„ x — v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG Chịu trách nhiệm xuất bản LÊ HUY TỦY Biên tập và sửa bản in HOÀNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ Vẽ bìa HƯƠNG LAN In 3050 cuốn khổ[.]
- „x — v v PRAXOLOV CÁC BÀI TỐN VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG Chịu trách nhiệm xuất : LÊ HUY TỦY Biên tập sửa in : HOÀNG ĐỨC CHÍNH NGUYỄN ĐẾ Vẽ bìa: HƯƠNG L A N In 3050 khổ 14,5 X 20,5 in t i Xí nghiệp in Bắc Thái Sắp chữ điện tử : Bộ môn.Tin học Trường Đại học H n g hải Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP Cục xuất cấp ngày 15 - Ì - 1994 In xong nộp lưu chiêu t h n g - 1994 LỜI NĨI ĐẦU (Trích lời tác giả) Cuốn sách phân tiếp tục trực tiếp phan Ì, tói xin lưu ý số điểm khác Các chương phân Ì gơm tốn có nội dung truyền thống, tức đê cộp tới vấn đè cổ truyền hình hỏc phăng Ba chương đâu phan thuộc loại Các chương cịn lại cùa phán 2, trừ hai chương cuối mang dáng đáp toán thi hỏc sinh giỏi cửa lớp chuyên, số có nhiêu dùng để thi luyện thi hỏc sinh giỏi năm khác Điêu khơng có nghĩa phần phức tạp phần Nhiêu tốn cịn đơn giản so với phim Ì giúp hỏc sinh làm toán tự tin hơn, hứng thú Hai chương cuối đê cập tới phép nghịch đảo phép biến đổi xạ ảnh, mang nhiêu tinh chất lý thuyết so với chương khác Do càn nghiên cứu chúng cách có hệ thống Nếu sử dụng phép nghịch đảo thường đề xuất luyện hỏc sinh chuyên, thỉ phép biến đổi xạ ảnh có thê nót hồn tồn xa lạ đối vói hỏc sinh phổ thịng, kể khối chuyên Tuy nh iên, tính độc đáo mục đích giúp bạn đỏc thấy đủ vẻ đẹp phong phú hình hỏc, chúng tịi đưa vào để bạn tham khảo thèm v.v Praxolov ì LỜI NGƯỜI Bằng ccuốn ccác Bài đối cchọn kinh nghiệm tập hỉnh tượng phố thực tiễn học phăng nêu thông dạy tác giả lời nói Đây giảng đâu, tập DỊCH v.v sách thăn, Praxolov tơi cho Ì tập tài liệu cho giáo không chúng viên qui uà học sinh "kho" cho chuyên tư liệu ểế tặộp hỉnh học phăng phẫn loại sáp xếp có khoa h ÌC trình bbày dắc tra cứu, sÈinh đđại tham cân khinh, sách tíìinh cẫân kiến gơm, có cho đối pháp cắt, phủ, chẵn qui tổ hợp, biến asin, đổi kịp nạp thời tốn giúp trình bày, pháp dễễ sử dểng tính hiệu quảcao đóó, khả có hạn kiiiến bảo độc Đờào tạo Hải Thư dạy nguyên phương Tập nên góp diêm sách khống ý xin viên cao, tự minh toán tài biến hỉnh, tọa độ, phương sách pháp hạn, biến sứ dểng tô màu, coi lờ nguồn bô sung tốt thông khoa sức cốgắng tránh khỏi vê phòng cực chiếu, phép bất biên, học ỏ phổ phân vecto, số đê cập đãhết gửi sinh có vê áp dểng đào, dịch học giải nâng và học hình Người với tác Dỉricle, cấp pháp qua lời giải ta, như: học sơ cao đói lớp thường, đẹp hoe nước nghịch dạy loại, tư liệu sáp xếp Phương giả hỉnh việc thông tự nâng 29 chương phép dạng