LÝ THUYẾT TOÁN 10 – 11 12 THI THPT QUỐC GIA A. Hình học: I. Chương trình lớp 10: 1. Các kiến thức liên quan đến vectơ: + Tích vô hướng của hai vectơ: ) ; cos( b a b b a a + Cho (a1;a2 ) a . Khi đó a12 a22 a + Cho A(xA ; yA); B(xB; yB). Khi đó: 2 2 ( ; )B A B A B A B Ay y AB x x AB x x y y + Cho (a1;a2 ); a (b1;b2 ) b . Khi đó: 2 2 1 1 b a b b a a 0 2 2 1 1 a b b a b a . Ta thường dùng tính chất này để kiểm tra hai vectơ (hai đường thẳng) vuông góc. 12 22 12 22 1 1 2 2 ) ; cos( a a b b a b a b b a . Với ) ; ( b a là góc giữa hai vectơ a và b . 2 2 1 1 b a b a b a . + Cho A(xA ; yA); B(xB; yB). Gọi I(xI; yI) là trung điểm của AB. Khi đó ta có: 22 B I A B I A y y y x x x 2. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho tam giác ABC có độ dài các là a, b, c; bán kính đường tròn ngoại tiếp là R; bán kính đường tròn nội tiếp là r; đường cao, trung tuyến xuất phát từ A lần lượt là hA; mA; nữa chu vi là p; S là diện tích tam giác ABC. Khi đó ta có: + Định lý cosin: a2 = b2 + c2 2bc. cosA (tương tự ta có các hệ thức còn lại) + Định lý sin: R Cc Bb Aa 2 sin sin sin + Công thức trung tuyến: 4 2 2 2 2 2 a c ma b (tương tự ta có các hệ thức còn lại) Công thức tính diện tích: R pr abc ab C ac B bc A aha bhb chc 4 sin 2 sin 1 2 sin 1 21 12 12 2
LÝ THUYẾT TOÁN 10 – 11 - 12 THI THPT QUỐC GIA A Hình học: I Chương trình lớp 10: Các kiến thức liên quan đến vectơ: + Tích vơ hướng hai vectơ: ab a b cos(a; b ) + Cho a (a1 ; a2 ) Khi a a12 a22 + Cho A(xA ; yA); B(xB; yB) Khi đó: AB ( x B x A ; y B y A ) AB x B x A y B y A + Cho a (a1 ; a2 ); b (b1 ; b2 ) Khi đó: ab a1b1 a2 b2 a b a1b1 a2 b2 Ta thường dùng tính chất để kiểm tra hai vectơ (hai đường thẳng) vuông góc cos(a; b ) a1b1 a b2 a12 a 22 b12 b22 Với (a; b ) góc hai vectơ a b a b1 a b a b2 + Cho A(xA ; yA); B(xB; yB) Gọi I(xI; yI) trung điểm AB Khi ta có: x A xB xI y A yB yI Hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có độ dài a, b, c; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; đường cao, trung tuyến xuất phát từ A hA; mA; chu vi p; S diện tích tam giác ABC Khi ta có: + Định lý cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA (tương tự ta có hệ thức cịn lại) a b c 2R sin A sin B sin C b2 c2 a2 m + Công thức trung tuyến: a (tương tự ta có hệ thức cịn lại) + Định lý sin: Cơng thức tính diện tích: 1 S aha bhb chc 2 1 ab sin C ac sin B bc sin A 2 abc pr 4R S p( p a)( p b)( p c) (hệ thức Hê-rơng) oc 01 Phương trình đường thẳng: + Phương trình tổng quát đường thẳng qua M(x o; yo) có vectơ pháp tuyến n (a; b) là: a(x - xo) + b(x - xo) = + Phương trình tham số đường thẳng qua M(x o; yo) có vectơ phương n (a; b) là: H x xo at (tR) y y o bt d ( M ; ) nT hi D +Khoảng cách từ điểm M(x o; yo) đến đường thẳng có phương trình tổng qt ax + by + c = là: axo by o c a2 b2 ie a1b1 a b2 a12 a 22 b12 b22 iL cos uO + Cho đường thẳng ' có vectơ phương (vectơ pháp tuyến) n1 (a1 ; a2 ) n2 (b1 ; b2 ) Gọi góc hai đường thẳng Khi ta có: w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta Phương trình đường trịn: + Phương trình đường trịn có tâm I(a;b) bán kính R là: (x- a)2 + (y-b)2 = R2 + Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = phương trình đường trịn a b c >0 Khi có tâm I(- a; - b) bán kính R a b c Một vài ý: + Hai đường thẳng song song với có vectơ phương vectơ pháp tuyến + Hai đường thẳng vng góc với vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến đường thẳng ngược lại + Ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước + Một đường thẳng cắt trục toạ độ hai điểm mà khoảng