Ví dụ 6 : giải hệ phương trình

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Ví dụ 6 Giải hệ phương trình EMBED Equation DSMT4 Phân tích Với hệ này, phương trình thứ hai chứa hai căn bậc lệch, các đại l[.]

Ví dụ 6:  2 x  y   x  y   x  y  xy 10xy  xy  x, y    Giải hệ phương trình    x 10x   y  3  4x  y  Phân tích : Với hệ này, phương trình thứ hai chứa hai bậc lệch, đại lượng khơng có mối liên quan để ta khai thác Phương trình thứ có tính đối xứng với hai biến x, y Nhưng ta tinh ý, phương trình khơng có tính đối xứng mà cịn phương trình đẳng cấp bậc ba với đại lượng       x  y, xy Thật vậy, ta có phương trình thứ biến đổi thành phương trình : 2 x  y  x  y   x  y  xy 10xy  xy  2 x  y xy    x  y    x  y  xy  6xy 0  1 Để cho tiện việc khai triển ta đặt a x  y, b  xy Khi  1 trở thành: 2a  2a  ab  6b 0  2a  2a b  ab  6b3 0 b   a  2b  2a  2ab  3b 0  a 2b    x  y 2 xy   x y  0  x y Vậy xem nút thắt toán gỡ Và giải hệ  xy  Lời giải : Điều kiện :   x 10x   y  0 Phương trình thứ biến đổi thành phương trình :  2 x  y xy    x  y   x  y  xy 10xy 2 x  y xy     x  y    x  y  xy  6xy 0  1 a x  y , b  Khi phương trình  1 trở thành : Đặt  b  xy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 181 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình 2a  2a  ab  6b 0 b  2a  2a b  ab  6b3 0   a  2b  2a  2ab  3b 0   a  2b 0  a 2b  x  y 2 xy    x y  0  x y 2a  2ab  3b  Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình :   3 10x   3 5x  9  10x    5x   0 ,  x   10    10 x     10x    3  x  1  5x  3  5x    0  10 x  x   15  0   x  1     3 10x   3  3  5x             5x             T  x  0  x 1  y 1 với x   T 0 10 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ :  x, y   1;1 Bình luận: Bài tốn thể tính đối xứng thơng qua định dạng phương trình đẳng cấp Ở phương trình thay x y ngồi cách giải liên hiệp lời, sử dụng hàm số để giải Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  2xy x  y2 x y    xy  2  x, y    x  y   3x  2y   2x  y    2x  x  y  1   Phân tích: Rõ ràng từ hệ ta khơng thể cơng phá phương trình thứ hai hệ, cịn phương trình thứ hệ ta dễ nhận thấy phương trình đối xứng với hai biến x, y nên ta bắt nhân tử chung phương trình Ở phương trình thứ hệ ta để ý thấy cặp đại lượng sau ghép lại ta đẳng thức  182   2xy x  y  x  y   4xy   x  y     2 x  y 2 x  y x  y Thật ta có :   x  y2 x  y   xy    2 Do ta tách phương trình thứ để quy đồng liên hiệp sau : 2xy x  y x  y2    xy 2 xy 0    x  y  2 x  y   2   x  y   xy      0   2 x y  xy   Với phương trình   ta nhận thấy x y    x  y2  2  xy      0  x y   x  y2  xy x  y       ln Do ta tách sau : x  y2  xy x  y    x  y  x  y 2 x  y2  x  y     x  y   x  y  x  y  xy  x  y     x y   2   x  y2       1 0 x y   x y   x y   x y  x  y    x y 1   x  y 2 xy   x  y2  x  y  Vậy xem nút thắt toán gỡ xem hệ giải  xy 0  Lời giải : Điều kiện : 2x  y  0  x  y 0        Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 2xy x  y x  y2    xy 2 xy    x  y  x  y   x  y x  y2  xy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 183 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x y  x y   x  y    2   x  y   x  y  x  y  xy  2   x y xy      x y   x y   x y         x  y2   x  y    x y   xy  x  y   x y    x y  x y    x y  2   x  y  0  2xy x  y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình :  x  2  x   3 2x     x   x   2x   2x   1  a 0  a  x    x a  Khi phương trình  1 trở thành : Đặt   b  2x  2x b  a  a  b3 b   a  b  a  ab  b  0     a b a  ab  b     2x  0  x  x   2x       x x  x  0  x  1  2x  1      x     x 0  y 0   x 0     x 1   y 1     x  2     x 1          ; Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ :  x, y   0;0  ;       184 Bình luận : Với tốn này, phương trình thứ hệ có tính đối xứng hai biến x, y kỉ thuật để bắt nhân tử chung phép nhân lượng liên hiệp Sự trở lại nhan tử x, y lặp lại hai lần, không tinh ý dễ sa đà vào việc chứng minh phần cịn lại vơ nghiệm