ĐẠI HỌC VINH THƯ VIỆN 516 220 76 PRA(l)/94 DT 002494 516 220 76 PRA(l)/94 DT 002494 v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VẼ HĨNH HOC PHANG TẬP NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VÈ HÌNH HỌC PHANG •[.]
ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ V I Ệ N 516.220 76 PRA(l)/94 DT 002494 v v PRAXOLOV CÁC BÀI TOÁN VẼ HĨNH HOC PHANG NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG TẬP v.v PRAXOLOV CÁC BÀI TỐN VÈ HÌNH HỌC PHANG • (GỒM TẬP) TẬP ĩ Người dịch: H O À N G ĐỨC C H Í N H NGUYỄN ĐẺ Hiệu đinh: P.T.S N G U Y Ễ N V I Ệ T H Ả I Dùng cho học sinh lóp chuyên, cnợn Là tài liệu tham khảo cho thày giáo sinh viên khoa toán bậc Cao đẳng Oại học Có nhiều dê thi chọn lọc qũc gia quốc tẽ NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHONG 1994 LỜI (Trích NĨI lời tác ĐẦU già) Tập tập dùng cho học sinh cấp va 3, giáo viên phổ thông, cho giáo viên dạy lớp chuyên, chọn, cho sinh viên trường đại học cao đáng sư phạm cho tất u thích hình học sơ cấp Trong tập tập gơm nhiêu tập có nội dung phương pháp giải dễ hiểu, độc đáo, cao mức độ bình thường cùa chương trình hình học phổ thơng, đáy có nhiêu tốn dùng để thi học sinh giỉi cấp mức độ thời gian khác nhau, nhiêu toán tài liệu thi bôi dương học sinh giỉi cấp cùa nhiêu nước giới Tập tài liệu %ôm tập, mồi tập cỉ khoảng 600 Sai tập Nó khơng coi tập tư liệu tập hình học sơ cốp, mà cịn cám nang đê tự bôi dưỡng, nâng cao thêm vê hình học Dê giúp bạn đọc sứ dụng cách dễ dàng, nhanh chóng tìm tập ức đê tài cịn quan tăm, sách chia làm 29 chương mồi chương gôm từ đến 10 mục Cơ số đề chia lờ dựa rối nôi dung tập dựa (lào phương pháp để giòi tập hỉnh học- Trong mục toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp Mồi c hương bổi đàu bịng tóm tát số kiến thức lý thuyết nám vững tít' giai tốn l số tốn mó đón • lị tốn đơn giản thìtờny hay SỪ dụng đê giải toàn khác phức tạp Salt chứâhi có su tạp đi' bạn đọc tự giải lời giai (f'â\ đủ tọp chương v.v Praxolov LỜI NGƯỜI DỊCH Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy thân, chúng tịi cho Bài tập hình học phăng cua tác giả V V Praxolov Ì tập tài liệu qui che đối tượng nêu lời nói đầu, cho giáo viên học sinh chuyên chọn phổ thông Đây tập sách khống "kho" tư liệu vê tập hình học phăng phàn loại sáp xếp có khoa học trình bày sáng, rõ ràng nên coi sổ tay hình học sơ cấp để tra cứu, tham khảo đoi với giáo viên, để tự học, tự nâng cao học sinh vê tất mặt: kiến thức, nội dung, dạng phương pháp giải Nó cho cá giáo viên phổ thòng dạy lớp thường, sinh viên đại học cao đẳng sư phạm dù ng để học tập, để bói dương cao, tự thấy đa dạng, phong phú vê thể loại, đẹp qua lời giải tốn hình, giúp gân gũi yẽu mến hình học Cuốn sách gom 1318 toán cùa 29 chương có số phần (một số chương, số đê mục) cịn tư liệu tí đê cập tài liệu có cho đối tượng phổ thông nước ta, như: vecto, biến hớnh, tọa độ, phương pháp qui nạp hình học, nguyên tắc Diricle, phương pháp cực hạn, chia, cái, phủ, tổ hợp, trò chơi, vè áp