  x z  y z  21  x + + + + + ÷+ ÷ 16  4y 16x   z 16x ÷   z 4y  y 16x2 + 4y2 ( 4x − 2y ) + 2.4x.2y ( 4x − 2y ) x 1 + = = = + ≥ ( ∀x,y > 0) 4y 16x 64xy 64xy 64xy 4 Tương tự: Từ 1 + + 16x 4y z x z y z + ≥ ; + ≥ 1( ∀x,y > 0) z 16x z 4y 21 1 49 M ≥ + + + 1= 16 16 Vậy GTNN M Dấu "= " xảy  x = 4x = 2y = z    ⇔ x + y + z = 1⇒  y = x,y,z >    x =  49 ⇔ x = ;y = ;z = 16 7 Bài 101: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x+ y + z = 1 + + x +x y +y z +z Lời giải a) P= = 1 1 1 + + = + + x + x y + y z + z x ( x + 1) y ( y + 1) z ( z + 1)  1 1  1 1 1 1  − + − + − =  + + ÷−  + + ÷ x x + y y + z z +  x y z   x + y + z + 1 Trang 47 Áp dụng BĐT xảy Ta có: 1 + + ≥ a b c a+ b+ c Giaovienvietnam.com với dương, dấu 1  1 ≤  + ÷ a+ b  a b  a,b,c ⇔ a= b= c 1 1  1 1  1 1  ≤  + 1÷; ≤  + 1÷; ≤  + 1÷ x+1  x  y +  y  z +1  z  Bởi :  1 1  1   1 1  1  P =  + + ÷−  + + ÷ ≥  + + ÷−  + 1+ + 1+ + 1÷ y z   x y z   x + y + z + 1  x y z   x  1 1 3 9 3 =  + + ÷− ≥ − = − =  x y z  4 x+ y + z 4 Vậy ⇔ x= y= z=1 MinP = Bài 102: Cho hai số (x −y ) 2 − y2 ( ⇔(x ) thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ + 4x y + x − 2y = 2 biểu thức (x x,y A = x2 + y2 Lời giải + 4x2y2 + x2 − 2y2 = ⇔ x4 + y4 − 2x2y2 + 4x2y2 + x2 − 2y2 = ) ( ⇔ x4 + 2x2y2 + y4 + x2 − 2y2 = ⇔ x2 + y2 ) ) ( ) − x2 + y2 + = −3x2 + + y2 − = −3x2 + Ta có: ( ) −3x2 + 1≤ 1∀x ⇒ x2 + y2 − ≤ ⇔ −1≤ x2 + y2 − 1≤ 1⇔ ≤ A ≤  x = A = 0⇔  ⇔ x = y =  x + y = x = x = A = 2⇔  ⇔ 2 x + y =  y = Vậy Vậy Bài 103: Tìm giá trị nhỏ x = maxA = ⇔   y = P = x + y − ( x + y ) − 2010 Lời gải P = x + y − ( x + y ) − 2010 minA = ⇔ x = y = = ( x − x + ) + ( y − y + ) − 2018 = ( x − ) + ( y − ) − 2018 ≥ −2018 2 Trang 48 Giaovienvietnam.com Vậy Pmin = −2018 ⇔ x = y = Bài 104: Cho x, y , z số dương thỏa mãn x + y + z = Lời gải  1 1 1  y x   z x  z + + = ( x + y + z)  + + ÷=  + ÷+  + ÷+  + 16 x y z  16 x y z   16 x y   16 x z   y y x + ≥ ⇔ y = 2x 16 x y Theo BĐT si ta có: P= y  21 ÷+ z  16 z x z y + ≥ ⇔ z = x; + ≥1⇔ z = 2y 4y z Tương tự 16 x z 49 ⇒P≥ x = ; y = ;z = 16 Dấu xảy 7 1 + + = a, b, c số dương thỏa mãn: + a + b + c : Cho Tìm giá trị Bài 105 lớn biểu thức Q = abc Lời gải Ta có: 1 b c =1− +1− = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c Tương tự: ≥2 1+ b ac ; ≥2 ( 1+ a) ( 1+ c) 1+ c ≥8 ( + a) ( + b) ( + c ) bc ( 1+ b) ( 1+ c) ab ( 1+ a) ( 1+ b) a 2b c (1 + a) ( 1+ b) (1 + c) abc ≥8 ( + a) ( + b) ( + c ) ( + a ) ( + b) ( + c ) a = b = c  ⇔ ⇔ a =b=c = 1 1 + a = + b = + c = " = " Dấu xảy 2 Bài 106: Cho 6a − 5b = Tìm giá trị nhỏ 4a + 25b Lời gải Đặt x = 2a, y = −5b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Trang 49 Giaovienvietnam.com 1 4a + 25b ≥ ( 3x + y ) ≤ ( x + y ) ( + 1) ⇒ x + y ≥ 10 hay 10 Dấu xảy  b=−   50 ⇔ = ⇔ y = x ⇔ −15b = 2a ⇔ 6a = −45b ⇔  x y a =  20 2 Bài 107: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y − xy − x + y + Lời giải 2 4M = x + y − xy − x + y + = ( x − y − 1) + y + y + 2 1  = ( x − y − 1) +  y + y + ÷ + 9  1  = ( x − y − 1) +  y + ÷ + 3   y=−   ⇔ x =  Giá trị nhỏ 4M  x =  ⇔  y = −1  Nên giá trị nhỏ M Bài 108: Cho a, b > a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2  1  1 M = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Lời giải 2  a+b  a+b M = 1 + ÷ + 1 + ÷ (Vi a   b   a + b = 1) b  a  M = 2 + ÷ + 2 + ÷ a  b  4b b 4a a M =4+ + +4+ + a a b b2  b2 a  a b M = +  + ÷+  + ÷≥ + + 4.2 = 18(Co − si ) b  b a a ⇔ a = b & a + b =1⇔ a = b = Dấu " = " xảy Trang 50 Giaovienvietnam.com MinM = 18 ⇔ a = b = Vậy Bài 109: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − xy + y − y + b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B= ( x + 1) x + x2 + x + 2 A = x + y + xy + x − y + 2013 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải a) Ta có: A = x − xy + y + y − y + + = ( x − y ) + ( y − 2) + 2 Do ( x − y ) ≥ 0; ( y − ) ≥ 2 A = x − y + y − +1≥1 ( ) ( ) Nên 2 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = Vậy GTNN A ⇔ x = y = ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) B= = = = 2 x + x + x + x ( x + 1) + x + ( x + 1) ( x + 1) x + b) ≤ x2 + Do x + ≥ nên Dấu " = " xảy ⇔ x = Vậy GTLN B ⇔ x = c) Ta có: A = x + y + xy + x − y + 2013 = x + x ( y + 1) + y + y + + y − y + + 2003 B= = ( x + y + 1) + ( y − 3) + 2003 2 Nhận thấy với x, y ta có: ( x + y + 1) ≥ 0; ( y − 3) ≥ ⇒ A ≥ 2003 Dấu " = " xảy x = −4, y = Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x = −4, y = Bài 110: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − ) ( x − ) ( x − x − 10 ) A = ( x − ) ( x − ) ( x − x − 10 ) Lời giải = ( x − x + 10 ) ( x − x − 10 ) Đặt x − x = t , ta có biểu thức: A = ( t − 10 ) ( t + 10 ) = t − 100 ≥ −100 Dấu " = " xảy ⇔ t = Trang 51 Giaovienvietnam.com x = ⇔ x2 − x = ⇔  x = x = x = Với  A đạt giá trị nhỏ −100 Trang 52