Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 72 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Tiêu đề
Dạng Toán Bất Đẳng Thức
Trường học
Giaovienvietnam.com
Định dạng
Số trang
72
Dung lượng
2,03 MB
Nội dung
Giaovienvietnam.com DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC A.Bài toán Bài Cho x, y, z dương x y z Chứng minh : 1 9 x yz y xz z xy a b2 với a b Bài 2: Chứng minh rằng: Bài : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 bca acb abc Bài : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Bài : a) Chứng minh x x (với x) x2 x 1 x x b) Chứng minh: x2 x A x x 1 c) Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : Bài : a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x xy y y b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: x 1 B x x2 x Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2010 x 2680 x2 1 1 9 a , b , c a b c Bài : Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức: P x 1 x x 3 x có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 11 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A 3 bca a c b a bc 1 1 P 1 1002 Bài 12 : Chứng minh rằng: 2 Bài 13 Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh 4 a b Trang Giaovienvietnam.com x y x y x y x , y Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá 2 trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y 2 a, b, c thỏa mãn a, b, c Bài 15 : Cho số Chứng minh rằng: a b c ab bc ca 1 1 a , b , c a b c Bài 16 : Cho ba số dương có tổng Chứng minh rằng: abc p Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh 1 1 1 1 2 pa p b pc a b c x, y, z thỏa mãn x y z Bài 18 : Cho số thực dương 1 2 Chứng minh rằng: x x y y z z a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Bài 19 : Cho 1 a b c b c a c a b Chứng minh rằng: 2 1 1 x y 8 x y x , y x y Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh : a3 b3 ab Bài 21 : Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh : Bài 22 : Chứng minh a 1 a 3 a a 10 với a 2 2 Bài 23 : Chứng minh rằng: a b c d e a b c d e Bài 24 : Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi CMR: 1 1 1 pa pb pc a b c Bài 25 : Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: a b bc cd a d bc cd d a ab 1 1 B 1 1002 Bài 26 : Chứng minh rằng: C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 32 Bài 27 : So sánh hai số sau: D Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 Tìm giá trị nhỏ 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c P 2015 a 2016 b 2017 c biểu thức: Bài 29 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Trang Giaovienvietnam.com ab bc ac abc Chứng minh: a b c a b c a b c a b2 c2 c b a 2 2 b c a b a c Bài 30 : Chứng minh rằng: 1 a b c a b c Bài 31 : CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 32: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy Bài 33 : Cho số thực a, b, c Chứng minh 1 4 3 2a 2b 2c ab bc ca Bài 34 : a) Cho x 0, y m, n hai số thực Chứng minh m2 n2 m n x y x y b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 1 a b c b3 c a c a b Chứng minh rằng: Bài 35 : Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 a2 b2 a b c (1) b c c a a b Chứng minh Bài 36 : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b a b c 2 2 Cho a, b, c 0; a b c Chứng minh rằng: b c a Bài 37: x2 y2 z2 x yz Bài 38 : Cho x, y, z CMR: y z x z x y Bài 39 : Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c 4 3 Bài 40 : Cho a b c Chứng minh rằng: a b c a b c Bài 41 : Chứng minh : x 1 x 3 x x 10 với x Trang Bài 42 : Cho Giaovienvietnam.com x 0, y 0, z x y z Chứng minh xy yz zx xyz 27 x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Cho số dương Bài 43 : x3 y3 z3 Chứng minh rằng: y z z x x y Bài 44 : a Chứng minh x x 1 (với x) b Chứng minh: x2 x 1 x2 x Bài 45: Cho x,y,z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 1 xy 1 x 1 y Bài 46: CMR với a,b,c số dương, ta có: a b c a1 b1 1c Bài 47: Cho