cách từ điểm đến gốc toạ độ đường thẳng có phương trình y = ± x + b + Giả sử góc tạo tia Ox tia nằm đường thẳng y = ax + b có tung độ khơng âm Khi tan = a + Khi giải tốn toạ cần ý đến tính đối xứng tâm; đối xứng trục hình bình hành, hình chữ nhật hình vng, tính chất đường trịn; vận dụng tích vơ hướng vào giả thiết vng góc II Hình học 11: Quan hệ song song: - Chứng minh hai đường thẳng song song: + a // c a // b (với a, b phân biệt) b // c H ( ) //( ) + ( ) ( ) a a // b ( ) ( ) b a ( ) b ( ) a // c a // b (b // c) ( ) ( ) c a //( ) nT hi D a ( ) a // b ( ) ( ) b a //( ) s/ Ta d // a ( ) //( ) d ( ) d //( ) a //( ) a ( ) a ( ) iL - Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: ie uO a ( ) b ( ) a // b a b a //( ) a // b ( ) ( ) b oc 01 ( ) ( ) a ( ) ( ) b a // c + (với a, b, c ba đường thẳng phân biệt) ( ) ( ) c b // c a // b ro /g ( ) //( ) ( ) //( ) ( ) //( ) om a, b ( ) a b ( ) //( ) a //( ) b //( ) up - Chứng minh hai mặt phẳng song song (với ( ); ( ) hai mặt phẳng phân biệt) : ok c Quan hệ vuông góc: - Chứng minh hai đường thẳng vng góc: + Sử dụng định lý Pitago bo d ( ) d ( ) d a d a a ( ) a //( ) ce - Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: d a d b w w w fa d ( ) a b a, b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d - Hai mặt phẳng vng góc: d ( ) d ( ) ( ) //( ) a ( ) b ( ) a // b ( ) d ( ) //( ) ( ) d oc 01 a ( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a ( ) a ( ) ab bo ok Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song om c Khoảng cách hai đường thẳng chéo /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H 3, Khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng () ta làm sau: + Xác định mặt phẳng () qua M vng góc với () + Xác định giao tuyến d () () + Trong mặt phẳng (), dựng hình chiếu H M lên d Khi MH khoảng cách từ M đến () - Khảng cách hai đường thẳng chéo d d': Khi xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo d d' cần ý đến tính chất sau: + Khoảng cách d d' khoảng cách đường thẳng d' mặt phẳng chứa d song song với d' + Khoảng cách d d' khoảng cách mặt phẳng song song chứa d d' + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách điểm đường thẳng đến mặt phẳng Do xác định khoảng cách ta nên chọn điểm mặt phẳng mà thuận tiện cho việc xác định tính tốn Tóm lại, để xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo ta có sơ đồ sau: Khoảng cách điểm mặt phẳng w w w fa ce 4, Xác định góc khơng gian: -Xác định góc đường thẳng mặt phẳng cắt d () (với d () = O) + Trên d lấy điểm M khác O + Xác định hình chiếu H M lên () Khi góc MOH góc cần xác định - Xác định góc mặt phẳng () () Với () () = d: + Tìm mặt phẳng () vng góc với d + Xác định giao tuyến a b () (), () () Khi góc a b góc cần xác định (Chú ý ab việc đường thẳng a b dễ dàng bỏ qua bước 1) Một số ý liên quan đến quan hệ vng góc xác định khoảng cách, xác định góc khơng gian: w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 + Khi giải toán liên quan đến quan hệ vng góc cần ý đến đường thẳng "tựa" (đường thẳng vng góc với mặt phẳng đó) BỔ SUNG HÌNH + Trục đa giác đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Ta có tính chất liên quan: Nếu điểm cách đỉnh đa giác đáy hình chóp điểm nằm trục đa giác đáy Hai điểm S S' cách đỉnh đa giác đáy hình chóp SS' vng góc với mặt phẳng đáy Một số kiến thức khác: - Định lý diện tích hình chiếu: Cho hình H có diện tích S Giả sử H' hình chiếu vng góc H lên () H' có diện tích S' Gọi góc mặt phẳng chứa H () Khi ta có: S' = Scos - Cách chứng minh ba