dụng phép chiếu, biến đổi afin, biến đổi xạ ánh, phép nghịch đảo, điểm bất biến, sử dụng tô màu, tinh chẵn lẻ để giải tốn hình Tập sách coi nguồn bổ sung thiết kịp thời giúp việc dạy học hình học ỏ phổ thơng tốt Phương pháp trình bày, xếp cùa sách khoa học, hoàn chớnh, dễ sử dụng tính hiệu cao Người dịch cố gắng thể ý tưởng đó, nhitng khả có hạn nơn khơng tránh khói thiếu sót Rất mong ý kiến bảo cùa độc giả Thư góp ý xin gửi phịng PTTH sà Giáo dục - Dào tạo Hải Phòng Chương I T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG C Á C K I Ế N T H Ứ C C BÀN Tam giác A B C đ ô n g dạng v i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1) k h i va chi thỏa mãn m ộ t đ i ề u k i ệ n tương đ n g sau : a) A B BC : C A = A1B1 : B i d : C1A1 b) AB : B e = A1B1 : B i C i c) A B C = A1B1C1 A B C = A1B1C1 BÁC = BiAid Nêu đường thẳng song song cắt k h ỏ i góc đ i n h A tam giác AB1C1 AB2C2, t h ì c c tam g i c đ ó d õ n g dạng A B i : A B = A C i : AC2 (các đ i ế m B i B2 nằm t r ê n cạnh cùa góc, C i C2 nằm t r ê n cạnh kia) Đường trung binh tam giác đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m hai cạnh Đoạn thẳng đ ó song song v i cạnh t h ứ ba nửa đ ộ dài Đường trung bình h ì n h thang đoạn thẳng nối trung điểm cạnh bên hình thang Đoạn thẳng đ ó song song với đáy nửa tổng độ dài chúng T i sô d i ệ n tích tam giác đỏng dạng bịnh p h n g t i số đơng dạng, tức b ì n h phuong t i số đ ộ dài cạnh t n g ứ n g Đ i ê u đ ó đ ợ c ổóiy ra, chẳng h n , t c ô n g t h ú c SABC = A B A C sinA Da gịắc A i A A n đ ợ c g ọ i đ n g d n g v i đ a g i c B1B2 B A A : A A : : A n A i = B1B2: B2B3: : B n B i góc thuộc đinh A i , , A n tương ứng góc thuộc đ i n h Bi, ,Bn T i sỗ đ n g c h é o t n g ứng đa giác đ ô n g dạng t i sỗ đ ô n g dạng; dối với đ a giác đồng dạng ngoại t i ế p t h ì t i sỗ b n k í n h cùa đường tròn n ộ i l i ế p t i số đồng dạng CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU Chứng minh đường trùng tuyến tam giác đông quy điểm bị chia điểm theo ti số : Ì tính từ đinh Trên cạnh BC cùa A Aốc lấy điếm A i sáo cho B Ấ i : ẤiC = : Hỏi dường trung tuyển CCi chia đoạn thắng A A i theo l i số ? Trong tam giác nhọn ABC kẻ đường cao ÁAi BBi Chứng minh AiC : BiC = AC : Be Đuơng phân giác AD Á ABC cắt đuờng tròn ngoại tiếp tậi điểm p Chứng minh A ABP _ A BDP Trong A ABC nội tiếp mộtiiình vng cho cạnh hình vng nằm cạnh Be, cịn hai đinh cịn lại hình vng nằm cạnh AB AC Tính cạnh hình vng, nêu biết độ dài cạnh Be đường cao hạ xuongflc §1 dè đoạn thẳng nằm đường thẳng song song 1.1 Các đáy hình thang a b a) Tính độ dài đoạn thắng định dugng chéo dường trung bình b) Tính độ dài đoạn thắng định cạnh bên hình thang trơn đường thắng qua giao điếm đường chéo song song với cádacy 1.2 Chứng minh trung điểm cạnh tứ giác đinh hình binh hành Đối với tứ giác hình bình hành hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ? 