NGHIÊN CỨU MƠ HÌNH TỐN MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU CÓ KỂ ĐẾN VẬN TỐC THEO CHIỀU ĐỨNG TẠI ĐÁY BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 4.1, 2020 19 NGHIÊN CỨU MƠ HÌNH TỐN MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU CÓ KỂ ĐẾN VẬN TỐC THEO CHIỀU ĐỨNG TẠI ĐÁY BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAYLOR - GALERKIN STUDYING A NUMERICAL MODEL FOR SOLVING THE ONE DIMENSIONAL FLOW ACOUNTING FOR VERITCAL VELOCITY AT THE BED OF CHANNEL WITH TAYLOR - GALERKIN FINITE ELEMENT METHOD Huỳnh Phúc Hậu1, Nguyễn Thế Hùng2, Trần Thục3 Trường Cao đẳng Giao thông Vận tải Trung ương V; huynhphuchau1978@gmail.com Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng; profhungthenguyen@gmail.com Viện Khoa học Khí tượng Thủy văn Biến đổi Khí hậu; tranthuc.vkttv@gmail.com Tóm tắt - Trong báo này, hệ phương trình chiều có vận tốc thẳng đứng đáy lòng dẫn xây dựng, đặt tên hệ phương trình chiều suy rộng (1DE), cách tích phân hệ phương trình hai chiều đứng (2DV) Phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin sử dụng để giải số; rời rạc theo thời gian với độ xác bậc 3; để rời rạc theo khơng gian, sử dụng hàm nội suy bậc hai Rời rạc theo thời gian thực trước rời rạc theo khơng gian Thí nghiệm mơ hình vật lý có vận tốc theo chiều đứng đáy kênh thực nhằm cung cấp số liệu để kiểm tra tính đắn mơ hình tốn lời giải số; thí nghiệm thực với cấp lưu lượng khác Số liệu đo đạc thí nghiệm so sánh với kết tính tốn theo mơ hình tốn 1DE cho thấy phù hợp tốt, số Nash trường hợp đạt 98% Abstract - In this paper, extended 1D equations accounting for vertical velocities at the bottom of channel are investigated by integration from 2DV equations The Taylor - Galerkin finite element method is used to solve the numerical solution with the third order accuracy in time Second order Interpolation functions are used in space discretion In the Taylor - Galerkin process, the time discretion precedes space discretion An experiment on physical model is implemented to verify the capacity of the proposed numerical model with different cases of discharges The very good agreement between numerical results and experimental ones can be observed Nash - Sutcliffe model efficiency coefficients are up to 98% Từ khóa - Phần tử hữu hạn; Taylor - Galerkin; chiều suy rộng; mơ hình vật lý; vận tốc chiều đứng Key words - FEM; Taylor - Galerkin; extended 1D; physical model; vertical velocities Đặt vấn đề Hệ phương trình vi phân phi tuyến Saint - Venant (hay xem hệ phương trình nước nơng chiều) sử dụng rộng rãi việc mô dịng chảy khơng ổn định chiều lịng dẫn hở Trong năm gần đây, có nhiều nghiên cứu việc giải hệ phương trình xét tới dòng chảy chịu ảnh hưởng trọng lực hay lực Coriolit [1] Tuy nhiên, thực tế có trường hợp dịng chảy qua vùng có nước trồi, hay đáy kênh có vật nhơ lên,… gây xáo trộn đáy lịng dẫn Vì vậy, để xét tới