Bài L2/382

Bài L2/382 158 Nguyễn Văn Thuận NGHIỆM CỔ ĐIỂN CHÍNH XÁC CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI EXACT CLASSICAL SOLUTION TO THE YANG MILLS EQUATIONS WITH AN EXTERNAL SOURCE Nguyễn Văn Thuận T[.]

Nguyễn Văn Thuận 158 NGHIỆM CỔ ĐIỂN CHÍNH XÁC CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGỒI EXACT CLASSICAL SOLUTION TO THE YANG-MILLS EQUATIONS WITH AN EXTERNAL SOURCE Nguyễn Văn Thuận Trường Đại học Cơng nghệ Thành phố Hồ Chí Minh; thuanvatli@yahoo.com Tóm tắt - Trong báo chúng tơi khảo sát trường gauge khơng-Abel SU(2) với nguồn ngồi Trong trường hợp nguồn ngồi tĩnh có dạng đối xứng trục, chúng tơi nhận nghiệm cổ điển xác phương trình Yang-Mills tương ứng Nghiệm có kì dị r0 = 1/ b Một hạt mang tích gauge SU(2) vào miền r  r0 bị giam cầm miền Như vậy, nghiệm thu biểu lộ tính chất giam cầm tích gauge SU(2) Từ nghiệm cổ điển này, chúng tơi tìm đại lượng vật lý đặc trưng trường gauge không-Abel SU(2) liên kết với nguồn ngồi, gauge, cường độ điện từ trường, mật độ tích ngồi mật độ lượng trường gauge nonAbel SU(2) Khi hàm trường k ( r ) = số topo n = 1, gauge SU(2) tương ứng với đơn cực từ điểm Abstract - In this paper, we are to investigate an SU(2) non-Abelian gauge field with an external source If the external source is static and axisymmetric, we obtain the exact classical solution to the corresponding Yang-Mills equations This solution has singularity at r0 = 1/ b It can be seen that any particle, which carries an SU(2) gauge charge, becomes confined if it crosses into the region r  r0 Therefore the obtained solution exhibits the property of the SU(2) gauge charge confinement From this classical solution, we also find the characteristic physical quantities of the SU(2) non-Abel gauge field coupled with the external source, namely gauge potentials, electromagnetic field intensities, external charge density and SU(2) non-Abel gauge field energy density With the field function k ( r ) = and topological index n = 1, the SU(2) gauge potential corresponds to the potential of a point magnetic monopole Từ khóa - trường Yang-Mills, phương trình Yang-Mills, trường gauge khơng-Abel, nguồn ngồi, nhóm SU(2), nghiệm cổ điển Key words - Yang-Mills field; Yang-Mills equation; non-Abel gauge field; external source; SU(2) group; classical solution Đặt vấn đề Lý thuyết trường gauge không-Abel (còn gọi lý thuyết trường Yang-Mills) thừa nhận lý thuyết có nhiều triển vọng để xây dựng lý thuyết thống tương tác tự nhiên [1-3] Cùng với việc khai thác ứng dụng tượng luận tương tác dựa mơ hình chuẩn, hướng nghiên cứu khác thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý, nghiên cứu tính chất lý thuyết trường gauge không-Abel hệ động lực phi tuyến Vật lý toán phi tuyến lĩnh vực phát triển mạnh năm gần Như biết, phương trình phi tuyến đối tượng nghiên cứu vật lý toán phi tuyến, lĩnh vực mà công cụ đặc trưng khác xa vật lý toán truyền thống Các nghiệm phương trình trường cổ điển, tức phương trình hàm trường hàm c - số (chứ khơng phải tốn tử) đóng vai trị quan trọng khảo sát cấu trúc lý thuyết trường lượng tử tương ứng [4-8] Dựa nghiệm này, dùng phương pháp phân tích bán cổ điển, thu nhiều thơng tin vật lý quan trọng lý thuyết lượng tử mà trước khơng thể có lý thuyết nhiễu loạn Chẳng hạn phân tích phương trình Yang-Mills cổ điển người ta phát rằng, cực trị phiếm hàm tác dụng không gian Euclide không tương ứng với trường đồng khơng, mà tương ứng với cấu hình trường khơng tầm thường, định xứ theo không-thời gian gọi instanton Trong lý thuyết lượng tử, instanton mô tả hiệu ứng đường hầm trạng thái chân không suy biến Kết dẫn đến cách nhìn cấu trúc chân không lý thuyết YangMills, cho phép giải thích định tính vấn đề tai biến hồng ngoại cầm tù quark Bài tốn tìm nghiệm phương trình Yang-Mills cổ điển