(SKKN HAY NHẤT) một số lưu ý khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ™™™™™™™™™™™™ MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực : Đình Thị Mai Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HÓA NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN Người thực hiện: ĐÌNH THỊ MAI Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: TỐN THANH HĨA NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC I Mở đầu Lí chọn đề tài…………………………………… …… ………………… Mục đích nghiên cứu………………………………… ……………………… Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………….………… Những điểm SKKN………………………………………………… II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1.Cơ sở lí luận SKKN……………………….………………………… 2.Thực trạng…………………………….…………… …………………… .4 Các sáng kiến kinh nghiệm…… ….……… ………………………….…… 4.Bài tập đề nghị…………………………………………………………………14 5.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm… …………………………….………15 III.Kết luận,kiến nghị Kết luận……….…………………………………………………………… 17 Đề xuất……………………………………………………… ………….……18 Tài liệu tham khảo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I.MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Theo A.A.Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5) Ở trường phổ thơng, học sinh giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Tốn học mơn học nghiên cứu “hình số” Mơn tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ: đại số, hình học, giải tích… Trong giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất “động” “tĩnh” Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tốn giải tích trường THPT khó khăn Qua thực tiễn sư phạm, qua q trình quan sát nhận thấy rằng: học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trước tốn giải tích nói chung tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng nói riêng Trên thực tế dạy tốn giải tích lớp 12, chương: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, phát lúng túng, sai lầm học sinh giải toán liên quan đến tích phân Những khó khăn, sai lầm học sinh thể trình làm tập, làm kiểm tra, thi Tôi nhận thấy để em tự tin gặp tốn liên quan đến tích phân, để em có hứng thú giải tốn tích phân, tơi phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm tốn liên quan đến tích phân khơng thể thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số lưu ý giải toán liên quan đến tích phân” Mục đích nghiên cứu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Giúp học sinh nhận dạng tốn sử dụng tích phân:tính tích phân,ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng tính thể tích khối trịn xoay.Trang bị cho học sinh phương pháp mang lại hiệu rõ nét Hai là: Từ lưu ý toán,từng dạng toán học sinh tự tin gặp toán liên quan đến tích phân mà khơng vướng phải sai lầm thường gặp Ba là: Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp kĩ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn có liên quan đến tích phân Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn tích phân:tích phân hàm số đa thức,phân thức,hàm trị tuyệt đối,hàm số lượng giác đặc biệt tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần:ngun hàm -tích phân ứng dụng giải tích lớp 12 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: -Nghiên cứu tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy – học giáo viên học sinh) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn) - Phương pháp đàm thoại vấn.(lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm 5.Những điểm SKKN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Năm 2012 nghiên cứu đề tài: "Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tích phân" Đến nay, tơi hồn thiện phát triển đề tài nghiên cứu: "Một số lưu ý giải tốn liên quan đến tích phân" với điểm sau: Một là: Sáng kiến kinh nghiệm trước dừng lại phát nêu sai lầm học sinh thường mắc phải làm tốn liên quan đến tích phân nghiên cứu này, sau phân tích sai lầm thường gặp học sinh khái quát thành lưu ý, ý (ghi nhớ) tốn, dạng tốn liên quan đến tích phân Hai là: Với hình thức thi trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia BGD (thời điểm nghiên cứu đề tài cũ hình thức thi tự luận) dạng tập, hình thức câu hỏi kéo theo học sinh cần thêm nhiều kỹ Do hệ thống ví dụ minh họa tập đề nghị đề tài nghiên cứu thay đổi cho phù hợp (các ví dụ, tập trích từ đề thi minh họa, đề thi thức BGD năm 2019,2020,2021) II NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận -Định nghĩa: Cho hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích b phân xác định đoạn [a; b] hàm số -Diện tích hình phẳng f ( x ), kí hiệu  f ( x)dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b xác b định: S =ò f ( x) dx a Chú ý: Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b ị a b f ( x) dx =ò f ( x)dx a -Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , x O a b S(x) ( V ) x (a £ x £ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] V (SO V(x)) a x b b V   S ( x) dx a b   S ( x )dx a b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V =òS ( x) dx a b) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox: y yO  f(x) x a b (C ): y f (x)  b (Ox): y 02 x x a a x b V    f (x)  dx y yO  f (x) a x b (C ) : b y  f ( x)  (Ox) : y  x x  a a  x  b V    f ( x) dx Thực trạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Học sinh khơng nắm vững định nghĩa ngun hàm Vì F  x  nguyên hàm hàm số f  x  R nên f  x    F  x   ' *Lời giải đúng: f  x    F  x   '   x  '  x Do F  x   x nguyên hàm hàm số f  x  R nên 3  f x dx    1     1   x  dx   x  x   10 Suy Chọn đáp án A Lưu ý vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân Ví dụ 3: Tính tích phân I =   3x  1 dx *Học sinh trình bày sau: I=   3x  1 dx   3x  1 0  15 *Nguyên nhân sai lầm là: Học sinh vận dụng công thức bảng x nguyên hàm: n dx  x n 1  C n 1 u Mà lẽ phải vận dụng công thức: n u ' dx  n 1 u C n 1 *Lời giải đúng: Ta có: I =   3x  1 dx    x  1 d  x  1 1   x  1 3  15 12 Lưu ý biến đổi hàm số Ví dụ : Tính tích phân I =  x  x  4dx *Học sinh trình bày sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I=  x2   x  2 dx    x  2dx    x    x  x  4dx    2 0 3  *Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi:  x  2  x  , x  0;3 không tương đương *Lời giải đúng:  x  2 I   2 dx    x2   x  dx     x dx    x  dx   x     2  x2     x      2 *Học sinh cần ghi nhớ: b Do đó:  2n b 2n f 2n a  x  dx   f 2n  x  f  x , n   * f  x  dx , ta xét dấu f(x) [a;b] a  Ví dụ 5: Tính tích phân I =   sin x dx *Học sinh trình bày sau:    0 I    sin x dx    sin x cos x dx    sin x  cos x    cos x  sin x   dx    cos x  sin x  dx   11  *Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi:  cos x  sin x   cos x  sin x , x  0;   không tương đương *Lời giải đúng  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   cos x  sin x  I  3  dx   cos x  sin x dx    cos x  sin x dx  3  sin x  cos x  0    sin x  cos x  3    cos x  sin x  dx 3  2 1 Lưu ý dùng cơng thức khơng có SGK hành Ví dụ 6: Tính tích phân I = x 1 dx  4x  *Học sinh trình bày sau: dx  arctan  x  2   x   1 I           4 *Nguyên nhân sai lầm: Học x sinh dùng cơng thức khơng có SGK hành: dx  arctan x  C 1 *Lời giải đúng: Đặt x   tan t  dx  1  tan t  dt x 1 t    Đổi cận: x   t  0 I Khi đó: 1  tan t dt   tan  2 t 1  dt  t       y *Học sinh cần ý tích phân hàm số:  x  x0   a ta đặt: x  x0  a tan t Lưu ý vận dụng phương pháp đổi biến số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  2x  Ví dụ : Tính tích phân I =  4x dx *Học sinh trình bày sau: Đặt u   x  u   x  dx   5u u  u2  I  du      12  6  udu 67 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đổi biến không đổi cận *Lời giải đúng: Đặt u   x  u   x  dx  udu x 2u 3 Đổi cận: x   u   5u u  u2  I  du      12  Khi đó: Ví dụ 8: Tính tích phân I =  x3 1 x2  128 12 dx *Học sinh trình bày sau: Đặt x  sin t  dx  cos tdt x0t 0 1 x   t  arcsin 4 Đổi cận: arcsin I Khi đó:  sin arcsin tdt    cos t  cos t  d cos t    cos t     ar sin Học sinh lúng túng khơng tính kết số lẻ 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *Nguyên nhân sai