Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 72 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Giaovienvietnam.com DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC A.Bài toán Bài Cho x, y, z dương x y z Chứng minh : 1 9 x yz y xz z xy a b2 với a b Bài 2: Chứng minh rằng: Bài : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 bca acb abc Bài : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Bài : a) Chứng minh x x (với x) x2 x 1 x x b) Chứng minh: x2 x A x x 1 c) Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : Bài : a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x xy y y b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: x 1 B x x2 x Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2010 x 2680 x2 1 1 9 a , b , c a b c Bài : Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức: P x 1 x x 3 x có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 11 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A 3 bca a c b a bc 1 1 P 1 1002 Bài 12 : Chứng minh rằng: 2 Bài 13 Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh 4 a b Trang Giaovienvietnam.com x y x y x y x , y Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá 2 trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y 2 a, b, c thỏa mãn a, b, c Bài 15 : Cho số Chứng minh rằng: a b c ab bc ca 1 1 a , b , c a b c Bài 16 : Cho ba số dương có tổng Chứng minh rằng: abc p Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh 1 1 1 1 2 pa p b pc a b c x, y, z thỏa mãn x y z Bài 18 : Cho số thực dương 1 2 Chứng minh rằng: x x y y z z a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Bài 19 : Cho 1 a b c b c a c a b Chứng minh rằng: 2 1 1 x y 8 x y x , y x y Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh : a3 b3 ab Bài 21 : Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh : Bài 22 : Chứng minh a 1 a 3 a a 10 với a 2 2 Bài 23 : Chứng minh rằng: a b c d e a b c d e Bài 24 : Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi CMR: 1 1 1 pa pb pc a b c Bài 25 : Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: a b bc cd a d bc cd d a ab 1 1 B 1 1002 Bài 26 : Chứng minh rằng: C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 32 Bài 27 : So sánh hai số sau: D Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 Tìm giá trị nhỏ 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c P 2015 a 2016 b 2017 c biểu thức: Bài 29 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Trang Giaovienvietnam.com ab bc ac abc Chứng minh: a b c a b c a b c a b2 c2 c b a 2 2 b c a b a c Bài 30 : Chứng minh rằng: 1 a b c a b c Bài 31 : CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 32: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy Bài 33 : Cho số thực a, b, c Chứng minh 1 4 3 2a 2b 2c ab bc ca Bài 34 : a) Cho x 0, y m, n hai số thực Chứng minh m2 n2 m n x y x y b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 1 a b c b3 c a c a b Chứng minh rằng: Bài 35 : Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 a b c (1) b c c a a b Chứng minh Bài 36 : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b a b c 2 2 Cho a, b, c 0; a b c Chứng minh rằng: b c a Bài 37: x2 y2 z2 x yz Bài 38 : Cho x, y, z CMR: y z x z x y Bài 39 : Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c 4 3 Bài 40 : Cho a b c Chứng minh rằng: a b c a b c Bài 41 : Chứng minh : x 1 x 3 x x 10 với x Trang Bài 42 : Cho Giaovienvietnam.com x 0, y 0, z x y z Chứng minh xy yz zx xyz 27 x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Cho số dương Bài 43 : x3 y3 z3 Chứng minh rằng: y z z x x y Bài 44 : a Chứng minh x x 1 (với x) b Chứng minh: x2 x 1 x2 x Bài 45: Cho x,y,z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 1 xy 1 x 1 y Bài 46: CMR với a,b,c số dương, ta có: a b c a1 b1 1c Bài 47: Cho x,y,z dương x y z Chứng minh : 1 9 x 2yz y 