x,y,z dương x y z Chứng minh : 1 9 x 2yz y 2xz z 2xy a2 b2 với a b Bài 48: Chứng minh rằng: Bài 49: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 50: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b A b2 c2 a2 4b2c2 Bài 51: Cho biểu thức a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c độ dài cạnh tam giác A 1 9 Bài 52: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh rằng: a b c x y x2 y 3 y x y x Bài 53: Cho x, y Chứng minh : Bài 54: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b Bài 55: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: Trang Giaovienvietnam.com a b c 3 bca acb abc Bài 56: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b 1 2 Bài 57: Cho số a b thỏa mãn a 1; b Chứng minh: a b ab A 1 a,b Bài 58: Chứng minh rằng: a b a b Bài 59: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Bài 60: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 x x y y z z 2 x y x2 y2 3 y x y x Bài 61: Cho x,y Chứng minh : Bài 62: Biết a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b 2 c2 4a2b2 1 2 Bài 63: Cho số a b thỏa mãn a 1;b Chứng minh: 1 a 1 b 1 ab Bài 64: Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 65: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: A 1 a b c b c a c a b Bài 66: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca a b Bài 67: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy 1 9 Bài 68: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c a b b c c d a d a , b , c , d Bài 69: Cho số dương Chứng minh rằng: b c c d d a a b 1 1 P 1 1002 Bài 70: Chứng minh rằng: a b2 với a b Bài 71: Chứng minh rằng: Trang Giaovienvietnam.com Bài 72: Chứng minh rằng: a b c d e a(b c d e) 2 2 m2 n2 m n m , n x 0, y x y x y Bài 73: a) Cho hai số thực Chứng minh b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b 2 1 25 a b Bài 74: Cho a, b thỏa mãn a b Chứng minh b a 3 Bài 75: Cho a b Chứng minh a b Bài 76: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A 3 bc a a c b a b c Bài 77: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 3 bc a a c b a b c Bài 78: Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1 1 1 a b c CMR: p a p b p c A Bài 79: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b 2 2 2 4 Bài 80: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a, b, c cạnh tam giác A Bài 81: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d 2 a bc bcd cd a d a b Bài 82: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x2 y2 z t x y z t Dấu đẳng thức xảy nào? 4 3 b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x y xy x y Bài 83: a) Cmr : x 1 x x 3 x 1 1 1 a b a b b) Cho số dương thỏa mãn điều kiện Cmr : a b Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a 2 2 a) b c a b a c b) x x x x a b2 c a b c Bài 85: Cmr: a) b) a b 4ab Bài 86: Chứng minh rằng: 4 Trang Giaovienvietnam.com a) x x 3x với x ; b) x 1 x 3 x x ; 2 c) a 4b 4c 4ab 4ac 8bc Bài 87: Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b 3 b a b a x y Bài 88: Chứng minh BĐT: x y 2 a b c ab ac 2bc Bài 89: a) Chứng minh: a b c abc a b c b) Chứng minh: c) Chứng minh: 1 1 13 n n 1 d) Chứng minh: 1 1 25 2n 1 e) Cho a b dấu Chứng minh: Bài 90: Cho ba số dương a, b, c a) Chứng minh rằng: với n N , n với n N , n a b2 a b a b a b a b c 1 1 a b c ; a b c b) Chứng minh rằng: b c c a a b 3 Bài 91: Cho a b c , chứng minh: P a b c 3abc Bài 92: Chứng minh bất đẳng thức sau: ab cd a c b d a) ; b) ab bc ca a b c Bài 93: Cho a, b, c ba cạnh tam giác 2 a) Chứng minh rằng: ab bc ca a b c ab bc ca a b c b) Chứng minh rằng: ab bc ca Bài 94: Cho x y Chứng minh rằng: x 2017 y 2017 tam giác tam giác x 2018 y 2018 1 1 2 n với n N , n Bài 95: a) Chứng minh: 1 1 K n 12 với n N , n b) Chứng minh: H Bài 96: Cho ba số x, y, z 2 a) Chứng minh x y z xy yz zx ; x yz 673 b) Khi Chứng minh xy yz zx 2019 Trang Giaovienvietnam.com 1 25 a b a , b b a a b Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh Bài 98: Với a, b, c Hãy chứng minh BĐT: ab bc ab bc ca 2b abc a) c a ; b) c a b ; 3 3 3 a b b c c a abc 2ab 2bc 2ca c) Bài 99: 2 a) Cho a b Chứng minh rằng: a b b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác 4a a b a 1 a b 1 b Chứng minh: abc b c a a c b a b c 2 1 1 25 a b b a Bài 100: Cho a,b 0thỏa mãn a b Chứng minh Bài 101: Cho số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c Chứng minh a b2 c3 ab bc ca 3 Bài 102: Cho a b Chứng minh a b Bài 103: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 104: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: A a bc b ca c ab 2 b c c a a b 2 Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a b Chứng minh 4 a b a b c a1 b1 1c Bài 106: CMR với a,b,c số dương, ta có: 2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A a b c 1 1 a b c a b c 3 b c a a c b a b c 1 1 b c a b c a Bài 110: Chứng minh b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Bài 111: Chứng minh a b c ab bc ca Trang với số thực a, b, c Giaovienvietnam.com a 3c a 3b 2a 5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c Đẳng thức xảy nào? Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh 1 1 a b c 3 a b c Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a )(b ) a b Đẳng thức xảy nào? Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1 1 1 2 a b c minh: p a p b p c Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab x y x2 y x y x y2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b 2c2 với a, b, c 1 9 Bài 119: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c 2 1 b 1 c 1 a Chứng minh rằng: Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y x , y , z x y z xyz Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh Bài 124: Cho a, b, c Chứng minh a b c 1 1 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c a , b , c Bài 125: Cho số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b bc ca 1 2 bc a ac b ab c a b c Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a b c 2 Chứng minh a b c 1 1 a b c a b c Bài 127: Chứng minh rằng: b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Trang Giaovienvietnam.com Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bc a a c b a bc 1 1 1 2 1002 Bài 129: Chứng minh rằng: bc ac ab abc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : P A a b c 3 bc a a c b a bc Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca ab x y x2 y 3 y x Bài 133: Cho x, y Chứng minh : y x Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 4a 2b Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27 a a b b b c c (c a ) 2(a b c )2 Chứng minh: Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b b c c a với a b c a b2 Bài 137: Cho a b Chứng minh : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Bài 138 a b c A 3 bca acb abc 1 9 a , b , c a b c Bài 139: Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy Chứng minh rằng: x y xy Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z xy xz yz với x, y, z Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b Trang 10 a b Giaovienvietnam.com a2 b2 2ab 2 mà a b nên 2ab a b a b 2ab 8 16 a b 16 a b 4 a b 4 2 2 4 a b 4(dfcm) Bài 106: CMR với a,b,c số dương, ta có: Lời giải a b c a1 b1 1c 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 b c a c a b a b c a b a c c b 3 b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cơ si) Do đó: A 3 2 Vậy A 2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2b c 2a c a b c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A Lời giải A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 4a2b2 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2ab a2 b2 c2 2ab a b 2 c2 2ab a2 b2 c2 2 a b c2 c2 a b a b c a b c c a b c a b a,b,c Do cạnh tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b A 1 a b c a b c Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Lời giải Ta có: a a b b c c 1 1 A a b c 1 b c a c a b a b c a b a c