hỉnh tốn học, trị chơi, vê thể thơng hỉnh sổ tay hình tự học, dung, phổ mến phổ xạ ảnh, lẻ để giải thiết yêu để để học tập, để bôi dưỡng phú số đẽ mểc) nội viên dùng 1318 tượng viên, thức, phong gũi coi với giáo sư phạm gân số chương, cho giáo cáácphương đỡổi đối cải đa dạng, giúp Cuốn chhia, nên khảo học va cao đẳng thhăy liặệu rõ ràng vê tất mặt: ÌWĨ (tìmột sáng, học, thiếu PTTH hồn chỉnh, thể kiện ý sót mong Rất sở Giáo tưởng ý dểc - Phòng Ồ" Chưorng 15 I CÁC B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C H Ì N H H Ọ C CÁC K I Ế N T H Ứ C C BẢN Trong chương sử dụng kí hiệu yếu tố tam giác sau : a, b, c - đ ộ dài cạnh BC, CA, A B ; a, ậ,y - số đo góc đinh A ^ B , C; ma, mt>, m - độ dài đường trung tuyên kẻ từ đinh A, B, C; c ha, hh, he - độ dài đường cao hạ từ dinh À, B, C; la, lb, le - độ dài đường phân giác kẻ tù đinh A , B, C; r R - bán kính dường trịn nội tiếp ngoại tiếp N ê u A, B, c đ i ể m bát kì, A B < A C + CB, đẳng thức xảy c h ú điếm c nằm t r ê n đoạn thẳng A B (bất đẳng thức tam giác) Đường trung tuyến tam giác nhặ nửa tổng cạnh xuất phát từ đ i n h với : ma < - (b + c) (bài 15.1) Nêu đa giác lôi nằm da giác l ặ i khác, thi chu vi đa giác ngồi khcơnii nhặ chu vi đa giác (bài 15.6) v Tổng độ dài dường chéo tứ giác lõi lớn tổng độ dài h cạnh đ ố i nhtau bát kì (bài 15.17) Đ ố i diện với cạnh l n tam giác góc lớn (bài 15.91) Đ ộ dài đoạn thẳng nằm đa giác lõi không t h ế lớn cạnh lớn nhảẫt, đường c h é o lớn (bài 15.105) K h i giải số toán chương phải biết vận dụng bát đẳrng thức đ i số Các kiên thức vê bất đẳng thức chứng minh xem phần "Phụ lục cho chương 15", nhưng.cần lưu ý r ằ n g ch únng chi cân dế giải tốn phức tạp, cịn đổ giải toán đon g i ả n c h i cầân bất đầm; thức Vab < - (a + b) hệ CÁC B À I TOÁN M Ở ĐẦU Chứng minh ^ d i ệ n tích tam giác A B C không lớn - A B B c 2 Nếu a < b + c, b < a + c, c < a + b a, b, c dương, t ị n mỏỏt tam giác có đỏ dài cạnh a, b, c Đ i ể m B nằm đường trịn đường kính A C chi A B C > 90 GĨC ngồi tam giác l n góc khơng kề với M i đường chéo tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi D i ệ n tích tứ giác A B C D không vượt - ( A B BC + A D D C ) Bán kính hai dường trịn R r, khoảng cách giũa tâm chtnng d Điêu kiện cần đủ để hai đường tròn cắt IR — r | < đ < R r r §1 Đường trung tuyến tam giác i r - r a + b - c 15.1 Trong m ọ i tam giác _ a + b < m < —•— c 2 15.2 Trong tam giác tổng đỏ đài đường trung tuyên lớn 3/4 chu vvi, nhỏ chu v i 15.3 Cho đường tròn bán kính Ì n điểm A i , A n mặt phang K h i dó tiêèn đường trịn chọn dưưc đ i ế m M để M A I + + M A n — n 15.4 Cho đ i ể m A i , An không nằm mỏt đường thẳng Giảssử hai điếm phân biệt p o thỏa mãn tính chất