Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003 2004 Đại học sư phạm HN Bµi 1 Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x 3 6 4 2 3 7 4 3 9 4 5 2 5 x A x x Bµi[.]
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2003-2004 Đại học sư phạm HN Bµi Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ vào x A x x 9 2 x Bµi Với số nguyên dương n, đặt Pn = 1.2.3….n Chứng minh a) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1 b) n 1 1 P1 P2 P3 Pn Bµi Tìm số nguyên dương n cho hai số x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số chình phương Bµi Xét phương trình ẩn x : (2 x2 x a 5)( x x a )( x a 1) a) Giải phương trình ứng với a = -1 b) Tìm a để phương trình có đóng ba nghiệm phân biệt Bµi Qua điểm M tùy ý cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ đường thẳng song song với hai đường chéo AC BD Các đường thẳng song song cắt hai cạnh BC AD E F Đoạn EF cắt AC BD I J tương ứng a) Chứng minh H trung điểm IJ H trung điểm EF b) Trong trường hợp AB = 2CD, vị trí điểm M AB cho EJ = JI = IF Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học sư phạm HN Bµi Cho x, y, z ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y z Bµi Tìm tất ba số dương thỏa mãn hệ phương trình : x 2004 y z 2004 z x6 2 y z 2004 x y Bµi Giải phương trình : 2( x )( x ) (1 )(1 ) 3( x 1)( x ) ( 1)( ) 4( x 1)( x ) ( 1)( ) 3x Bµi Mỗi ba số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn phương trình x2+y2+z2=3xyz gọi nghiệm nguyên dương phương trình a) Hãy nghiệm nguyên dương khác phương trình cho b) Chứng minh phương trình cho có vơ số nghiệm ngun dương Bµi Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt tiếp tuyến B C đường tròn (O) tương ứng M N Giả sử d cắt lại đường tròn (O) E (khác A), MC cắt BN F Chứng minh : a) ACN đồng dạng với MBA MBC đồng dạng với BCN b) tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Đường thẳng EF qua điểm cố định d thay đổi qua A Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (1) Bµi Tìm n ngun dương thỏa mãn : 1 1 2000 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1.3 2.4 3.5 n( n 2) 2001 Bµi Cho biểu thức A x4 x4 x4 x4 16 1 x2 x a) Với giá trị x A xác định b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ c) Tìm giá trị nguyên x để A nguyên Bµi Cho ABC cạnh a Điểm Q di động AC, điểm P di động tia đối tia CB cho AQ BP = a2 Đường thẳng AP cắt đường thẳng BQ M a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn b) Tìm giá trị lớn MA + MC theo a Bµi Cho a, b, c > Chứng minh a b c a b c ba cb ac bc ca ab Bµi Chứng minh sin750 = 6 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (2) Bµi Cho biểu thức P ( x 1 x 1 x ):( ) x x 1 1 x x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh P < với giá trị x 1 Bµi Hai vịi nước chảy vào bể sau 48 phút đầy Nðu chảy thời gian lượng nước vòi II 2/3 lương nước vịi I chảy Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể Bµi Chứng minh phương trình : x x có hai nghiệm x1 = x2 = Bµi Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R điểm M di động nửa đường tròn ( M không trùng với A, B) Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) M tiếp xúc với đường kính AB Đường tròn (E) cắt MA, MB điểm thứ hai C, D a) Chứng minh ba điểm C, E, D thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định K tích KM.KN khơng đổi c) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA P Q Xác định vị trí M để diện tích NPQ đạt giá trị lớn chứng tỏ chu vi NPQ đại giá trị nhỏ d) Tìm quỹ tích điểm E Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990 Bµi Tìm tất giá trị nguyên x để biêu thức 2 x x 36 ngun 2x Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + Bµi a) Chứng minh với số nguyên dương m biểu thức m2 + m + không phảI số phương b) Chứng minh với số ngun dương m m(m + 1) khơng thể tích số ngun liên tiếp Bµi Cho ABC vuông cân A CM trung tuyến Từ A vẽ đường vng góc với MC cắt BC H Tính tỉ số BH HC Bµi Có thành phố, thành phố có thnàh phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vịng1) Bµi a) Giải phương trình x x x 3 b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ x 2 y 2 x y 2 y x xy y x Bµi Cho số thực dương a b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 Bµi Cho ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần Bµi Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, có hai đường chéo AC, BD vng góc với H (H không trùng với tâm cảu đường tròn ) Gọi M N chân đường vng góc hạ từ H xuống đường thẳng AB BC; P Q giao điểm đường thẳng MH NH với đường thẳng CD DA Chứng minh đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức x10 y10 Q ( ) ( x16 y16 ) (1 x y )2 y x ... tỉ số BH HC Bµi Có thành phố, thành phố có thnàh phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vịng1) Bµi.. .Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học sư phạm HN Bµi Cho x, y, z ba số dương thay đổi thỏa mãn... y x Bµi Cho số thực dương a b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 Bµi Cho ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đường cao, đường phân