tương tác với nguồn nhiều tác giả quan tâm khảo sát [9-11] Đối với toán loại này, kết hấp dẫn tìm số nghiệm riêng xảy hiệu ứng chắn (screening) tích màu ngồi, tương tự hiệu ứng chắn điện tích điện động lực học Người ta cho cầm tù quark liên hệ với hiệu ứng chắn tích màu vừa nêu Bài báo đề cập đến lý thuyết Yang-Milss SU(2) với nguồn Trong trường hợp nguồn ngồi tĩnh có dạng đối xứng trục, chúng tơi tìm dạng nghiệm cổ điển xác (cịn gọi nghiệm vortex) phương trình trường Yang-Mills SU(2) tương ứng, xét đặc trưng vật lý Nghiệm cổ điển biểu lộ tính chất giam cầm tích gauge lý thuyết gauge khơng-Abel Các phương trình trường Yang-Mills với nguồn ngồi Các phương trình trường Yang-Mills SU(2) có mặt dịng ngồi ja có dạng [10]: a F a D  F = ja , =  W −  Wa + g abcWbWc , a (1) (2) Ở g số liên kết trường chuẩn,  , = 0,1, 2,3 số không-thời gian, a, b, c, =1, 2,3 số nhóm SU(2) Khi lấy tỉ lệ xích thích hợp cho gauge, phương trình (2) người ta đặt g = Chúng tơi sử dụng tenxơ metric, xác định a g00 = − gii = Vì tenxơ cường độ trường F phản  a đối xứng nên đạo hàm hiệp biến D D F = D ja = Điều cho thấy dịng ngồi coi mật độ tích ngồi tĩnh Ta xét nguồn ngồi tĩnh đối xứng trục hệ tọa độ trụ không phụ thuộc vào tọa độ z: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(90).2015 j =  e q ( r ) , ( n ) +  2a sin ( n ) , a e a a = 1a cos (3) (4) a Ở e vectơ đơn vị không gian đồng vị trường gauge, n phương trình (4) số cuộn, nghĩa số lần trường cuộn quanh vectơ e a góc phương vị  quét vòng từ đến 2 người ta gọi n số topo, phân thành lớp nghiệm Từ phương trình (3) dễ dàng thấy rằng: j0a = ea q ( r ) (5) Như ta xem hàm q ( r ) mật độ tích ngồi khơng-Abel, phụ thuộc vào tọa độ r Để tìm nghiệm phương trình trường chuẩn Yang-Mills, chúng tơi sử dụng ansatz đối xứng trục cho gauge khơng-Abel SU(2) Nó có dạng [11]: f (r ) (6) W0a = ea , gr  −k ( r ) + n   a W =  3a  e , (7) gr  Trong ea cho phương trình (4), e vectơ đơn vị trục tọa độ  , số nguyên n số topo nghiệm, f ( r ) , k ( r ) hàm trường phụ thuộc vào r Các cường độ trường gauge khơng-Abel xác định phương trình: Eia = F0ai , Bia = −  ijk F jka (8) Từ ta có: df   f −r   a dr  a  E = e er + gr (9) fk  + sin ( n ) 1a − cos ( n )  2a  e ,   gr  dk   dr   a B = −    3a ez gr 159 ar , (13) − br − 3br (14) f (r ) =  , − br Ở a, b ( b  ) tham số Dễ dàng thấy nghiệm thỏa mãn phương trình (12) Khi (13), (14) vào phương trình (11) ta nhận hàm q ( r ) mật độ tích ngồi khơng-Abel SU(2) Nó có dạng (trường hợp hàm f ( r ) lấy dấu +): k (r ) = q (r ) = 9b 6b + 4r (1 − 3br ) (1 − br ) r (1 − 3br )1/2 (1 − br )2 1/2 1/2 2b (1 − 3br ) b (1 − 3br ) − + r (1 − br ) r (1 − br ) − + 3/2 3b 2r (1 − 3br ) 1/2 (15) (1 − br )  (1 − 3br )1/2  a r  − r (1 − br )  (1 − br )2    Với nghiệm (13), (14), gauge không-Abel SU(2) (6), (7) trở thành: − 3r , gr (1 − br )  −ar + n (1 − br ) W0a = ea a W =  3a gr (1 − br ) (16)  (17) e Khi tham số a = (nghĩa hàm trường k (r ) không) số topo n = 1, biểu thức (17) trở thành: a W = a  eˆ gr (18) Đây đơn cực từ điểm khơng-Abel SU(2), có độ lớn g (10) Khi phương trình (2), (3), (6), (7) vào (1), chúng tơi nhận hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết: df − k (11) − + f = −rq, dr r dr r 2 d k dk f k (12) − + = dr r dr r Chú ý rằng, số n không xuất tường minh hai phương trình (11) (12) d2 f Nghiệm giải tích đại lượng vật lý đặc trưng cho trường Yang-Mills SU(2) với nguồn Cho đến người ta chưa tìm phương pháp tổng quát để giải phương trình vi phân phi tuyến Cách thơng thường đưa vài dự đoán dạng nghiệm vào phương trình trường để xem có thỏa mãn phương trình trường hay khơng Một dạng nghiệm cổ điển xác mà chúng tơi tìm là: Từ (13), (14), chúng tơi xác định dạng tường minh cường độ điện trường cường độ từ trường trường gauge không-Abel SU(2) (khi hàm f ( r ) lấy dấu +): ( − 7br + 9b r ) 2 a E = gr (1 − 3br ) 1/2 (1 − br )2 + sin ( n ) 1a − cos ( n )  2a    a B =−  ea er a (1 − 3br ) (19) 1/2 gr (1 − br )  a  3a ez gr (1 − br ) , (20) Mật độ lượng h ( r )của trường gauge khơng-Abel SU(2) tương tác với nguồn ngồi hàm r cho phương trình: h(r ) = Từ (9), (10) suy ra: ( ) + ( B )  1 a  E 2 a (21) Nguyễn Văn Thuận 160  df   dk   f − r  + f k + r    dr   dr    h(r ) =  2g 2r 2 (22) Khi (13), (14) (ứng với hàm f ( r ) lấy dấu (+)) vào (22), nhận được:  9b r  h(r ) = +   2 g r (1 − br )  (1 − 3br )  + + 3b r − 2b (23) g r (1 − br ) b − 3b3 r + 2a − 3a 2br g r (1 − br ) Biết mật độ lượng, ta tìm lượng trường gauge không-Abel SU(2) tương tác với trường Thảo luận kết kết luận Nghiệm giải tích (13), (14) mà chúng tơi tìm ổn định, vì: Khi r → k ( r ) → 0, f ( r ) → 1, (24) Khi r →  k ( r ) → − a , f ( r ) → b (25) Nghiệm b có dạng tựa nghiệm Schwarzschild lý thuyết tương đối tổng quát Các gauge khơng-Abel (16), (17) có kì dị r0 = Vì vậy, hạt mang tích gauge b SU(2) vào miền r  r0 khơng thể rời khỏi miền Điều tương tự xảy với nghiệm Schwarzschild lý thuyết tương đối tổng quát, hạt qua đường chân trời (horizon) bị giữ lại Ngồi ra, gauge khơng-Abel cịn có kì dị r = 0, giống nghiệm Schwarzschild Coulomb điện tích điểm hình thức luận điện từ cổ điển Từ lý thuyết chuẩn khơng-Abel, chúng tơi tìm nghiệm xác tựa nghiệm Schwarzschild lý thuyết Nghiệm chúng tơi có kì dị r0 = tương đối tổng qt Kết cho thấy rõ có liên thơng lý thuyết trường chuẩn không-Abel lý thuyết hấp dẫn Đây minh chứng vai trò quan trọng lý thuyết trường chuẩn không-Abel việc xây dựng lý thuyết thống tương tác tự nhiên Nói tóm lại, từ việc khảo sát phương trình Yang-Mills SU(2) với nguồn ngồi tĩnh đối xứng trục, chúng tơi tìm dạng nghiệm cổ điển xác Nghiệm chúng tơi có ý nghĩa việc giải thích chế giam cầm tích gauge khơng-Abel Từ nghiệm cổ điển này, xác định đại lượng vật lý đặc trưng cho trường chuẩn không-Abel SU(2) tương tác với nguồn ngoài: gauge, cường độ điện từ trường, mật độ tích ngồi, mật độ lượng trường gauge không-Abel SU(2) Trong trường hợp hàm k (r ) = số topo n = 1, gauge khơng-Abel SU(2) có dạng đơn cực từ điểm, có độ lớn g TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C N Yang, R Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance, Phys Rev 96, (1954), 191-195 [2] P Ramon, Field theory: Amodern primer, Revised printing (Addison-Wesley Publishing Company), (1995) [3] R K Kaul, Gauge theory of gravity and supergravity, Phys Rev D 73, (2006), 065027-1-13 [4] A S Cornell, G C Joshi, Non-Abelian monopole and dyon solutions in a modified Einstein-Yang-Mills-Higgs system, Phys Rev D 67, (2003), 105015-1-11 [5] B Kleihaus, J Kunz, Y Shnir, Monopoles, antimonopoles, and vortex rings, Phys Rev D 68, (2003), 101701-1-4 [6] M Nielsen, N K Nielsen, Explicit construction of constrained instanton, Phys Rev D, Vol 61, (2000), 105020-1-15 [7] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha, Dynamical of global vortex string, Jour Math Phys 52, (2011), 102302-1-9 [8] Nguyen Van Thuan, Non-Abel classical solution of the Yang-MillsHiggs theory, Journal of Science of HNUE, Vol 57, No 7, (2012), 3-11 [9] C H Oh, R R Parwani, Bifurcation in the Yang-Mills field equations with static sources, Phys Rev D 36, (1987), 2527-2531 [10] P Sikivi, N Weiss, Classical Yang-Mills theory in the presence of external sources, Phys Rev D, Vol 18, No 10, (1978), 3809-3821 [11] M P Filho, A K Kerman, H D Trottire, Topologically nontrivialsolutions to Yang-Mills equations with external sources, Phys Rev D 40, (1989), 4142-4150 (BBT nhận bài: 30/10/2014, phản biện xong: 09/03/2015) ... nontrivialsolutions to Yang-Mills equations with external sources, Phys Rev D 40, (1989), 4142-4150 (BBT nhận bài: 30/10/2014, phản biện xong: 09/03/2015)