A i P + ,+AnP = A i Q + - + + A Q = s, A i K + + A n K < s v i đ i ể m K n (Ì) Dể tiết kiệm chồ rư toán sau ta bỏ cụm từ "Chứng minh rằng" Niu ìậậy bại tốn cho dạng dinh lí dìu phải chứng minh 15.5 T r ê n b n đ ể 50 đơng h ị chạy xác Sẽ có lúc đ ó tổng k t h o ả n g c c t tâm hàn đen dâu kim phủi lớn tổng khoảng cách từ tâm bàn (Ken c c t â m đồng hơ §22 C h u vi c ủ a đa giác lớn chu vi đa giác 15.6 a) K h i chuyển từ da giác khơníi lõi sang bao lơi chu vi giảm (EBao l i đa giác da giát l i nhỏ nhát chứa ; xem trang ) b) N ê u m ộ t đa giác lôi nằm bên đa giác l i khác, chu vi đa gi lác n g o i k h ô n g nhỏ chu vi cùa đa giác 15.7 N ê u o đ i ế m nằm tam giác A B C chu vi p P/2 < A O + BO + + -CO < p 15.8 N ê u t r ê n cạnh đáy A D hình thang A B C D tìm điểm E đố cho chu vi i tam giác A B E , BCE CDE BC = AD/2 §33 C c t o n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác 15.9 Đ i ê u k i ệ n cần (lù để sẳ a, b, c đ ộ dài cạnh tam giác l i a = V + z, b = z + X, c = x + y, đ ó X, V, z c c s ố dương 2 15.10 N ê u a, b, c đ ộ dài cạnh cùa m ộ t tam giác, a + b + c < < 2(ab + be + ca) 15.11 C h ó a , b, c sỏ dương Nếu với số tự nhiên n từ đoạn thẳng có) đ ộ dài a , h , c"' dựng dược tam giác số cho có hai sõi n n 15.12 Nêu a, b, c độ dài cạnh tam giác,, a(b-c) + b (c - a ) 2 3 + c(a - b ) + 4abc > a + b + c 15.13 Ta gọi " h ệ số không cân" tam giác với cáccạnha < b < c số nhỏ trcong sô b/a c/b H ỏ i "hệ số khơng cân" k có thổ lẫy giá trị n h thê ? 15.14 Biẽt từ đoan thẳng bãi ki sô năm đoạn thẳng cho trước đ ề u có) thể dựng tam giác K h i đ ó tát tam giác dựng đnợc có nhát m i ệ t tam giác nhọn 15.15 Nêu a, b, c đ ộ dài cạnh cùa tam giác, (a + b - c) (a - b + c) ( - a + b + c) < abc 15.16 Nếu a, b, c đ ộ dài cạnh tam giác, 2 a b (a - b) + b c (b - c) + c a ( c - a) > §4.Tểng độ dài đường chéo tứ giác lồi lớn tổng đô dài c ủ a c c c i n h Ì đối 15.17 N ế u A B C D t ứ g i c l i , t h ì A B + C D < A C + B D 15.18 N ế u A B C D tứ g i c l i có A B + B D < A C + CD, A B < AC 15.19 M ộ t tứ giác l i đặt tứ giác lôi khác Tổng độ dài đ u x n g ị chéo cùa tứ giác ngồi nhỏ lân so với tổng độ dài đ n g c h é o ì tứ giác khơng ? Cịn 1,99 lần ? 15.20 Trên mặt phang cho n > đ i ể m , số khơng có ba đ i ế m n o t h i n g s hàng Trong số đường eãp khúc k h é p kín qua điểm cho, đưừníỊ k h ne ì tự cằt có độ dài nhỏ 15.21 M ộ t đa giác lõi có tất đường chéo có t h ể có bao n h i ê u J cạnh ? 