thành phần nhóm tác giả xây dựng hệ phương trình 1DE Mặt khác, việc lựa chọn phương pháp số phù hợp để giải hệ phương trình vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Lai nnk [1] dùng phương pháp phần tử hữu hạn discontinuous Galerkin để giải, Pilotti nnk [2] lại dùng phương pháp sai phân hữu hạn Mac Cormack để có nghiệm xác bậc hai theo thời gian; nhiên, số hạng nguồn xét tới ảnh hưởng độ dốc đáy ma sát Vì vậy, nội dung báo này, nhóm tác giả xây dựng hệ phương trình 1DE dùng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor - Galerkin để giải hệ phương trình 1DE với độ xác lời giải số bậc ba theo thời gian Chương trình tính viết ngơn ngữ FORTRAN Bên cạnh đó, để đánh giá tính đắn mơ hình tốn lời giải số việc mơ ảnh hưởng dịng chảy có nguồn bổ sung theo chiều đứng đáy lịng dẫn, mơ hình vật lý theo tỉ lệ 1:1 thiết lập Phịng Thí nghiệm trọng điểm Quốc gia động lực học sông biển, Viện Khoa học Thủy lợi Việt Nam, nhằm kiểm chứng với kết tính mơ hình số Mơ hình tốn 2.1 Hệ phương trình vi phân xuất phát từ dòng chảy hai chiều đứng [3, 4] Hệ phương trình vi phân xuất phát [2] ∂u ∂t ∂w ∂t +u ∂u +u +w ∂x ∂w ∂x ∂u + ∂p − +w ∂z + ∂z + ∂u ∂x =0 +g=0 ρ ∂z Phương trình liên tục: ∂w ∂τ ∂z ρ ∂x ρ ∂z ∂w ∂p =0 (1) (2) (3) Điều kiện biên mặt thoáng: dh/dt = wm Khi: z = h, p = Điều kiện biên đáy z = 0, w = w* w* = w*(x,t) Chất lỏng thực nên: ∂u ∂z ≠ (do tính nhớt) (4) (5) (6) (7) (8) 2.2 Thành lập hệ phương trình dịng chảy chiều suy rộng Tích phân phương trình liên tục (3) từ đến h vận tốc đứng mặt thoáng wm wm = − ∂ h ∫ u dz ∂x + um ∂h ∂x + w∗ (9) Tích phân phương trình (3) từ đến z áp dụng quy tắc Leibnitz vận tốc đứng w cao độ z w= − ∂ z ∫ udz ∂x + uz ∂z ∂x + w∗ (10) Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Trần Thục 20 Tích phân (1), tính với điều kiện biên (5) h ∂ h ∂h ∫ u dz − um ∂t − um ∂x ∫0 u dz + um w ∗ ∂t ∂ ∂ h ∫ u dz + ∂x (h < 𝑝 >) + ρ τb = ∂x ∂ Ký hiệu: < 𝑝 >= Viết thành dạng vector: + (11) (12) Thay (10) vào (2) tích phân từ z đến h ta được: d d ∂ h2 h ̅̅̅h̅ ∙ )) < 𝑝 >= (g + w ∗ ) + (− (U dt dt ∂x 2 1d ∂ h3 ∂ ∂h ̅̅̅h̅ ∙ )) + (− ̅U̅̅h̅ ∙ h + um + ( (U + w ∗) h dt ∂x ∂x ∂x ∂ ∂h ̅̅̅h̅h) + uh + w ∗) − (− (U ∂x ∂x h h h ̅̅̅z z) ∂2 z 1 ∂ ∂z ∂2 (U ̅̅̅z z) dz − ∫ zuz dz − ∫ zuz (U ∂x ∂z h h ∂x ∂x ∂x ∂z h h2 ∂z ∂ z w ∂ w ∗ uh ∂ h2 ̅̅̅h̅ ) + + ∫ zu2z dz − (U ( ) h ∂x ∂x ∂z h ∂x h ∂x ∗ (13) Thế (13) vào (11), giả thiết w* h biến đổi chậm, dw/dz > dw/dx, bỏ qua vô bé ta phương trình thứ nhất: ∂ h ∂h ∂ h ∂ h ∫ u dz + ∂x ∫0 u2 dz − um ∂t − um ∂x ∫0 u dz ∂t ̅̅̅̅ ∂ h2 ∂w∗ h2 ∂2 U ∂ h2 ) − w ∗ 2z + τb um w ∗ + g ( ) + ( ∂x ∂t ρ ∂x 2 ∂x + =0 (14) Thay (9) vào (4), ta nhận phương trình thứ hai Dh dt = ∂h ∂t + um ∂ h ∫ udz ∂x ∂h =− ∂2 v − ghn2 v|v|R−3 − ∂x + um ∂h ∂x + w∗ (15) 2.3 Hệ phương trình chiều suy rộng có kể đến vận tốc theo chiều đứng đáy lòng dẫn ∂(hv) ∂h + = w∗ (16) ∂t ∂(hv) ∂t ∂x h2 = w∗ ∂x2 ∂(hv2 ) ∂(h) − − (g + a)h (17) ∂x ∂x Trong đó, h: độ sâu dòng chảy; v: vận tốc dòng chảy; g: gia tốc trọng trường; n: hệ số nhám lòng dẫn R: bán kính thủy lực Dịng chảy bổ sung đáy lịng dẫn gây xáo trộn, có vận tốc w* gia tốc 𝑎 = 𝜕w∗ 𝜕𝑡 Phạm vi áp dụng mơ hình chiều suy rộng lịng dẫn có mặt cắt ngang chữ nhật tương tự Viết lại hệ phương trình chiều suy rộng theo cặp biến (h, v), ta ∂h ∂t ∂v ∂t +v ∂h ∂x +h + (g + a) ∂v = w∗ ∂x ∂(h) ∂x +v h ∂(v) ∂x = w∗ = ∂2 v ∂x2 Hay: (19) (20) Trong vec-tơ ẩn p = (h,v) ; f thông lượng Ma trận Jacobian D(p) tính biểu thức (21) v h 𝜕𝑓(𝑝) ] (21) = 𝐷(𝑝) = [ (g + a) v 𝜕𝑝 Số hạng nguồn phương trình (20) xác định bằng: T h ∫ pdz ρh ∂ ∂2 ̅̅̅z z) ̅̅̅z)dz (U + ∫ z (U h ∂x ∂x ∂z z ∂f(p) ∂p + ∂x = S(p) ∂t ∂p ∂p + D(p) ∂x = S(p) ∂t v − gn2 v|v|R−4/3 − w ∗ (18) h h S(p) = (w ∗ , w ∗ ∂2 v ∂x2 − gn2 v|v| ( bh ) b+2h −4/3 v T − w∗) h (22) 2.4 Rời rạc theo thời gian Thực khai triển véc tơ ẩn 𝑝𝑛+1 chuỗi Taylor theo t lân cận bên phải điểm thời gian t = 𝑡𝑛 đến bậc ba, nhận được: (∆𝑡)3 𝑡𝑡𝑡 (∆𝑡)2 𝑡𝑡 𝑝𝑛+𝜃 + 𝑝𝑛 + 𝑂((∆𝑡)3 ) 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + ∆𝑡𝑝𝑛𝑡 + 𝜃 𝑡𝑡 + 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + ∆𝑡𝑝𝑛𝑡 + ( + ) (∆𝑡)2 𝑝𝑛+1 𝜃 (23) = ( − ) (∆𝑡)2 𝑝𝑛𝑡𝑡 Trong đó: 𝜃 trọng số ẩn, 𝑝𝑛𝑡 đạo hàm bậc theo thời gian p đánh giá t = 𝑡𝑛 Và tương tự vậy, 𝑝𝑛𝑡𝑡 đạo hàm bậc hai: ∂p ∂t =− ∂f(p) + ∂x S(p) = − [ ∂f(p) − ∂x S(p)] (24) Vậy: ∂ ∂f(p) ∂ ∂2 p =− + (S(p)) ∂t ∂x ∂t ∂t 𝜕 𝜕𝑓(𝑝) 𝜕𝑝 𝜕𝑆(𝑝) 𝜕𝑝 =− + 𝜕𝑥 𝜕𝑝 𝜕𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕 𝑝 𝜕 = − [𝐷(𝑝) ] + 𝐵(𝑝) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑓(𝑝) 𝜕𝑓(𝑝) 𝜕 [𝐷(𝑝) [ − 𝑆(𝑝)]] − 𝐵(𝑝) [ − 𝑆(𝑝)] = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (25) Thay (24) (25) vào phương trình (23): θ ∂p ∂ p𝑛+1 − ( + ) (∆t)2 ( [D(p)[D(p) − S(p)]])n+1 ∂x ∂x ∂p θ + ( + ) (∆t)2 (B(p) [D(p) − S(p)]) ∂x = p𝑛 − ∆t [D(p) θ 3 − S(p)] ∂x n ∂p ∂ ) (∆t) ( [D(p)[D(p) ∂x ∂x ∂p θ +( − ∂p − ( − ) (∆t) (B(p)[D(p) ∂x n+1 − S(p)]])n − S(p)])n (26) 2.5 Rời rạc theo không gian Gọi chiều dài phần tử chiều bậc 2L, có nút 1, 2, Chọn gốc tọa độ địa phương nút đầu 1, hướng x dương từ nút đầu đến nút cuối Chọn hàm nội suy bậc 2, ta có: (x − x2 )(x − x3 ) (x − L)(x − 2L) ψ1 = = (x1 − x2 )(x1 − x3 ) (0 − L)(0 − 2L) (x − L)(x − 2L) = 2L2 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 4.1, 2020 (x−x1 )(x−x3 ) = (L−0)(L−2L) (x−x2 )(x−x1 ) = (2L−L)(2L−0) ) Ψ2 = (x = −x1 )(x2 −x3 ) (x−0)(x−2L) x(x − 2L) x(2L − x) = −L2 L2 Ψ3 = (x −x2 )(x3 −x1 (x − L)x = 2L2 (x−L)(x−0) Áp dụng tích phân trọng số cho phương trình (10) trên, với sử dụng tích phân phần cho đạo hàm bậc ta hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định phương trình hệ ma trận phần tử, sau ghép nối hệ phương trình tổng thể, gán điều kiện biên để giải vectơ ẩn số bước thời gian Chương trình tính lập trình ngơn ngữ FORTRAN Kết tính so sánh với số liệu thí nghiệm thực Phịng Thí nghiệm