c b b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cô si) Do đó: A Vậy A Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A a b c 3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b c a x ;c a b y ; a b c z Trang 58 Từ suy Giaovienvietnam.com yz xz x y ;b ; c 2 a A Thay vào ta y z x z x y y x x 2x 2y 2z x y z z y z x z y A 2 Từ suy hay A 1 1 b c a b c a Bài 110: Chứng minh b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải 1 1 c a b c a b b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 abc a b2 c2 1 abc ab 1 bc 1 ca 1 a b c 2 a 2b c abc a b c ab bc ca a 2b c a b c a 2b b c c a a 2b b c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a a c b2 b a c2 c b a Bài 111: Chứng minh 2 a b c ab bc ca 2 2 (đúng với a, b , c ) với số thực a, b, c Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a b c a ab ca ; b c a b bc ab c a b c ca bc 2 Do đó, suy ra: a b c 2(ab bc ca) a 3c a 3b 2a 5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c Đẳng thức xảy nào? Lời giải b c a c a b a VT ab ac bc a c a b ac ab 2 Áp dụng bđt côsi ta có: a b a c a b c 1 ( a b c) 3 ( a b c ) bc ac ab 2.(a b c) bc ac ab a 3c a 3b 2a ab ac bc Đẳng thức xảy a = b = c Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh Trang 59 Giaovienvietnam.com 1 1 a b c 3 a b c Lời giải 1 1 bc ac ab a b c 3 a b c abc a b c bc ac ab a b c 3 a b c bc ac ab abc a b c bc ac ab a b c bc ac ab a b b c c a 2 Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a )(b ) a b Đẳng thức xảy nào? Lời giải P ( ab a b 25 )( ) ab b a (*) 4 ab Vì a b a b 15 15 25 P (ab ) ( ) (ab )( ) ab b a = 16ab b a 16ab 16 (Theo BĐT Mà a b 4ab, a b 1, ab f Cauchy) nên BĐT (*) bđt CM ab Đẳng thức xảy Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1 1 1 2 a b c minh: p a p b p c Lời giải x y xy x y 1 xy x y x y x y Ta có: Áp dụng kết ta được: ( x, y >0) 1 4 p a p b p a p b p a b c 1 ; Tương tự ta có: p b p c a 1 p c p a b Cộng vế bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 1 1 1 2 p a p b p c a b c Dấu đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác cho Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab Lời giải Trang 60 Giaovienvietnam.com bc a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số b c , khơng âm ta có : a2 b c a2 bc a bc + bc =2 =a bc a2 bc a - Suy Tương tự ac b2 ca b - c2 ab a b c - Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: abc abc a2 b2 c2 bc + ca + ab ( a + b + c ) 2 = 2 a b c abc Vậy b c + c a + a b (đpcm) x y x2 y x y x y2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: Với x > 0; y > Ta có x + y Lời giải Áp dụng tính chất phân thức ta có: x y ( x y )( x y ) x y ( x y)2 x2 y x xy y (1) Mặt khác : x > ; y > nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x2 y x2 y2 2 x y (2) x xy y x y x2 y x y x y (đpcm) Từ (1) (2) ta có: Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 với a, b, c Lời giải 2 A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b c = (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a2 + ab + 2ac + bc)2 với a,b,c (đpcm) 1 9 Bài 119: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c Lời giải Trang 61 Giaovienvietnam.com b c 1 a a a a c 1 a b c 1 1 b b b a b 1 c 1 c c Từ 1 a b a c b c a b c b a c a c b 3 abc Dấu " " xảy Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Lời giải a ab2 ab2 ab a a a 2 1 b 2b Do a, b > + b ≥ 2b với b nên b b bc c ca b c 2 ; 1 a Tương tự ta có : c a b c ab bc ca 3 2 2 mà a + b + c = nên b c a (1) Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) a b c 3 3 2 2 đpcm Từ (1) (2) suy b c a Đẳng thức xảy a b c Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ta có: Dấu “=”xảy Thật vậy, với ta có: ( ln đúng) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: Dấu “=” xảy Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : Trang 62 Giaovienvietnam.com (Vì abc = 1) Hay Mà nên : Vậy Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: Lời giải Đặt Áp dụng BĐT : với a,b,c dương; dấu xảy a = b = c Ta có: Bởi (đpcm) x y x , y , z x y z xyz Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh Lời giải Ta có: x y xy (1) x y z 4( x y ) z 36 4( x y ) z (vì x y z ) 36( x y ) 4( x y ) z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) (2), ta có: 36( x y ) 16xyz x y x y 4 xyz xyz (đpcm) Bài 124: Cho a, b, c Chứng minh a b c 1 1 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với 18a 18a 2 3a 2b c a b a c 2.2 a, b, c ta có 18a ab 2 ac 18a 18a 18a 2 3a 2b c 4ab 2ac 2a 2b c 2b c a b2 a b x y x y Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz 1 Ta có: 2b c 22 12 2b c b c 1 18a 2 3a 2b c 2b c 2b c b c Suy : Trang 63 18a 4ab 2ac Giaovienvietnam.com Tương tự: 1 18b 2 3b 2c a 2c a 2c a c a 1 18c 2 3c 2a b 2a b 2a b a b Cộng vế với vế BĐT ta có: 18a 18b 18c 2 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b c a b c a b a b c 1 1 3 3 :18 DPCM 2 2 2 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b a b c a b c a , b , c Bài 125: Cho số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b bc ca 1 2 bc a ac b ab c a b c Lời giải Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A B ab bc ca 2 bc a a ac b b ab c c a ab bc a b bc ac b c ac ab c a bc a b ac b c ab c b a c a bc a c b a b ac b a c b c ab c b a c 0, c b a a c b Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c, , a b3 c abc a abc b abc c b a c A B a b c b ac b b ac b c b a a b c b ac b a c b c ab c b a c a bc a b a c b ac b ab ac ac ab b ac b c ab c c ab c 1 b ac b c ab c Mà nên A B đpcm Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a b c 2 Chứng minh a b c Lời giải Từ giả thiết ta có: a b c ab bc ca a b c abc 2 Cộng hai vế với a b c , sau thu gọn ta được: a b c a b2 c abc a b2 c abc Mà abc nên a b c Dấu xảy ba số a, b, c có số 0, số 2, số 2 Trang 64 Giaovienvietnam.com 1 1 a b c a b c Bài 127: Chứng minh rằng: b c a a b c , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải 1 1 c ) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 abc abc 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 a 2b c abc a b c ab bc ca a 2b 2c a b c a 2b b 2c c a a 2b2 b c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a a c b 2 1 b a c 2 1 c b a 2 1 (đúng với a, b, c 1) Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bc a a c b a bc Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z từ suy a yz xz x y ;b ;c ; 2 A Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z 2x 2y 2z x y z x z y 2 Từ suy hay A 1 1 P 1 2 100 Bài 129: Chứng minh rằng: A Lời giải Ta có: 1 1 22 32 42 100 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 99 1 1 2 3 99 100 100 100 P bc ac ab abc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Lời giải Với số dương a, b, c ta có: Trang 65 Giaovienvietnam.com bc ac ab a b c bc ac ab abc a b c abc abc abc 2 bc ac ab a 2bc b ac c ab 2 bc ac ab 2a 2bc 2b ac 2c ab 2 2 2 2 ac 2a 2bc ab bc 2b ac ab ac 2c ab bc ac ab bc ab ac bc 2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : A a b c 3 bc a a c b a bc Lời giải Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z Từ suy a yz xz x y ;b ;c 2 A Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z 2x 2y 2z x y z x z y 2 Từ suy hay A Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 2 bc ca ab A Lời giải Nhận xét có: Tương tự có: VT a bc a a b c bc a b c a b ca b a b c ; c ab c a c b a b a c b a b c c a c b bc ca Do Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: ab a b a c b a b c a b bc ca a b a c c a c b a c bc ab b a b c c a c b b c ac ab 2.VT a b c hay Vậy Đẳng thức xảy abc VT x y x2 y 3 y x Bài 133: Cho x, y Chứng minh : y x Lời giải Trang 66 Giaovienvietnam.com x y 2 Học sinh chứng minh y x với x, y x y x y 0; y x y x x y x y y x y x x y x y x2 y y x y x y x x y x2 y 3 y x y x Dấu " " xảy x y Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a b2 c 2 b c 4a 2b Lời giải 4a 2b