15.22 Trên mặt phang cho n đ i ế m đỏ n điếm xanh, số đ ó k h n g c ó ba Ì điềm thẳng hàng K h i ln có t h ế kỏ n đoạn thẳng v i đ â u k h c ; màu khơng cằt §5 Các toán khác dựa vào bất đẳng thức tam giác 15.23 Đ ộ dài hai cạnh tam giác 3,14 0,67 T í n h đ ộ dài c n h Ì t h ứ ba, biết số nguyên 15.24 Tổng độ dài đường c h é o ngũ giác l i lớn chu v i , n h n g nhỏ^ hai lân chu v i 15.25 Đ ộ (lài cạnh tam giác khơng đêu có thè ba phân tử liên tiếp) cấp số nhân dược hay không ? Có thè nói cơng bội cáp số ? 15.26 Nêu độ (lài cạnh mội tam giác thỏa mãn bát đẳng thức a + b c độ dài cạnh n h ỏ 2 > 5c ,, 15.27 Nêu hai đường cao tam giác 12 20, dường cao t h ứ ba Ì nhỏ 30 15.28 Cho ba hình trịn khơng cằt có tâm thẳng hàng Nếu có một! đường trịn tiẽp xúc v i tất ba hình đó, bán kính l n bán kính Ì hình trịn số cho 15.29 Cho đ i ể m C i , A i , B i nằm cạnh A B , BC, C A tam giác; A B C cho BAI = ẢBC, C B i = ẲCA, A C Ì = ẲAB, 1/2 < Ả < Nếm gọi p p chu vi tam giác A B C A B C (2 A - 1)P < p < Ắp 10 15.3(l.'Trong ngũ giác l i chọn dược ba đường chéo đế từ có thuế d ự n g dược mót tam giác §6S D i ệ n tích tam giác khơng lớn nửa tích độ dài hai cạnh 15.31 Trong tam giác có diện tích Ì cạnh a < b < c, b > V ĩ 15.32 N ê u E, F, G, Hí trung đ i ể m cạnh AB, Be, CD, DA tứ giác A B C D , t h ì S A B C D £ E G H F < — ( A B + C D ) ( A D + BC) 15.33 N ế u chu v i tứ giác lõi bằntĩ 4, d i ệ n tích khơng vượt qi 15.34 Nêu M đ i ể m n ằ m t r o n g tam g i c A R C có d i ệ n tích s, S S < A M B e + BM.AC + CM.AB 15.35 Nêu đường trịn bán kính R nội tiếp mội ùa giác có diện tích s chiứa t â m đuừng trịn, mơi cạnh lẫy đ i ể m chu vi đa giẩác l ụ i có đinh đ i ể m lấy k h ô n g nhụ 2S/R 15.36 G ọ i o đ i ể m nằm tứ giác lôi A B C D diện tích s thụa mãn hệ thức ACO + B O + C O + D = 2S, A B C D hình vng o tâm 2 2 §77 Các bất đẳng thức vói diện tích 15.37 Tơn hay khơng tam giác có hai đường cao lớn I m , cịn diện tícch nhụ l e m ? 15.38 Nêu cạnh tam giác k h ô n g lớn Ì, diện tích khơng l ỡ m ì 5.39 Trên cạnh A B A C tam giác A B C lây điếm M N cho A I M = CN A N = B M Khi diện tích tứ giác B M N C lớn gấp ba lân d ụ ệ n tích tam giác A M N 15.40 Nêu cạnh B e , CA, A B cùa tam giác A B C lấy điểm A i , B i , O i tương ứng, tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C có tam giác có diệện tích khơng vượt q p h â n tư d i ệ n tích tam giác A B C 15.41 G ọ i s, S i , S tương ứng diện tích tam giác A B C , A B C , A 2 B C có A B s ;>4 = A i Bi + A B , AC = A i d + A2C2, Be = B1C1 + B2C2, VS1S2 li 15.42 Cho A B C D tứ giác lõi diện tích s Nêu góc A B C D b ằ i n g (CH , góc A D BC bằngỊ3 , A B C D s i n « + A Ọ B C sin/? < 2S < A B C D + A D B C 15.43 Nêu tất cạnh cùa đa giác lơi xê dịch phía n g o i muội khoảng h, diện tích tăng lượng Ph -+ 7T'h , p chu vi đa giác 15.44 Nế u hình vng cắt t h n h hình chữ nhật tổrag d i i ẽ n tích hình trịn ngoại tiế p quanh hình chữ nhật khơng nhỏ dtíện t ích