điếm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy: + Để chứng ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy không gian ta thường sử dụng định lý sau: Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt theo giao tuyến phân biệt a, b, c Khi a, b, c đồng quy song song Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm MN, A' giao điểm AG mặt phẳng (BCD) Qua M, kẻ đường thẳng Mx song song với AA' Mx cắt (BCD) M' Chứng minh B, M', A' thẳng hàng + Ngoài để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta sử dụng tính chất sau: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB k AC - Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng toán liên quan đến vectơ không gian: + Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta thường sử dụng định lý sau: bốn điểm phân biệt M, N, P, Q đồng phẳng tồn cặp số p, q cho MN p MP q MQ Ta thấy để giải toán ta cần phải biểu diễn vectơ theo vectơ lại Để thực bước ta làm sau: + Trước hết ta ý đến tính chất sau: Cho ba điểm A, B, C Khi ta có AC AB BC + Đối với hình học phẳng (trong tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng) ta chọn hai vectơ không phương cho việc biểu diễn vectơ cần hiển thị theo hai vectơ dễ dàng Tương tự hình học khơng gian ta chọn ba vectơ khơng đồng phẳng sau hiển thị vectơ liên quan theo ba vectơ 1 + Thể tích khối chóp: V= Sđáy.h oc 01 III Hình học 12: Các khối, mặt thể tích, diện tích chúng: a Thể tích, diện tích: (h: Chiều cao) R3 nT hi D Thể tích khối cầu: V = H + Thể tích khối lăng trụ: V = S đáy.h (h: Chiều cao) + Mặt cầu: Diện tích hình cầu: S = 4R2 uO + Hình trụ, khối trụ: Diện tích xung quanh hình trụ: S xq = 2Rl Thể tích khối trụ: V = R2l (R: bán kính đáy, l chiều cao) + Hình nón, khối nón: Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl ie Thể tích khối nón: V= R2h /g ro up s/ Ta iL (R: bán kính đường trịn đáy, l: độ dài đường sinh, h: chiều cao) Một số ý tính thể tích: + Nắm cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song + Các hệ thức lượng tam giác, tam giác đồng dạng, sứ dụng cơng thức diện tích hình chiếu (S'=Scos) + Ngồi ta sử dụng tính chất sau tính thể tích: Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm M, N, P Khi ta có: om VSMNP SM SN SP VSABC SA SB SC c + Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Khi đó: V S.ABD = VS.BCD = VS.ABCD w w w fa ce bo ok b Xác định tâm mặt cầu: - Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta làm sau: + Xác định trục đa giác đáy + Tìm đường trung trực cạnh bên mà đường cắt trục đa giác đáy Khi tâm mặt cầu giao điểm đường trung trực với trục đa giác đáy Chú ý: * Thông thường, để giảm bớt độ phức tạp, người ta thường cho toán mà trục đa giác đáy cạnh bên hình chóp đồng phẳng Khi đó, tâm hình chóp giao điểm đường trung trực cạnh bên (trung trực nằm mặt phẳng chứa cạnh bên trục đa giác đáy) trục đa giác đáy * Khi vẽ tâm cần ý tâm nằm bên hay bên ngồi khối chóp - Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón: Chính giao điểm đường thẳng qua đỉnh hình nón tâm đường trịn đáy (trục đường tròn đáy) đường trung trực đường sinh (đường trung trực nằm mặt phẳng chứa đường sinh trục đường tròn đáy) oc 01 - Tâm mặt cầu nội tiếp hình nón giao điểm trục hình trịn đáy đường phân giác góc tạo đường sinh đường kính hình đường trịn cắt đường sinh hvẽ Phương pháp toạ độ không gian: - Cho A(xA ; yA; zA); B(xB; yB; zB) Khi đó: AB ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) AB x B x A y B y A ( z B z A ) - Cho a ( x1 ; y1 ; z1 ); b ( x2 ; y2 ; z ) Khi đó: a b ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 - Tích có hướng hai vectơ: a ( x1 ; y1 ; z1 ); b ( x2 ; y2 ; z ) y z1 z1 x1 x1 y1 ( y1 z y z1 ; z1 x2 z x1 ; x1 y x2 y1 ) a , b ; ; y z z x x y 2 2 H nT hi D uO + Tính chất: Vectơ a, b vng góc với hai vectơ a b Tức là: a, b a = a, b b =0 a, b a b sin(a, b) Hai vectơ phương a, b = Ba vectơ a, b , c đồng phẳng a, b c - Phương trình mặt cầu: + Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z - c)2 = R2 + Phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = phương trình mặt cầu a b c d Khi đường trịn có tâm I(-a, -b, -c), bán kính ro up s/ Ta iL ie /g R a2 b2 c2 d bo ok c om - Phương trình mặt phẳng: + Phương trình mặt phẳng qua điểm M(x o; yo; zo) có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = + Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng qua điểm M(a; 0; 0); N(0; b; 0); P(0; 0; c) (với abc 0) là: x y z 1 a b c fa ce - Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = A'x + B'y + C'z + D' = Khi xả ba trường hợp sau: A B A' B' A + Hai mặt phẳng song song khi: A' w w w + Hai mặt phẳng trùng khi: C D C ' D' B C D B' C ' D' + Hai mặt phẳng cắt khi: A:B:C A':B':C' - Phương trình đường thẳng qua điểm M(x o; yo; zo) có vectơ phương n (a; b; c) : + Phương trình tắc (nếu abc 0): x xo y y o z z o a b c + Phương trình tham số: oc 01 x xo at y y o bt (tR) z z ct o - Vị trí tương đối hai đường thẳng: Trong không gian cho đường thẳng d có vectơ phương u qua M; đường thẳng d' có vectơ phương u ' qua M' Khi đó: + d d' trùng u , u ' u , MM ' nT hi D H uO u , u 'MM ' + d // d' u ku ' u , u 'MM ' + d d' cắt u ku ' (k R) + d d' chéo u , u 'MM ' iL ie Chú ý để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta xét hệ phương trình - Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ phương u qua M; mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) Khi đó: ro up s/ Ta un + d () M ( ) un + d // () M ( ) + d cắt () un Chú ý để xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ta xét hệ phương a1b1 a b2 a3b3 ok Cos = c om /g trình - Góc không gian: + Cho đường thẳng d đường thẳng d' có vectơ phương u = (a1; a2; a3) u ' = (b1; b2; b3) Gọi góc d d' Khi ta có: a12 a 22 a32 b12 b22 b32 fa ce bo + Tương tự góc hai mặt phẳng + Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ phương u = (a1; a2; a3) mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) Gọi góc d () Khi w ta có: sin a1 A a B a3C a12 a 22 a32 A B C w w - Khoảng cách không gian: + Khoảng cách từ điểm M(x o; yo; zo) đến mặt phẳng () có phương trình Ax + By + Cz + D = là: d ( M ; ( )) Ax o By o Cz o D A2 B C + Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng có vectơ phương u qua M: d ( M ; ) M M , u o u H u, u'M o M u, u' - Một số cơng thức tính thể tích, diện tích: + Diện tích ABC S AB, AC nT hi D d (; ' ) oc 01 + Cho đường thẳng có vectơ phương u qua M; đường thẳng ' có vectơ phương u ' qua M' (với d d' chéo nhau) Khi đo khoảng cách ' là: + Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là: V AB, AC AD ' AB , AC AD ' V Độ dài đường cao hình hộp h S ABC AB , AC V S ABC uO Ta Độ dài đường cao tứ diện h ie AB, AC .AD AB , AC AB, AC AD ' iL s/ + Thể tích tứ diện ABCD là: V /g ok c om ro up - Một số tốn liên quan: + Đưa phương trình đường thẳng từ dạng tham số sang dạng tắc ngược lại + Để chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng ta sử dụng cách sau: Kiểm tra AB, AC AD Viết phương trình mặt phẳng (ABC) sau toạ độ điểm D vào phương trình mặt phẳng + Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo + Giải tốn hình