trọng điểm Quốc gia động lực học sông biển + Điều kiện ban đầu chiều sâu dòng chảy lưu tốc tất nút + Điều kiện biên chiều sâu dòng chảy lưu tốc nút đầu thượng lưu, chiều sâu dòng chảy nút cuối hạ lưu, vận tốc chiều đứng đáy + Các số liệu đầu vào khác: Bao gồm thông số mặt cắt ngang, hệ số nhám + Các số liệu đầu chiều sâu dòng chảy lưu tốc tất nút thời điểm tính tốn Mơ hình vật lý 3.1 Mơ tả thí nghiệm Thí nghiệm kiểm chứng mơ hình tốn dịng chảy hở chiều có vận tốc theo chiều đứng đáy lòng dẫn thực Phòng Thí nghiệm Trọng điểm Quốc gia Động lực học Sơng biển Mơ hình thí nghiệm: Máng kính mặt cắt ngang chữ nhật rộng 50 cm, cao m, dài 15 m Để tạo điều kiện biên vận tốc chiều đứng đáy dịng chảy, máng kính chia thành phần: Phần dòng chảy ngăn cách lớp bê tông dày 5cm lớp vữa xi măng dày 25 cm xoa phẳng Phần gọi đường hầm có bề rộng 0,44 m, chiều cao 0,15 m Thiết bị đo lưu lượng sử dụng thí nghiệm đập lường thành mỏng tiết diện chữ nhật có bề rộng b = 0,6 m; chiều cao đập lường P = 0,75 m Công thức đo lưu lượng: Q = m b H √2gH với hệ số lưu lượng m = 0,402+0,054.H/P Trong đó, H chiều sâu nước đỉnh đập lường (m) [5] 3.2 Tiến hành thí nghiệm Mặt cắt số (MC1) cách tâm khe đáy 350 cm thượng lưu MC2 cách tâm khe 300 cm thượng lưu MC3 cách tâm khe 200 cm thượng lưu MC4 cách tâm khe 100 cm thượng lưu MC5 tâm khe đáy MC6 cách tâm khe 100 cm hạ lưu MC7 cách tâm khe 200cm hạ lưu MC8 cách tâm khe 300 cm hạ lưu MC9 cách tâm khe 400 cm hạ lưu MC10 cách tâm khe 450 cm hạ lưu 21 Giữa MC MC6 chia nhỏ thành mặt cắt cách 10 cm hai mặt cắt mực nước biến đổi nhiều Các cấp lưu lượng tổng Q: 70; 75; 80; 90; 95; 100; 105 (l/s) Các cấp lưu lượng dòng phía Q1: 45; 50; 60; 65; 70; 75 (l/s) Lưu lượng bổ sung Q2 = Q - Q1 Chiều sâu đo thước thép, máy thủy bình mia Mỗi mặt cắt ngang đo thủy trực để lấy trị số trung bình Khe đáy tạo vận tốc chiều đứng Hình Máng thí nghiệm Kết thí nghiệm thảo luận 4.1 Kết đo độ sâu mực nước Bảng Độ sâu mực nước Q = 75÷100; Q2 = 30 (l/s) Tên mặt cắt MC1 Độ sâu mực nước (cm) cấp lưu lượng Q (l/s) 75 80 90 95 100 22,64 22,84 23,74 23,97 24,31 MC2 23,49 23,67 24,09 25,17 25,54 MC3 23,54 23,82 24,39 25,24 25,89 MC4 22,64 23,49 24,49 24,84 25,49 MC5 20,99 21,99 23,09 23,59 24,14 MC6 10,34 11,24 11,79 12,64 12,89 MC7 9,99 10,79 11,54 12,57 12,76 MC8 9,64 10,44 11,24 12,46 12,62 MC9 9,77 9,89 11,16 11,97 12,34 MC10 9,74 9,84 11,11 11,87 12,29 Bảng Độ sâu mực nước chi tiết (cm) mặt cắt MC Q=75 Q=80 Q=90 Q=95 Q=100 1-4 22,65 23,50 24,50 24,85 25,50 22,65 23,50 24,50 24,80 25,50 22,65 23,50 24,50 24,75 25,45 22,70 23,45 24,50 24,75 25,50 22,65 23,45 24,50 24,75 25,45 22,80 23,40 24,40 24,75 25,55 23,00 23,35 24,40 24,65 25,50 22,70 23,25 24,30 24,70 25,40 22,35 22,85 24,10 24,50 25,30 10 22,20 22,65 24,00 24,30 25,00 11-5 21,00 22,00 23,10 23,60 24,15 Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Trần Thục 22 MC Q=75 Q=80 Q=90 Q=95 Q=100 