GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC Biên Soạn Trường Sơn http //www ebook edu vnChöông 1 – Logic meänh ñeà Toaùn öùng duïng trong Tin hoïc Bieân soaïn Tröôøng Sôn 1 CHÖÔNG 1 LOGIC MEÄNH ÑEÀ I M[.]
GIÁO TRÌNH TỐN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC Biên Soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề http://www.ebook.edu.vn Toán ứng dụng Tin học CHƯƠNG LOGIC MỆNH ĐỀ I- MỆNH ĐỀ I.1- Khái niệm: • • • • • Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Câu khẳng định gọi mệnh đề (mệnh đề có chân trị đúng) Câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai (mệnh đề có chân trị sai) Kí hiệu mệnh đề: P, Q, R, … Kí hiệu chân trị (hay T – True), chân trị sai (hay F – False) Ví dụ 1: a/ Hà Nội thủ đô nước Việt Nam b/ Thượng Hải thủ đô Ấn Độ c/ + = 10 d/ 43 chia heát cho e/ Hôm trời đẹp ! f/ Hôm trời có đẹp không? g/ Hãy học đi! h/ n số nguyên tố Là mệnh đề (1) Kí hiệu mđ: P Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: Q Là mệnh đề (1) Kí hiệu mđ: R Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: T Không phải mệnh đề Câu cảm thán Không phải mệnh đề Câu hỏi nghi vấn Không phải mệnh đề Câu mệnh lệnh Không phải mệnh đề Là vị từ (mệnh đề chứa biến).Nếu n=3 ta mệnh đề đúng, n= ta mệnh đề sai * Biến mệnh đề: p gọi biến mệnh đề nhận giá trị mệnh đề Ví dụ 2: p biến mệnh đề nhận giá trị mệnh đề P, Q, R, T I.2- Các phép toán lôgic: I.2.1: Phép phủ định (NOT): Phủ định mệnh đề P kí hiệu P Chân trị P chân trị P ngược lại Bảng chân trị phép phủ định: Ví dụ 3: mệnh đề P: “ số hữu tæ” P P P : “ số hữu tỉ” ( số vô tỉ) I.2.2 Phép hội (AND): Phép hội hai mệnh đề P, Q kí hiệu P∧Q (đọc P Q) P Q Bảng chân trị phép hội: P 0 1 Q 1 P∧Q 0 Ví dụ 4: + “Chiều trời đẹp trận bóng đá hấp dẫn”: P∧Q + “Danh sách sinh viên nam tuổi từ 20 trở lên”: P∧Q Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20) Biên soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề Toán ứng dụng http://www.ebook.edu.vn Tin học + “Danh sách sinh viên nữ có quê Long An”: P∧Q Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”) I.2.3 Phép tuyển (OR): Phép tuyển hai mệnh đề P, Q kí hiệu P∨Q (đọc P Q) sai P Q sai Bảng chân trị phép tuyển: P Q P∨Q 0 0 1 1 1 Ví dụ 5: + “Danh sách sinh viên quê Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: P∨Q Điều kiện lọc danh sách là: (QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”) I.2.4 Phép tuyển loại (XOR): Phép tuyển loại hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ∨ Q (đọc P Q) mệnh đề Bảng chân trị phép tuyển loại: P∨Q P Q 0 1 1 1 Ví dụ 6: + “Sinh viên An quê Cần Thơ Long An”: P ∨ Q + “ số hữu tỉ số vô tỉ”: P ∨ Q + “5 chiều Minh học thêm Anh văn dự đám cưới bạn Lan”: P ∨ Q I.2.5 Phép kéo theo: Phép kéo theo hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ⇒ Q mệnh đề sai P Q sai Bảng chân trị phép kéo theo: P 0 1 Q 1 P⇒Q 1 Ví dụ 7: + “Nếu An vượt đèn đỏ An vi phạm luật giao thông”: P ⇒ Q + “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh đề đúng) + “202 số chẵn suy 