học khơng gian (lớp 11) cách đưa hệ trục toạ độ vào - Một vài ý phương pháp toạ độ không gian: d ( ) d a (với đường thẳng a) a ( ) + Cho mặt phẳng () có phương a b Khi vectơ pháp tuyến () a, b fa ce bo + Chú ý tính chất: w w w B Đại số giải tích: I Đại số 10: Chương trình đại số 10 cần nắm kiến thức sau: - Cách lấy phần giao, hợp việc giải hệ bất phương trình ẩn - Định lý dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai Sử dụng hai định lý để xét biểu thức (biểu thức dạng tích thương), giải bất phương trình bậc hai (Chú ý: Khi tam thức bậc hai ln ln khơng âm ln ln khơng dương, cịn > vừa nhận giá trị âm, vừa nhận giá trị âm) II Đại số - giải tích 11: Công thức lượng giác: b Công thức cộng - trừ: 1/ sin a b sin a.cos b cos a.cos b 2/ sin a b sin a.cos b sin a.sin b 4/ cos a b cos a.cos b 6/ tg a c Cơng thức góc nhân đơi: 1/ sin2a = 2sina.cosa 3/ tg2a d Công thức hạ bậc hai: sin2 a cos 2a 2/ cos a sin b.cos a cos2 a sin a.sin b sin2 a 1 cos 2a tgx : up 1/ sin a cos2 a cot g2a cot ga 4/ cot g2a tga tgb tga.tgb b 2/ cos 2a 2tga tg2a oc 01 sin b.cos a tga tgb tga.tgb b ie 5/ tg a b 6/ tg cot g iL 3/ cos a sin2 cot g2 H 5/ cos sin 3/ cot g nT hi D cos2 tg2 sin cos 2/ tg uO Ta 4/ cos2 s/ 1/ sin2 ro e Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua t om t2 2t c cot gx t2 t2 1 2/ cos x /g 2t 1/ sin x t2 2t 3/ tgx t2 ok f Công thức biến đổi tích thành tổng: 2 bo 1/ cos a cos b [cos(a b) cos(a b)] 2/ sin a sin b [cos(a b) cos(a b)] ce 3/ sin a cos b [sin(a b) sin(a b)] fa g Công thức biến đổi tổng thành tích: cos b 3/ sin a sin b w w w 1/ cos a cos a b cos a b a b a b sin cos 2 Phương trình lượng giác: a Phương trình lượng giác bản: a1 Phương trình sin: 2/ cos a cos b 4/ sin a sin b sin cos a b b a sin sin a b b a a 1: PTVN + sin x a : x arcsin a k 2 a 1, PTCN : x arcsin a k 2 x k 2 x k 2 oc 01 + sin x sin + ; ; + x k 2 cos x cos x k 2 tan x tan x k cot x cot x k + nT hi D a 1: PTVN + cos x a : x arc cosa k 2 a 1, PTCN : x arc cosa k 2 a3 Phương trình: + tan x a x arctan a k a4 Phương trình: + cot x a x arccot a k H a2 Phương trình: uO b Phương trình lượng giác thường gặp: b1 Phương trình đưa bậc hai hàm số lượng giác: Khi gặp phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác ta thường sử dụng công thức sau: ie 1.sin x cos x s/ Ta iL 3.cos2 x 2sin x 2cos2 x 1( cos x sin x) 1 k 2.t anx ; cot x (x ) cot x t anx b2 Cách giải phương trình a.sin x b.cos x sin x c.cos2 x d : tan x cos x ta đưa phương trình bậc hai theo tanx /g công thức ro up + Bước 1: Kiểm tra cosx = có thỏa mãn phương trình khơng Nếu thỏa phương trình có nghiệm x k , k Z + Bước 2: Xét cos x Chia hai vế phương trình cho cos2x sử dụng a.sin x b.cos x c sin x b cos x a b a b sin cos cos sin sin( ) c ok cơng thức a om b3 Phương trình a.sin x b.cos x c (a2 b2 0) : cos cos sin sin cos( ) c a b 2 (chia vế cho a b2 ) Sử dụng để đưa phương trình PTLGCB fa ce bo b4 Cách giải phương trình chứa biểu thức: (sin x cos x); sin x cos x Đặt t sin x cos x , ta có: | t | t 2sin x cos x sin x cos x Thay vào phương trình giải t w w w c Chú ý: - Trong việc giải phương trình lượng giác, thơng thường đề cho dạng tổng ta biến đổi thành dạng tích ngược lại Ngồi ta thường sử dụng công thức hạ bậc nhân đơi để giải phương trình - Một số phương trình lượng giác đặc biệt: k 2 sin X 1 X sin X X k cos X X k 2 cos X 1 X k 2 k 2 cos X X Tổ hợp – chỉnh hợp: Ank n! (n k )! C nk - Tính chất: Cnk Cnnk k n! k!