hình trịn ngoại t i ế p quanh hình vng ban đởu 15.45 N ê u tất c c đ n g p h â n giác tam giác n h ỏ Ì, thù diiệ n t í c h nỏ n h ỏ h n : a) 1; b) 1/V3 15.46 Tống diện tích tam giác tạo cặp cạnh kề đ n g chéo lương ứng cùa ngũ giác lõi lớn d i ệ n tích cùa ngũ giác 15.47 Nế u hai hình chữ nhật xế p cho biên c h ú n g cắt đ i ể m , diện tích phởn chung c h ú n g lớn nứa diện Ì ích (Của hình chữ nhật 15.48 a) Trong lục giác lơi d i ệ n tích s ln tìm đường c h é o cai tam giác có d i ệ n tích khơng lớn han S/6 b) Trong bát tam giác l i d i ệ n tích s ln tìm đường c h é o cắn tam giác có d i ệ n tích khơng lớn S/8 §8 Diện tích Một hình nằm hình khác 15.49 Bên tronii hình vng cạnh Ì cho n đ i ể m Trong số tam giác có d i n h diêm hay đinh hình vng ln có tam giác có d i ệ n t í c h không vượt l/2(n + 1) 15.50 Bên o n c hình vng cạnh Ì cho n đ i ể m , số khơng có ba đ i ể m thẳng hàng K h i ln tìm tam giác có đinh đ i ế m đ ó có diện tích k h n g vượt q 1/n—2 15.51 Nêu đa giác d i ệ n tích B nội t i ế p đường tròn diện tích A ngoại tiếp quanh đường trịn d i ệ n tích c 2B < A + c 15.52 Trong hình trịn bán kính Ì đặt hai tam giác có diện tích lớn Ì, hai tam giác phải cắt 12 15 53 a) D i ệ n tích h ì n h bình h n h n ộ i t i ế p tam giác không lớn nuột n ứa d i ệ n tích tam giác b) D i ệ n tích h ì n h b ì n h hành nằm lam giác không lớn nứa d i ệ n t ích lam giác 15 54 D i ệ n tích cùa tam giác có đinh nằm cạnh cùa hình bình h n h k h ô n g lớn nứa d i ệ n tích hình bình hành 15 55 a) Trong đa giác lơi d i ệ n tích s chu vi p ln đặt hình t r ị n b n kính s / p b) N ê u bên đa giác lõi d i ệ n tích Si chu vi Pi đặt đa giác l i có d i ệ n tích S2 chu vi ?2 2Sl/pt > S2/P2 15.56 Trong da giác l i diện tích l ln đặt tam giác có diện t í c h k h ô n g nhỏ : a) 1/4; b) 3/8 15.57 M ộ t n-giác lõi đ ặ t hình vng cạnh K h i ln tìm ba đ i n h A , B, c n —giác cho d i ệ n tích tam giác A B C k h ô n g vượt a) / n ; b) 16JT/n §9 C c bất đẳng thức đường trung tuyến tam giác 15.58 N ế u a > b ma < rrib 2 15.59 a) Nêu a, b, c đ ộ dài cạnh tam giác bat kì, a + b" >c /2 b) ma 15.60 a) ma 2 + tĩib 2 5: 9c /8 + mt> + nu- b) ma + mb + me < ắ 27R /4 9R/2 15.61 Nếu lam giác k h ô n g tù ma + mb + me 2: 4R § Các bất đảng thức v í đuừnị; cao tam giác 15.62 — 2r < - + — < hh r 15.63 Nêu bán kính d n g tròn nội tiếp tam giác 1/3, đường cao lớn n h t tam giác k h ô n g nhỏ hern 15.64 + hb + he > 15.65 s 15.66 Nêu ^p(p a 9r ) < p nửa chu v i h đirởne cao lớn nh t m ộ i tam giãi- khơng tù, r + R < h 13 § 1 Các bất đẳng thức góc tam giác 15.67 a ì s i n ị < a/2Vbc ; b) t g £ < a/2ha 15.68 2R * ~ r sin — (Ì - sin — ) 2 15.69 coscr + cos/? + cosy < 3/2 15.70 3r/R < cos a + cos/3 + cosy < 3/2 15.71 s i n ậ s i n Ệ s i n Z < 1/8 2 15.72 a) a + b + c < V J R ; b) sina + sin/? + s i n / < V3/2 15.73 a) s i n Ẹ + s i n ặ + s i n ! < 3/2; 2 b) c o s £ + cosỂ + cosZ < 3V3/2 2 Ị5.74 G i ả sử « , / ? , y góc tam giác nhọn N ế u a < ộ < y, t h ì sin 2CÍ > sin 2/3 > sin ly 15.75 Nêu hai tam giác có góc chung, tam giác có h i ệ u hai góc cịn lại lớn có tone sin hai góc nhể hem 15.76 N ê u a + b < 3c, tg£L t g ầ < 2 - 15.77 a) ctga + ctịự? + ctgy > Vĩ ; b) t g | t g | t g Z > Vĩ 15.78 a) c t g £ + c t g ể + ctgZ > V b) tga + tg/3 + xg Y > V ĩ (a, /?, y < 90°) §12 Các bất đẳng thức tam giác vuông 15.79 Nêu c độ dài cạnh hun tam giác vng , với n > ln có c" > a + b" n 14 ' 15.80 Nếu tam giác A B C góc c v u n g : a) ĩ < - a ; b) r < - c ; c) r < c/2(l + yfl ) 15.81 Trong tam giác vng ln có 0,4 < r/h < 0,5, h đường cao hạ t đinh góc vng §13.Các bất đẳng thức liên hệ yếu tố tam giác 15.82 Trong tam giác nhọn ln có : ma rrib m hh he J c R + r 15.83 Nêu tam giác nhọn = lb = m , tam giác đêu c 15.84 Nếu tam giác A B C cạnh c lớn n h ấ t , cịn a nhỏ nhát, le 15.85 r r < £ c /4, dó re bán kính dường trịn bàng t i ẽ p góc c tam c giác A B C 15.86 a) Nếu + = 1, c b = — , c b 120° la ì +! b) N ế u Ầ = Â< 120° c) Nêu - + - = — , b c m Ẩ > 120° a 15.87 Nêu a, b, c đ ộ dài cạnh cùa m ộ t tam giác có chu vi 2, a + b §u + c < 2(1-abc) Các bất đẳng thức vê diện tích tam giác 15.88 Nêu a, b, c độ dài cạnh tam giác d i ệ n tích s, t h ì : a) s< [5.89 a) s 2 - (a + b ) ; < b) s< - (ab + be + ca) r p /3V b) p > Vĩ r , p nửa chu v i 15 c) 15.90 a s Vĩ s §15 Đ ố i diện vói cạnh lớn góc lớn 15.91 Trong tam giác ABC: A B C < B Á C chi A C < Be, tức tam giác đ ỗ i diện với góc lớn cạnh lớn hơn, đ ố i d i ệ n với cạnh l n tro hum góc lớn han 15.92 Trong tam giác : góc A nhọn vá chi ma > —a 15.93 Có sáu hình trịn dược vẽ t r ẽ n mặt phang cho chúng có ehumg mi đ i ể m o đó, ln có hình trịn số chứa tâm m n hìn tròn khác 15.94 Cho A B C D A i B j C i D j ^ hai tứ giác l i có cạnh tương ứ n g bằn Nêu A > A i B < BÌ , c > CÌ, D < Di 15.95 Nêu tam giác nhọn A B C đường cao lớn A H đường: trùn, tuyên B M , B < ° 15.96 N^ũ giác lơi A B C D E có cá c cạnh góc thổa mãn bã t J ẳ n j thức A > B > C > D > E ngũ giá c đêu §16 Các bất đẳng thin: khác tam giác 15.97 a) Trong tam í»iác k h n g cân đường phân giác BD nằm órờng trung tuyên B M dưònii cao B H b) B H < B D < B M /V /N / \ 15.98 Các góc tam giác thổa mãn bát đẳng thức A > B > c H ổ dinh tam £iá*FỊ|Mj*j»ậfl tả4ữj4iH>pg J rò n nội t i ế p ? 15.99 Nâu q f a f r ^ W r f i ^ & t f f f t i f g i ã i A B C kẻ một'dường thẳng cắt cát cạnh tam giác t i M ĩkt^tì NÕ ^ 2MO 15.100 NcuịvẩiT'Ìtó^íM*Í0á£'AB