8 dat phong va dung 4483

82 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ (35) 2014 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA TẤM FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO Ngô Phát Đạt Ngô Thành Phong Trần Trung Dũng Ngày nhận bài:01/12/2013 Ngày nhận lại:18/02/2014 Ngày duyệt đăng:10/03/2014 TÓM TẮT Trong báo này, phương pháp phần tử hữu hạn tích hợp với lý thuyến biến dạng cắt bậc cao loại C0 để phân tích ổn định nhiệt vật liệu biến đổi chức (tấm FGM) Trong FGM, thuộc tính vật liệu giả định phân bố khác dọc theo chiều dày luật phân phối đơn giản thành phần thể tích Ổn định FGM chịu tác động tải nhiệt phân tích số chi tiết Độ xác tin cậy phương pháp kiểm chứng cách so sánh với kết lời giải khác cơng bố trước Từ khóa: Tấm FGM, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT), phân tích ổn định ABSTRACT In this paper, the finite element method is intergated with the C0-type higher-order shear deformation theory (HSDT) for mechanical and thermal buckling analyses of functionally graded material plates (FGM) In the FGM, the material properties are assumed to vary through the thickness by a simple power rule of the volume fractions of the constituents The buckling behavior of FGM plates under mechanical and thermal loads is numerically analyzed in detail The accuracy and reliability of the present method is verified by comparing with those of other published solutions in the literature Keywords: TỔNG QUAN Năm 1984, nhóm nhà khoa học Nhật Bản [1] tìm mơ hình vật liệu với thuộc tính vượt trội so với vật liệu trước gọi vật liệu biến đổi chức (functionally graded material - FGM) Mặt FGM thường làm từ gốm mặt kim loại Gốm cách nhiệt tốt chịu nhiệt độ cao, kim loại chịu tác động học tốt Vì FGM làm việc môi trường nhiệt độ cao phù hợp cho cấu trúc hàng không vũ trụ, nhà máy điện hạt nhân hay công nghiệp bán dẫn, v.v Với thuộc tính ưu việt FGM nhiều ứng dụng thực tiễn, FGM nhà khoa học giới quan tâm nghiên cứu nhiều phương pháp khác Huang Shen Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp.HCM Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp.HCM Trường Đại học Mở Tp.HCM KHOA HỌC KỸ THUẬT [2] nghiên cứu đáp ứng dao động phi tuyến cuả FGM môi trường nhiệt Yang Shen [3] phân tích dao động tự FGM môi trường nhiệt Najafizadeh [4] phân tích ổn định trịn FGM dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Vel Batra [5] sử dụng lời giải 3D để phân tích đáp ứng lực FGM nhiều lý thuyết khác Matsunaga [6,7] sử dụng lý thuyết bậc cao mơ hình 2D để phân tích dao động tự ổn định FGM Thêm vào đó, số phương pháp phần tử hữu hạn [8-26] phương pháp không lưới (meshfree methods) [27-29] nghiên