(n k )! nT hi D Pn n! 1.2.3 n oc 01 H sin X X Cnk Cnk1 Cnk11 - Công thức nhị thức newton: Số hạng thứ k + có dạng: Tk + = uO ( x y) n Cn0 x n Cn1 x n1 y Cn2 x n2 y Cnk x nk y k Cnn1 x y n1 Cnn y n Cnk x nk y k (1) k Cnk x nk y k iL + có dạng: Tk + = ie ( x y) n Cn0 x n Cn1 x n1 y Cn2 x n2 y (1) k Cnk x nk y k (1) n1 Cnn1 xy n1 (1) n Cnn y n Số hạng thứ k n(u1 u n ) n(n 1) nu1 un 2 ro Sn = up s/ Ta Kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân: a Cấp số cộng: Số hạng tổng quát: un + = un + d = u1 + (n - 1)d (d: công sai) Tổng n số hạng cấp số cộng là: /g b Cấp số nhân: om Số hạng tổng quát: un + = q.un = qn - 1u1 (q: công bội) Sn = u1 c Tổng n số hạng cấp số nhân là: Tính liên tục hàm số: + Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 nếu: qn 1 q 1 ok lim f ( x) f ( x0 ) x xo bo + Định lý kiểm tra liên tục hàm số điểm: f ( x) lim Hàm số y = f(x) liên tục x0 nếu: xlim x x x ce o o f ( x) f ( x ) w w w fa + Chú ý: Định lý thường dùng để kiểm tra liên tục hàm số cho nhiều cơng thức (Ví dụ ta dễ dàng kiểm tra hàm số không liên tục x = 1) Định lý chứng minh tồn nghiệm phương trình: cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < Khi phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (a; b) Đạo hàm hàm số: f ' ( xo ) xlim x o f ( x) f ( xo ) x xo Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm: III Giải tích 12: Công thức đổi hệ trục toạ độ: Phép tịnh tiến hệ trục toạ độ theo x X xo y Y yo OI 1 k H f ' ( xo ) (với I (xo; yo)) là: nT hi D + Vng góc với đường thẳng y = kx + b khi: oc 01 - Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M(xo; yo) điểm thc (C) Khi phương trình tiếp tuyến (C) M là: y = f'(xo)(x - xo) + yo - Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x): + có hệ số k khi: f’(xo) = k + song song với đường thẳng y = kx + b khi: f’(x o) = k uO Chú ý công thức đổi hệ trục toạ độ dùng để chứng minh tính đối xứng đồ thị hàm iL ie số Tiệm cận đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x) Khi đó: - Đường thẳng y = yo tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim f ( x) y o x Ta x lim f ( x) y o x xo up s/ - Đường thẳng x = xo tiệm cận ngang đồ thị hàm số thoả mãn hệ thức sau: lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) x xo x xo x xo x x om x /g ro - Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f(x): f ( x) f ( x) a = lim ; b = lim[ f ( x) ax] (Hoặc a = lim ;b= x lim[ f ( x) ax] x x ) Khi đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên .c Khi hàm số viết lại y kx h p dx e đồ thị ok - Cho hàm số ax bx c y dx e bo có tiệm cận xiên y = kx + h Vấn đề tiếp xúc: Đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình fa ce f ( x) g ( x) có nghiệm f ' ( x) g ' ( x) nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm w w w Luỹ thừa hàm luỹ thừa: - Hàm số y = ax (a >0) đồng biến a >1 nghịch biến < a < - Một số tính chất liên quan: + ax = ay x = y (a 1) + Nếu a > ax > ay x > y + Nếu ay x < y - Tính chất khác: Cho < a < b Khi đó: log a b log a b nT hi D log c b log c a log b a Ta iL ie Phương trình bất phương trình logarit: log a f ( x) log a g ( x) ( f ( x) 0; g ( x) 0) f ( x) g ( x) uO log a b log a b H log a b.c log a b log a c log a a b b ; a loga b b b log a log a b log a c c oc 01 + ax < bx x > + ax > bx x < Logarit hàm số logarit: Các công thức: log a b a b (b 0, a 1) ; log a ; log a a (*) s/ log a f ( x) log a g ( x) ( f ( x) 0; g ( x) 0) /g ro up * Nếu a > (*) tương đương: f(x) > g(x) * Nếu < a < (*) tương đương: f(x) < g(x) Chú ý: - Khi vế trái phương trình (bất phương trình) số b ta thay: om b log a a b w w w fa ce bo ok c - Chú ý giải phương trình mũ ta chia