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai) Lưu ý: • P gọi điều kiện đủ để có Q, Q gọi điều kiện cần để có P • Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Biên soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề http://www.ebook.edu.vn Toán ứng dụng Tin học I.2.6 Phép tương đương: Phép tương đương hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ⇔ Q mệnh đề P Q sai Bảng chân trị phép kéo theo: P 0 1 Q 1 P⇔Q 0 Ví dụ 8: + “Tam giác ABC có ba góc tam giác có ba cạnh nhau” + “36 chia hết cho chia hết cho 36 chia hết cho12” + P: “Tứ giác ABCD hình vuông” Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” Ta có P ⇔ Q I.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực máy tính) • Bit đơn vị thông tin nhỏ ứng với hai kí số nhị phân • Chuỗi bit chuỗi gồm kí số 0, Cho chuoãi bit A = 0011; B = 0101 Ta thực phép toán bít sau: A B NOT A A AND B A OR B A XOR B 0 0 0 1 1 0 1 1 1 II- CÔNG THỨC MỆNH ĐỀ II.1 Các khái niệm II.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic) Công thức mệnh đề (còn gọi biểu thức lôgic) biểu thức xây dựng từ: • Các mệnh đề P, Q, R, … • Các biến mệnh đề p, q, r, … nhận giá trị mệnh đề • Các phép toán mệnh đề biến mệnh đề theo trật tự Ví dụ 9: A = (p ∧q) ∨ ( r ⇒ q) E = p ∨ (q ∧ r) F = (p ∨ q) ∧ r Nhận xét: Lập bảng chân trị E F ta thấy E ≠ F, suy thứ tự thực phép toán logic quan trọng II.1.2 Công thức tương đương Hai công thức E F gọi tương đương logic chúng có bảng chân trị Kí hiệu hai công thức tương đương logic E ≡ F hay đơn giản E = F Ví dụ 10: E = p ⇒ q F = p ∨ q hai công thức tương đương (c/m bảng chân trị) Biên soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề Toán ứng duïng http://www.ebook.edu.vn p q p 0 1 1 1 0 p⇒q 1 (E) II.1.3 Công thức mệnh đề đúng, sai Tin học p∨q (p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) 1 (F) 1 1 (G) Công thức mệnh đề gọi công thức nhận gía trị (E ≡ 1) Công thức mệnh đề gọi công thức sai nhận gía trị (E ≡ 0) Ví dụ 11: G = (p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) công thức đúng; G ≡ (suy từ ví dụ 9) II.1.4 Qui tắc thay thế: Qui tắc 1: Nếu công thức mệnh đề E ta thay biểu thức công thức mệnh đề tương đương công thức mệnh đề tương đương logic với E Ví dụ 12: p ⇒ (q ⇒ r) ≡ p ⇒ ( q ∨ r) ≡ p ∨ q ∨ r Qui tắc 2: Nếu E công thức mệnh đề ta thay biến mệnh đề p E công thức mệnh đề tùy ý công thức mệnh đề Ví dụ 13: G = (p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) ≡ (suy từ ví dụ 10) suy G’ = ((r ∧ t) ⇒ q) ⇔ (( r ∧ t ) ∨ q) ≡ II.2 Caùc qui luật logic Với p, q, r biến mệnh đề, đúng, sai ta có tương đương logic sau: 1/ Phủ định phủ định: P ≡ p 2/ Qui tắc De Morgan: ( p ∧ q ) ≡ p ∨ q ; ( p ∨ q ) ≡ p ∧ q 3/ Luật giao hoán: p ∧ q ≡ q ∧ p ; p ∨ q ≡ q ∨ p 4/ Luaät kết hợp: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r 5/ Luật phân phối: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p∨ r) 6/ Luật lũy đẳng: p ∧ p ≡ p ; p ∨ p ≡ p 7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất): p ∧ ≡ p ; p ∨ ≡ p 8/ Luật phần tử bù: p ∧ p ≡ (Luật trung) P ∨ p ≡ (Luật mâu thuẫn) 9/ Luật thống trị: p ∧ ≡ ; p ∨ ≡ 10/ Luật hấp thụ: p ∧ (p ∨ q) ≡ p ; p ∨ (p ∧ q) ≡ p * Chứng minh công thức cách lập bảng chân trị Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thụ 10/ bảng sau: p 0 1 q 1 p∨q 1 p∧q 0 p ∧ (p ∨ q) 0 1 Biên soạn: Trường Sơn p ∨ (p ∧ q) 0 1 Chương – Tập hợp, phép đếm, quan hệ Toán ứng dụng http://www.ebook.edu.vn Tin học a/ Hỏi tập tập tập nào? F ⊂ D ⊂ C ⊂ B ⊂ A; E⊂C⊂B⊂A b/ D ∩ E = F = { tập hợp hình vng} 2.15 Cho A = {1 ; ; 5} B = {1 ; ; 3} + (A \ B) ∪ (B \ A) = { } ∪ { } = {2 ; 5} + (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {1; 2; 3; 5} \ {1; 3} = {2; 5} Suy (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) 2.16 ðiền dấu “x” vào ô trống thích hợp a) ∀ x ∈R, x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 5) ðúng Sai [ X ] b) ∀ x ∈R, x ∈ (2,1 ; 5,4) ⇒ x ∈ (2 ; 6) ðúng [ X ] Sai c) ∀ x ∈R, -1,2 ≤ x < 2,3 ⇒ -1 ≤ x ≤ ðúng Sai [ X ] d) ∀ x ∈R, -4,3 < x ≤ -3,2 ⇒ -5 ≤ x ≤ -3 ðúng [ X ] Sai 2.17 Cho ñoạn A = [-5 ; 1] khoảng B = (-3 ; 2) 2.18 + A ∪ B = [-5; 2) + A ∩ B = (-3; 1] a) Cn3 = n! (n − 3)!(n − 2)(n − 1)n (n − 2)(n − 1)n = = với n ≥ 3!(n − 3)! (1.2.3) (n − 3)! b) Cn2 - n = 2.19 n! (n − 1)n (n − 1)n − 2n (n − 3)n -n= -n= = với n ≥ 2!(n − 2)! 2 Số tập có k phần tử tập có n phần tử Cnk Vậy tổng số tập là: Cn0 + Cn1 + + Cnn −1 + Cnn = 2n 2.20 C152 + C254 C15 + C25 C252 C153 + C25 2.21 Hệ B có n đường thẳng song song ta có: C92 Cn2 = 540 ⇒ (n-1)n = 30 ⇒ n = 2.22 a) A 54 + 2.4 A 34 = 120 + 192 = 312 b) C14 A 35 + 4.( 1.C 24 A 24 ) = 240 + 288 = 528 2.23 2.24 28 a) S = {(2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 6)} b) X/S = { , } a a +T/c phản xạ: Vì = nên (a,b)R(a,b) ⇒ R có t/c phản xạ b b a c c a + T/c đối xứng: (a,b) R(c,d) ⇒ = ⇒ = ⇒ (c,d) R(a,b) ⇒ R có t/c đx b d d b a c c e + T/c bắc cầu: Từ (a,b) R(c,d) (c,d) R(e,f) suy = = f b d d e a = ⇒ (a,b) R(e,f) ⇒ R có t/c bắc cầu ta có f b Vậy R quan hệ tương đương X c a a = }↔ Lớp tương đương (a, b) = {(c,d) ∈ X | (c,d)R(a,b)} = {(c,d) ∈ X | d b b Biên soạn: Trường Sơn Chương – Tập hợp, phép đếm, quan hệ http://www.ebook.edu.vn Tập thương X/R = { (a, b) | (a,b)∈X } ≅ { 2.25 Toán ứng dụng Tin học a | a∈Z, b∈N*} = Q - tập số hữu tỉ b a) Tự chứng minh b) Lớp tương đương đường thẳng song song với trục tung Oy Vậy X/S = {d | d// Oy} – tập hợp đường thẳng d song song với trục tung Oy Biên soạn: Trường Sơn 29 ... http://www.ebook.edu.vn Tập thương X/R = { (a, b) | (a,b)∈X } ≅ { 2.25 Toán ứng dụng Tin học a | a∈Z, b∈N*} = Q - tập số hữu tỉ b a) Tự chứng minh b) Lớp tương đương đường thẳng song song với trục tung... (Year(Date())-Year(NgaySinh)>=20) Biên soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề Toán ứng dụng http://www.ebook.edu.vn Tin học + “Danh sách sinh viên nữ có quê Long An”: P∧Q Điều kiện lọc danh sách... đảo mệnh đề P ⇒ Q Biên soạn: Trường Sơn Chương – Logic mệnh đề http://www.ebook.edu.vn Toán ứng dụng Tin học I.2.6 Phép tương đương: Phép tương đương hai mệnh đề P, Q kí hiệu P ⇔ Q mệnh đề P Q