cứu để giải cho FGM Tuy nhiên phần lớn nghiên cứu sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao liên tục C1 (xấp xỉ phần tử hữu hạn bậc cao) Bên cạnh đó, hầu hết lý thuyết bắt buộc phần tử liên tục C1 phương trình vi phân phương trình vi phân bậc bốn Vì vậy, việc chia lưới xấp xỉ trường chuyển vị phức tạp, địi hỏi chi phí tính toán cao Để khắc phục vấn đề trên, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao loại C0 (C0-HSDT) [30, 28] đề xuất Tuy nhiên, phần tử tam giác tuyến tính kết hợp C0-HSDT cho phân tích ổn định nhiệt FGM hạn chế Trong báo này, áp dụng phương pháp (phần tử tam giác ba nút kết hợp lý thuyết biến dạng cắt bậc cao loại C0) để phân tích lớp tốn ổn 83 định nhiệt FGM Ảnh hưởng tải tải nhiệt đến độ ổn định FGM khảo sát số chi tiết so sánh với kết phương pháp khác công bố trước để đánh giá độ xác tin cậy phương pháp Các thuộc tính vật liệu dọc theo chiều dày phụ thuộc vào luật phân phối tỉ lệ thể tích thành phần cấu tạo nên FGM PHƯƠNG TRÌNH DẠNG YẾU VÀ CÔNG THỨC PHÂN TỬ HỮU HẠN 2.1 Vật liệu FGM Vật liệu FGM thường hình thành từ hai hay nhiều loại vật liệu khác phân bố dọc theo chiều dày theo tỉ lệ định thể Hình 1a Thuộc tính vật liệu FGM phụ thuộc vào tỉ lệ phân phối vật liệu cho công thức sau [31] P( z ) = ( Pc − Pm )Vc + Pm ; Vc = ( 12 + (n ≥ 0) (1) m c ký hiệu cho kim loại (metal) gốm (ceramic); P thuộc tính vật liệu bao gồm mơ đun đàn hồi Young E, khối lượng riêng ρ, hệ số Poisson ν, hệ số dẫn nhiệt k hệ số giãn nở nhiệt α; Pc Pm ký hiệu thuộc tính gốm kim loại; Vc tỉ lệ thể tích gốm; z tọa độ dọc theo chiều dày nằm khoảng từ -t/2 đến t/2; n hệ số tỉ lệ thể tích Hệ số tỉ lệ thể tích phân bố dọc theo chiều dày thể Hình 1b Hình (a) Vật liệu FGM; (b) Tỉ lệ thể tích Vc dọc theo chiều dày (a) ) z n t (b) 84 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ (35) 2014 Khi n = 0, hoàn toàn làm gốm n → ∞ , hoàn toàn vật liệu kim loại 2.2 Phương trình dạng yếu cơng thức phần tử hữu hạn cho FGM đòi hỏi phải xấp xỉ phần tử bậc cao (liên tục C1) Như khó áp dụng phần tử hữu hạn thông thường để xấp xỉ trường chuyển vị phần tử hữu hạn thơng thường liên tục C0 Để khắc phục khó khăn giáo sư Reddy [30,31] xây dựng mơ hình liên tục C0 cho phần tử trường chuyển vị định nghĩa theo công thức sau Trong lý thuyết tấm, phương trình vi phân phương trình vi phân bậc bốn Do để xấp xỉ trường chuyển vị   4z3  4z3 4z3  4z3 u = u0 +  z −  β x − φx ; v = v0 +  z −  β y − φ y ; 3t  3t 3t  3t   t chiều dày tấm, u = {u0 v0 }T w0 w = w0 (2) chuyển vị màng độ võng mặt phẳng trung hòa; β = {β x β y } góc xoay xung quanh trục y x T Trong phương trình (2) giáo sư Reddy cộng thêm hai biến góc xoay φ = {φx φ y } để