vế phương trình tử mẫu cho lượng ax sau đặt ẩn phụ dựa vào biến hàm số để giải phương trình ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 Tích phân - nguyên hàm: a Định nghĩa: F(x) gọi nguyên hàm f(x) F '(x) = f(x) b Các cơng thức đạo hàm ngun hàm: bo Tính chất: f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx ce kg( x)dx k g ( x)dx (k số) Phương pháp nguyên hàm phần: fa udv uv vdu w w w c Tích phân: Cho hàm số f(x) có ngun hàm F(x) Khi tích phân từ a đến b hàm số f(x) là: b b f ( x)dx F ( x) a (Với a Tính chất tích phân: b F ( x) = F(b) - F(a)) a a f ( x)dx 0 c a a a b f ( x)dx f ( x)dx a b a b 3. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b a a b b a a a 4. [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx c b b b b S f ( x) dx S f ( x) g ( x) dx a a nT hi D Chú ý sử dụng phương pháp ngun hàm để tìm tích phân Các cơng thức tính diện tích: H 5. kf ( x)dx k f ( x)dx oc 01 b b V S ( x)dx Ta Công thức tổng quát: iL ie uO Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta phải giải tìm nghiệm phương trình f(x)= (hoặc f(x) - g(x) = 0) [a; b] sau sử dụng cơng thức "chèn điểm thứ ba" để phá dấu giá trị tuyệt đối Với tốn tính diện tích mà giả thiết chưa cho cận ta phải giải phương trình hồnh độ giao điểm đường liên quan để lấy cận Thể tích vật thể: a up s/ (Với S(x) diện tích thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox) Thể tích khối vật thể quay quanh trục Ox: b b a ro V S ( x)dx f ( x)dx a /g Thể tích khối vật thể quay quanh trục Oy: b b om V S ( x)dy g ( x)dy a a ok c Chú ý: Với tốn tìm thể tích mà giả thiết chưa cho cận phải giải phương trình hồnh độ giao điểm đường liên quan để lấy cận ce bo Số phức: Dạng số phức: z = a + bi (với i = -1) Cho số phức z1 a1 b1i, z2 a2 b2i Khi đó: fa a1 a2 z1 z2 b1 b2 w w w Các phép toán số phức: z1 z2 a1 a2 b1 b2 i z1.z2 a1 b1i a2 b2i a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i Mô đun số phức: z a b2 Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Khi số phức a bi gọi số phức liên hợp z ký hiệu z Vậy z = a - bi Ta có: z.z z z z a bi a2 b2 oc 01 z Số phức nghịch đảo: z 1 Chia hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi (z 0) z' = a' + b'i Khi ta có: H z' z' z a bi aa'bb' (ba'b' a)i (a'bi) 2 z a b a b2 a b2 z a b ) Số gọi acgumen z Do z biểu diễn: uO b a sin ; cos (Với r r nT hi D Cách tìm bậc n số phức z = a + bi: Gọi z' = a' + b'i bậc n z Khi ta có: z = z' n Đồng phần thực phần ảo hai số phức cho ta số phức z' Dạng lượng giác số phức: Cho phức z = a + bi (z 0) Khi tồn số thực mà Ta iL ie z = r(cos + isin): Dạng lượng giác số phức z Nhân chia số phức dạng lượng giác: Cho số phức z = r(cos + isin) z' = r'(cos' + isin').(r 0; r' 0) Khi ta có: zz' = rr'[cos( + ') +isin( + ')] s/ z r [cos( ' ) i sin( ' )] (r 0) z' r ' w w w fa ce bo ok c om /g ro up Công thức Moa - vrơ: zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn) Khi r = ta có:zn = (cos + isin)n = (cosn + isinn) ... tính thể tích: + Nắm cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song + Các hệ thức lượng tam giác, tam giác đồng dạng, sứ dụng cơng thức diện tích hình chiếu... số 10 cần nắm kiến thức sau: - Cách lấy phần giao, hợp việc giải hệ bất phương trình ẩn - Định lý dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai Sử dụng hai định lý để xét biểu thức (biểu thức dạng tích... với d'' + Khoảng cách d d'' khoảng cách mặt phẳng song song chứa d d'' + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách điểm đường thẳng đến mặt phẳng Do xác định khoảng cách ta nên chọn