Microsoft PowerPoint Baigiang ToanKT Chuong 12 1 Chapter 12 Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) 2Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện Điện tử – ĐHBKTPHCM Chương 12 Nội dung 12 1 Ánh xạ hay phép biến.Microsoft PowerPoint Baigiang ToanKT Chuong 12 1 Chapter 12 Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) 2Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện Điện tử – ĐHBKTPHCM Chương 12 Nội dung 12 1 Ánh xạ hay phép biến.
Chapter 12: Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) Chương 12: Nội dung 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi 12.2 Ánh xạ bảo giác 12.3 Phép Biến đổi song tuyến tính 12.4 Biến nửa mặt phẳng thành đĩa đơn vị 12.5 Một số ánh xạ bảo giác thường dùng khác Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12.1 Ánh xạ hay phép biến đổi : Khái niệm: Hàm phức w = f(z) xác định phép biến đổi điểm hay tập A mp z điểm hay tập B (gọi ảnh) mp w z-plane y y1 w-plane v z1 A x1 x u B w1 = f(z1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Tìm ảnh điểm hay tập hợp: Ảnh điểm z1 w1 = f(z1) Ảnh tập (đường thẳng, đường tròn, đĩa, …) liên quan đến tìm hàm ngược Qui trình: w = f(z) z = f–1(w) x + jy = f–1(u + jv) x = ϕ(u, v) y = ψ(u, v) Dùng phương trình hay bất phương trình mơ tả tập A mp z để nhận phương trình hay bất phương trình mơ tả tập B mp w Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 12.1.1: Ảnh điểm Tìm ảnh điểm A (z = – + j) B (z = + j4) mặt phẳng w phép biến đổi w = j2z + minh họa hình vẽ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 12.1.2: Ảnh đoạn thẳng Tìm ảnh đoạn thẳng nối A (z = – + j) B (z = + j6) mặt phẳng w phép biến đổi w = j2z + Hàm ngược: z = – j0,5w + j1,5 x = 0,5v x + jy = – j0,5(u + jv) + j1,5 y = 1,5 – 0,5u Phương trình mơ tả đường AB: y = x + 1,5 – 0,5u = 0,5v + v=–u–3 Tập ảnh đường qua AB đường thẳng mp w có phương trình v = – u – Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 12.1.2: Ảnh đoạn thẳng (tiếp theo) Tiếp tục ta tìm ảnh A’ B’ A B Tập A Tập B Suy ảnh đoạn AB phần đường thẳng nằm hai điểm A’ B’ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Lưu ý: i Đoạn A’B’ xác định ta tìm thấy ảnh K’ (của điểm K đoạn AB) nằm đoạn A’B’ K K’ ii Ảnh miền D xác định ta dùng điểm thử xác định vị trí ảnh : nằm bên hay bên ngồi D’ Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD 12.1.3: Ảnh miền Tìm ảnh đĩa hở D = {z: |z + + j| < 1} phép biến đổi w = (3 – j4)z + + j2 ? Hàm ngược: z = (3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5) Thế vào bất pt mơ tả tập A ta có: |(3/25 + j4/25)w – (2/5 + j6/5) + + j| < |w + – j3| < Ảnh tập A đĩa hở tâm (-1,3), bán kính -1 A B -1 -1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Một số phép biến đổi đơn giản: i Phép dời: w = z + a Tịnh tiến miền cho theo hướng a ii Phép xoay: w = ejθ.z Xoay miền cho theo CCW θ > CW θ < iii Phép giãn: w = αz Giãn miền cho iv Phép nghịch đảo: w = 1/z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10 12.2 Ánh xạ bảo giác : Định nghĩa điều kiện: y v w0 C2 z0 C2’ θ=α α C1’ x u C1 Ánh xạ bảo toàn độ lớn hướng góc đường cong C1 C2 qua phép biến đổi gọi ánh xạ bảo giác (conformal mapping) Nếu f(z) giải tích f’(z) ≠ w = conformal mapping 11 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Một số phép biến đổi bảo giác đơn giản: a) Phép biến đổi w = z2: Là bảo giác với z khác Do w = z2 = (x + jy)2 = x2 – y2 + j2xy u = x2 – y2 v = 2xy Biến đường thẳng miền w u = a v = b thành hyperbol trực giao miền z Biến đường thẳng miền z x = a y = b thành parabol trực giao miền w Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12 b) Phép biến đổi w = ez: Là bảo giác với z R = ex Do w = ez = e(x+jy) = ex.ejy φ = y Biến đường x = a miền z thành đường tròn tâm O, R = ea miền w Biến đường thẳng y = b miền z thành tia qua tâm O φ = b miền w Biến hình c.nhật mp z thành miền đường tròn tia mp w Biến nửa trái mp z