chuyển vector chuyển vị có bậc tự nút cho phần tử liên tục C1 thành vector chuyển vị có bậc tự nút cho phần tử liên tục C0 phù hợp với lý thuyết phần tử T hữu hạn u = [u0 v0 w0 β x β y φx φ y ]T Biến dạng mặt phẳng cho Mindlin cho công thức sau (3) [ε xx ε yy γ xy ]T =ε + z κ1 + z 3ê biến dạng màng tính { ∂u0 ε0 = ∂x ∂v0 ∂u0 ∂y ∂y (4) } + ∂∂vx0 = ∇s u biến dạng uốn tính theo cơng thức sau κ1 = λ ∇β + (∇β)T } ; κ = { {(∇φ + (∇φ) ) + (∇β + (∇β) )} với λ = − t4 T T (5) biến dạng cắt tính γ xz γ yz  = ås + z 2ê s= ; ås ∇w + β ; ê s= c (β + φ ) T (6) với ∇ =[∂ / ∂x ∂ / ∂y ]T toán tử đạo hàm Quan hệ ứng suất biến dạng từ định luật Hook  ν ( z)   E ( z)  E ( z ) 10    ( å0 + z κ1 + z 3= ν = ó κ2 ); ô ( z )   ( ås + z ê s ) 01 ν + ( z ) −ν ( z )  ( )    (1−ν ( z ) )     (7) KHOA HỌC KỸ THUẬT 85 với E(z) mô đun đàn hồi Young; ν(z) hệ số Poisson phụ thuộc luật phân phối cho phương trình (1) Phương trình dạng yếu cho phân tích ổn định FGM cho óˆ 0 ∫ δεTp óD*ε p dΩ + ∫ δγ T D*S γdΩ + t ∫ ∇T δ w ˆ ∇wdΩ + t ∫ ∇T δ u0 ∇T δ v0   + óˆ t3 ∇T δβ x ∇T δβ y   ∫  Ω 12 0 Ω Ω Ω Ω   ∇β x  óˆ t3 ∇T δφx ∇T δφ y   d Ω +    ∫  Ω óˆ  ∇β y  12 0   ∇u0  dΩ óˆ   ∇v0    ∇φ x    dΩ =0 óˆ  ∇φ y  (8) với ε p , ã có dạng ε p ={ε ê ê } , ã ={ε s ê s} T T (9) ma trận số vật liệu D∗ D∗S cho (10) D∗ = [A B E; B D F; E F H ] , D∗S = [A s B s ; B s Ds ] (1, z, z , z , z , z ) Q dz i, j ∫= = ( Aij , Bij , Dij , Eij , Fij , Hij ) = ( Aijs , Bijs , Dijs ) h/2 −h/2 ij (1, z , z ) Qij dz i, j 4,5 ∫= h/2 1, 2,6 (11) −h/2 σ τ xy0  óˆ =  0x 0 τ xy σ y  (12) Dưới tác động tải cơ, ứng suất có dạng = σ x0 N y0 N xy0 N x0 = ; σ y0 = ; τ xy0 t t t (13) Dưới tác động tải nhiệt t/2 E( z) N x0 = N y0 = ∫−t / −ν ( z ) k ( z )∆Tdz ; N xy = (14) đó, k(z) hệ số dẫn nhiệt Trong phương pháp phần tử hữu hạn, miền toán Ω rời rạc thành N e N phần tử cho Ω=  Ωe Ωi ∩ Ω j ≠ ∅ , i ≠ j Trường chuyển vị cho FGM e=1 cho u h = [u0 v0 w0 β x β y φx φ y ]T xấp xỉ theo công thức sau e uh Nn diag( N , N , N , N , N , N , N )d ∑= i =1 i i i i i i i i Nd (15) với N n tổng số nút miền toán rời rạc; N i hàm dạng tuyến tính phần tử tam giác ba nút nút thứ i; di = [ui vi wi β xi β yi φxi φ yi ]T vector chuyển vị nút ith 86 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ (35) 2014 Thế phương trình (15) vào (3), (6), biến dạng công thức (9) ðýợc viết lại nhý sau T = åh = å p ã  Nn ∑B d * i i=1 (16) i với B*i ma trận biến dạng chuyển vị cho (B ) (B ) (B ) (B ) B*i = ( Bim )  b1 T i T b2 T i s0 T i   s1 T i (17) B m i Bis0  Ni , x 0 0 0   N i , y 0 0  , Bbi =  Ni , y Ni , x 0 0 0   0 0 N i , x  0 0 0 0 N i , y  0 Ni , x Ni 0  0 0 Ni , Bis1 c  =  0 0 0 Ni , y Ni 0 0 0 Ni , x c B = 0 0 0 0 Ni , y  Ni , x