2xz z 2xy a2 b2 với a b Bài 48: Chứng minh rằng: Bài 49: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 50: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b A b2 c2 a2 4b2c2 Bài 51: Cho biểu thức a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c độ dài cạnh tam giác A 1 9 Bài 52: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh rằng: a b c x y x2 y 3 y x y x Bài 53: Cho x, y Chứng minh : Bài 54: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b Bài 55: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: Trang Giaovienvietnam.com a b c 3 bca acb abc Bài 56: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b 1 2 Bài 57: Cho số a b thỏa mãn a 1; b Chứng minh: a b ab A 1 a,b Bài 58: Chứng minh rằng: a b a b Bài 59: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Bài 60: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 x x y y z z 2 x y x2 y2 3 y x y x Bài 61: Cho x,y Chứng minh : Bài 62: Biết a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b 2 c2 4a2b2 1 2 Bài 63: Cho số a b thỏa mãn a 1;b Chứng minh: 1 a 1 b 1 ab Bài 64: Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 65: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: A 1 a b c b c a c a b Bài 66: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca a b Bài 67: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy 1 9 Bài 68: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c a b b c c d a d a , b , c , d Bài 69: Cho số dương Chứng minh rằng: b c c d d a a b 1 1 P 1 1002 Bài 70: Chứng minh rằng: a b2 với a b Bài 71: Chứng minh rằng: Trang Giaovienvietnam.com Bài 72: Chứng minh rằng: a b c d e a(b c d e) 2 2 m2 n2 m n m , n x 0, y x y x y Bài 73: a) Cho hai số thực Chứng minh b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b 2 1 25 a b Bài 74: Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh b a 3 Bài 75: Cho a b Chứng minh a b Bài 76: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A 3 bc a a c b a b c Bài 77: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 bc a a c b a b c Bài 78: Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1 1 1 a b c CMR: p a p b p c A Bài 79: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b 2 2 2 4 Bài 80: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a, b, c cạnh tam giác A Bài 81: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d 2 a bc bcd cd a d a b Bài 82: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x2 y2 z t x y z t Dấu đẳng thức xảy nào? 4 3 b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Bài 83: a) Cmr : x 1 x x 3 x 1 1 1 a b a b b) Cho số dương thỏa mãn điều kiện Cmr : a b Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a 2 2 a) b c a b a c b) x x x x a b2 c a b c Bài 85: Cmr: a) b) a b 4ab Bài 86: Chứng minh rằng: 4 Trang Giaovienvietnam.com a) x x 3x với x ; b) x 1 x 3 x x ; 2 c) a 4b 4c 4ab 4ac 8bc Bài 87: Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b 3 b a b a x y Bài 88: Chứng minh BĐT: x y 2 a b c ab ac 2bc Bài 89: a) Chứng minh: a b c abc a b c b) Chứng minh: c) Chứng minh: 1 1 13 n n 1 d) Chứng minh: 1 1 25 2n 1 e) Cho a b dấu Chứng minh: Bài 90: Cho ba số dương a, b, c a) Chứng minh rằng: với n N , n với n N , n a b2 a b a b a b a b c 1 1 a b c ; a b c b) Chứng minh rằng: b c c a a b 3 Bài 91: Cho a b c , chứng minh: P a b c 3abc Bài 92: Chứng minh bất đẳng thức sau: ab cd a c b d a) ; b) ab bc ca a b c Bài 93: Cho a, b, c ba cạnh tam giác 2 a) Chứng minh rằng: ab bc ca a b c ab bc ca a b c b) Chứng minh rằng: ab bc ca Bài 94: Cho x y Chứng minh rằng: x 2017 y 2017 tam giác tam giác x 2018 y 2018 1 1 2 n với n N , n Bài 95: a) Chứng minh: 1 1 K n 12 với n N , n b) Chứng minh: H Bài 96: Cho ba số x, y, z 2 a) Chứng minh x y z xy yz zx ; x yz 673 b) Khi Chứng minh xy yz zx 2019 Trang Giaovienvietnam.com 1 25 a b a , b b a a b Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh Bài 98: Với a, b, c Hãy chứng minh BĐT: ab bc ab bc ca 2b abc a) c a ; b) c a b ; 3 3 3 a b b c c a abc 2ab 2bc 2ca c) Bài 99: 2 a) Cho a b Chứng minh rằng: a b b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác 4a a b a 1 a b 1 b Chứng minh: abc b c a a c b a b c 2 1 1 25 a b b a Bài 100: Cho a,b 0thỏa mãn a b Chứng minh Bài 101: Cho số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c Chứng minh a b2 c3 ab bc ca 3 Bài 102: Cho a b Chứng minh a b Bài 103: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 104: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: A a bc b ca c ab 2 b c c a a b 2 Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a b Chứng minh 4 a b a b c a1 b1 1c Bài 106: CMR với a,b,c số dương, ta có: 2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A a b c 1 1 a b c a b c 3 b c a a c b a b c 1 1 b c a b c a Bài 110: Chứng minh b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Bài 111: Chứng minh a b c ab bc ca Trang với số thực a, b, c Giaovienvietnam.com a 3c a 3b 2a 5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c Đẳng thức xảy nào? Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh 1 1 a b c 3 a b c Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a )(b ) a b Đẳng thức xảy nào? Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1 1 1 2 a b c minh: p a p b p c Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab x y x2 y x y x y2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b 2c2 với a, b, c 1 9 Bài 119: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c 2 1 b 1 c 1 a Chứng minh rằng: Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y x , y , z x y z xyz Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh Bài 124: Cho a, b, c Chứng minh a b c 1 1 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c a , b , c Bài 125: Cho số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b bc ca 1 2 bc a ac b ab c a b c Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a b c 2 Chứng minh a b c 1 1 a b c a b c Bài 127: Chứng minh rằng: b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Trang Giaovienvietnam.com Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bc a a c b a bc 1 1 1 2 1002 Bài 129: Chứng minh rằng: bc ac ab abc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : P A a b c 3 bc a a c b a bc Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca ab x y x2 y 3 y x Bài 133: Cho x, y Chứng minh : y x Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27 a a b b b c c (c a ) 2(a b c )2 Chứng minh: Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b b c c a với a b c a b2 Bài 137: Cho a b Chứng minh : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Bài 138 a b c A 3 bca acb abc 1 9 a , b , c a b c Bài 139: Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy Chứng minh rằng: x y xy Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z xy xz yz với x, y, z Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Trang 10 a b Giaovienvietnam.com a2 b2 2ab 2 mà a b nên 2ab a b a b 2ab 8 16 a b 16 a b 4 a b 4 2 2 4 a b 4(dfcm) Bài 106: CMR với a,b,c số dương, ta có: Lời giải a b c a1 b1 1c 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 b c a c a b a b c a b a c c b 3 b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cơ si) Do đó: A 3 2 Vậy A 2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A Lời giải A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 2ab a2 b2 c2 2 a b c2 c2 a b a b c a b c c a b c a b a,b,c Do cạnh tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b A 1 a b c a b c Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Lời giải Ta có: a a b b c c 1 1 A a b c 1 b c a c a b a b c a b a c c b b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cô si) Do đó: A Vậy A Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x ;c a b y ; a b c z Trang 58 Từ suy Giaovienvietnam.com yz xz x y ;b ; c 2 a A Thay vào ta y z x z x y y x x 2x 2y 2z x y z z y z x z y A 2 Từ suy hay A 1 1 b c a b c a Bài 110: Chứng minh b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải 1 1 c a b c a b b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 abc a b2 c2 1 abc ab 1 bc 1 ca 1 a b c 2 a 2b c abc a b c ab bc ca a 2b c a b c a 2b b c c a a 2b b c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a a c b2 b a c2 c b a Bài 111: Chứng minh 2 a b c ab bc ca 2 2 (đúng với a, b , c ) với số thực a, b, c Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a b c a ab ca ; b c a b bc ab c a b c ca bc 2 Do đó, suy ra: a b c 2(ab bc ca) a 3c a 3b 2a 5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c Đẳng thức xảy nào? Lời giải b c a c a b a VT ab ac bc a c a b ac ab 2 Áp dụng bđt côsi ta có: a b a c a b c 1 ( a b c) 3 ( a b c ) bc ac ab 2.(a b c) bc ac ab a 3c a 3b 2a ab ac bc Đẳng thức xảy a = b = c Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh Trang 59 Giaovienvietnam.com 1 1 a b c 3 a b c Lời giải 1 1 bc ac ab a b c 3 a b c abc a b c bc ac ab a b c 3 a b c bc ac ab abc a b c bc ac ab a b c bc ac ab a b b c c a 2 Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a )(b ) a b Đẳng thức xảy nào? Lời giải P ( ab a b 25 )( ) ab b a (*) 4 ab Vì a b a b 15 15 25 P (ab ) ( ) (ab )( ) ab b a = 16ab b a 16ab 16 (Theo BĐT Mà a b 4ab, a b 1, ab f Cauchy) nên BĐT (*) bđt CM ab Đẳng thức xảy Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1 1 1 2 a b c minh: p a p b p c Lời giải x y xy x y 1 xy x y x y x y Ta có: Áp dụng kết ta được: ( x, y >0) 1 4 p a p b p a p b p a b c 1 ; Tương tự ta có: p b p c a 1 p c p a b Cộng vế bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 1 1 1 2 p a p b p c a b c Dấu đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác cho Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab Lời giải Trang 60 Giaovienvietnam.com bc a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số b c , khơng âm ta có : a2 b c a2 bc a bc + bc =2 =a bc a2 bc a - Suy Tương tự ac b2 ca b - c2 ab a b c - Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: abc abc a2 b2 c2 bc + ca + ab ( a + b + c ) 2 = 2 a b c abc Vậy b c + c a + a b (đpcm) x y x2 y x y x y2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: Với x > 0; y > Ta có x + y Lời giải Áp dụng tính chất phân thức ta có: x y ( x y )( x y ) x y ( x y)2 x2 y x xy y (1) Mặt khác : x > ; y > nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x2 y x2 y2 2 x y (2) x xy y x y x2 y x y x y (đpcm) Từ (1) (2) ta có: Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 với a, b, c Lời giải 2 A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b c = (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a2 + ab + 2ac + bc)2 với a,b,c (đpcm) 1 9 Bài 119: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c Lời giải Trang 61 Giaovienvietnam.com b c 1 a a a a c 1 a b c 1 1 b b b a b 1 c 1 c c Từ 1 a b a c b c a b c b a c a c b 3 abc Dấu " " xảy Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Lời giải a ab2 ab2 ab a a a 2 1 b 2b Do a, b > + b ≥ 2b với b nên b b bc c ca b c 2 ; 1 a Tương tự ta có : c a b c ab bc ca 3 2 2 mà a + b + c = nên b c a (1) Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) a b c 3 3 2 2 đpcm Từ (1) (2) suy b c a Đẳng thức xảy a b c Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ta có: Dấu “=”xảy Thật vậy, với ta có: ( ln đúng) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: Dấu “=” xảy Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : Trang 62 Giaovienvietnam.com (Vì abc = 1) Hay Mà nên : Vậy Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: Lời giải Đặt Áp dụng BĐT : với a,b,c dương; dấu xảy a = b = c Ta có: Bởi (đpcm) x y x , y , z x y z xyz Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh Lời giải Ta có: x y xy (1) x y z 4( x y ) z 36 4( x y ) z (vì x y z ) 36( x y ) 4( x y ) z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) (2), ta có: 36( x y ) 16xyz x y x y 4 xyz xyz (đpcm) Bài 124: Cho a, b, c Chứng minh a b c 1 1 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với 18a 18a 2 3a 2b c a b a c 2.2 a, b, c ta có 18a ab 2 ac 18a 18a 18a 2 3a 2b c 4ab 2ac 2a 2b c 2b c a b2 a b x y x y Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz 1 Ta có: 2b c 22 12 2b c b c 1 18a 2 3a 2b c 2b c 2b c b c Suy : Trang 63 18a 4ab 2ac Giaovienvietnam.com Tương tự: 1 18b 2 3b 2c a 2c a 2c a c a 1 18c 2 3c 2a b 2a b 2a b a b Cộng vế với vế BĐT ta có: 18a 18b 18c 2 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b c a b c a b a b c 1 1 3 3 :18 DPCM 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c a b c a , b , c Bài 125: Cho số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b bc ca 1 2 bc a ac b ab c a b c Lời giải Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A B ab bc ca 2 bc a a ac b b ab c c a ab bc a b bc ac b c ac ab c a bc a b ac b c ab c b a c a bc a c b a b ac b a c b c ab c b a c 0, c b a a c b Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c, , a b3 c abc a abc b abc c b a c A B a b c b ac b b ac b c b a a b c b ac b a c b c ab c b a c a bc a b a c b ac b ab ac ac ab b ac b c ab c c ab c 1 b ac b c ab c Mà nên A B đpcm Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a b c 2 Chứng minh a b c Lời giải Từ giả thiết ta có: a b c ab bc ca a b c abc 2 Cộng hai vế với a b c , sau thu gọn ta được: a b c a b2 c abc a b2 c abc Mà abc nên a b c Dấu xảy ba số a, b, c có số 0, số 2, số 2 Trang 64 Giaovienvietnam.com 1 1 a b c a b c Bài 127: Chứng minh rằng: b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải 1 1 c ) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 abc abc 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 a 2b c abc a b c ab bc ca a 2b 2c a b c a 2b b 2c c a a 2b2 b c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a a c b 2 1 b a c 2 1 c b a 2 1 (đúng với a, b, c 1) Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bc a a c b a bc Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z từ suy a yz xz x y ;b ;c ; 2 A Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z 2x 2y 2z x y z x z y 2 Từ suy hay A 1 1 P 1 2 100 Bài 129: Chứng minh rằng: A Lời giải Ta có: 1 1 22 32 42 100 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 99 1 1 2 3 99 100 100 100 P bc ac ab abc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Lời giải Với số dương a, b, c ta có: Trang 65 Giaovienvietnam.com bc ac ab a b c bc ac ab abc a b c abc abc abc 2 bc ac ab a 2bc b ac c ab 2 bc ac ab 2a 2bc 2b ac 2c ab 2 2 2 2 ac 2a 2bc ab bc 2b ac ab ac 2c ab bc ac ab bc ab ac bc 2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : A a b c 3 bc a a c b a bc Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z Từ suy a yz xz x y ;b ;c 2 A Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z 2x 2y 2z x y z x z y 2 Từ suy hay A Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca ab A Lời giải Nhận xét có: Tương tự có: VT a bc a a b c bc a b c a b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b bc ca Do Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: ab a b a c b a b c a b bc ca a b a c c a c b a c bc ab b a b c c a c b b c ac ab 2.VT a b c hay Vậy Đẳng thức xảy abc VT x y x2 y 3 y x Bài 133: Cho x, y Chứng minh : y x Lời giải Trang 66 Giaovienvietnam.com x y 2 Học sinh chứng minh y x với x, y x y x y 0; y x y x x y x y y x y x x y x y x2 y y x y x y x x y x2 y 3 y x y x Dấu " " xảy x y Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a b2 c 2 b c 4a 2b Lời giải 4a 2b a b c 2ab a b c 2ab 2 a b c a b c