lầm: Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a  x học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint x = acost Tuy nhiên giáo viên cần ý em đổi biến số 2 2 theo cách đặt thông thường u  a  x *Lời giải đúng: 2 Đặt u   x  u   x  xdx  udu x   u 1 Đổi cận: x I Khi đó: 15 u 4 15   u3  u  du    u     15  33 15  192 Lưu ý vận dụng phương pháp tích phân phần  Ví dụ 9: Tính tích phân I =  x sin xdx *Học sinh trình bày sau: u  x u '    ' v  sin x  v   cos x Đặt I   x cos x     cos xdx  *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai chất phép đặt cơng thức lấy tích phân phần *Lời giải đúng: u  x du  dx   Đặt dv  sin xdx v   cos x 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  I   x cos x Khi đó:    cos xdx  sin x  1 Lưu ý sử dụng sai cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  ; x = 2; trục tung trục hoành *Học sinh trình bày sau  x3  S   x  dx    x       (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm: Cơng thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b b là: S   f  x  dx a Do đó, tính S phải xét dấu f(x) [a;b] *Lời giải đúng: Ta 4 1 1 1 S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx có:  x3  S   x  dx    x dx   x  dx   x     0 2      x3     x    2 (đvdt) Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  liên tục R Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y  0, x  1 x  (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S    f  x  dx   f  x  dx A 1 1 S B S  1 f  x  dx   f  x  dx 1  f  x  dx   f  x  dx S    f  x  dx   f  x  dx 1 1 C D (Trích đề thi THPTQG thức BGD năm 2019) *Học sinh trình bày sau S  1 f  x  dx   f  x  dx *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh nhìn thấy diện tich miền tơ đậm tổng diện tích phần Phần 1:diện tích giới hạn y = f(x), trục hồnh hai đường thẳng x=-1,x=1 Phần 2:diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x=1,x=4 b Theo cơng thức tính diện tích S   f  x  dx a Thì phần đồ thị hàm số phía ox nên f(x) xét dấu âm *Lời giải đúng : S  1 f  x  dx   f  x  dx Lưu ý xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x ; y = x – trục hồnh *Học sinh trình bày sau: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x  x   x  x    x   x  13x  36    x  9 S x  x  dx      x2  x  x  dx   x   x  3   91 (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : - Phép biến đổi x   x  x    x  không tương đương - Hình phẳng mà học sinh xác định giới hạn hai đồ thị y  x ; y = x – (miền AOB) miền cần tính miền AOC 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *Lời giải đúng : Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị : 6  x  x 6x  x4 x    x + x 0 x0 + + 6 x0 x6 Khi : S   x dx     x dx  x  x2     x     22 (đvdt) Lưu ý vận dụng cơng thức tính thể tích khối trịn xoay Ví dụ 13 : Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = *Học sinh trình bày sau : y Ta có : y  ln x  x  e  VOy    e y dy   e2y 2   e  e  (đvtt) *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d + Trong công thức đổi cận VOy    x dy c cận giá trị biến y, học sinh chưa + Thể tích khối trịn xoay tạo thành hiệu thể tích hai khối trịn xoay đường cong y = lnx đường x = quay quanh Oy [0;ln2] *Lời giải đúng : 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y Ta có : y  ln x  x  e x 1 y  Đổi cận : x   y  ln y y=lnx ln2 o  VOy   ln  2 2 x   e y dy   (4 y  e2y ) ln 3     ln   2  (đvtt) Bài tập đề nghị Bài Gọi S diện tích hình phẳng phần gạch sọc tính A   x B   x   x  3x  dx 3 D  3x  dx 3 C  3x  dx 3 x 3  3x  dx 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  x2 1 f ( x)   x  2x  Bài Cho hàm số 23 A x  x  Tích phân 23 B   f (2sin x  1) cos x  dx 17 C 17 D (Trích đề minh họa BGD năm 2021) Bài Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f ( x) đạt cực trị hai điểm x1 , x2 thóa mãn x2  x1  f  x1   f  x2   Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng S1 gạch hình bên Ti số S A B C D Bài Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  x  y  x  125 A B  D 125 C (Trích đề thi THPTQG thức BGD năm 2020) Bài 5.Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  x , y  1 , x  x  tính cơng thức sau đây? A S     x  1 dx C S    x  1 dx B S    x  1 dx D S    x  1 dx (Trích đề thi minh họa BGD năm 2020) Hiệu sáng kiến đem lại Năm học 2019 – 2020 phân công giảng dạy hai lớp 12B2, 12B4 năm học đề tài nghiên cứu áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh gặp phải khó khăn định việc giải dạng tốn tích phân nêu 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chẳng hạn với tập : Tính tích phân I =   x  1 dx Với lớp 12B2: Sau học xong định nghĩa tích phân tơi đưa ví dụ để học sinh tự làm Rồi từ kết làm học sinh phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ghi nhớ cuối Với lớp 12B4: Tôi hướng dẫn, phân tích sai lầm thường gặp làm tập tích phân, sau tơi đưa ví dụ để học sinh áp dụng Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 12B2 40 9(22,5%) 26(65%) 5(12,5%) 12B4 42 34(80,1%) 6(14,3%) 2(5,6%) Kết cho thấy điểm lớp thực nghiệm 12B4 cao so với lớp đối chứng 12B2 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy thấy kết đạt khả quan Thời gian cuối năm dạy ôn tập, hệ thống lại kiến thức nghiên cứu sai lầm thường mắc phải kiến thức, kĩ năng, tư làm cho học sinh số tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng kết thu khả quan Chẳng hạn: Bài 1: Xét x  xe dx A  e u du 2 , đặt u  x  xe B  eu du x2 dx C u e du 0 D u e du 0 (Trích đề minh họa BGD năm 2020) Kết thu sau: Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12B2 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 12B4 42 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) Bài : Cho hình phẳng H giới hạn đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải 12B2 40 32(80%) 6(15%) 2(5%) 12B4 42 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1.Kết luận Đề tài nghiên cứu tơi phân tích số khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh giải tốn liên quan đến tích phân Với lượng kiến thức định nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc phải giải tốn Từ rút kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho Bài viết cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn 2.Đề xuất Bản thân tơi giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế lớp sâu nghiên cứu đề tài Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy thu kết đáng khích lệ, em khơng tự tin giải toán liên quan đến tích phân mà cịn có phần hứng thú với loại tốn Kính mong hội đồng khoa học, bạn đồng nghiệp em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, áp dụng rộng rãi trường THPT Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi kỳ thi THPT quốc gia có nhiều tốn liên quan đến tích phân khó,nên tơi mong 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com muốn chương trình GDPT mới,phần ơn tập chương Ngun hàm –Tích phân ứng dụng ứng dụng Sách giải tích 12 có thêm tập mức độ vận dụng để học sinh tự luyện(có hưỡng dẫn) Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng 04 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết đề tài Đình Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK giải tích 12 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán (Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội - 2004) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB giáo dục) Các đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng hàng năm (Sưu tầm) 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... đề tài: "Một số sai lầm thường gặp giải tốn liên quan đến tích phân" Đến nay, tơi hồn thiện phát triển đề tài nghiên cứu: "Một số lưu ý giải tốn liên quan đến tích phân" với điểm sau: Một là:... đó, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm tốn liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu là: ? ?Một số lưu ý giải toán liên quan đến tích phân? ?? Mục đích nghiên cứu LUAN VAN CHAT... thường mắc phải làm tốn liên quan đến tích phân nghiên cứu này, sau phân tích sai lầm thường gặp học sinh khái quát thành lưu ý, ý (ghi nhớ) tốn, dạng tốn liên quan đến tích phân Hai là: Với hình