TRÖÔØNG ñaïi HOÏC QUY NHÔN

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC QUY NHÔN TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC QUY NHÔN KHOA TOAÙN Nhoùm thöïc hieän 1 Leâ Nguyeãn Minh Trung 2 Nguyeãn Anh Tuaán 3 Nguyeãn Thuyù Uyeân 4 Nguyeãn Thò Thanh Vui 5 Traàn Ñöùc Vöông 6 Nguye[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN Nhóm thực Lê Nguyễn Minh Trung Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Thuý Uyên Nguyễn Thị Thanh Vui Trần Đức Vương Nguyễn Thị Kim Xuyến Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn, tháng 11/2009 LỜI NÓI ĐẦU Nhận dạng tam giác vấn đề không mới, dễ tìm thấy sách thị trường với nhiều tác giả khác Nhưng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thấy tài liệu trình bày chưa chặt chẽ khái quát, chưa sâu vào phương pháp thiết lập đề toán Với tiểu luận mong đóng góp số kiến thức để giải toán nhận dạng tam giác phương pháp đề cho dạng Bài tiểu luận gồm: Chương 1: Nhận dạng tam giác cân Chương 2: Nhận dạng tam giác vuông Chương 3: Nhận dạng tam giác Chương 4: Nhận dạng tam giác khác Trong chương đưa số ví dụ điển hình cho phương pháp giải, đồng thời có mở rộng nhận xét, cuối chương phương pháp đề cho dạng toán Chúng xin tỏ lời cám ơn chân thành đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ số bạn lớp sư phạm Toán K29 Trường Đại học Quy Nhơn Vì thời gian khả có hạn nên tiểu luận chắn có nhiều sai xót hạn chế Chúng mong đóng góp ý kiến xây dựng phê bình độc giả Nhóm thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số hệ thức lượng tam giác: ( ABC không tam giác vuông) (Đẳng thức hàm Côsin suy rộng) Một số bất đẳng thức lượng tam giác: Dấu xảy bất đẳng thức ABC Việc chứng minh bđt xin dành cho bạn đọc CHƯƠNG 1: NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Các toán thuộc loại có dạng sau: cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện đó, thường cho dạng hệ thức Hãy chứng minh ABC cân - Phải lưu ý tính đối xứng toán để định hướng phép biến đổi Chẳng hạn cân C tập trung vào chứng minh A=B - Các toán nhận dạng tam giác cân chia thành loại sau: LOẠI I: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC Từ giả thiết đến kết luận cách vận dụng hệ thức lượng tam giác, công thức biến đổi lượng giác VD1: Cho ABC thoả (1) CM ABC cân ABC cân C NX: Từ (1) thay góc C góc B ta toán: cho ABC cân B Tương tự thay góc C góc A ta toán: cho ABC cân A Như toán CM ABC cân, ta hoán đổi vị trí góc ta thu ABC cân vị trí khác VD2: Cho ABC có (1) CM ABC cân Ta thấy (1) chứa yếu tố góc cạnh Đối với toán ta CM ABC cân theo cách A=B a=b Tuỳ vào biểu thức toán mà ta chọn biến đổi góc hay cạnh cho thuận lợi Cách 1: (1) p dụng định lý hàm Sin ta được: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ABC cân C Cách 2: (1) a=b ABC cân C Chú ý: Ta có VD3: Cho CM ABC thoả (1) ABC cân Nên cân C NX: Từ (1) ta biến đổi sau Tiếp tục chuyển vế đặt thừa số chung ta được: Cách khác: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (*) ta xét hàm tăng Vì vậy: (*) Chú ý: Trong toán CM tam giác cân ta thường gặp vế biểu thức đối xứng Trong trường hợp ta sử dụng phương pháp hàm số: Tính chất: Nếu hàm  tăng (hoặc giảm) khoảng (a,b) Thì : VD4: Cho ABC thỏa: (1) Tam giác ABC tam giác ? (1) (*) NX: Ta dùng tính chất tam thức bậc hai để nhận dạng đa giác Thật vậy: Đặt có nghiệm Nên: Khi đó: VD5: Cho ABC thỏa mãn hệ thức C≠ 900 CM (1) ABC tam giác cân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (1) Có khả sau: 1)Neáu 2)Neáu sin2A – sin2B =0 (2) Do C≠ 900 A+B ≠ 900 2A+2B ≠ 1800 hiển nhiên 0C => => (2) Do b>c => > (3) Từ (2) (3) suy ra: : mâu thuẫn với (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) sin A B sin sin 2 =        Vậy  ABC e) tg + tg + tg =   (*) Mà Từ (*) suy    A=B=C Vậy  ABC f) cotgA + cotgB + cotgC = Bằng cách áp dụng hệ thức cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgCcotgA = biến đổi giống phần (e) Tacó: (cotgA – cotgB )2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2 = => => A = B = C Vậy ABC Ví dụ1: Giả s  ABC thoả mãn điều kiện: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c Chứng minh  ABC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Aùp duïng định lý Sin ta có a=2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ( với R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC), hệ thức cho tương đương với: 2sinA cosA + 2sinB cosB + 2sinCcosC = sinA + sinB + sinC  sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*) Tacoù sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos( A – B ) – 2sin( A + B)cos( A + B) = 2sin (A + B)(cos(A + B) – cos (A + B)) = 4sinAsinBsinC Tacoù sinA + sinB + sinC = (dạng toán bản.) Vậy  ABC Ví dụ : CMR A,B,C ba góc tam giác thoả mãn tam giác Hệ thức cho tương ứng với ( dạng toán bản) Vậy  ABC Ví dụ3 : Cho  ABC thoả mãn thức: Chứng minh  ABC tam giác Biến đổi giả thiết cho dạng sau 2ab + 2ac + 2bc = a2 + b2 + c2 + S (1) p dụng định lí hàm số Côsin suy rộng, ta coù a2 + b2 + c2 = (cotgA + cotgB + cotgC)4S LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết hợp công thức ab = , bc = , ca = Khi (1) (*) (dạng toán bản) Vậy  ABC Chú ý:  ABC thoả mãn thức tam giác Thật vaäy (*)  cotgA + cotgB + cotgC = S  ABC (dạng toán bản) Vậy  ABC Nhận xét: Qua số ví dụ trên, ta tạo số toán nhận dạng tam giác phương pháp sau: Ta xuất phát từ toán bản, kết hợp với hệ thức lượng tam giác, định lí sin, cosin, biến đổi đưa toán 2) Phương pháp sử dụng mệnh đề Ví dụ1: Chứng minh ABC có = 9r  ABC Ta có + hb + hc = 9r  Vậy  ABC Ví dụ 2: CMR  ABC ta có ( p: nửa chu vi, R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC)  ABC tam giác Ta coù: (*)  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tỏ lời cám ơn chân thành đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ số bạn lớp sư phạm Toán K29 Trường Đại học Quy Nhơn Vì thời gian khả có hạn nên tiểu luận chắn có nhiều sai xót hạn chế Chúng mong đóng góp