18 266 nguyenvanminhtri levanmanh 04 le van manh 2602

BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh Tóm tắt: Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển hệ phi tuyến nhiều đầu vào - nhiều đầu có thành phần tác động khơng định Các tham số điều khiển PID xác định công thức sử dụng ngưỡng thay đổi thành phần không xác định nhiễu bên Sự hội tụ hệ thống chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Kết mô tay máy hai bậc tự chứng tỏ tín hiệu điều khiển khơng cịn tượng rung sai lệch tĩnh hệ thống hội tụ không   ĐẶT VẤN ĐỀ Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) sử dụng rộng rãi nhiều ứng dụng điều khiển tính đơn giản hiệu Ba thơng số điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI hệ số vi phân KD, việc chọn thông số cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển khó khăn Trong năm gần đây, có quan tâm sâu rộng tự điều chỉnh ba thông số điều khiển Các phương pháp tự điều chỉnh PID dựa kỹ thuật phản hồi thông tin [1, tr 2] Bộ điều khiển PID bền vững chiến lược để giải vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định Tính PID bền vững giúp hệ thống ổn định nhanh với biến đổi tham số nhiễu bên tác động Ứng dụng khác PID bền vững áp dụng điều khiển cho hệ thống như: hoạt động robot, máy bay, hệ thống không xác định Trong báo này, điều khiển PID bền vững đưa cho hệ thống không xác định nhiều đầu vào nhiều đầu (MIMO) tay máy robot Mục đích để hệ thống đạt ổn định nhanh với biến đổi tham số nhiễu bên tác động Trong nghiên cứu này, thông số PID xác định theo hệ số Kconst, C, I φ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét hệ thống phi tuyến MIMO biểu diễn phương trình trạng thái tay máy q!! = a(q,q!!) + B(q)u + d (t ), (1) u ∈ R n vectơ lực tổng quát, q ∈ R n vectơ biến khớp, B(q) ma trận nghịch đảo ma trận mơment qn tính tay máy H (q ) = H T (q ) > 0,H (q )∈ R n×n , Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr 5-15 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH a(q,q!!) = H −1[C (q,q! )q! + g (q )] với C (q,q! )q! ∈ R n vectơ lực coriolis lực ly tâm, g (q )∈ R n vectơ lực trọng trường, d ∈ R n vectơ nhiễu không xác định Giả thuyết rằng: ⎧ a ≤ A ⎪⎪ −1 ⎨ B = H ≤ H , ⎪ ⎪⎩ d ≤ D (2) Gọi qd ∈ R n vectơ quỹ đạo mong muốn e = qd − q;e! = q!d − q! vectơ sai lệch bám đạo hàm chúng Chọn σ i = Ci ei + e!i , C = diag (C1,C2 , ,Cn ); Ci ∈ R; Ci > 0; i = 1, ,n u = K sgn(σ ), Chọn (3) K = diag (K1,K , ,K n ); Ki = K > 0; i = 1, ,n T sgn(σ ) = [sgn(σ1 ),sgn(σ ), ,sgn(σ n )] Định lý 1: Cho hệ thống (1) thỏa mãn giả thiết (2) với u chọn theo (3), K = H (A + D + η + Ce! + q!!d ); η > , sai lệch bám hệ thống e hội tụ Chứng minh: Đạo hàm σ là: σ! = Ce! + q!!d − q!! ⇔ σ! = Ce! + q!!d − a(q,q!!) − B(q )K sgn(σ ) − d (t ) T σ σ ≥ 0⇒ V!3 = σ T σ! = σ T (Ce! + e!!) = σ T [Ce! + q!!d − a(q,q!!) − B(q )K sgn (σ ) − d (t )] Chọn V3 = [ ] V!3 = σ T B(q ) B −1 (Ce! + q!!d − a(q,q!!) − d (t )) − K sgn(σ ) V! ≤ σ T B(q )sgn(σ )[ H ( Ce! + q!! + a(q,q!!) + d (t ) ) − K ] d Rõ ràng V!3 ≤ K ≥ H (A + D + η + Ce! + q!!d ) với η số dương nhỏ T σ σ ≥ có V!3 ≤ , đảm bảo hệ thống có σ→0 Khi σ = = Ce+ e! tương đương với Ci ei + e!i = 0; i = 1, , n Với Ci > ei → t→∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị Ci Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: V3 = Nhận xét 1: Từ định lý ta thấy e → e! → !q! d có giới hạn tính chất vật lý hệ thống Nên tìm số E cho: Ce! + q!!d ≤ E (4) Từ ta chọn K = (A + D + η + E )H số BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT Hệ : Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), đó: K = ( A + D + η + E )H = Kconst , (5) sai lệch bám hệ thống e hội tụ Nhận xét 2: Từ luật điều khiển (3), ta xây dựng luật điều khiển PID sau: T u = [u1,u2 , ,un ] , σ i < −φi ⎧− K const ⎪ t K const Ci I i ⎪ K const Ci + I i ui = ⎨ ei + e!i + ei dt φi φi φi ∫0 ⎪ ⎪ K σ i > φi ⎩ const Giả thiết rằng: Với lim qd (t ) = qconst t →∞ (6) − φi ≤ σ i ≤ φi i = 1, ,n , lim q!d (t ) = , t →∞ lim d (t ) = dconst t →∞ Cho cặp (qconst, dconst), tồn điểm cân [qconst,0]T tín hiệu điều khiển tĩnh u cho đảm bảo ổn định: = a(qconst ,0) + B(qconst )u + d const (7) Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) (7) thỏa mãn luật khiển (6) với K chọn (5) điểm cần hệ thống kín, [q,q! ]T = [qconst ,0]T , ổn định toàn cục Chứng minh: Chúng ta chứng minh phần Phần chứng minh với tham số điều khiển chọn mang quỹ đạo hệ thống vào vùng lân cận nhỏ quanh điểm cân [q,q! ]T = [qconst ,0]T Phần tham số điều khiển chọn đảm bảo ổn định toàn cục điểm cân * Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i - Khi σ i > φi ui = Kconst.sign(σi), theo hệ trạng thái hệ thống { } đẩy vào bên lớp biên Li = qi σ i ≤ φ i - Khi σ i ≤ φi , σ i = Ci ei + e!i => e!i = −Ci ei + σ i Tồn số Mi cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - => Mi = 2Ci Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ V!4 = −2.M i Ci ei + 2.M i ei σ i ⎛ φ ⎞ φ 2 V!4 ≤ −ei + ei σ i ; Nếu ei ≥ i V!4 = −ei + ⎜⎜ i ⎟⎟ ≤ Ci Ci ⎝ Ci ⎠ NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH Kết trạng thái hệ thống hội tụ vùng có ei ≤ φi Ci Suy e!i ≤ − Ci ei + σ i ⇔ e!i ≤ φi + φi = 2φi ⎧ ⎫ φ Hệ thống hội tụ vùng Ω= ⎨ ei ≤ i ∩ e!i ≤ 2φi ∩ σ i ≤ φi ⎬, i = 1, , n bao quanh Ci ⎩ ⎭ T điểm cân (e = 0, e! = 0), điểm cân [q, q! ] = [q const ,0]T * Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i Đặt si = σ i + Ii ∫ σ i dt , tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) Khi σ i ≤ φi , có khả xảy ra: ! Nếu s!i = σ! i + Iσ i = , σi tiến với tốc độ hội tụ Ii, ei → t → ∞ chứng minh định lý " Nếu s!i = σ! i + I iσ i < σ i > s!i = σ! i + I iσ i > σ i < , ta cho thể nhân hai vế bất đẳng thức để được: σ! iσ i + Iiσ i < ⇔ σ! iσ i < − Iiσ i ≤ ⇔ V!i = σ iσ! i < − Iiσ i = −2IiVi ≤ , ei→0 t→∞ chứng minh định lý # Nếu s!i = σ! i + I iσ i < σ i < , điều đồng nghĩa hàm si giảm si , điều đồng nghĩa hàm si tăng si >0 Do đó, sau thời gian xác định, si >φi, luật điều khiển (3) đảm bảo V! ≤ , ei → t→ ∞ chứng minh định lý Giả thiết (7) suy có tồn điểm cân với: ei = 0, e!i = 0, e!!i = 0, ui = ui , si = si ; Trong si = I i Ci lim ∫ (q di − qi )dt = const t →∞ Đặt ~ si ; Đạo hàm V5i , ta được: si = si − si hàm Lyapunov : V5i = ~ 2 si + ~ si (si − si + s!i ) với si = σ i + Ii ∫ σ i dt , σ i = Ci ei + e!i V!5i = ~ si s!i = − ~ ( ) 2 V!5i = −~ si + ~ si Ci ei + e!i + I i ∫ (Ci ei + e!i )dt − si + Ci e!i + e!!i + I i (Ci ei + e!i ) BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT ( ) ((C + I + I C )e + (1 + I + C )e! + e!! + I ∫ (C e )dt − s ) 2 V!5i = −~ si + ~ si Ci ei + e!i + I i ∫ (Ci ei )dt − si + Ci e!i + e!!i + I i (Ci ei + e!i ) + I i ei 2 V!5i = −~ si + ~ si i i i i i i i i i i i i ( i 2 V!5i ≤ −~ si + ~ si (Ci + I i + I i Ci ) ei + (1 + I i + Ci ) e!i + e!!i + I i Ci ∫ (q di − qi )dt − si ( ) ) Vì ei → 0, e!i → 0, e!!i → 0, I i Ci ∫ (qdi − qi )dt − si → t → ∞ , bất đẳng thức trạng thái hệ thống thứ i tiến điểm cân (ei = 0, e!i = 0) Tổng quát hoá cho hệ thống, ta có điểm cân (e = 0, e! = 0), hay [q, q! ]T = [q const ,0]T ổn định tồn cục KẾT QUẢ MƠ PHỎNG 3.1 Mơ hinh toán học tay máy robot bậc tự [3] Xét