Đối với phương trình thứ hai giải tìm nghiệm, ngồi cách làm ẩn phụ hóa ta tách trực tiếp để cô lập hai đại lượng x  1, 2x  sử dụng đẳng thức để tách nhân tử cho kết Cụ thể ta có:  x  2    x   3 2x     x  1 x   x  3 2x   2x   x 1   x  3 2x   2x   x  3 2x  Ví dụ 8:  x  y3 3 x  y   3x     x, y    Giải hệ phương trình  3  2x  y  5x   y  1  8x  17y     Phân tích : Cấu trúc phương trình thứ hai hệ này, thật khó để phán đốn cơng phá hướng Phương trình thứ hệ chưa giúp ngay, nhiên quan sát phương trình thứ lập hai biến x, y nên có khả bắt nhân tử   Cụ thể ta biến đổi phương trình thứ trở thành : x  3x  6x  y3  3y Do vế phải phương trình vừa biến đổi ta có biến y xếp theo định dạng y3  3y Do để bắt nhân tử ta cố gắng biến đổi vế trái phương trình vừa biến đổi theo định dạng tương tự để có tính đối xứng Ta cần có : x  3x  6x   ax  b    ax  b  Do hệ số x nên ta có a 1 3 2 Vậy x  3x  6x   x  b    x  b  x  3x b  b  x  b  3b      3b  Đồng hai vế phương trình   ta có : 3 b  6  b   b  3b    Vậy ta có : x  3x  6x  y3  3y   x  1   x  1 y3  3y     x  1  y3   x   y  0   x  y  1  x  1   x  1 y  y  0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 185 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x  y  0  y x  Vậy xem hệ giải với việc tìm nút thắt Lời giải : Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : x  3x  6x  y3  3y   x  1   x  1 y3  3y     x  1  y3   x  y  1 0   x  y  1  x  1  y  x  1  y  0  x  y  0  y x   x  1  y  x  1  y   Thay y x  vào phưng trình thứ hai hệ ta thu phương trình :   2x x   5x  x 8x  17x   2x  10x  17x   2x 5x  x 0  2x  x    6x  17x   2x 5x  x     a x   a  b3 x  6x  12x   5x  x  6x  17x  Đặt  3 b  5x  x   Khi ta có   trở thành : 2ax  a  b3  2bx 0  2x  a  b    a  b  a  ab  b 0    a  b   a  b  a  ab  b  2x 0    a b x 0  x  0  3 Với a b x 0   5x  x 0 ( hệ vô nghiệm )  x 0    Với a  b   x 3 5x  x  17  97 x  12   12x  6x  x 5x  x  6x  17x  0    17  97 x  12  Vậy nghiệm hệ phương trình :  17  97  97   17  97  97   ; ; ;  12 12   12 12     x, y   Bình luận : Với tốn phương trình thứ thường lựa chọn giải hàm số Điều hồn tồn hợp lí Nhưng với góc độ nhìn khác dựa tính phân ly hai biến hay cịn gọi cô lập 186 hai biến định dạng phương trình có tính đối xứng đẳng thức cho lời giải tốt tự nhiên Chúng tơi thiết nghỉ, cấu trúc phức tập sử dụng hàm số đại diện lựa chọn tốt với cấu trúc giải tốt đẳng thức đường tiếp cận lời giải tốn hướng tự nhiên phù hợp với đại đa số học sinh Ở phương trình giải tìm nghiệm, ngồi lời giải trên, sử dụng ẩn phụ hóa kết hợp hàm số để giải Tuy nhiên, tinh tế cần ẩn phụ hóa ta giải tốt  2x  y3   2x  y  6xy  y  x    x, y    Ví dụ 9: Giải hệ phương trình  7x 3x  y  6y  22  3x   Phân tích : Với hệ này, khơng khó khăn để nhận để giải hệ, ta cần phải cơng phá phương trình thứ hệ Cụ thể ta có : 2x  y3   2x  y  6xy  y  x   4x  2y3  10x  5y 6xy  6x y   Tới phương trình biến đổi cuối ta chưa thấy điều rõ ràng, nhiên quan sát vế phải phương trình cuối ta nhận thấy đại lượng 6xy  6x y 2 3xy  3x y có liên quan đến đẳng thức bậc ba với hai   biến x, y nên ta tách phương trình : 4x  2y3  10x  5y 6x y  6xy  2x  10x  5y 2 y  3xy  3x y  x   3  2x  10x  5y 2  y  x   2x  5x 2  y  x    y  x    Ta có (*) hai đại lượng x, y  x có tính phân ly hai vế phương trình có định dạng đối xứng nên từ (*) ta bắt nhân tử chung y  2x Do hệ xem giải 22  x  Lời giải : Điều kiện :  3x  y  0 Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 2x  y3   2x  y  6xy  y  x   4x  2y3  10x  5y 6xy  6x y    2x  10x  5y 2 y3  3xy  3x y  x  2x  5x 2  y  x    y  x     2x   y  x    2x  y  0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 187 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình    2x  y  0   2x  y   2x  2x  y  x    y  x    0  y  2x 0  y 2x M                   2x  y  x  x  y  x    y  x  2 M Thay y 2x vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : 22 ) 7x x  12x  22  3x ( Điều kiện :  x   7x  