a b c 2ab a b c 2ab 2 a b c a b c a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27 a a b b b c c (c a ) 2(a b c )2 Chứng minh: Lời giải Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1 a(a b) b(b c) c (c a ) abc a b b c c a (*) Cũng theo BĐT Cô si : 3 33 abc a b c 1 33. a b b c c a a b c Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc a b b c c a a b c 27 ** abc ( a b)(b c )(c a ) 2 a b c Hay 1 27 a (a b) b(b c) c (c a ) a b c * ** Từ suy Dấu " " xảy a b c Trang 67 (2) Giaovienvietnam.com Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c a b b c c a với a b c Lời giải Gọi vế trái A, ta có: a 1 b 1 c 1 A ab 2 bc 2 ca 2 a b bc ca 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 ac 1 ab bc bc ca a b ca ac a b a b b c b c c a a b a c 1 2 b c ab ca a b a c b c 0( Do a b c 0) 2 b c a b c a Vậy A Bài 137: Cho a b Chứng minh a b2 Lời giải Từ a b a b a 2b b , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 1 2b 2b 2 2 a b 4b 4b 2b 1 BĐT Vậy a 2 2b 1 b Dấu " " xảy Bài 138: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c 3 bca acb abc Lời giải Trang 68 Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z yz x z x y a ;b ;c 2 Từ suy Thay vào ta được: y z x z x y y x x z y z A 2x 2y 2z x y z x z y Từ suy A Giaovienvietnam.com 2 hay A a b c 1 9 a , b , c a b c Bài 139: Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: Lời giải b c 1 a a a a c 1 a b c 1 1 c b b a b 1 c 1 c c Từ 1 a b a c b c a b c b a c a c b abc Dấu “=” xảy 1 2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy Chứng minh rằng: x y xy Lời giải 1 2 x y xy (1) 1 1 2 x xy y xy x y x y x y 0 x xy y xy y x xy 1 x y xy 2 Vì x 1; y xy xy B ĐT (2) nên BĐT (1) Dấu " " xảy x y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z xy xz yz với x, y, z Trang 69 Giaovienvietnam.com Lời giải với x, y, z Có x y y z z x x xy y y yz z z zx x 2 x y z xy yz xz x y z xy yz xz (dfcm) Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a b c b3 c a c a b Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c ¡ x, y, z ta có: a b2 c a b c (*) x y z x yz a b c x y z Dấu " " xảy Thật vậy, với a, b ¡ x, y ta có: a b2 a b x y x y (**) a y b x x y xy (a b) bx ay (luôn đúng) a b x y Dấu " " xảy Áp dụng bất đẳng thức ** ta có: a b2 c a b c2 a b c x y z x y z x yz a b c x y z Dấu " " xảy 1 2 1 a b c2 a b c b3 (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 1 1 a b2 c a b c a b c ab ac bc ab ac bc ab bc ac 1 1 2 a b c (Vì abc 1) 2 Trang 70 Giaovienvietnam.com Hay 1 2 1 1 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 a 3 b c Mà a b c nên ab ac bc ab ac bc 1 a b c b c a c a b Vậy (đpcm) Bài 143: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 2 x y xy Lời giải 1 2 1 x 1 y xy (1) 1 1 2 x xy y xy x( y x) y( x y) 0 x xy y (1 xy ) y x xy 1 x y (1 xy ) 2 0 (2) Vì x 1; y xy xy BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x y Bài 144: a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1 1 1 2. a b c CMR: p a p b p c ab bc cd a d b) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: b c c d d a a b Lời giải Ta có: 1 p a p b p a p b c 1 p b p c p a p c a 1 pc pa pc p a b Cộng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: Trang 71 Giaovienvietnam.com a b bc cd ab a b bc cd d a 0 bc cd d a ab bc cd d a ab ac bd ca d b 4 bc cd d a ab Xét ac bd ca d b 4 bc cd d a ab a c b d bc d a cd a b 4 a c b d 40 abcd abcd đpcm Dấu " " xảy a b c d Trang 72 ... 4ac 8bc Bài 87 : Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b 3 b a b a x y Bài 88 : Chứng minh BĐT: x y 2 a b c ab ac 2bc Bài 89 : a)... 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1 C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 32 32 Vì nên C D Bài 28 : Cho số thực... 1 1002 Bài 26 : Chứng minh rằng: C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 32 Bài 27 : So sánh hai số sau: D Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 Tìm giá trị