Phần 1 lý thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện mời hai chiều Hệ phương trình Maxwell là một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động lực học cổ điển, quang học cổ điển và lý thuyế[.]
Phần 1: lý thuyết truyền dẫn ánh sáng cấu trúc điện mời hai chiều Hệ phương trình Maxwell tập phương trình vi phân sở cho điện động lực học cổ điển, quang học cổ điển lý thuyết mạch điện - lĩnh vực đặt móng cho cơng nghệ đại Hệ Phương trình Maxell mơ tả mối quan hệ tác động qua lại lẫn điện trường từ trường Hệ Phương trình Maxell tổng hợp từ định luật Gauss cho điện trường từ trường, định luật Ampere định luật Faraday: ∇ ⋅⃑ B=0 (1.1 ) ⃑ −∂ B ∇×⃑ E= ∂t ∇ ⋅⃑ D= ρ (1.2 ) ∇ ×⃑ H =⃑J + (1.3) ∂⃑ D ∂t Các đại lượng bôi đậm đại lượng vector, đại lượng in nghiêng đại lượng vô hướng Bảng 1.1 Bảng khái niệm đại lượng phương trình: Kí hiệu E H D B Ý nghĩa Cường độ điện trường Cường độ từ trường Độ điện dịch Vector cảm ứng từ trường Mật độ điện tích Mật độ dịng điện Tốn tử div, tính suất tiêu tán rot , tính độ xốy cuộn Tốn tử ⃑ trường vector ρ J ∇⋅ ∇× Đơn vị hệ SI Volt/ mét Ampere/ mét Coulomb/ mét Tesla, Weber/ mét vuông Coulomb/ mét khối Ampere/ mét vuông Trên mét Trên mét Trong hệ tọa độ Descartes chieu, tồn tụt ren biểu diễn sau: Nếu gọi ⃑ A trường vector, khơng gian chiều trường vector biểu diễn dạng ⃑ A=A x ⃑x + A y ⃑y+ A z ⃑z với x , y , z vector đơn vị hệ trục tọa độ tham chiếu ∇= ∂ ∂ ∂ ⃑x + ⃑y+ ⃑z : ∂x ∂y ∂z ∇ ⋅⃑ A= ∂ Ax ∂ A y ∂ Az + + ∂x ∂y ∂z ( 1.5 ) ⃑x ∂ ∇×⃑ A= ∂x Ax | ⃑y ∂ ∂y Ay ⃑z ∂ Az ∂ A y ∂ Ax ∂ Az ∂ A y ∂ Ax ∂ = − − − ) ⃑z ( 1.6 ) ⃑x + ⃑y +( ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Az |( ) ( ) Giả sử môi trường chi bao gồm điện mờ đồng thay đổi vị trí phụ thuộc vào vector vị trí r⃑ ( r⃑ vector nối vị trí trục tọa độ tham chiếu với điểm xét) Vì mơi trường khơng có nguồn nên ta thấy ρ=0 , J =0 vào hệ Phương trình Maxwell Hình 1.1 Vùng chứa điện mơi đồng hỗn hợp, khơng có đồng hạt mang điện Ở ta giả sử điều sau: Vật liệu vĩ mô đồng nhất, E ¿) D ¿) liên hệ với qua ε nhân với hàm điện môi vô hướng ε (r , ω) ( cịn gọi số điện mơi tương đối) Bỏ qua phụ thuộc số điện môi tương đối vào tần số (bỏ qua tán sắc vật liệu) , ε ( r , ω )=ε r Ta tập trung vào vật liệu suốt, ε r ln số dương thực Vậy ta có mối quan hệ ⃑ B và⃑ H, ⃑ D ⃑ E sau : ⃑ D ( r )=ε ⃑ E ( r )=ε ε r ⃑ E (r ) ⃑ B ( r )=μ ⃑ H ( r )=μ0 μr ⃑ H (r ) ( Với μ0 =4 π 10 −7 ( 1.7 ) ( 1.8 ) Henry /me s t ) Tuy nhiên, vật liệu điện môi để cấp tới, μr có xấp xỉ bảng Khi chiết suất n=√ εμ (Định luật Snell) Với giả thiết trên, Hệ Phương trình Maxwell trở thành: ∇ ⋅⃑ B (r , t)=0 ∇ ⋅ ( μ0 μr ⃑ H ( r ,t ) ) =0 ∇ ⋅⃑ H ( r ,t )=0 E ( r ,t ) ) =0 ∇ ⋅⃑ D (r , t)=0 ∇ ⋅ ( ε ε r ⃑ ∇ ⋅(ε r ⃑ E ( r , t ) )=0 ( 1.9 ) (1.10) H (r , t ) −∂ ⃑ B ( r , t ) −μ0 μr ∂ ⃑ ∇×⃑ E ( r , t )= = ∂t ∂t −μ ∂ ⃑ H (r , t) ∇×⃑ ( 1.11 ) E ( r , t )= ∂t ∇ ×⃑ H (r , t)= E (r , t ) ∂⃑ D ( r , t ) ε0 ε r ∂ ⃑ = ∂t ∂t ( 1.12 ) Hơn nữa, ta thực chuyển đổi: ∇ × ∇× ⃑ E ( r , t )= −μ0 ∂ ( ∇× ⃑ H ( r ,t ) ) −μ ∂ ⃑ D (r , t) = ∂t ∂t −μ ε ε ∂ ⃑ E (r , t) ∇ × ∇× ⃑ E ( r , t )= 0 r ∂t ( 1.13 ) ⃑x ∂ ∇ × ∇× ⃑ E ( r , t )=∇ × ∂x Ex ⃑y ∂ ∂y Ey | ⃑x ∂ ¿ ∂x ∂ Ez ∂ E y − ∂y ∂z 2 2 | ⃑y ∂ ∂y ∂ Ex ∂ Ez − ∂z ∂x | ( ⃑z ∂ Ez ∂ Ey ∂ Ex ∂ Ez ∂ E y ∂ Ex ∂ =∇× − − − ⃑x + ⃑y + ⃑z ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Ez 2 [( ⃑z ∂ ∂z ) ( | )] ) ( ∂2 E y ∂2 E x ∂2 E y ∂2 E z = − − + x⃑ −¿ 2 ∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ E y ∂ Ex − ∂x ∂y 2 ( ) 2 2 ∂ E y ∂ Ex ∂ Ez ∂ E y ∂ Ex ∂ Ez ∂ Ez ∂ Ey − − + y+ − − + z⃑ 2 ⃑ ∂x ∂ y ∂ y ∂ z ∂z ∂ x ∂ z ∂ x2 ∂y∂z ∂x ∂y 2 ) ( 2 ) 2 2 ∂ E y ∂ E x ∂ Ex ∂ E z ∂ E y ∂ Ex ∂ Ez ∂ Ey ∂ E x ∂ Ez ∂ E z ∂ E y ¿ − − + − − + y+ − − + ⃑x − ⃑z 2 2 ⃑ ∂x∂y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ y ∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ x2 ∂ y2 ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂z ∂x ( ¿ [( ∂ Ex ( 2 2 ) ( 2 )] ∂ E y ∂ Ez ∂ E x ∂ E y ∂ Ez ∂ Ex ∂ E y ∂ Ez + + + + + + ⃑x + ⃑y+ ⃑z 2 ∂ x∂ y ∂ y ∂ y∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ z2 ∂x ∂ x∂ y ∂ x ∂z − ¿ ) ( [( ) ( ) ( ∂2 E x ∂2 E x ∂2 E x ∂ E y ∂ E y ∂2 E y ∂ E z ∂2 E z ∂2 E z + + x + + + y+ + + ⃑z ⃑ ⃑ 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ) ( ) ( 2 ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x⃑ + + + − + + ⋅(E ¿ ¿ x ⃑x + E y ⃑y+ Ez ⃑z )¿ ⃑y+ ⃑z ⋅ ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂z ∂ x2 ∂ y ∂ z2 )( )( ) )] ) ¿ ∇ ⋅ (∇ ⋅ ⃑ E ( r , t ) ) −∇ ⋅ ⃑ E (r , t ) ∇ × ∇× ⃑ E ( r , t )=∇ ⋅ ( ∇ ⋅ ⃑ E ( r , t ) ) −∆ ⋅ ⃑ E (r , t) ( 1.14 ) Nhìn chung, E H hàm phức tạp không gian vật thời gian Tuy nhiên, hệ phương trình Maxwell có tính chất tuyến tính thân tốn tử ∇ ⋅ , ∇ ×cũng có tính chất tuyến tính: ∇ ⋅ ( B1 +B 2) =∇ ⋅ B1+ ∇⋅ B2 ∇ × ( B1 + B2 )=∇× B1 +∇ × B2 Nghĩa thỏa mãn hệ Phương trình Maxwell tổng chúng vậy, ta dựa vào nguyên lý xếp chồng để xây dựng nên trường phức tạp cách xây dựng trường đơn giản Dựa tính chất ta biểu diễn ⃑ E ⃑ H cách khai triển trưởng thành tập mod điều hòa (harmonic modes – thường gọi đơn giản mode) Các Nghiệm H (r ) la mot cau Phương trình, hay nói cách khác mode viết dạng sau, với ⃑ truc khong gian ( duoc goi la “mode profile”) Phần thực mode trường vật lý tương ứng: ⃑ H ( r ,t )= ⃑ H ( r ) e−iωt ( 1.15 ) ⃑ E ( r , t ) =⃑ E ( r ) e−iωt ( 1.16 ) Thấy giả thiết vào công thức ∇ ⋅ hệ Phương trình Maxwell ta có: ∇ ⋅⃑ H ( r )=0 ∇ ⋅(ε r ⃑ E ( r ) )=0 ( 1.17 ) ( 1.18 ) Để có hai đẳng thức trên, ta cần có điều kiện trường phái tạo nên từ sóng −i k t ngang Nếu có sóng phẳng (sóng có mặt đơng pha mặt phẳng ) ⃑ với k H ( r )=a e vectơ sóng (vector mơ tả sóng) thì: −i k t ∇ ⋅⃑ H ( r )=∇ ⋅ ( a e )=−i k a=0 ( 1.19 ) Hai công thức liên quan đến ∇ × hệ phương trình Maxwell với điều kiện điều hòa nêu dẫn đến: ∇× ⃑ E ( r )−i ω μ0 ⃑ H ( r )=0 ∇ ×⃑ H ( r ) +iω ε ε r ⃑ E ( r ) =0 { ( 1.20 ) Thế phương trình vào phương trình dưới, thấy vận tốc ánh sáng chân không c=1 / √ε μ0 ta có: ω 2⃑ ( ) ⃑ ( ) ∇× ∇× H r =( ) H r εr c ( ) (1.21) Phương trình gọi Phương trình Master, với Phương trình ( 1.20 ), cho ta biết thứ cần thiết ⃑ H ( r ) Với cấu trúc ε r biết trước, giải Phương trình Master, tìm mode ⃑ H ( r )thỏa mãn điều kiện sóng ngang tần số tương ứng chúng Sau sử dụng E ( r ): cơng thức thứ cua ( 1.20 ) để suy ⃑ ⃑ E ( r )= i ∇× ⃑ H (r ) ω ε0 εr ( 1.22 ) E ( r )=0 vi E ( r ) , hay nói cách khác đảm bảo ∇ ⋅ε r ⃑ Cách làm đảm bảo tính ngang ⃑ ∇ ⋅ ( ∇ × )=0, ngồi tìm từ thơng qua cơng thức thứ ( 1.20 ) −i ⃑ H ( r )= ∇× ⃑ E (r) ω μ0 ( 1.23 )