1.3 Các điếm A i Bi chia cạnh Be AC theo t i sỗ B A I : A i C = = : p A B i : BiC = Ì : q H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia đoạn thắng BBi theo ti sỗ ? ' Ì 1.4 Trên cạnh A D hình bình hành ABCD lấy điếm p cho ÁP = - AD; < n Q giao điếm đường thắng AC BP Chứng minh AQ = —-— AC n + Ì 1.5 Một đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính đường trịn Chứng minh hình chiêu cạnh đỗi lên đường chéo 1.6 Các đ i ể m A B dinh đuờiỊg tròn tâm o cung có số 60° T r ê n cung d ó láy điểm M Chứng minh đường thẳng qua trung đ i ề m đoạn thẳng M Ạ OB vuông góc v i đường thẳng qua trụng đ i ể m đoạn thẳng M B vá O A 1.7 Trong hình chữ nhật A B C D đ i ể m M (rung điểm cạnh A D , N trung điểm cạnh BC T r ê n phần kéo dài cùa đoạn thẳng CD vè phía D lây m ộ i diêm p K i hiồu giao điểm đường than? PM A C Q Chứng minh r ằ n g Q N M = MNP (hình 1) 1.8 Các đường kính A B CD t ương t r ị n s vng góc với Dây cung E A cài đường kính C D điểm K, dây cung EC r ắ t dường k í n h A B t i điểm L Chứng minh CK : K D = : A L : L B = : § T ỉ s ố c c c n h c ù a tam giác đồng dạng 1.9 B E đường phân giác góc B Hình Ì A A B C (hay đường phân giác ngồi góc B) v i E đ i ể m t r ê n đường thẳng A C Chứng minh A B : BC = A E : EC 1.10 Các đường chéo tứ giác A B C D cắt t i đ i ể m o Chứng minh A O B O = C D D O chi k h i BC I I A D 1.11 Đ i ể m H trực t â m A A B C ; A i , B i , Ci c h â n đường cao A A i , B B i , C C i Chứng minh A H A i H = B H B i H = C H C i H 1.12 Các đ i ể m M K nằm t r ê n cạnh A B BC Á A B C ; đoạn thẳng A K C M cắt t i đ i ể m p B i ế t đoạn thẳng A K C M bị chia b i đ i ể m p theo t i số 2:1 tính từ đ i n h Chứng minh A K C M đường trung tuyên tam giác 1.13 X u ố n g cạnh BO C D h ì n h b ì n h h n h A B C D (hay xuống c c p h ầ n k é o d i c h ú n g ) hạ đ n g v u ô n g góc A M A N Chứng minh À M A N _ ầ ABC 1.14 Qua m ộ t điếm p t r ê n cạnh A C A A B C ké đường thẳng song song v i đường trung tuyển A K C L , cắt cạnh BC A B t i đ i ể m E F t n g ứng Chứng minh c c đ u n g trung tuyên A K v a C L chia đoạn thẳng E F t h n h ba phần 1.15 G i ả sử hai cạnh hai góc m ộ i tam giác hai cạnh hai góc (am giác khác Có thể két luận tam giác đ ó dược H a y không ? 1.16 G i ả sử B trung đ i ể m đoan thẳng A C Các đ i ể m D E nằm ve phía so với dường thẳng A C A D B = E B C , D A B = B C E Chứng minh BDE = A D B 1.17 T r ê n đường phân giác góc vng lẩy diêm p Qua n ó kẻ (lng Ihẳng bát kì định cạnh góc đoạn thẳng dài a b Chứng minh dại lượng - + khơni! phừ thuộc vào đường thẳng a b 1.18 G i ả sử ra, I"b, Te bán kính dường trịn bàng t i ế p A A B C , tiếp xúc với cạnh Be, CA, A B t a n e ứng, r bán kính đường trịn nội t i ế p , s p diện lích nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh : a) S = ( p - a ) r a 1 1 b) — + — + — = r r r a b c - r 1-19 T r ê n cạnh BC lam niác đêu A B C n h đường kính vê phía ngồi dựng nửa dường trịn, t r ẽ n (ló lay đ i ể m K L chia nửa đường tròn t h n h cung Chứng minh rang đuừng thẳng A K A L chia đoạn thẳng BC t h n h phân 1.20 Đ i ế m o tâm (lường tròn n ộ i t i ế