thành bên đường tròn đơn vị miền w Ta thấy rõ tính bảo giác 13 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM c) Phép biến đổi w = 1/z : Là bảo giác với z khác Phép biến đổi w = 1/z dùng để biến miền hai đường tròn qua điểm (kđx) thành miền hai đường thẳng (đx) y v x u 0 R y 1/R v x a Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM u 1/a 14 Ứng dụng ánh xạ bảo giác : Tham khảo thêm phần 18.2, tài liệu “Advanced Engineering Mathematics”, 10ed, Erwin Kreyszig, 2011 Ánh xạ bảo giác ứng dụng nhiều kỹ thuật điện – điện tử để giải toán điều kiện biên (bài tốn Dirichlet) Bài tốn tìm điện Trường điện tĩnh toán điều kiện biên với việc giải phương trình Laplace Trong môn học Trường điện từ , ta thường kèm điều kiện đối xứng, bỏ hiệu ứng mép, … để Thế điện phụ thuộc biến tọa độ toán giải dễ dàng Nếu không đối xứng, ta phải dùng Phương pháp tách biến Hoặc dùng cách giải khác ta đưa toán đối xứng nhờ phép biến đổi bảo giác 15 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM a) Cơng dụng/tính chất ánh xạ bảo giác: Dùng ánh xạ bảo giác chuyển miền có biên phức tạp miền có biên đơn giản ( tính trường điện, điện, …) y v D D’ w = f(z) ∆Φ = Φ = const ∆Φ1 = Φ1 = const u x 0 Khi f(z) bảo giác nghiệm phương trình Laplace hai miền D D’ Có thể tra bảng biến đổi thích hợp để chuyển miền D D’ đơn giản cho việc giải phương trình Laplace Việc cần nhiều kinh nghiệm Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 16 b) Qui trình giải dùng ánh xạ bảo giác: Giả sử tìm nghiệm ϕ(x, y) ptrình Laplace: biết giá trị biên miền D ∂ 2ϕ ∂x 2 + ∂∂yϕ2 = Step1: Tìm ánh xạ bảo giác w = f(z) biến miền D thành D’ Step2: Chuyển điều kiện biên ϕ = A miền D thành ϕ = A miền D’ Step3: Giải tìm nghiệm phương trình Laplace ϕ = f(u, v) miền D’ Step4: Suy nghiệm miền D: ϕ(x, y) = ϕ[u(x, y), v(x, y)] 17 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD12.2.1: Thế điện cực hyperbol y H1 ϕ = 50V xy = ∆ϕ = xy = (mp z) ϕ=0 x f(z) = z2 H2 ϕ = 50V v=4 ∆ϕ = 0 Giải Biến cực hyperbol thành cực thẳng ta dùng ánh xạ f(z) = z2 để có hệ H2 Ở H2, ta giải dễ dàng: ϕ = 25v – 50 v v=2 Tìm phân bố điện miền cực hyperbol H1 ? (mp w) ϕ=0 u Chuyển mp z: dựa vào ánh xạ w = z = (x − y ) + j2xy Vậy mpz, ta có phân bố điện: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM ϕ = 50xy – 50 (V) 18 VD12.2.1: MATLAB vẽ phân bố Code chương trình vẽ phân bố thế: %Vidu 12_2_1 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(0:.1:5,0:.1:5); Z = 50*X.*Y - 50; [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:5:50]); %gia tri z tu -> 50, buoc 5V colormap cool; Thế điện ϕ = 50 V Thế điện ϕ = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19 VD12.2.2: Ứng dụng ánh xạ bảo giác ϕ = 100V Tìm phân bố điện miền |z – 1| > |z – 2| < H1 ? ϕ = 50V C1 C2 x Hai đường tròn qua điểm, ta dùng phép biến đổi w = 1/z có H2 & ĐKB Giải Ptrình Laplace miền C1’ C2’ ta có : H1 w ϕ = 100V v ϕ = 50V 1/2 H2 1/4 C1’ u C2’ Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 20 VD12.2.2: MATLAB vẽ phân bố Code chương trình vẽ phân bố thế: %Vidu 12_2_2 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(0.001:.2:5,-2.1:.2:2.1); Z = 150 - 200*X./(X.^2 + Y.^2); [C,h] = contour(X,Y,Z,[50:5:100]); %gia tri z tu 50 -> 100, buoc 5V colormap cool; % End of program Thế điện ϕ = 100 V Thế điện ϕ = 50V 21 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12.3 Phép biến đổi song tuyến tính (Mőbius): Định nghĩa: Phép biến đổi song tuyến tính phép biến đổi bảo giác quan trọng nhất, định nghĩa bởi: +b w = az cz + d Miền phép biến đổi này: giá trị z thỏa z ≠ -d/c Do yêu cầu T’(z) = [ad – bc]/(cz+d)2 ≠ → (ad – bc) ≠ : ánh xạ bảo giác Phép biến đổi ngược biến đổi : z= − dw + b cw − a Phép biến đổi song tuyến tính biến đường trịn đường thẳng thành đường trịn đường thẳng Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 22 VD12.3.1: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm ảnh điểm: 0, 1+j, j ∞ qua phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa bởi: w = (2z + 1)/(z – j) ? 