Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên Bµi 1 Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 6 3 3 3 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) x x x xP x x x x Bµi 2 Giải hệ phươ[.]
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1996 Đại học khoa học tự nhiên 1 ( x )6 ( x ) x x Bµi Cho x > tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3 (x ) x x x Bµi Giải hệ phương trình 1 2 y x 1 2 x y 2 Bµi Chứng minh với n nguyên dương ta có : n3 + 5n Bµi Cho a, b, c > Chứng minh : a b3 c ab bc ca b c a Bµi Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q điểm nằm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2 b) Giả sử M điểm cố định cạnh AB Hãy xác định vị trí điểm N, P, Q cạnh BC, CD, DA cho MNPQ hình vng Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1998 Đại học khoa học tự nhiên Bµi a) GiảI phương trình x2 x2 2 b) GiảI hệ phương trình : x xy2 2 y 4 x x y y 21 Bµi Các số a, b thỏa mãn điều kiện : a3 3ab2 19 b 3ba 98 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 Bµi Cho số a, b, c [0,1] Chứng minh {Mờ} Bµi Cho đường trịn (O) bán kính R hai điểm A, B cố định (O) cho AB < 2R Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đường tròn a) Kẻ từ B đường trịn vng góc với AM, đường thẳng cắt AM I (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đường trịn điểm I, J nằm đường tròn cố định b) Xác định vị trí M để chu vi AMB lớn Bµi a) Tìm số nguyên dương n cho số n + 26 n – 11 lập phương số nguyên dương b) Cho số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P xy yz zx x ( y z )2 y ( z x )2 z ( x y )2 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên Bµi Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc a b c 14 Hãy tính giá trị biểu thức P a b4 c Bµi a) Giải phương trình x x 2x 1 x y x y b) Giải hệ phương trình : xy xy Bµi Tìm tất số nguyên dương n cho n2 + 9n – chia hết cho n + 11 Bµi Cho vòng tròn (C) điểm I nằm vòng tròn Dựng qua I hai dây cung MIN, EIF Gọi M’, N’, E’, F’ trung điểm IM, IN, IE, IF a) Chứng minh : tứ giác M’E’N’F’ tứ giác nội tiếp b) Giả sử I thay đổi, dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính khơng đổi c) Giả sử I cố định, day cung MIN, EIF thay đổi vng góc với Tìm vị trí dây cung MIN, EIF cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn Bµi Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y 2 y x Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên Bµi a) Tính S 1 1.2 2.3 1999.2000 x b) GiảI hệ phương trình : x Bµi a) Giải phương trình y2 y x 3 y x 3 y x x3 x x x b) Tìm tất giá trị a để phương trình x ( 4a 11 ) x 4a có nghiệm ngun Bµi Cho đường trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB E với cạnh CD F hình Chứng minh A BE DF AE CF b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE Tính diện tích D E F hình thang ABCD Bµi Cho x, y hai số thực khác khơng Chứng minh ( x2 y x2 y ) Dấu đẳng thức xảy ? ( x y )8 y x B a) C Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên ( vịng 1) Bµi Tìm gia trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + = y2 Bµi a) Giải phương trình : x(3x 1) x( x 1) x b) Giải hệ phương trình : x xy2 3x y x y Cho nửa vịng trịn đường kính AB=2a Trên đoạn AB lấy điểm M Trong Bµi nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ tia Mx My cho AMx = BMy =300 Tia Mx cắt nửa vòng tròn E, tia My cắt nửa vịng trịn F Kẻ EE’, FF’ vng góc với AB a) Cho AM= a/2, tính diện tích hình thang vuông EE’F’F theo a b) Khi M di động AB Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với vòng tròn cố định Giả sử x, y, z số thực khác thỏa mãn : Bµi 1 1 1 1 x( ) y ( ) z ( ) Hãy tính giá trị P y z z x x y x y z x3 y z Với x, y, z số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức: Bµi M xyz ( x y )( y z )( z x ) Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên ( vịng 2) Bµi a) Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên x số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thiết phải số ngun hay khơng ? Tại ? b) Tìm số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức : x y y Bµi Giải phương trình x x x 14 Bµi ax by by Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ : ax ax by 4 ax by 17 Tính giá trị biểu thức A ax by B ax 2001 by 2001 Bµi Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm O Gọi d, d’ đường thẳng vng góc với AB tương ứng A, B Một góc vng đỉnh O có cạnh cắt d M, cạnh cắt d’ N kẻ OH MN Vòng tròn ngoại tiếp MHB cắt d điểm thứ hai E khác M MB cắt NA I, đường thẳng HI cắt EB K Chứng minh K nằm đường trịn cố đinh góc vng uqay quanh đỉnh O Bµi Cho 2001 đồng tiền, đồng tiền sơn mặt màu đỏ mặt màu xanh Xếp 2001 đồng tiền theo vịng trịn cho tất đồng tiền có mặt xanh ngửa lên phía Cho phép lần đổi mặt đồng thời đồng tiền liên tiếp cạnh Hỏi với cánh làm sau số hữu hạn lần ta làm cho tất đồng tiền có mặt đỏ ngửa lên phía hay không ? Tại ? Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên ( vịng 1) Bµi a) Giải phương trình : x 3x x x x x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x + xy + y = Bµi 2 Giải hệ phương trình : x3 y3 xy {M} Bµi Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10 Sắp xếp 10 số cách tùy ý x y x y vào hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta 10 tổng Chứng minh 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 4a 3b or 5b 16c Trong bca acb abc a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Bµi Đường trịn (C) tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng A’, B’, C’ a) Gọi giao điểm đường tròn (C) với đoạn IA, IB, IC M, N, P Chứng minh đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy b) Kðo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D (khác A) Chứng minh IB IC r r bán kính đường trịn (C) ID Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 2) Bµi a) Giải phương trình : x x b) Giải hệ phương trình : (xx( x1)(1)yy1()y81) xy 17 Bµi Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vơ nghiệm Bµi Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phương Bµi Tìm giá trị nhỏ biểt thức: S 1 Trong x, y, z xy yz zx số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ Bµi Cho hình vng ABCD M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B) N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng D) cho MAN = MAB + NAD a) BD cắt AN, AM tương ứng p Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn b) Chứng minh đường thẳng MN ln ln tiếp xúc với đường trịn cố định M N thay đổi c) Ký hiệu diện tích APQ S diện tích tứ giác PQMN S’ Chứng minh tỷ số S không đổi M, N thay đổi S' Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên ( vịng 1) Bµi Giải phương trình ( x x 2)(1 x x 110 ) Bµi Giải hệ phương trình 2 x3 yx2 y xy Bµi Tím số ngun x, y thỏa mãn đẳng thức : y x x y x y xy Bµi Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R a) Tính độ dài MN theo R b) Gọi giao điểm hai dây AN BM I Giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đường trịn , Tính bán kính đường trịn theo R c) Tìm giá trị lớn diện tích KAB theo R M, N thay đổi thỏa mãn giả thiết tốn Bµi Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh : x2 + y2 + z2 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên (vịng 2) Bµi Cho phương trình x4 + 2mx2 + = Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32 y 5x y Bµi Giải hệ phương trình : 2 2x xy x y x y Bµi Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bµi đường trịn (O) nội tiếp ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng D, E, F Đường tròn tâm (O’) bàng tiếp góc BAC ABC tiếp xúc với BC phần kéo dài AB, AC tương ứng P, M, N a) Chứng minh : BP = CD b) Trên đường thẳng MN lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh : tứ giác BICE BKCF hình bình hành c) Gọi (S) đường tròn qua I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với BC, BI, CK Bµi Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện : x (3 x )2 Tìm P x (3 x )4 x (3 x )2 Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên (vịng 2) Bµi giảI phương trình x x 1 2 Bµi GiảI hệ phương trình ( x y )( x y ) 15 ( x y )( x y ) Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x3 y ) ( x y ) với x, y số thực ( x 1)( y 1) lớn Bµi Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng a) Tìm tất vị trí M cho MAB = MBC = MCD = MDA b) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số OB có giá trị CN khơng đổi M di chuyển đường chéo AC c) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường trịn (S) (S’) có đường kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S) (S’) tiếp xúc với (S’) P Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với (S) Bµi Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … xác định công thức n 1 n xn Hỏi 200 số {x1, x2, …, x199} có số khác ? 2 ... z x ) Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên ( vịng 2) Bµi a) Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên x số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thi? ??t phải... S’ Chứng minh tỷ số S không đổi M, N thay đổi S'' Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 1) Bµi Giải phương trình ( x x 2)(1 x x 110 ) Bµi Giải hệ... Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10 Sắp xếp 10 số cách tùy ý x y x y vào hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta 10 tổng Chứng minh 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống Bµi Tìm giá trị