p A A B C T i ê n cạnh A C BC chọn đ i ể m M K tương ứng cho B K A B = B O A M A B = A O Chứng minh đ i ể m M , o K thẳng hàng 2 1.21 Đ ộ dài hai cạnh tam giác 10 15 Chứng minh độ dài đường p h â n giác góc chung k h ô n g l n 12 1.22 Chứng minh giao đ i ể m đường chéo, giao đ i ể m phân k é o dài cạnh bên trung đ i ế m đáy hình thang bát kì nằm đường thẳng 1.23 Trong hình thang giao đ i ể m đường chéo nằm cách đêu đường thẳng chứa cạnh bên Chứng minh h ì n h thang cân 1.24 Đường thẳng Ì cắt cạnh A B A D hình b ì n h h n h A R C D t i đ i ể m E F tương ứng G i ả sử G giao đ i ể m đường thẳng Ì v i đường chéo ™ • K * AB A D _ AC A C Chứng minh rang — H = —— AE AF AG 10 1.25 G i ả sử AC dường c h é o lởn him hình bình hành A B C D T (liếm c xuống p h â n kéo dài cạnh A B A D hạ dường vng góc C E va CF C h ứ n g minh A B A E + A D A F = A C L.26 Đoạn thẳng B E chia A A B C (hành hai tam giác dồng dạng, địn lí thời l i sơ đồng dạng Vĩ Tính góc A ABC * § T ỉ s ố diện tích tam giác đồng dạng 1.27 Qua điềm đ ó nằm tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí với cạnh Các (luông thẳng chia tam giác thành sáu p h â n ironn sị ứỏ có ba lam giác với diện tích Si, S , Sĩ Tính diện tích lam giác cho 1.28 T r ê n cạnh A C A A B C lây đ i ế m E Qua đ i Ị m E kỏ (luông t a D E song son^ với cạnh BC duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D E lít đ i Ị m t r ê n cạnh) Chứnc m i n h S I J D E F = V S A D E - S[=FC 1.29 Qua điỊm nằm tam giác cho trước kẻ ba (luông thẳng song song với cạnh Các duờne thẳng chia tam giác Ihành sáu phân số cố ba hình bình hành với diện tích S i ' Sì, Sỉ' Tính diện tích tam giác 1.30 T r ê n cạnh h ì n h vntỊ A B C D diện tích s lây đ i Ị m K, E M , H (K n e n A B , V A ' ) tho A K = BE = C M = D H = - A B T í n h d i ệ n tích tứ giác uiới hạn duủnẹ thằne A E , B M , C H D K § Các tùm giác phụ bang 1.31 Cạnh góc vng Be tam giác vng ABC (góc c vng) bị chia d i ố m D E thành ba phần CTúrniỉ minh nêu BC = 3AC, tổng góc A E C , A D C A B C 90° 1.32 Đ i ế m •' ỉa truno điỊm cạnh A B cùa hình vng A B C D , cịn diêm L chia dirừng c h é o AC ihco t i sỏ A L : L C = 3:1 Chứng minh góc K.LD vng 1.33 Các tam tỊiác vng cân A B C CDE vói c t đinh góc vng B D cho trước mặt phẳnỏ có dinh churl!" c (dnng thời chiêu quay t A B đ ẽ n BC từ C D đ e n D E n h nhau) C h n g minh pinn vị trí trung đ i Ị m đoạn thẳng A E k h n g phụ thuộc vào vị trí diêm c 1.34 a) Trên cạnh BC CD hình vng A B C D dựng phía ngồi lam giác đêu BCK D C L Chứng minh A A K L đêu b) T r ê n t n h BC CD t ủ a h ì n h bình hành A B C D dựng vệ phía ngồi lam giác- (lêu BCK D C L Chứng minh A A K L đêu li 1.35 Bên hình vng ; A B C D P B A = P A B = ° Chứng minh lẩy A C P D đêu điểm p cho 1.36 Trên cạnh góc vng C A C B tam giác vuông cân A B C lẫy điểm D E tương ứng cho C D = CÊ Phần kéo dài đường vng góc hạ từ điểm D c xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyên AB tương ứng điểm K L Chứng minh KL = LB 1.37 Bôn A A B