2.0 +1 0− j w1 = T(0) = w = T(1 + j) = w = T( j) = =j 2.(1+ j) +1 (1+ j) − j 2.( j) +1 ( j) − j w = T(∞) = = + j2 =∞ 2.( ∞ ) +1 ( ∞ )− j =2 23 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD12.3.2: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm ảnh đĩa hở D: |z| < qua phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa : w = (– jz + j)/(z + 1) ? Phép biến đổi ngược: z= Với |z| < ta có : − w + j w+ j −w+ j w+ j 0) z − zo (Ở α = π tương ứng nửa mp z0 điểm thuộc nửa mp tương ứng ảnh tâm đường trịn đơn vị) Bài giảng Tốn kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 34 Phép Biến Đổi thuận M(z) : Phép biến đổi: Chọn z0 = j ta có : w = M(z) = Sử dụng để biến đổi: −∞ < x < ∞ NMPT: y > 0 < x < ∞ GPT I: 0 < y < ∞ −z + j z+ j 0 ≤ ρ < 0 ≤ φ < 2π 0 ≤ ρ < NĐTĐV: 0 ≤ φ ≤ π ĐĐV: 35 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM Phép Biến Đổi ngược N(z) : Phép biến đổi: w = N(z) = − jz + j = j −z + (Bán kính R cần z +1 z + nhân kết R lần) Sử dụng để biến đổi: 0 ≤ r < ĐĐV: 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ r < NĐTĐV: 0 ≤ θ ≤ π Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM NMPT: −∞ < u < ∞ v > GPT I: 0 < u < ∞ 0 < v < ∞ 36 VD12.4.1: Biến NMPT → ĐĐVị Đường dây tích điện mật độ dài ρℓ = 2πε0 C/m đặt y = bên mặt đất, cho ε = ε0 (a) Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi NMPT thành ĐĐV với đường dây tâm đĩa ? (b) Tìm điện nửa mp ? a) Theo 12.4.2, có z0 = j5, đó: y w=− v ρℓ ρℓ x z − j5 −z + j5 = z + j5 z + j5 -1 u C C’ Ta chứng minh : ảnh biên y = đường tròn đvị |w| = 37 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD12.4.1: (tiếp theo) b) Tìm điện: Giải miền w: ϕ= Từ: ρA πε w= Suy ra: ln y ( ) = ln ( ) r − z + j5 z + j5 |w| = ϕ = 12 ln ( x + (5 − y ) ρℓ x -1 C − x + j(5− y) x + j(5+ y) x + (5 + y ) v ρℓ u C’ ) Code MATLAB đồ thị: %Vidu 12_4_1 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(-5:.3:5,-0.5:.3:7.5); Z = 0.5*log((X.^2 + (5+Y).^2)./(X.^2 + (5-Y).^2)); [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:0.1:10]); colormap cool; % End of program Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 38 VD12.4.2: Biến Nửa ĐĐV → Góc Phần Tư I Tìm phân bố điện miền nửa đường trịn H1 ? ϕ = 110V ϕ=0 C1 x -1 H1 C2 Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến đổi song tuyến tính biến nửa đường trịn đơn vị thành góc phần tư thứ nhất), ta có phép biến đổi: − z +1 w=j v ϕ=0 cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB C1’ ϕ = 110V u H2 z +1 C2’ Giải toán đối xứng H2, ta có: ϕ = − 220 tan −1 π ϕ = − 220 tan −1 π ( ) + 110 ( v u 1− x − y 2y (V) ) + 110 39 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM VD12.4.2: MATLAB vẽ phân bố Code chương trình vẽ phân bố thế: %Vidu 12_4_2 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(-1.1:.02:1.1,0.01:.02:1.1); Z = -(220/pi)*atan((1 - X.^2 - Y.^2)./(2*Y)) + 110; [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]); %gia tri z tu -> 110, buoc 10V colormap cool; % End of program Thế điện ϕ = 110 V Thế điện ϕ = 100V Thế điện ϕ = 90V Thế điện ϕ = 80V Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 40 ... tròn |z| = 1) thành điểm: – 1, 0, ? Tìm ảnh đĩa |z| < qua phép biến đổi ? Dùng tỉ chéo: w= z? ?1 j +1 z +1 j? ?1 = ww+? ?11 ? ?11 j(z? ?1) z +1 = ww+? ?11 z− j jz ? ?1 Phép biến đổi ngược: | z |< z= ? ?1) z = (u−+vj(v... VD12.4.2: MATLAB vẽ phân bố Code chương trình vẽ phân bố thế: %Vidu 12 _ 4_2 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid( -1. 1:.02 :1. 1,0. 01: .02 :1. 1); Z = -(220/pi)*atan( (1 - X.^2 - Y.^2)./(2*Y)) + 11 0;... đổi: − z +1 w=j v ϕ=0 cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB C1’ ϕ = 11 0V u H2 z +1 C2’ Giải toán đối xứng H2, ta có: ϕ = − 220 tan ? ?1 π ϕ = − 220 tan ? ?1 π ( ) + 11 0 ( v u 1? ?? x − y 2y (V) ) + 11 0 39 Bài