a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27 a a b b b c c (c a ) 2(a b c )2 Chứng minh: Lời giải Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 a(a b) b(b c) c (c a ) abc a b b c c a (*) Cũng theo BĐT Cô si : 3 33 abc a b c 1 33. a b b c c a a b c Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc a b b c c a a b c 27 ** abc ( a b)(b c )(c a ) 2 a b c Hay 1 27 a (a b) b(b c) c (c a ) a b c * ** Từ suy Dấu " " xảy a b c Trang 67 (2) Giaovienvietnam.com Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b b c c a với a b c Lời giải Gọi vế trái A, ta có: a 1 b 1 c 1 A ab 2 bc 2 ca 2 a b bc ca 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 ac 1 ab bc bc ca a b ca ac a b a b b c b c c a a b a c 1 2 b c ab ca a b a c b c 0( Do a b c 0) 2 b c a b c a Vậy A Bài 137: Cho a b Chứng minh a b2 Lời giải Từ a b a b a 2b b , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 1 2b 2b 2 2 a b 4b 4b 2b 1 BĐT Vậy a 2 2b 1 b Dấu " " xảy Bài 138: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bca acb abc Lời giải Trang 68 Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z yz x z x y a ;b ;c 2 Từ suy Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z A 2x 2y 2z x y z x z y Từ suy A Giaovienvietnam.com 2 hay A a b c 1 9 a , b , c a b c Bài 139: Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: Lời giải b c 1 a a a a c 1 a b c 1 1 c b b a b 1 c 1 c c Từ 1 a b a c b c a b c b a c a c b abc Dấu “=” xảy 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy Chứng minh rằng: x y xy Lời giải 1 2 x y xy (1) 1 1 2 x xy y xy x y x y x y 0 x xy y xy y x xy 1 x y xy 2 Vì x 1; y xy xy B ĐT (2) nên BĐT (1) Dấu " " xảy x y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z xy xz yz với x, y, z Trang 69 Giaovienvietnam.com Lời giải với x, y, z Có x y y z z x x xy y y yz z z zx x 2 x y z xy yz xz x y z xy yz xz (dfcm) Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b3 c a c a b Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c ¡ x, y, z ta có: a b2 c a b c (*) x y z x yz a b c x y z Dấu " " xảy Thật vậy, với a, b ¡ x, y ta có: a b2 a b x y x y (**) a y b x x y xy (a b) bx ay (luôn đúng) a b x y Dấu " " xảy Áp dụng bất đẳng thức ** ta có: a b2 c a b c2 a b c x y z x y z x yz a b c x y z Dấu " " xảy 1 2 1 a b c2 a b c b3 (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 1 1 a b2 c a b c a b c ab ac bc ab ac bc ab bc ac 1 1 2 a b c (Vì abc 1) 2 Trang 70 Giaovienvietnam.com Hay 1 2 1 1 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 a 3 b c Mà a b c nên ab ac bc ab ac bc 1 a b c b c a c a b Vậy (đpcm) Bài 143: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy Lời giải 1 2 1 x 1 y xy (1) 1 1 2 x xy y xy x( y x) y( x y) 0 x xy y (1 xy ) y x xy 1 x y (1 xy ) 2 0 (2) Vì x 1; y xy xy BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x y Bài 144: a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1 1 1 2. a b c CMR: p a p b p c ab bc cd a d b) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có: 1 p a p b p a p b c 1 p b p c p a p c a 1 pc pa pc p a b Cộng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: Trang 71 Giaovienvietnam.com a b bc cd ab a b bc cd d a 0 bc cd d a ab bc cd d a ab ac bd ca d b 4 bc cd d a ab Xét ac bd ca d b 4 bc cd d a ab a c b d bc d a cd a b 4 a c b d 40 abcd abcd đpcm Dấu " " xảy a b c d Trang 72 ... 4ac 8bc Bài 87 : Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b 3 b a b a x y Bài 88 : Chứng minh BĐT: x y 2 a b c ab ac 2bc Bài 89 : a)... 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1 C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 32 32 Vì nên C D Bài 28 : Cho số thực... 1 1002 Bài 26 : Chứng minh rằng: C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 32 Bài 27 : So sánh hai số sau: D Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 Tìm giá trị