C lẫy điểm p cho P A C = P B C Từ điểm p xuống cạnh Be C A hạ đường vng góc PM vá P K tương ứng G i ả sử D trung điểm cạnh AB Chứng minh D K = DM §5 Áp dụng tính chựt góc nội tiếp đ ể chúng minh tam giác đồng dạng 1.38 Trên đoạn thẳng A B đường kính dựng nửa dường trịn Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường trịn điểm c Từ điểm A B xuống dường thẳng Ì hạ đường vng góc A M BN Giả sử D hình chiếu điểm c lên A B Chứng minh ràng C E T = A M B N 1.39 Cho hai đường tròn cắt điểm A D A B C D tiếp tuyên đường tròn thứ nhựt thứ hai (B c điểm đường tròn)j _ AC _ C D Chứng minh rang —— = BD AB u k 1.40 Cho hình bình hành A B C D với góc đinh A nhọn Trên tia A B C B đặt c c đ i ể m H K t n g ứng cho C H = Be A K = A B Chứng minh rằng: a) D H = D K b) A D K H _ A ABK 1.41 Trên cung Be dường tròn ngoại tiếp quanh tam giác A B C lẫy điểm p bựt kì Các đoạn thẳng ÁP B C cắt Q Chứng minh Ị PQ _ Ị Ị PB PC 1.42 A B đường kính đường trịn S i , A tâm đường tròn S2 Các đường tròn cắt điểm c D Qua điểm B kẻ đường thẳng cắt đường tròn S2 diêm M nằm đường tròn S i , đường trịn Si - điểm N Chóng minh rằng^MN = CN.ND 12 1.43 a) T đ i ế m c kỏ hai đường thẳm; l i ế p xúc với dường tròn đ i ể m A B Chứng minh (lộ dài đường vn? "óc hạ từ mót (liếm p bát kì (lườm; trịn xuống đường-ti.ẳnẹ A B , trung hình nhân dụ dài dường vng c ù n c hạ từ diêm dỏ cùa đường tròn xuống dưc/ng thẳm; A C B e b) Từ đ i ể m o bát ki dường trùn nội tiếp A A B C hạ đường V U Ơ I I Í ; góc O A ' , O B \ o e xuống cạnh A A B C đường vng góc OA", •OB", o e xuồng cạnh tam giác với đinh tiếp đ i ể m Chứng minh OA'.OB'.OC" = OA".OB".OC" 1.44 Cho cóc dinh o đường trịn l i ế p xúc với cạnh t i Jicm A B T điểm A ké tia song soni! vói OB cắt ưườne tròn t i đ i ể m c Đoạn thắng o e cắt dường tròn điểm E, cịn đúniở thẳnc AE OB cắt (liếm K Chứnii minh O K = K B 1.45 Qua trunụ đ i ể m c dây cung A B bát kì (lườm: tròn kẻ hai dây cung K L M N (các đ i ể m K M nằm phía so vùi A B ) a) Đoạn thẳng K N cắt A B t i diêm Q, đoạn thắng M L cai A B diêm p Chứng minh PC = QC b) Đường thẳng K M cắt dirờna thẳng A B t i diổm R, đường thắng N L - đ i ể m s Chứng minh RC = s e § Tam giác tạo t h â n dinrn" cao 1.46 Giả sử A A i BBi đường cao A A B C Chứng A A i B i C _ A ABC T i sơ địng dạng ? minh 1.47 Tam (Ịiác A B C nhọn B Á C = (í T r ê n cạnh BC (lườm; kính dựnii nứa đưửng tròn cắt cạnh A B B e điếm p vá o (ưomg ứng T í n h t i sơ diện tích tam giác ABC vá APQ Ì 48 Từ đ i n h c tam giát nhọn ABC hạ (lươn? cao C H từ điếm H hạ d lít mu '^ôni> gốc H M H N xuống cạnh B e AC tuôn!! ứng Chưn" minh t c tam giác ABC M N C dòng (lạjig 1.49 Trong tam eiác nhọn A B C kố duừnu cao A D , BE va CF Chứng minh — = — , đ ó p chu vi A E D F , p chu A ABC p R 1.50 a) Chứng minh dường cao A A i , B B i , CCi tam giác nhọn A B C chia đơi góc cùa tam giác A B C lĩ b) Trôn cạnh A B , BC, C A lam giác nhọn A B C lây đ i ế m C i , A i , B i lương ứ n g C h ứ n g m i n h r ằ n g n ê u B A C = B A ị C i , A B C = A B C v A i C i B = A C B ,thì c c đ i ể m A i , B i C i c h n c c đ n g cao tam g i c ABC 1.51 T r o n £ tam giác nhọn A B C kỏ dường cao A A i , B B i C C i Chửng minh A C Q - A A ] B i 1.52 Trong tam giác nhọn A B C kè dưưg nau) A A i , B B i CC| Chứng minh rằne n ế u A B I I A B v B C 1 I BC, A C 1 A C § Các h ì n h đồng dạng 1.53 Trona tam giác nội t i ẽ p ưưừng tròn bán kinh r Các liêp tun cùa duửnu trịn sonc sontỉ với cúc cạnh tam giác cai khỏi ba lam lỉiác nín') Giả sử r i , TI, n bán kính (lườm; trịn nội tiếp troniỉ lam I l i a c Chưn!? minh r i + TI + Tì = r 1.54 Cho A A B C Dắnc hai ưuừni; thẳng X y cho với điềm M cạnh A C tổng đ ộ d i c c đ o n t h ẳ n i i M X M v M Y , M k ỏ từ đ i ề m M s o n " s o n g v i c c d u n g t h ẳ n g X y cho đ e n k h i cắt c n h A B Be tam ỊỊỉiác, h u n t ' 1.55 Trong tam giác cân A B C từ trunc diem H dày BC hạ đưừnu VUÓIIỊI uỏc H E xuống cạnh bên A C , o irune điềm (loạn thẳng H E Chứng minh i ằ n u dường thẳng A O BE vniĩ c 1.56 Chứng minh hình chiêu chân dường tao cùa lam giác lên cạnh xuất phát l dinh vái dường cao đó, len hai dương cao khác, cùm; nằm đường thắng 1.57 Trên đ o n thẳng A C lấy điểm B trôn đoạn thẳnu A B , B e , CA dắng nửa (liiừnp iròn S i , Si, S3 vè phía so vói A C D điỂm l ấ n S i có hình chiêu lịn A C trùng với đ i ể m B T i ế p tuyến chung S i S2 (lép xúc với nửa đường trịn đ ó l i đ i ế m F v E tương ứng Chứng minh : a) ĐuxYnị! thang EF son lĩ song với t i ế p luyến S3 kè qua đ i ể m D: b) B F D E hình chữ nhật 1.58 T diem M cùa đuừne trịn ngoại l i ế p quanh hình chữ nhại A B C D hạ dưửn li vng góc M Q MP xuống hai cạnh đói cùa đường vng M R M T xuống phân kéo dài hai cạnh Chứng minh đường thẳng PR Q T vng góc với cịn giao đ i ế m chúnc nằm trơn đường c h é o hình chữ nhật A B C D 14 1.59 T i hai dường tron nằm !U»oài kẻ m ộ t t i ế p tuyến chung tiếp tuyên chung Ì rịn lí Xét hai dướn lí thẳng, đường qua tiếp điểm nằm dường Iron Chứng minh giao điểm dường tháng đ ó nằm t r ê n dường thảng nối lâm t ủ a dường (rịn CÁC BÀI TỐN T Ự G I Ả I 1.60 Dáy lam giác cân chiêm - chu vi cùa lam líiác T diêm đáy kè diKMit! Ihẳntĩ song song với cạnh bên H ỏ i chu vi tam I»iác l n han chu vi hình bình hành vừa lạo lãn ? 1.61 Các duụni; chéo hình tham: vniỊ góc với Chứng minh tích đ ộ đài t c đáy hình Ihanií bằm: tổnu tích dụ dài đoạn t h ẳ n ẹ m ộ i dường chéo độ dài đoạn thẳng cùi! (lươnlĩ chéo kia, nhận chia dường c h é o liiao đ i ế m c h ú n c 1.62 Các cạnh hình vne bằne ọ ja làm nỏ kở mội dườni! thẳnn Tính tổng bình phucmj! khoảng cách tù diêm cite hình vnu đến dường thẳng 1.63 Có thổ hai nhát cài thẳng di qua hai đinh cùa lam giác chia t h n h bốn phàn cho ba phàn tam giác tương đương dược hay không ? 