Ni , y Ni , y Ni , x b2 i Ni , y Ni , x 0  0 0  Ni 0 Ni 0 N i  (18)   Ni , y  N i , x  với N i , x N i , y đạo hàm hàm dạng theo hướng x y Phương trình rời rạc cho phân tích ổn định FGM có dạng (K - λcr K g )d = (19) λcr tải tới hạn nhiệt K g ma trận độ cứng hình học tính ∫ = Kg Ω BTg mB g dΩ (20) với m cho  tóˆ  tóˆ    m=     sym  0 tóˆ 0 0 t3 ˆ 12 ó 0 0 t ˆ 12 ó 0 0 t3 12 0 0          t3 ˆ  12 ó  óˆ (21) K ma trận độ cứng toàn cục lắp ghép từ ma trận độ cứng phần tử K e có dạng sau = K K ∑ ( ∫ B D B d Ω + ∫ S D S dΩ ) ∑=    Ne Ne e =e =e Ωe T i * j Ωe Ke T i * s j (22) KHOA HỌC KỸ THUẬT 87 Bi Si xác định Bi = ( Bim )  T (B ) (B ) b1 T i b2 T i ( ) (B ) Si =  Bis0  T VÍ DỤ SỐ Trong phần này, chúng tơi khảo sát độ xác tính hiệu phương pháp cho phân tích ổn định FGM Tấm có điều kiện biên gối tựa (simply supported – S) ngàm (clamped - C) Ký hiệu CCCC SSSS điều kiện ngàm gối tựa dọc theo cạnh chữ nhật 3.1 Ổn định Chúng tơi xét vng Al/ZrO2-2 có chiều dài cạnh L = 0.2, chiều dày t = 0.01 chịu tải nén mặt phẳng s1 T i   (23)   (24) Oxy Hình thể tải tới hạn FGM với điều kiện biên CCCC SSSS Kết cho thấy rằng, nghiệm phương pháp đề xuất trùng khớp với nghiệm kpRitz [28] (sử dụng phương pháp Meshfree, xấp xỉ trường chuyển vị bậc cao) cho giá trị phân phối thể tích n = 0, 0.2, 0.5, 1, 2, Ngồi ra, thấy rằng, tải tới hạn giảm tỉ lệ thể tích n tăng lên n tăng độ cứng giảm Ngoài ra, bốn dạng dao động ổn định thể Hình Hình Tải tới hạn ổn định cuả vuông (a) Dạng dao động thứ (b) Dạng dao động thứ 88 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ (35) 2014 Hình Bốn dạng dao động ổn định FGM (a) Dạng (b) Dạng (c) Dạng (d) Dạng 3.2 Ổn định nhiệt Trong ví dụ này, chúng tơi xét hình vng Al/Al2O3 với tỉ lệ L/t = 10 chịu tác động nhiệt độ phân bố dọc theo chiều dày Hình thể nhiệt độ tới hạn FGM ứng với n = 0, 1, Từ kết ta thấy nghiệm phương pháp trùng khớp với nghiệm dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) lý thuyết cổ điển nghiên cứu Lanhe [32] (trường chuyển vị xấp xỉ liên tục C1) Hình Nhiệt độ tới hạn FGM ... ổn định thể Hình Hình Tải tới hạn ổn định cuả vuông (a) Dạng dao động thứ (b) Dạng dao động thứ 88 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ (35) 2014 Hình Bốn dạng dao động ổn định FGM (a)... tính tốn cao Để khắc phục vấn đề trên, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao loại C0 (C0-HSDT) [30, 28] đề xuất Tuy nhiên, phần tử tam giác tuyến tính kết hợp C0-HSDT cho phân tích ổn định nhiệt FGM... (phần tử tam giác ba nút kết hợp lý thuyết biến dạng cắt bậc cao loại C0) để phân tích lớp tốn ổn 83 định nhiệt FGM Ảnh hưởng tải tải nhiệt đến độ ổn định FGM khảo sát số chi tiết so sánh với kết