0.300 h (m) 12 19,50 19,50 20,55 21,50 22,50 0.250 13 17,00 17,65 18,75 19,20 20,05 0.200 h đo (m) h tính (m) 14 14,15 14,95 16,25 16,90 17,90 0.150 15 12,00 13,00 14,50 15,30 15,80 0.100 16 11,25 12,10 13,50 14,35 14,70 0.050 17 10,85 11,60 12,90 13,50 14,20 0.000 18 10,70 11,45 12,50 13,10 13,80 19 10,55 11,30 12,10 12,80 13,50 20 10,50 11,20 11,90 12,65 13,25 21-6 10,35 11,25 11,80 12,65 12,90 4.2 So sánh kết thí nghiệm kết giải số mơ hình tốn Thí nghiệm nhằm kiểm chứng thuật tốn chương trình tính thiết lập [4] Qua kết so sánh thí nghiệm tính tốn Hình đến (sai số tương đối max 5,5%) cho thấy, tính đắn thuật tốn chương trình tính Về tính đồng dạng, mơ hình tỷ lệ 1:1 (ngun hình) đảm bảo tính đồng dạng 100% 0.250 0.200 h đo (m) 0.100 h tính (m) 0.050 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Hình Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 95 (l/s) 0.300 h (m) 0.250 0.200 h đo (m) 0.150 h tính (m) 0.100 0.050 x (dm) 0.000 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Hình Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 100 (l/s) Chỉ số Nash xác định theo công thức sau: E= 1− h (m) 0.150 x (dm) ∑(h0 −hm )2 ̅̅̅̅ ∑(h0 −h 0) Trong đó, hm giá trị tính theo mơ hình tốn, h0 ̅̅̅0 giá trị trung bình h0 giá trị thực đo, h Bảng Chỉ số NASH mơ hình x (dm) 0.000 Q (l/s) 75 80 Chỉ số NASH 0,9935 0,992 90 95 100 0,9898 0,9835 0,9781 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Hình Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 75 (l/s) 0.300 h (m) 0.250 0.200 h đo (m) 0.150 h tính (m) 0.100 0.050 x (dm) 0.000 Kết luận Bài báo xây dựng mô hình tính tốn dịng chảy hở chiều suy rộng có kể đến vận tốc theo chiều đứng đáy lịng dẫn Thuật tốn chương trình tính giải theo phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin với độ xác bậc theo thời gian, lời giải số kiểm nghiệm cách so sánh với kết thí nghiệm mơ hình vật lý cho thấy độ tin cậy tốt lời giải số 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 80 (l/s) 0.300 h (m) 0.250 0.200 0.150 h đo (m) h tính (m) 0.100 0.050 x (dm) 0.000 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 Hình Chiều sâu nước với lưu lượng Q = 90 (l/s) [1] W Lai and A.A Khan, "Discontinuous Galerkin Method for 1D shallow water flow in Natural Rivers”, J Engineering Application of Computational Fluid Mechanics, No 6, pp 74-86, 2014 [2] M Pilotti, A Maranzoni, M Tomirotti and G Valerio, "Gleno Dam Break: Case Study and Numerical Modelling”, J Hydraulic Engineering, Vol 137, No 4, pp 480-492, 2011 [3] M Hanif Chaudhry, "Open Channel Flow", Springer Science, 2008 [4] H P Hậu N T Hùng, "Mô hình tốn dịng chảy hở chiều suy rộng", Tuyển tập cơng trình hội nghị học thủy khí 2015, 2016 [5] N C Cầm, L C Đào, N V Cung, …, V V Tảo, "Thủy lực tập 2", Hà Nội: Nhà Xuất Nông nghiệp, 2006 (BBT nhận bài: 23/11/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 25/3/2020)