hình chiếu cánh tay robot hình 1, gọi q véc-tơ vị trí hai khớp, đó: q = [q1 q2]T Hàm Lagrange cánh tay robot xác định bởi: L(q, q! ) = K (q, q! ) − P(q) (9), đó, K, P tổng động tổng hệ thống Hình Hình chiếu tay máy robot Phương trình Lagrange-Euler lực tổng qt tác động lên khâu thứ i xác d ⎡ ∂L(q, q! )⎤ ∂L(q, q! ) định bởi: τ i = ⎢ (10) − ;i = ÷ dt ⎣ ∂q! ⎥⎦ ∂q! Phương trình động lực học nhận cách áp dụng phương trình Lagrange: 10 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH τ = [m1lC21 + m2 l12 + m2 lC2 + 2m2 l1lC cos(q2 ) + I + I ]q!!1 + [ ] + m2 lC2 + m2 l1lC cos(q2 ) + I q!!2 − 2m2 l1lC sin (q2 )q!1q! − m2 l1lC sin (q2 )q! 22 τ = [m2 lC2 + m2 l1lC cos(q ) + I ]q!!1 + [m2 lC2 + I ]q!!2 + m2 l1lC sin (q )q!12 (11) (12) 3.2 Mô kết Với thông số: K Pi = K consti Ci + I i φi Ci I i ; K Ii = φi K consti ; K Di = φi a) Với Kconsti, Ii, φ i (i = 1÷ 3) số Ci C1 = 3; C2 = 10; C3 = 30 quỹ đạo đặt đa thức bậc Dap ung q va qd 50 u13 u12 u11 40 30 u dieu khien 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 Thoi Saigian lech[s] e 1.5 e13 e12 e11 Sai lech e 0.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 Thoi Dap unggian q va[s] qd 50 Dap ung q va qd u23 u22 u23 u21 u22 u21 50 40 30 40 20 q qd u dieu khien 30 10 20 -10 10 -20 -30 -40 -10 -50 0.5 0.4 0.5 -20 1.5 Thoi gian Sai1.5 lech [s] e 2.5 2.5 Thoi gian [s] e23 e22 e21 0.35 0.3 Sai lech e 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -0.05 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình Tín hiệu điều khiển sai lệch bám hệ {tương ứng với u1i, u2i e1i, e2i (i = 1÷3)} BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 11 * Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ quỹ đạo khâu bám quỹ đạo chuẩn chậm so với Ci lớn Nếu Ci lớn sai lệch ei khâu nhanh tiến hệ có dao động Tóm lại Ci ảnh hưởng đến tác động nhanh hệ b) Với Ci, Ii, φ I (i = 1÷ 3) số Kconsti Kconst1 = 0,1; Kconst2 = 0,6; Kconst3 = 1500 quỹ đạo đặt đa Dap thức bậc ung q va qd 50 u13 u12 u11 40 30 u dieu khien 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 Thoi Saigian lech [s] e 1.6 e13 e12 e11 1.4 1.2 Sai lech e 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 0.5 1.5 2.5 Thoi [s] Dap unggian q va qd 50 u23 u22 u21 40 30 u dieu khien 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 Thoi Saigian lech[s] e 0.4 e23 e22 e21 0.35 0.3 Sai lech e 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -0.05 -0.1 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình Tín hiệu điều khiển sai lệch bám hệ {tương ứng với u1i, u2i e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy: Khi Kconsti nhỏ, hệ có dao động so với Kconsti lớn Khi Kconsti lớn, tín hiệu điều khiển có thay đổi u nhanh Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ ảnh hưởng đến ổn định hệ  ... u13 u12 u11 40 30 u dieu khien 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 Thoi Saigian lech[s] e 1.5 e13 e12 e11 Sai lech e 0.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 Thoi Dap unggian q va[s] qd 50 Dap ung q va qd u23 u22... 20 -10 10 -20 -30 -40 -10 -50 0.5 0.4 0.5 -20 1.5 Thoi gian Sai1.5 lech [s] e 2.5 2.5 Thoi gian [s] e23 e22 e21 0.35 0.3 Sai lech e 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -0.05 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình... u12 u11 40 30 u dieu khien 20 10 -10 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 Thoi Saigian lech [s] e 1.6 e13 e12 e11 1.4 1.2 Sai lech e 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 0.5 1.5 2.5 Thoi [s] Dap unggian q va qd 50 u23