1.64 Các diêm A', B' C" dơi xúm; với tâm (lươn!! trịn ngoại Ì lép qua cạnh A A B C C h n e minh rằnc t c tam giác A B C A ' B ' C 1.65 Trong hình bình hành A B C D đ i ể m E F Iruna diêm cạnh A D BC; K, L , M , N giao (liếm A F B D , D F vã A C , CE BO, A C vã BE lương ứng Chứng minh tứ giác K L N M hình bình h n h 1.66 G ó c A A A B C lem gã|) đơi góc B ChứniỊ minh rằnc BC = ( A C + A B ) AC 1.67 Chứng minh nêu trực tâm chia đường cao tam ciác theo cùn lĩ t i sô, thi tam giác 1.68 Bên tronụ A A B C cho d i í m K mà dường thẳnc di qua K soniỉ son ụ với cạnh A A B C dinh cạnh tam giác đoạn thẳng c ó đ ộ dài X T í n h X, đ ộ đài cạnh cùa lam giác a, b, c 1.69 G i ả sụ o mội điềm bát kì đường trung tuyên A A | A ABC Đường tháng BO cắt cạnh A C điếm B i Qua B i kẻ dưừnu thằng song song v i 15 dày B e cắt cạnh A B t i đ i ể m C i Chứng minh điểm c, o, Gi nằm t r ê n đ n g thẳng 1.70 Qua đ i ể m o lẩy t r ê n đường cao BH cùa A ABC kỏ đường thẳng AO CO, c h ú n g cắt cạnh B e BA tương ửní> l i điểm K M Chứng minh K.HB MHB 1.71 Trong tứ giác A B C D đ i ể m E trung điểm cạnh A B , F trung đ i ế m cạnh C D C h n g m i n h trung đ i ể m đoạn thẳng A F , CE, B F P E đ ỉ n h h ì n h b ì n h h n h L Ờ I GIẢI 1.1 G i ả sử A B C D h ì n h thang, BC = a, A D = b, đ ó a < b a) G i sử M N trung đ i ế m cạnh AB CD, K L giao đ i ế m cùa d n g t h ẳ n g M N v i đường c h é o A C B D t n g ứng K h i M K = Be = - a M L = - 2 A D = - b Do K L = ML - MK= - 2 (b - a) b) Đ n g thẳng qua d i ê m o giao đ i ế m đường c h é o cắt A B p o r> ^ w ~ -r- , ÁP PO BP AB-AP „ _ d i ê m p, C D t i d i ê m Q Ta có - — = — , - — = — = Cộng Be AB AD AB AB a đắng thức lại ta dược + Be PQ = P O = Ì , tức AD PO = ——— a + b = a + b i.^Trfong t t f ' J g t r A ^ S & i c a c điểm K,L,M,N trung đ i ể m cạnh A B , BC, C D , D ỳ t u ô n g ý u ì ĩ - B ữ Ì ậ ó K L = M N = - A C K L I I M N , tức K L M N hltah-bijih h n h , R õ rarfgTCĩJýỉN hình chữ nhật đường c h é o A C B D vng góc; l ỳ n h thoi A C = B D ; hình vng dường c h é o A C B D vừa v u n g góc vừa 1.3 Kí hiệu giao đ i ể m c ủ a c c đ o n t h ẳ n g A A i B B i o K ẻ A B i B C đ o n t h ẳ n g A A I I B B i K h i đ ó B i C : B1A2 = ( l + p ) : Ì, đ ó A O ; Ộ X I U A B I : B1A2 = - q 16 BiC : B1A2 = : Ì q = q 1.4 Cách thứ nhối : AAQP Ọ C = nAQ; AC = A Q + Cách ọc = A C Q B , đ ó AQ ÁP QC Be t ứ c (n + l ) A Q thứ hai : Chia cạnh A D BC làm n p h â n bằní> nỗi c h ú n g n h h.2 K h i đ ó (lườm: c h é o A C dược chia làm n + p h â n mà dỗ d n g thấy dược có đ ộ dài 1.5 A B C D t ứ giác cho, A C đường k í n h đường trịn ngoại t i ế p quanh A B C D H đường vng góc A A i CCi xuống B D (h.3) Ta phải chứng minh B A I = D C i Cũng hạ đường vng góc OP l t â m o cùa dường trịn ngoại Hình tiếp xuống B D R õ ràng p trung diêm cùa đoạn t h ẳ n g B D C c đ n g thẳng A A i OP, C C i song song, A O = oe, A t P = P C ] B i p trung đ i ể m cùa B D , suy B A I = D C i L.6 G i ả sứ c, D , E, F trung đ i ế m cạnh A O ; O B , B M , M A t ứ giác A O B M Bởi vi A B = M O = R, R bắn kíni^sàa^hajaựr*Ei»RfT«ffFffểi, n h ta biết qua 1.2, C D E F h ì n h thoi I|t> ( f * l l j w i ^ l t t t £ » ^ ! W Ị Ị ^ góc v i dườne thằng D F ^ ^ 1.7 Kò qua tâm o hình chữ nhắt A B C D (lircftsfftilNg