7x  14  14  x  22  3x  7x x   x  0  1   Nhận xét với  x    22  14  x  22  3x  0, x   x   nên ta có: 7x x  x  x2  x   0  1  x  x   14  x  22  x x   x      7x    x2  x      0    x  22  3x x   x    14                    P  Với  x 0  P  22 7x 7x 28 7  0  Với  x   P   x 4 x 4 x 43 x 2 Do với  x  22  P 0 vô nghiệm      x 1   y 2  Do từ   ta có : x  x  0    x 1   y 2   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ :  x, y      3;2  ;  3;2   Bình luận : Bài tốn có tính đối xứng dựa vào dấu hiệu đẳng thức để tạo phân li cho biến phương trình thứ Một đặc điểm thường gặp  x  4x  y3  3y  7y   x, y    Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  3  x  2y   y  1 x 3   y  Phân tích : Với phương trình thứ hai khơng thể nghỉ đến việc cơng phá bậc cao đại lượng tham gia chẳng có liên quan với Với phương trình thứ hệ, biến đa có tính phân li nên việc quy chúng định dạng có tính đối xứng cho hai vế cao  188  Nhưng rõ ràng vế trai vế phải phương trình thứ cho ta lựa chọn để định dạng cho trước để tìm đối xứng Tuy nhiên, vế trái có hình thức gần gũi nên ta cố gắng tách phương trình thứ dạng sau : x  4x   ay  b    ay  b   Tức ta cần có : y3  3y  7y  ay  b    ay  b   Do hệ số y3 nên ta có a 1 Vậy ta có : y3  3y  7y  y  b    y  b   y3  3y b  3b  y  b  4b    3b 3   b 1 Đồng hệ số phương trình ta có : 3b  7  b  4b  0 Và ta có : x  4x   y  1   y  1  Phương trình có lập hai biến có định dạng đối xứng nên ta bắt nhân tử chung x  y  Như xem hệ gỡ nút thắt giải Lời giải : Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 3 x  4x   y  1   y  1   x   y  1   x  y  1 0     x  y  1 x   y  1 x   y  1  0  y x  C              C Thay y x  vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình : x  2x   3  2x  3x  0  x  2x   x  2x  x        Đặt x  2x  t Khi kết hợp phép đặt phương trình   ta có hệ phương trình :  x  2x  t  3  t  2t  x  x  t  x  xt  t   x  t  0  x  t   x  t  t  x   3  t  2t  x  t  2t  x    x  t  x  xt  t  0   x t   x  xy  y    t  2t  x  x  2x  x   x t    x  x  0   x t    x  1 x  x  0    x t    x 1  t 1 x  x     x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 189 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x  2x  1   x 1  y 0  x 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x, y   1;0  Bình luận : Với cấu trúc phương trình thứ hệ cách tách định dạng lời giải, tách theo chiều hướng sau :  ax  b    ax  b    ax  b  y3  3y  7y Tức ta cần có : x  4x   ax  b    ax  b    ax  b  Ta có a 1 Nên : x  4x   x  b    x  b    x  b  x   3b  3 x  3b  6b  x  b3  3b  7b   3b  0  Đồng hệ số hai vế phương trình ta có : 3b  6b  4  b   b  3b  7b  Và ta có phương trình thứ viết lại :  x  1   x  1   x  1 y3  3y  7y Phương trình bắt nhân tử lời giải Qua tốn này, nhìn nhận để tạo đươc định dạng phương trình lập có tính đối xứng hai biến khơng phải có cách Tuy nhiên, thực tế cần có nhìn bao quát để tìm biễu diễn “lợi thế” mặt hình thức đường tìm Trong tốn này, phương trình hai cách giải hay phương trình đa thức đưa hệ đối xứng Rõ ràng phương trình tốn khơng cho phép biến đổi trực tiếp thật có bậc cao  x  2x  mt Phép đặt có cách đưa phương trình dạng :  3 m t  2mt  x m3 2m  m Để hệ có tính đối xứng ta cần xử lí m cho :     m 1 2 Ví dụ 11: Giải hệ phương trình :  x  5x  x  2y  x  2y  0   2  7y  1  5x  3x   x  2y  11x  11     190    x  3x    x, y    ... y    Ví dụ 9: Giải hệ phương trình  7x 3x  y  6y  22  3x   Phân tích : Với hệ này, khơng khó khăn để nhận để giải hệ, ta cần phải cơng phá phương trình thứ hệ Cụ thể ta có : 2x ... y    Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  2  x  y  8xy  x  4y  0 Phân tích : Cả hai phương trình hệ phương trình bậc hai theo hai biến x, y Kiểm tra ta nhận thấy hai phương trình phân... nghiệm hệ :  x, y   1;1 Bình luận: Bài tốn thể tính đối xứng thơng qua định dạng phương trình đẳng cấp Ở phương trình thay x y ngồi cách giải liên hiệp lời, sử dụng hàm số để giải Ví dụ 7: Giải